Notas Aula CircuitosI 2018 2

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ 
INSTITUTO DE TECNOLOGIA 
FACULDADE DE ENGENHARIAS ELÉTRICA E BIOMÉDICA 
 
Notas de Aulas 
CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
Cap. 01 - Variáveis de circuitos elétricos 
 
Prof. Claudomiro Fábio de Oliveira Barbosa 
cfob@ufpa.br. 
 
 
 
Belém – Pará 
 
Cap. 01 - Variáveis de circuitos elétricos 
 
1.1. Energia Elétrica - Características 
Quando comparadas com outras formas de energia, a energia elétrica se destaca com 
sua mobilidade e flexibilidade – a eletricidade pode ser transportada de qualquer ponto por 
meio de um material condutor (por exemplo, um fio de cobre) e, dependendo de sua 
aplicação final, convertida em luz (sistema de iluminação), calor (sistema de 
aquecimento), ou movimento (motores elétricos), entre outros (figura 1.1). 
 
 
Iluminação de uma planta 
industrial. 
 
Estufa para secagem 
de materiais. 
 
Carro com motor elétrico. 
Figura 1.1 – Uso final da energia elétrica. 
Cap. 01 - Variáveis de circuitos elétricos 
 
1.1. Energia Elétrica – Características 
 
Sala cirúrgica (instrumentos e equipamentos) 
 
Mão biônica (prótese). 
Figura 1.1 – Uso final da energia elétrica (cont.). 
 
Cap. 01 - Variáveis de circuitos elétricos 
 
1.2. Circuito Elétrico (Rede Elétrica) 
Circuito Elétrico – É a interconexão de elementos elétricos unidos em um caminho 
fechado, por onde a corrente elétrica circula (figura 1.2). 
 
 
 
 
Circuito elétrico simples. 
Figura 1.2 (a) – Exemplos de circuitos elétricos. 
Cap. 01 - Variáveis de circuitos elétricos 
 
1.2. Circuito Elétrico (Rede Elétrica) 
 
 
Circuito real “complexo” (rádio transmissor). 
Figura 1.2 (b) – Exemplos de circuitos elétricos. 
Cap. 01 - Variáveis de circuitos elétricos 
 
1.3. Elementos de Circuito 
Elementos de Circuito – São componentes de circuitos, por exemplo: resistores, 
baterias, capacitores, indutores, entre outros (figura 1.3). 
 
 
(a) Resistores. 
 
(b) Capacitores. 
 
(c) Indutor. 
Figura 1.3 – Componentes de circuitos elétricos.
Cap. 01 - Variáveis de circuitos elétricos 
 
1.3. Elementos de Circuito 
 
(d) Elemento elétrico genérico de duas 
portas (terminais a e b). 
 
(e) Um circuito com 5 elementos. 
Figura 1.3 – Componentes de circuitos elétricos (cont.). 
 
A forma de descrever matematicamente os elementos supracitados é através das 
variáveis elétricas  corrente e tensão. 
 
 
 
 
Cap. 01 - Variáveis de circuitos elétricos 
 
1.4. Carga e Corrente Elétrica 
Carga – Grandeza mais básica em circuitos elétricos. A carga é a propriedade 
elétrica das partículas atômicas que compõem a matéria, medida em coulombs (C). 
 
Carga de um elétron   1,602 x 10-19 C 
 
Cap. 01 - Variáveis de circuitos elétricos 
 
1.4. Carga e Corrente Elétrica 
Exemplo 1.1 – Quanta carga é representada por estes totais de elétrons: 
(a) 4.600 elétrons. 
(b) 2,46 x 1019 elétrons. 
Resposta: (a)  7,369 x 10-16 C (b)  3,941 C. 
 
 
Exemplo 1.2 – Quantos elétrons existem em uma carga de  1 C? 
Resposta: 6,24 x 1018 elétrons. 
Cap. 01 - Variáveis de circuitos elétricos 
 
1.4. Carga e Corrente Elétrica 
Corrente elétrica – É a taxa de variação da carga, ou fluxo de carga, em relação ao 
tempo que passa em um determinado ponto (figura 1.4), medida em ampères (A). 
 
 
Figura 1.4 – Corrente elétrica devido ao fluxo de carga em um condutor. 
Matematicamente, 
dt
dq
i  1 A = 1 C/s 
 A carga pode ser então obtida por, 

t
ot
idtq
 
Cap. 01 - Variáveis de circuitos elétricos 
 
1.4. Carga e Corrente Elétrica 
 A corrente elétrica pode ser contínua (c.c.), quando a corrente (I) não varia com o 
tempo, e alternada (c.a.), quando a corrente (i) varia com o tempo (figura 1.5). 
 
 
(a) Corrente contínua. 
 
 
(b) Corrente alternada. 
Figura 1.5 – Tipos comuns de corrente. 
 
Cap. 01 - Variáveis de circuitos elétricos 
 
1.4. Carga e Corrente Elétrica 
A figura 1.6 mostra o sentido da corrente elétrica para duas situações. 
 
 
(a) Fluxo de corrente de 1 para 2. 
 
 
(b) Fluxo de corrente de 2 para 1. 
Figura 1.6 – Fluxo de corrente. 
As correntes da figura 1.6 são similares, porém diferentes. Elas têm o mesmo valor 
(módulo), porém tem sentidos diferentes, daí o sinal negativo. 
 
 
 
Cap. 01 - Variáveis de circuitos elétricos 
 
1.4. Carga e Corrente Elétrica 
Exemplo 1.3 – Ache a corrente em um elemento quando a carga que entra no elemento é 
tq 12
 (C), onde t é o tempo em segundos. 
Resposta: 12 A. 
 
 
Exemplo 1.4 – Ache a carga que entra no terminal de um elemento de t = 0 s até t = 3 s 
quando a corrente é como mostrado na figura 1.7. 
 
Figura 1.7 – Forma de onda para a corrente do exemplo 1.4. 
Resposta: 5 C. 
Cap. 01 - Variáveis de circuitos elétricos 
 
Sistemas de Unidades 
As medições de uma grandeza devem ser comunicadas em linguagem que possa 
se entendida por, virtualmente, todos. Uma linguagem de medição padronizada é o 
Sistema Internacional de Unidades (SI) (tabela 1.1). 
 
Tabela 1.1 – Unidades básicas do SI. 
 
 
 
Cap. 01 - Variáveis de circuitos elétricos 
 
Sistemas de Unidades 
 
 
 
Uma grande vantagem das unidades SI é a 
utilização de prefixos (tabela 1.2), baseados em 
potências de 10, que relacionam unidades grandes 
e pequenas com a básica. 
Tabela 1.2 – Prefixos do SI. 
 
 
Cap. 01 - Variáveis de circuitos elétricos 
 
1.4. Carga e Corrente Elétrica 
Exemplo 1.5 – O total de carga que entra em um terminal é dado por  teq 21010  
(mC). Calcule a corrente em t = 0,5 s. 
Resposta: 7,36 mA. 
 
Cap. 01 - Variáveis de circuitos elétricos 
 
1.4. Carga e Corrente Elétrica 
Exemplo 1.6 – A carga que entra em um certo elemento está mostrada na figura 1.8. 
Calcular a corrente para: 
(a) t = 1 ms. 
(b) t = 6 ms. 
 
Figura 1.8 – Exemplo 1.6. 
Respostas: (a) 40 mA (b) 0 A. 
Cap. 01 - Variáveis de circuitos elétricos 
 
1.5. Tensão (diferença de potencial) 
 
Tensão – É a energia necessária para mover uma unidade de carga através de um 
elemento, medida em volts (V). 
 Matematicamente, 
dq
dw
v  1 V = 1 J/C 
 
Cap. 01 - Variáveis de circuitos elétricos 
 
1.5. Tensão (diferença de potencial) 
O sentido da tensão é dado por sua polaridade (figura 1.9). Logo, têm-se dois modos 
de designar a tensão sobre um elemento: tensão vba (trabalho necessário para mover a 
carga do terminal b para o a) e tensão vab (trabalho necessário para mover a carga do 
terminal a para o b). 
 
 
Figura 1.9 – Tensão sobre um elemento em um circuito. 
vab =  vba (módulos iguais, sentidos diferentes)
Cap. 01 - Variáveis de circuitos elétricos 
 
Sentidos de Referência 
Durante a análise de um circuito, a polaridade real da tensão ou o sentido real da 
corrente num determinado elemento pode despertar certa preocupação. 
 
No entanto, esta situação não deve existir, pois a escolha do sentido de referência 
(polaridade para as tensões e o sentido para as correntes) depende da convenção adotada 
por quem está realizando a análise 
 
Uma vez feita a escolha, todas as equações devem ser escritas usando a mesma 
convenção. 
Cap. 01 - Variáveis de circuitos elétricos 
 
Sentidos de Referência 
A convenção mais usada é a convenção de sinal passivo, onde o sentido da corrente 
(figura 1.10) positiva, indicado por uma seta, vai do terminal de maiorpotencial (indicado 
pelo sinal “+”), para o terminal de menor potencial (indicado pelo sinal “”), de um 
elemento. 
 
 
Figura 1.10 – Convenção de sinal passivo para um elemento. 
 
A tensão positiva é dada por v12 (ou v) e a negativa por v21 (ou – v). A corrente 
positiva é dada por i12 (ou i) e a corrente negativa é dada por i21 (ou – i). 
 
v12 = – v21 enquanto i12 = – i21 
 
 
Cap. 01 - Variáveis de circuitos elétricos 
 
1.6. Potência e Energia 
A potência elétrica é outra variável que descreve um circuito. 
Potência – É a variação da energia (liberada ou absorvida) em função da 
variação do tempo, medida em watts (W). 
Matematicamente, 
dt
dw
p  1 W = 1 J/s 
 
vi
dt
dq
dq
dw
dt
dw
p  . 
vip 
 (potência instantânea) 
 
Cap. 01 - Variáveis de circuitos elétricos 
 
1.6. Potência e Energia 
p (+)  potência fornecida ao elemento, ou absorvida pelo elemento. 
p (–)  potência suprida pelo elemento. 
 
O sentido da corrente e a polaridade da tensão são importantes na determinação do 
sinal da potência. A figura 1.11 apresenta uma relação entre corrente i e a tensão v. 
 
(a) Absorvendo potência. 
 
(b) Fornecendo potência. 
Figura 1.11 – Referência de polaridade para potência usando a convenção de sinal passivo. 
A convenção de sinal passivo é satisfeita quando a corrente entra pelo terminal 
positivo de um elemento e 
vip 
. Se a corrente entrar no terminal negativo, 
vip 
. 
Cap. 01 - Variáveis de circuitos elétricos 
 
1.6. Potência e Energia 
Exemplo 1.7 – Considerando a convenção de sinal passivo, verifique se a potência dos 
elementos (figura 1.12) é absorvida ou fornecida. 
 
Resposta: absorvida. 
12 W 
 
Resposta: fornecida. 
- 12 W 
 
Resposta: fornecida. 
- 12 W 
 
Resposta: absorvida. 
12 W 
Figura 1.12 – Exemplo 1.7. 
Potência absorvida =  Potência fornecida 
  0p (Lei da Conservação da Energia) 
A soma algébrica de potência em um circuito, em qualquer instante de tempo, deve 
ser nula. 
Cap. 01 - Variáveis de circuitos elétricos 
 
1.6. Potência e Energia 
Energia – É a capacidade de realizar trabalho, medida em joules (J). 
Matematicamente, 
 
t
t
t
t
vidtpdtw
00
 
 
As concessionárias de energia medem a energia elétrica em watt-hora (Wh), onde: 
1 Wh = 3.600 J 
Cap. 01 - Variáveis de circuitos elétricos 
 
1.6. Potência e Energia 
Exemplo 1.8 – Calcule a potência fornecida a um elemento em t = 3 ms se a corrente que 
entra no terminal positivo é ti 60cos5 (A) e a tensão for iv 3 (V). 
Resposta: 53,47 W (ATENÇÃO AO USAR A CALCULADORA – RADIANOS OU GRAUS). 
 
 
Exemplo 1.9 – Calcule a potência e energia absorvida por um elemento em t = 10 s, 
quando a corrente i = 10 A entra pelo seu terminal positivo. A tensão sobre o elemento 
vale 4 V. 
Resposta: 40 W e 400 J. 
Cap. 01 - Variáveis de circuitos elétricos 
 
1.6. Potência e Energia 
Exemplo 1.10 – A corrente média em um relâmpago típico é 2 x 104 A e sua duração 
típica é de 0,1 s. A tensão entre as nuvens e o solo é 5 x 108 V. Determine a carga total 
transmitida a Terra e a energia liberada. 
Resposta: 2 x 103 C e 1 TJ. 
 
 
Exemplo 1.11 – Quanta energia, em J e Wh, uma lâmpada de 100 W consome em duas 
horas. 
Resposta: 720 kJ e 200 Wh. 
Cap. 01 - Variáveis de circuitos elétricos 
 
1.6. Potência e Energia 
Exemplo 1.12 – Uma torradeira de 1,2 kW necessita de 5 minutos para aquecer quatro 
fatias de pão. Determinar o custo da operação da torradeira se ela for utilizada uma vez por 
dia, por 1 mês (trinta dias). Considere que o custo da energia é de 0,40 R$/kWh. 
Resposta: R$ 1,20. 
Cap. 01 - Variáveis de circuitos elétricos 
 
1.6. Potência e Energia 
Exemplo 1.13 – O gráfico da figura 1.13 representa a potência consumida por uma planta 
industrial entre 8:00 h e 8:30 h da manhã. Calcule a energia total, em MWh, consumida 
pela planta. 
 
Figura 1.13 – Exemplo 1.13. 
Resposta: 2,33 MWh. 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ 
INSTITUTO DE TECNOLOGIA 
FACULDADE DE ENGENHARIAS ELÉTRICA E BIOMÉDICA 
 
Notas de Aulas 
CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
Cap. 02 - Elementos de circuitos 
 
Prof. Claudomiro Fábio de Oliveira Barbosa 
cfob@ufpa.br. 
 
 
 
Belém – Pará 
Cap. 02 - Elementos de circuitos 
 
2.1. LINEARIDADE 
Um elemento ou dispositivo é linear se a excitação e a resposta do elemento 
satisfazem as propriedades de superposição e homogeneidade. 
 
Por exemplo, considerando o elemento mostrado na figura 2.1, quando o mesmo é 
submetido à corrente i1, ele fornece a tensão v1. Ademais, quando submetido à corrente i2, 
ele fornece a tensão v2. 
 
Figura 2.1 – Um elemento com uma corrente de excitação i e uma resposta v. 
 
Para um circuito linear, é necessário que a excitação i1 + i2 resulte em uma resposta v1 
+ v2. 
i1  v1 
i2  v2 
i1 + i2  v1 + v2 
 Superposição 
Cap. 02 - Elementos de circuitos 
 
2.1. LINEARIDADE 
Para um circuito linear, é necessário que a excitação ki resulte em uma resposta kv. 
i  v 
ki  kv 
 
 
Um elemento que não satisfaça os princípios da superposição e da homogeneidade é 
determinado não linear. 
 
 Homogeneidade 
Cap. 02 - Elementos de circuitos 
 
2.1. LINEARIDADE 
Exemplo 2.1 – Considere o elemento representado pela relação entre corrente e tensão 
como Riv  . Determine se este dispositivo é linear. 
Resposta: Elemento linear – satisfaz as propriedades de superposição e homogeneidade. 
Cap. 02 - Elementos de circuitos 
 
2.1. LINEARIDADE 
Importante 
Nenhum elemento de circuito é exatamente linear para todos os valores de corrente 
(excitação). Normalmente se admite uma faixa de operação linear (figura 2.2). 
 
(a) Lâmpada incandescente. 
 
(b) Relação tensão-corrente para a lâmpada. 
A lâmpada é linear na faixa – im < i < im. 
Figura 2.2 – Elemento não linear. 
Cap. 02 - Elementos de circuitos 
 
2.2. ELEMENTOS PASSIVOS E ATIVOS 
 
Elemento passivo – é aquele que absorve energia. 
Resistores, capacitores e indutores são exemplos de elementos passivos, pois 
absorvem energia de uma e/ou convertem para outra forma, ou ainda a armazenam em um 
campo elétrico ou magnético. 
 
 
Elemento ativo – é aquele capaz de fornecer energia. 
Fontes de tensão ou corrente e amplificadores operacionais são exemplos de 
elementos ativos. 
 
Cap. 02 - Elementos de circuitos 
 
2.2. ELEMENTOS PASSIVOS E ATIVOS 
Um circuito elétrico é formado tanto por elementos ativos como por passivos (figura 
2.3). 
 
Figura 2.3 – Coleção de elementos ativos e passivos usados em circuitos elétricos. 
Cap. 02 - Elementos de circuitos 
 
2.3. RESISTORES 
A capacidade de um material qualquer resistir à passagem de corrente elétrica, isto é 
fluxo de cargas, é conhecida como resistência (R). 
 
Resistência – é a propriedade física de um condutor qualquer tem de se opor ao fluxo 
de corrente. 
 
A resistência de um material de seção reta transversal (figura 2.4) é dada por: 
 
Figura 2.4 – Material de seção transversal 
uniforme de área A. 
A
l
R  
onde, 
 R - resistência do material ();  - 
resistividade (.m); l - comprimento (m); A 
- área (m2). 
Cap. 02 - Elementos de circuitos 
 
2.3. RESISTORES 
Materiais que têm baixos valores de resistividade são bons condutores. Por outro lado, 
altos valores de resistividade caracterizam os bons isolantes (tabela 2.1). 
Tabela 2.1 – Resistividade de alguns materiais.Cap. 02 - Elementos de circuitos 
 
2.3. RESISTORES 
Exemplo 2.2 – Calcule a resistência de um fio de cobre de área A = 0,2 m2 e comprimento 
l = 1 m. A resistividade do cobre conforme a tabela 2.1 é  = 1,72 x 10-8 m. 
Resposta: 86 n. 
 
 
Cap. 02 - Elementos de circuitos 
 
2.3. RESISTORES 
Resistor – elemento em um circuito elétrico que modela o comportamento da 
resistência. 
 
 A figura 2.5 mostra alguns tipos de resistores e sua representação típica. 
 
(a) Resistores fixos. 
 
(b) Resistor variável 
(potenciômetro). 
 
(c) Representação típica. 
Figura 2.5 – Resistores. 
 
Cap. 02 - Elementos de circuitos 
 
2.3. RESISTORES 
Definições Básicas 
Circuito aberto – é um elemento de circuito com a resistência aproximando-se do 
infinito. 
 Matematicamente, 
0lim 
 R
v
i
R
 
 A figura 2.6 ilustra um circuito aberto. 
 
Figura 2.6 – Circuito aberto. 
Cap. 02 - Elementos de circuitos 
 
2.3. RESISTORES 
Definições Básicas 
Curto-circuito – é um elemento de circuito no qual a resistência é aproximadamente 
zero. 
 Matematicamente, 
R = 0 
 A figura 2.7 ilustra um curto-circuito. 
 
Figura 2.7 – Curto-circuito. 
Cap. 02 - Elementos de circuitos 
 
2.3. RESISTORES 
 A relação entre a corrente e a tensão em um resistor é conhecida como a Lei de Ohm, 
denominação esta dada em homenagem ao físico alemão Georg Simon Ohm (1784-1854) 
que a determinou experimentalmente. 
 
Lei de Ohm - A tensão em um resistor é diretamente proporcional à corrente que flui 
através do resistor. 
 Matematicamente, 
iv Riv  
i
v
R  
onde, 
v - tensão sobre o resistor (V); i - corrente que atravessa o resistor (A); R - resistência 
(V/A  ). 
 
O inverso da resistência é a condutância G (S – siemens). 
G
R

1
Cap. 02 - Elementos de circuitos 
 
2.3. RESISTORES 
Nem todos os resistores obedecem a Lei de Ohm (resistor não linear). 
 
 
(a) Resistor não linear. 
 
(b) Resistor linear  ôhmico. 
Figura 2.8 – Características i-v. 
Cap. 02 - Elementos de circuitos 
 
2.3. RESISTORES 
Exemplo 2.3 – Um aquecedor elétrico de água drena 10 A em 220 V. Determine sua 
resistência. 
Resposta: 22 . 
 
Exemplo 2.4 – No circuito mostrado na figura 2.9, calcule a corrente i, a condutância G e 
a potência P absolvida pelo resistor. 
 
Figura 2.9 – Exemplo 2.4. 
Resposta: 6 mA; 0,2 mS; 180 mW. 
Cap. 02 - Elementos de circuitos 
 
2.3. RESISTORES 
Exemplo 2.5 – Uma fonte de corrente e um resistor estão conectados em série no circuito 
mostrado na figura 2.10. Elementos conectados em série têm a mesma corrente, então if = i 
neste circuito. Suponha que if = 3 mA e v = 24 V. Calcule a resistência R e a potência 
absorvida pelo resistor. 
 
Figura 2.10 – Exemplo 2.5. 
Resposta: 8 k; 72 mW. 
 
Cap. 02 - Elementos de circuitos 
 
2.3. RESISTORES 
Exemplo 2.6 – Uma fonte de tensão e dois resistores estão conectados em paralelo no 
circuito mostrado na figura 2.11. Elementos conectados em paralelo têm a mesma tensão, 
então v1 = v2 = vf neste circuito. Suponha que vf = 150 V, R1 = 50  e R2 = 25 . Calcule a 
corrente em cada resistor e a potência absorvida por cada resistor. 
 
 
Figura 2.11 – Exemplo 2.6. 
Resposta: i1 = 3 A; i2 =  6 A; PR1 = 450 W; PR2 = 900 W. 
 
Cap. 02 - Elementos de circuitos 
 
2.4. FONTES (INDEPENDENTES E DEPENDENTES) 
 Alguns dispositivos são construídos para fornecer energia ao circuito. A estes 
dispositivos dá-se o nome de fonte, a qual pode ser de dois tipos, a saber: fonte de tensão e 
fonte de corrente. 
 
Fonte de tensão ideal – fornece uma tensão especifica ao circuito  produz a corrente 
necessária para manter a tensão em seus terminais (figura 2.12a). 
 
 
(a) Representação de uma fonte de tensão 
ideal. 
 
(b) Representação de uma fonte de tensão 
real (v reduz). 
Figura 2.12 – Fontes de tensão. 
Cap. 02 - Elementos de circuitos 
 
2.4. FONTES (INDEPENDENTES E DEPENDENTES) 
Fonte de corrente ideal – fornece uma determinada corrente ao circuito  produz a 
tensão necessária para manter a corrente desejada (figura 2.13a). 
 
 
(a) Representação de uma fonte de corrente 
ideal. 
 
(b) Representação de uma fonte de corrente 
real (i reduz). 
Figura 2.13 – Fontes de corrente. 
 
 
No transcorrer da disciplina, salvo quando mencionado o contrário, as fontes de 
tensão e de corrente serão consideradas ideais. 
 
Cap. 02 - Elementos de circuitos 
 
2.4. FONTES (INDEPENDENTES E DEPENDENTES) 
Fonte Independente – elemento ativo que fornece tensão ou corrente completamente 
independente das outras variáveis do circuito. 
A figura 2.14 mostra as representações típicas de uma fonte de tensão independente. 
 
 
(a) c.a. ou c.c. 
 
(b) c.c. 
Figura 2.14 – Representações de uma fonte de tensão independente. 
 
Cap. 02 - Elementos de circuitos 
 
2.4. FONTES (INDEPENDENTES E DEPENDENTES) 
A figura 2.15 mostra a representação típica de uma fonte de corrente independente. 
 
Figura 2.15 – Representação de uma fonte de corrente independente (c.a. ou c.c.). 
Cap. 02 - Elementos de circuitos 
 
2.4. FONTES (INDEPENDENTES E DEPENDENTES) 
Fonte Dependente – elemento ativo no qual a grandeza fornecida é controlada por 
outra tensão ou corrente de algum outro elemento do circuito. 
 
Existem quatro possíveis tipos de fontes dependentes (tabela 2.2): 
Tabela 2.2 – Fontes dependentes. 
Descrição Símbolo 
 
 
 
 
 
 
 
Cap. 02 - Elementos de circuitos 
 
2.4. FONTES (INDEPENDENTES E DEPENDENTES) 
 
Tabela 2.2 – Fontes dependentes (continuação). 
Descrição Símbolo 
 
 
 
 
 
 
 
Cap. 02 - Elementos de circuitos 
 
2.4. FONTES (INDEPENDENTES E DEPENDENTES) 
As fontes dependentes ou controladas são úteis na modelagem de elementos 
eletrônicos como transistores, amplificadores operacionais e circuitos integrados. 
A figura 2.16 ilustra a modelagem supracitada de um transistor e de um amplificador 
transistorizado. 
 
(a) Transistor. 
(b) Um modelo para o transistor. 
 
(c) Amplificador transistorizado. 
 
(d) Um modelo para o amplificador. 
Figura 2.16 – Modelagem de elementos através de fontes controladas. 
Cap. 02 - Elementos de circuitos 
 
2.4. FONTES (INDEPENDENTES E DEPENDENTES) 
Exemplo 2.7 – Uma fonte de corrente e uma fonte de tensão estão conectadas em paralelo 
com um resistor, como mostrado na figura 2.17. Todos os elementos conectados em 
paralelo têm a mesma tensão, vf, neste circuito. Suponha que vf = 15 V, if = 1 A, e R = 5 . 
(a) Calcule a corrente i no resistor e a potência absorvida pelo resistor. 
(b) Altere a corrente da fonte de corrente para if = 5 A e recalcule a corrente, i, no resistor 
e a potência absorvida pelo resistor. 
 
Figura 2.17 – Exemplo 2.7. 
Resposta: Tanto para if = 1 A quanto para if = 5 A, i = 3 A e o resistor absorve 45 W. 
 
Cap. 02 - Elementos de circuitos 
 
2.4. FONTES (INDEPENDENTES E DEPENDENTES) 
Exemplo 2.8 – Uma fonte de corrente e uma fonte de tensão estão conectadas em série 
com um resistor, como mostrado na figura 2.18. Todos os elementos conectados em série 
têm a mesma corrente, if, neste circuito. Suponha que vf = 10 V, if = 2 A, e R = 5 . 
(a) Calcule a tensão v sobre o resistor e a potência absorvida pelo resistor. 
(b) Altere a tensão da fonte de tensão para vf = 5 V e recalcule a tensão, v, sobre o resistor 
e a potência absorvida pelo resistor. 
 
Figura 2.18 – Exemplo 2.8. 
Resposta: Tanto para vf = 10 V quanto para vf = 5 V, v = 10 V e o resistorabsorve 20 W. 
Cap. 02 - Elementos de circuitos 
 
2.4. FONTES (INDEPENDENTES E DEPENDENTES) 
Exemplo 2.9 – O amperímetro no circuito mostrado na figura 2.19 indica que ia = 2 A, e o 
voltímetro indica que vb = 8 V. Determine o valor de r, o ganho da FTCC. 
 
Figura 2.19 – Exemplo 2.9. 
 
Resposta: 4 V/A. 
 
Cap. 02 - Elementos de circuitos 
 
2.4. FONTES (INDEPENDENTES E DEPENDENTES) 
Exemplo 2.10 – O amperímetro no circuito mostrado na figura 2.20 indica que ia = 2 A, e 
o voltímetro indica que vb = 8 V. Determine o valor de g, o ganho da FCCT. 
 
Figura 2.20 – Exemplo 2.10. 
 
Resposta: 0,25 A/V. 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ 
INSTITUTO DE TECNOLOGIA 
FACULDADE DE ENGENHARIAS ELÉTRICA E BIOMÉDICA 
 
Notas de Aulas 
CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
Cap. 03 - Circuitos resistivos 
 
Prof. Claudomiro Fábio de Oliveira Barbosa 
cfob@ufpa.br. 
 
 
 
Belém – Pará 
Cap. 03 - Circuitos resistivos 
 
3.1. LEIS DE KIRCHHOFF 
Definições Básicas 
 
Nó – um ponto de ligação entre dois ou mais ramos. 
 
Ramo – representação de um único elemento conectado entre dois nós. 
 
Caminho fechado – caminho formado por um nó de partida, passando por outros nós 
uma única vez e retornando ao nó de partida. 
 
Malha – caminho fechado sem elementos no seu interior. 
Cap. 03 - Circuitos resistivos 
 
3.1. LEIS DE KIRCHHOFF 
Definições Básicas 
 A figura 3.1 exemplifica: nós, ramos, caminho fechado e malha. 
 
Figura 3.1 – Nós; ramos; caminho fechado e malha. 
Nós: a, b, c. Ramos: a-b (1x),b-c (3x) e a-c (1x). 
Caminhos fechados: a-b1-b2-b3-c4-c3-c2-c1-a; a-b1-b2-c3-c2-c1-a; b1-b2-b3-c4-c3-c2-b1; 
 a-b1-c2-c1-a (malha); b1-b2-c3-c2-b1 (malha); b2-b3-c4-c3-b2 (malha) 
Cap. 03 - Circuitos resistivos 
 
3.1. LEIS DE KIRCHHOFF 
Definições Básicas 
 
Ligação série – dois ou mais componentes estão ligados em série quando por eles 
circula a mesma corrente. 
 
Ligação paralelo – dois ou mais componentes estão ligados em paralelo quando aos 
seus terminais está aplicada a mesma tensão. 
 A figura 3.2 mostra os tipos de ligação. 
 
Figura 3.2 – Ligações série e paralelo. 
Cap. 03 - Circuitos resistivos 
 
3.1. LEIS DE KIRCHHOFF 
Enunciado das Leis 
 
Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC) – a soma algébrica das correntes que chegam 
a um nó é nula. 
 
Matematicamente, 



N
n
ni
1
0
 
 
 
 
 
Considerando a corrente que chega positiva 
e que sai negativa: i1, i3 e i4 são positivas; i2 
e i5 são negativas (figura 3.3). 
 
 
+ i1 + i3 + i4 – i2 – i5 = 0 
i1 + i3 + i4 = i2 + i5 
 
Figura 3.3 – Correntes em um nó. 
Cap. 03 - Circuitos resistivos 
 
3.1. LEIS DE KIRCHHOFF 
Enunciado das Leis 
 
Lei de Kirchhoff das Tensões (LKT) – a soma algébrica das tensões ao longo de um 
caminho fechado qualquer é nula. 
 
Matematicamente, 
 



M
m
mv
1
0 
 
 
 
 
 
– v + v1 + v2 = 0 
 
Figura 3.4 – Tensões em um circuito. 
Cap. 03 - Circuitos resistivos 
 
3.1. LEIS DE KIRCHHOFF 
Restrições das Leis 
As leis de Kirchhoff se aplicam a qualquer circuito elétrico. Entretanto, o mesmo 
precisa ser constituído de elementos concentrados. 
 
 Entende-se por elementos concentrados o seu pequeno tamanho quando comparado 
com o comprimento de onda da frequência de operação. 
 
Pequenas frequências  Leis de Kirchhoff 
 
Grandes frequências  Equações de Maxwell (Leis gerais do Eletromagnetismo) 
Cap. 03 - Circuitos resistivos 
 
3.1. LEIS DE KIRCHHOFF 
Exemplo 3.1 – Identifique os caminhos fechados e os nós do circuito mostrado na figura 
3.5. 
 
Figura 3.5 – Exemplo 3.1. 
Resposta: a-b-c-d-e-f-a; a-b-e-f-a; b-c-d-e-b; a,b,c, d = e = f. 
 
 
Cap. 03 - Circuitos resistivos 
 
3.1. LEIS DE KIRCHHOFF 
Exemplo 3.2 – Determine o valor de v1, v2, v3 e v4 no circuito da figura 3.6. 
 
Figura 3.6 – Exemplo 3.2. 
Resposta:  4 V;  6 V; 4 V;  2 V. 
Cap. 03 - Circuitos resistivos 
 
3.1. LEIS DE KIRCHHOFF 
Exemplo 3.3 – Para o circuito mostrado na figura 3.7, determine as tensões v1 e v2. 
 
Figura 3.7 – Exemplo 3.3. 
Resposta: v1 = 8 V e v2 = 12 V. 
Cap. 03 - Circuitos resistivos 
 
3.1. LEIS DE KIRCHHOFF 
Exemplo 3.4 – Use a LKC para obter as correntes i1, i2 e i3 do circuito mostrado na figura 
3.8. 
 
Figura 3.8 – Exemplo 3.4. 
Resposta:  4 mA; 1 mA;  3 mA. 
 
 
Cap. 03 - Circuitos resistivos 
 
3.1. LEIS DE KIRCHHOFF 
Exemplo 3.5 – Determine a corrente ix e a tensão vx do circuito da figura 3.9. 
 
Figura 3.9 – Exemplo 3.5. 
Resposta: ix = 6 A; vx = 24 V. 
Cap. 03 - Circuitos resistivos 
 
3.1. LEIS DE KIRCHHOFF 
Exemplo 3.6 – Determine a potência absorvida por cada um dos resistores no circuito 
mostrado na figura 3.10. 
 
Figura 3.10 – Exemplo 3.6. 
Resposta: Resistor de 4  absorve 100 W, resistor de 6  absorve 24 W, resistor de 8  absorve 72 W. 
 
Cap. 03 - Circuitos resistivos 
 
3.1. LEIS DE KIRCHHOFF 
Exemplo 3.7 – Determine I e Vab do circuito da figura 3.11. 
 
Figura 3.11 – Exemplo 3.7. 
Resposta: 4 A; 28 V. 
Cap. 03 - Circuitos resistivos 
 
3.1. LEIS DE KIRCHHOFF 
Exemplo 3.8 – Determine as correntes e as tensões do circuito mostrado na figura 3.12. 
 
Figura 3.12 – Exemplo 3.8. 
Resposta: i1 = 3 A; i2 = 2 A; i3 = 1 A; v1 = 24; v2 = 6 V; v3 = 6 V. 
Cap. 03 - Circuitos resistivos 
 
3.2. RESISTORES EM SÉRIE E DIVISÃO DE TENSÃO 
 Considere o circuito mostrado na figura 3.13. 
 
Figura 3.13 – Circuito com um único caminho fechado e dois resistores em série. 
 
Aplicando-se a Lei de Ohm em cada resistor, tem-se: 
iRv
11

, 
iRv
22

 (3.1) 
 
Aplicando-se a LKT no sentido horário, 
0
21
 vvv
 (3.2)
Cap. 03 - Circuitos resistivos 
 
3.2. RESISTORES EM SÉRIE E DIVISÃO DE TENSÃO 
 Combinando as equações 3.1 e 3.2, 
iRiRv
vvv
21
21

 
 iRRv
21

 (3.3) 
 
A equação 3.3 pode ser reescrita como, 
iRv
eq

 (3.4) 
ou 
eq
R
v
i  (3.5) 
 
onde 
21
RRR
eq

 (3.6) 
eq
R
 - Resistência equivalente.
Cap. 03 - Circuitos resistivos 
 
3.2. RESISTORES EM SÉRIE E DIVISÃO DE TENSÃO 
A figura 3.14 mostra o circuito equivalente obtido. 
 
 
Figura 3.14 – Circuito equivalente (resistores em série). 
 
Resistência equivalente de qualquer número de resistores conectados em série é a 
soma das resistências individuais. 
Generalizando, para N resistores em série, tem-se 



N
n
NNeq
RRRRR
1
21
...
 (3.7) 
Cap. 03 - Circuitos resistivos 
 
3.2. RESISTORES EM SÉRIE E DIVISÃO DE TENSÃO 
 Para determinar a tensão em cada resistor do circuito em estudo, combinam-se as 
equações 
eq
R
v
i  , iRv 11  e iRv 22  , então 
 
eq
R
v
RviRv
1111
 
v
RR
R
v 







21
1
1
 
eq
R
v
RviRv
2222
 
v
RR
R
v 







21
2
2
 
 
 O valor da tensão é dividido entre os dois resistores em uma proporção direta com o 
valor da resistência (quanto maior a resistência  maior a queda de tensão). Isto é 
chamado de princípio da divisão de tensão. 
Cap. 03 - Circuitos resistivos 
 
3.2. RESISTORES EM SÉRIE E DIVISÃO DE TENSÃO 
 Em geral, se um divisor de tensão possuir N resistores em série com uma fonte de 
tensãov, o n-ésimo resistor irá possuir uma queda de tensão dada por 
 
v
RRR
R
v
n
n
n 







...
21
 (3.8) 
 
Cap. 03 - Circuitos resistivos 
 
3.3. RESISTORES EM PARALELO E DIVISÃO DE CORRENTE 
Considere o circuito mostrado na figura 3.15. 
 
Figura 3.15 – Circuito com dois resistores em paralelo. 
Aplicando-se a Lei de Ohm, 
2211
iRiRv 
 ou 
1
1
R
v
i  , 
2
2
R
v
i  (3.9) 
 Aplicando-se a LKC ao nó a, 
21
iii 
 (3.10)
Cap. 03 - Circuitos resistivos 
 
3.3. RESISTORES EM PARALELO E DIVISÃO DE CORRENTE 
 Combinando as equações 
1
1
R
v
i  , 
2
2
R
v
i  e 21 iii  , tem-se 
21
iii 
 
v
RR
i
R
v
R
v
i 






2121
11 
v
R
i
eq









1 (3.11) 
 
eq
R
 é a resistência equivalente dos resistores, 
21
111
RRR
eq
 (3.12) 
ou 
21
21
21
21
1
RR
RR
R
RR
RR
R
eq
eq



 (3.13) 
Cap. 03 - Circuitos resistivos 
 
3.3. RESISTORES EM PARALELO E DIVISÃO DE CORRENTE 
A figura 3.16 mostra o circuito equivalente obtido. 
 
 
Figura 3.16 – Circuito equivalente (resistores em paralelo). 
 
Resistência equivalente a dois resistores em paralelo é igual ao produto das suas 
resistências dividido pela soma das resistências. 
Cap. 03 - Circuitos resistivos 
 
3.3. RESISTORES EM PARALELO E DIVISÃO DE CORRENTE 
Pode-se estender o resultado da equação 
21
111
RRR
eq
 para o caso geral de um 
circuito com N resistores em paralelo (equação 3.14). 
Neq
RRRR
1
...
111
21
 (3.14) 
 
Para R1 = R2 = ... = RN = R 
N
R
R
eq
 
 
Geralmente, em circuitos com resistores em paralelo, é mais conveniente trabalhar 
com a condutância no lugar da resistência, uma vez que: 
Neq
Neq
GGGG
RRRR
 ...
1
...
111
21
21
 (3.15) 
 
Cap. 03 - Circuitos resistivos 
 
3.3. RESISTORES EM PARALELO E DIVISÃO DE CORRENTE 
 Para determinar a corrente em cada resistor no circuito em estudo, utiliza-se a Lei de 
Ohm na resistência equivalente: 
 
iRv
eq

 
i
RR
RR
v 







21
21 (3.16) 
 
Combinando as equações 
1
1
R
v
i  , 
2
2
R
v
i  e i
RR
RR
v 







21
21 , 
i
RR
RR
R
i
R
v
i 













21
21
1
1
1
1
1 
 
i
RR
RR
R
i
R
v
i 













21
21
2
2
2
2
1 
 
i
RR
R
i 







21
2
1
 i
RR
R
i 







21
1
2
 (3.17) 
Cap. 03 - Circuitos resistivos 
 
3.3. RESISTORES EM PARALELO E DIVISÃO DE CORRENTE 
 O valor da corrente é dividido entre os dois resistores em uma proporção inversa às 
suas resistências (quanto maior a resistência  menor a corrente). Isto é chamado de 
princípio da divisão de corrente. 
 
Dividindo tanto o numerador quanto o denominador por 
21
RR
 as equações 
i
RR
R
i 







21
2
1
 e i
RR
R
i 







21
1
2
, tornam-se, 
i
GG
G
i 







21
1
1
 
i
GG
G
i 







21
2
2
 
 Em geral, se um divisor de corrente possui N condutores em paralelo com uma 
fonte de corrente i, o n-ésimo condutor (GN) terá a corrente dada por, 
i
GGG
G
i
N
N
N 







...
21
 (3.18) 
Cap. 03 - Circuitos resistivos 
 
3.4. ASSOCIAÇÕES DE RESISTORES (SÉRIE/PARALELO) 
Exemplo 3.9 – Determine a resistência equivalente (Req) para o circuito da figura 3.17. 
 
Figura 3.17 – Exemplo 3.9. 
Resposta: 14,4 . 
 
Cap. 03 - Circuitos resistivos 
 
3.4. ASSOCIAÇÕES DE RESISTORES (SÉRIE/PARALELO) 
Exemplo 3.10 – Determine Rab para o circuito da figura 3.18. 
 
Figura 3.18 – Exemplo 3.10. 
Resposta: 11 . 
Cap. 03 - Circuitos resistivos 
 
3.4. ASSOCIAÇÕES DE RESISTORES (SÉRIE/PARALELO) 
Exemplo 3.11 – Determine v1 e v2 no circuito mostrado na figura 3.19. Calcule, também, 
i1 e i2 e a potência dissipada nos resistores de 12  e 40 . 
 
Figura 3.19 – Exemplo 3.11. 
Resposta: v1 = 5 V; i1 = 416,67 mA; p1 =2,08 W; v2 = 10 V; i2 = 250 mA; p2 =2,5 W. 
 
Cap. 03 - Circuitos resistivos 
 
3.5. TRANSFORMAÇÃO ESTRELA-TRIÂNGULO 
Em alguns casos, os resistores em um circuito não estão nem em série nem em 
paralelo. A figura 3.20 exemplifica tal situação (circuito em ponte). 
 
Figura 3.20 – Circuito em ponte. 
 
Como combinar os resistores R1 a R6? 
Muitos circuitos desse tipo (figura 3.20) podem ser simplificados utilizando circuitos 
equivalentes de três terminais. 
Cap. 03 - Circuitos resistivos 
 
3.5. TRANSFORMAÇÃO ESTRELA-TRIÂNGULO 
 A figura 3.21 mostra os circuitos de três terminais supracitados. 
 
(a) Duas formas para o mesmo circuito Y. 
 
(b) Duas formas para o mesmo circuito . 
Figura 3.21 – Circuitos de três terminais. 
Estes tipos de circuitos são muitos utilizados em circuitos trifásicos e outros. 
Cap. 03 - Circuitos resistivos 
 
3.5. TRANSFORMAÇÃO ESTRELA-TRIÂNGULO 
Conversão de Triângulo para Estrela 
Cada resistor no circuito Y é o produto dos resistores dos dois ramos adjacentes do  
dividido pela soma dos três resistores do . 
 
 
Figura 3.22 – Sobreposição dos circuitos Y 
e  para auxiliar na transformação. 
cba
ba
cba
ac
cba
cb
RRR
RR
R
RRR
RR
R
RRR
RR
R






3
2
1
 
Cap. 03 - Circuitos resistivos 
 
3.5. TRANSFORMAÇÃO ESTRELA-TRIÂNGULO 
Conversão de Estrela para Triângulo 
Cada resistor no circuito  é a soma de todos os possíveis produtos dos resistores de 
Y dois a dois, dividido pelo resistor oposto do circuito Y. 
 
 
Figura 3.22 – Sobreposição dos circuitos Y 
e  para auxiliar na transformação. 
3
133221
2
133221
1
133221
R
RRRRRR
R
R
RRRRRR
R
R
RRRRRR
R
c
b
a






 
 
Cap. 03 - Circuitos resistivos 
 
3.5. TRANSFORMAÇÃO ESTRELA-TRIÂNGULO 
Os circuitos Y e  são ditos balanceados quando 
Y
RRRR 
321
 

 RRRR
cba
 
 
Neste caso, 
3

R
R
Y
 ou 
Y
RR 3

 (3.19) 
Cap. 03 - Circuitos resistivos 
 
3.5. TRANSFORMAÇÃO ESTRELA-TRIÂNGULO 
Exemplo 3.12 – Transforme o circuito estrela da figura 3.23 para um circuito delta. 
 
Figura 3.23 – Exemplo 3.12 
Resposta: 140 ; 70 ; 35 . 
Cap. 03 - Circuitos resistivos 
 
3.5. TRANSFORMAÇÃO ESTRELA-TRIÂNGULO 
Exemplo 3.13 – Para o circuito em ponte da figura 3.24, determine Rab e i. 
 
Figura 3.24 – Exemplo 3.13 
Resposta: 40 ; 2,5 A. 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ 
INSTITUTO DE TECNOLOGIA 
FACULDADE DE ENGENHARIAS ELÉTRICA E BIOMÉDICA 
 
Notas de Aulas 
CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
Cap. 04 - Métodos de análise de circuitos resistivos 
 
Prof. Claudomiro Fábio de Oliveira Barbosa 
cfob@ufpa.br. 
 
 
 
Belém – Pará 
 
Cap. 04 - Métodos de análise de circuitos resistivos 
 
4.1. ANÁLISE NODAL 
Técnica baseada nas Leis de Ohm e Kirchhoff e utilizadacomo poderosa ferramenta na 
análise de circuitos. 
Nesta análise a preocupação é encontrar as tensões dos nós. 
Neste contexto, e considerando a priori que o circuito a ser analisado não possui fontes 
de tensão, para determinar as tensões dos nós do circuito, aplicam-se os seguintes passos: 
 
1 – Selecione um nó como referência (nó-base, terra – potencial 0). Designe as tensões v1, 
v2,..., vn-1 para os n –1 nós restantes. As tensões sempre dizem respeito ao nó de referência. 
2 – Aplique a LKC para cada um dos n – 1 nós (excluindo o nó de referência). Utilize a Lei 
de Ohm para expressar a corrente do ramo em termos de tensão do nó. 
3 – Resolva o conjunto de equações para obter as tensões desconhecidas dos nós. 
 
 
Cap. 04 - Métodos de análise de circuitos resistivos 
 
4.1. ANÁLISE NODAL 
 Considerando o circuito da figura 4.1 e seguindo os passos supracitados, tem-se: 
1 – Seleção do nó de referência (figura 4.2); 
2 – Aplicação da LKC (figura 4.2); 
Nó 1  
2121
iiII 
 
Nó 2  
322
iiI 
 
 Através da Lei de Ohm 
;
0
1
1
1
R
v
i
R
vv
i baixoalto



 
3
2
3
2
21
2
0
;
R
v
i
R
vv
i



 
 
Figura 4.1 – Circuito para análise nodal. 
 
Figura 4.2 – Sentido das correntes indicado. 
Cap. 04 - Métodos de análise de circuitos resistivos 
 
4.1. ANÁLISE NODAL 
3 – Resolução das equações. 
2121
iiII 
 
212
2
1
21
2
2
1
21
21
2
21
1
1
21
111
111
0
IIv
R
v
RR
v
R
v
RR
II
R
vv
R
v
II






























 
322
iiI 
 
3
2
2
21
2
0
R
v
R
vv
I



 
2
32
1
2
2
111
v
RR
v
R
I 











 
22
32
1
2
111
Iv
RR
v
R












 
 
Em forma matricial 





 












































2
21
2
1
322
221
111
111
I
II
v
v
RRR
RRR
 
 
 
Há inúmeros métodos de resolução do 
conjunto de equações (substituição, 
eliminação, regra de Cramer, inversão de 
matriz) e softwares adequados (MatLab, 
Mathcad, entre outros). 
Cap. 04 - Métodos de análise de circuitos resistivos 
 
4.1. ANÁLISE NODAL 
Exemplo 4.1 – Obtenha as tensões nodais do circuito da figura 4.3. 
 
Figura 4.3 – Exemplo 4.1. 
Resposta: v1 =  2 V; v2 =  14 V. 
Cap. 04 - Métodos de análise de circuitos resistivos 
 
4.1. ANÁLISE NODAL 
Exemplo 4.2 – Usando a análise nodal, ache va para o circuito da figura 4.4. 
 
Figura 4.4 – Exemplo 4.2. 
Resposta: va = 10 V. 
 
 
Cap. 04 - Métodos de análise de circuitos resistivos 
 
4.1. ANÁLISE NODAL 
Análise Nodal com Fontes de Tensão 
Há duas possibilidades das fontes de tensão afetar a análise nodal. A figura 4.5 ilustra 
estas possibilidades. 
1 – Caso a fonte de tensão estiver 
conectada entre um nó e o nó de 
referência, a tensão do nó será ajustada 
para a tensão da fonte, respeitando a 
polaridade. 
v1 = 10 V (4.1) 
 
 
 
Figura 4.5 – Circuito com supernó. 
Cap. 04 - Métodos de análise de circuitos resistivos 
 
4.1. ANÁLISE NODAL 
Análise Nodal com Fontes de Tensão 
2 – Caso a fonte de tensão (dependente ou 
independente) estiver entre dois nós que não 
sejam de referência, os dois nós formam um 
supernó. Logo, para determinar as tensões 
dos nós aplique as LKC e LKT. 
 
- LKC 
3241
iiii 
 
6
0
8
0
42
323121






 vvvvvv (4.2) 
 
- LKT (figura 4.6) 
05
32
 vv
 
5
32
 vv
 (4.3) 
 
 
Figura 4.5 – Circuito com supernó. 
 
Figura 4.6 – Aplicação da LKT ao supernó. 
Cap. 04 - Métodos de análise de circuitos resistivos 
 
4.1. ANÁLISE NODAL 
Análise Nodal com Fontes de Tensão 
 Resolvendo as equações 4.1 a 4.3, encontram-se as tensões nodais. 
 
Propriedades: 
1 – A fonte de tensão na região de um supernó fornece uma equação de restrição necessária 
para encontrar as tensões dos nós; 
2 – Um supernó não tem nenhuma tensão própria; 
3 – Um supernó necessita da aplicação da LKC e LKT. 
Cap. 04 - Métodos de análise de circuitos resistivos 
 
4.1. ANÁLISE NODAL 
Análise Nodal com Fontes de Tensão 
Exemplo 4.3 – Ache as tensões dos nós para o circuito da figura 4.7. 
 
Figura 4.7 – Exemplo 4.3. 
Resposta: va = 40 V; vb = 30 V. 
Cap. 04 - Métodos de análise de circuitos resistivos 
 
4.1. ANÁLISE NODAL 
Análise Nodal com Fontes de Tensão 
Exemplo 4.4 – Calcule as tensões nodais do circuito da figura 4.8. 
 
Figura 4.8 – Exemplo 4.4. 
Resposta: v1 = 26,667 V; v2 = 6,667 V; v3 = 173,333 V; v4 =  46,667 V. 
Cap. 04 - Métodos de análise de circuitos resistivos 
 
4.2. ANÁLISE DE MALHA 
Técnica baseada nas Leis de Ohm e Kirchhoff e também utilizada como poderosa 
ferramenta na análise de circuitos. 
Nesta análise a preocupação é encontrar as correntes de malha. 
Diferentemente da análise nodal, a análise de malha somente se aplica a circuitos 
planares, isto é, a circuitos que podem ser desenhados em um plano sem ramos cruzando-se 
(figura 4.9). 
 
(a) Circuito planar com ramos cruzando. 
 
(b) Circuito redesenhado sem ramos 
cruzando. 
Figura 4.9 – Circuitos planar e não-planar. 
Cap. 04 - Métodos de análise de circuitos resistivos 
 
4.2. ANÁLISE DE MALHA 
 
(c) Circuito não-planar. 
Figura 4.9 – Circuitos planar e não-planar (continuação). 
Cap. 04 - Métodos de análise de circuitos resistivos 
 
4.2. ANÁLISE DE MALHA 
 
Considerando a priori que o circuito a ser analisado não possui fontes de corrente, para 
determinar as correntes de malha do circuito, aplicam-se os seguintes passos: 
 
1 – Assinale as correntes de malha i1, i2,..., in para as n malhas. 
2 – Aplique a LKT para cada uma das n malhas. Utilize a Lei de Ohm para expressar as 
tensões em termos das correntes de malha. 
3 – Resolva as n equações simultâneas resultantes para obter as correntes de malha. 
Cap. 04 - Métodos de análise de circuitos resistivos 
 
4.2. ANÁLISE DE MALHA 
Para ilustrar a metodologia apresentada, considere o circuito da figura 4.10. 
 
Figura 4.10 – Circuito com duas malhas. 
 
1 – Indicação das correntes de malha i1 e i2; 
2 – Aplicação da LKT a cada malha e a Lei de Ohm em cada elemento; 
Malha 1 
0)(
213111
 iiRiRV
 
 
123131
ViRiRR 
 
Malha 2 
0)(
123222
 iiRViR
 
 
223213
ViRRiR 
 
onde 
2132132211
;;; iiIiiIiIiI 
Cap. 04 - Métodos de análise de circuitos resistivos 
 
4.2. ANÁLISE DE MALHA 
3 – Resolução das equações. 
Em forma matricial 
   
    



















2
1
2
1
323
331
V
V
i
i
RRR
RRR 
Há inúmeros métodos de resolução do 
conjunto de equações (substituição, 
eliminação, regra de Cramer, inversão de 
matriz) e softwares adequados (MatLab, 
Mathcad, entre outros). 
 
Cap. 04 - Métodos de análise de circuitos resistivos 
 
4.2. ANÁLISE DE MALHA 
Exemplo 4.5 – Calcule as correntes de malha i1 e i2 no circuito da figura 4.11.Figura 4.11 – Exemplo 4.5. 
Resposta: i1 = 2/3 A; i2 = 0 A. 
 
Cap. 04 - Métodos de análise de circuitos resistivos 
 
4.2. ANÁLISE DE MALHA 
Exemplo 4.6 – Usando a análise de malha, calcular io no circuito da figura 4.12. 
 
Figura 4.12 – Exemplo 4.6. 
Resposta:  5 A. 
 
Cap. 04 - Métodos de análise de circuitos resistivos 
 
4.2. ANÁLISE DE MALHA 
Análise de Malha com Fontes de Corrente 
Há duas possibilidades das fontes de corrente afetar a análise de malha. A figura 4.13 
ilustra estas possibilidades. 
1 – Caso a fonte de corrente exista em 
apenas uma malha, a corrente desta malha 
será ajustada para o valor da fonte de 
corrente, respeitando o sentido de referência 
adotado. 
 Como exemplo, considere a figura 4.13: 
Malha 1 
  06410
211
 iii
 
Malha 2 
5
2
i
 A 
Resolvendo 
   2056410
111
 iii
 A 
 
Figura 4.13 – Circuito com uma fonte de 
corrente. 
Cap. 04 - Métodos de análise de circuitos resistivos 
 
4.2. ANÁLISE DE MALHA 
Análise de Malha com Fontes de Corrente 
2 – Caso a fonte de corrente (dependente ou 
independente) exista entre duas malhas, 
cria-se uma supermalha (figura 4.14a), 
excluindo-se a fonte de corrente e os 
elementos associados em série com ela. 
 Aplicando a LKT à supermalha (figura 
4.10b), tem-se: 
0410620
221
 iii
 
20146
21
 ii
 (4.4) 
 Aplicando a LKC no nó onde as duas 
malhas se interceptam, 
6
12
 ii
 (4.5) 
 Combinado as equações 4.4 e 4.5, 
2,3
1
i
 A e 
8,2
2
i
 A. 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 4.14 – Circuito exemplo. 
Cap. 04 - Métodos de análise de circuitos resistivos 
 
4.2. ANÁLISE DE MALHA 
Análise de Malha com Fontes de Corrente 
 
Propriedades: 
1 – A fonte de corrente em uma supermalha não é totalmente ignorada, ela fornece uma 
equação de restrição necessária para encontrar as correntes de malha; 
2 – Uma supermalha não possui corrente própria; 
3 – Uma supermalha necessita da aplicação LKT e LKC. 
Cap. 04 - Métodos de análise de circuitos resistivos 
 
4.2. ANÁLISE DE MALHA 
Análise de Malha com Fontes de Corrente 
Exemplo 4.7 – Para o circuito da figura 4.15, calcule i1 a i4 utilizando a análise de malha. 
 
Figura 4.15 – Exemplo 4.7. 
Resposta: i1 =  7,5 A; i2 =  2,5 A; i3 = 3,93 A; i4 = 2,143 A. 
Cap. 04 - Métodos de análise de circuitos resistivos 
 
4.2. ANÁLISE DE MALHA 
Análise de Malha com Fontes de Corrente 
Exemplo 4.8 – Para o circuito da figura 4.16, calcule i1 a i3 utilizando a análise de malha. 
 
Figura 4.16 – Exemplo 4.8. 
Resposta: i1 = 80/21 A; i2 =  6/7 A; i3 = 15/7 A. 
Cap. 04 - Métodos de análise de circuitos resistivos 
 
4.3. ANÁLISE NODAL X ANÁLISE DE MALHA 
 
Dado um circuito, qual método de análise seria mais adequado e eficiente para seu 
estudo? 
 
A resposta deste questionamento leva em consideração dois fatores: 
 
1º. – Natureza do circuito: 
- Circuitos que contêm vários elementos em série, fontes de tensão, ou supermalhas  
análise de malha. 
- Circuitos com elementos conectados em paralelo, fontes de corrente, ou supernós,  
análise nodal é mais adequada. 
 
- Circuitos com um número de malhas maior do que nós  análise nodal. 
- Circuitos com um número de nó maior do que malhas  análise de 
malha. 
Redução de 
equações 
Cap. 04 - Métodos de análise de circuitos resistivos 
 
4.3. ANÁLISE NODAL X ANÁLISE DE MALHA 
2º. Informação desejada: 
- Se as tensões nodais são requeridas  análise nodal. 
- Se as correntes de malhas ou de um ramo são requeridas  análise de malha. 
 
O conhecimento dos dois métodos é muito importante na análise de circuitos, pois um 
pode servir na verificação dos resultados do outro, quando possível. 
 
Todavia, existem problemas que apenas um método se adequada na sua resolução, como 
por exemplo, a análise de malha é o único método a ser aplicado em circuitos com 
transistores; por outro lado, em circuitos não planares somente a análise nodal é aplicável. 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ 
INSTITUTO DE TECNOLOGIA 
FACULDADE DE ENGENHARIAS ELÉTRICA E BIOMÉDICA 
 
Notas de Aulas 
CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
Cap. 05 - Teoremas de circuitos 
 
Prof. Claudomiro Fábio de Oliveira Barbosa 
cfob@ufpa.br. 
 
 
Belém – Pará 
 
Cap. 05 - Teoremas de circuitos 
 
5.1. TRANSFORMAÇÃO DE FONTE 
 Como visto anteriormente, em um circuito com muitas fontes de tensão, é mais fácil 
utiliza a análise de malha, enquanto que em um circuito com muitas fontes de corrente, a 
análise nodal é a indicada. 
 
 Existe uma maneira (através de vários ajustes no circuito) de fazer com que todas as 
fontes sejam de um único tipo  Transformação de Fonte. 
 
Transformação de fonte – é um procedimento para transformar uma fonte de tensão, 
ou corrente, em uma fonte de corrente, ou tensão, mantendo-se as características nos 
terminais da fonte original (equivalência). 
Cap. 05 - Teoremas de circuitos 
 
5.1. TRANSFORMAÇÃO DE FONTE 
A figura 5.1 mostra os circuitos equivalentes para a transformação de fontes 
independentes. 
 
Figura 5.1 – Transformação de fontes independentes. 
 
Substitui-se uma fonte de tensão vs em série com um resistor R por uma fonte de corrente is 
em paralelo com um resistor R, ou vice-versa. 
 
Para sua validade, a transformação de fonte necessita: 
ss
Riv 
 ou 
R
v
i s
s
 
 
Cap. 05 - Teoremas de circuitos 
 
5.1. TRANSFORMAÇÃO DE FONTE 
 A transformação de fonte também pode ser aplicada a fontes dependentes (figura 5.2), 
desde que a variável dependente seja cuidadosamente analisada. 
 
 
Figura 5.2 – Transformação de fontes dependentes. 
Cap. 05 - Teoremas de circuitos 
 
5.1. TRANSFORMAÇÃO DE FONTE 
Exemplo 5.1 – Determine a transformação de fonte para os circuitos mostrados na figura 
5.3. 
 
 
Figura 5.3 – Exemplo 5.1 (resistência em ). 
Resposta: (a) Rp = Rs = 14  e if = 2 A; (b) Rp = Rs = 12  e vf = 24 V. 
Cap. 05 - Teoremas de circuitos 
 
5.1. TRANSFORMAÇÃO DE FONTE 
Exemplo 5.2 – Calcule io no circuito da figura 5.4 usando a transformação de fonte. 
 
Figura 5.4 – Exemplo 5.2. 
Resposta: 1,78 A. 
 
Cap. 05 - Teoremas de circuitos 
 
5.2. TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO 
Outra forma de analisar os circuitos com duas ou mais fontes independentes em termos 
dos valores de tensão e corrente, é através do Teorema da Superposição. 
 
Teorema da Superposição – estabelece que a tensão em um elemento, (ou a 
corrente através dele) em circuitos lineares é a soma algébrica da tensão (ou da 
corrente) do elemento devido a cada fonte independente, atuando individualmente. 
 
Para aplicação do teorema, deve-se: 
1 – Considerar uma fonte independente por vez, enquanto que as outras são desligadas: 
▪ Fontes de tensão zeradas, 0 V (curto-circuito); 
▪ Fonte de corrente zeradas, 0 A (circuito-aberto). 
2 – Deixar intactas as fontes dependentes, pois elas são controladas por variáveis do circuito.
Cap. 05 - Teoremas de circuitos 
 
5.2. TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO 
 Metodologia para aplicação do Teorema da Superposição. 
1 – Selecione uma fonte independente e desligue as demais. Calcule em seguida a saída 
(tensão ou corrente) devido à fonte selecionada através das técnicas de análise de circuitos; 
2 – Repita o item 1 para cada uma das fontes independentes; 
3 – Calcule a contribuição total através da soma algébrica das contribuições individuais de 
cada fonte. 
 
 Em alguns casosa análise de circuito usando o Teorema da Superposição pode ser mais 
trabalhosa  análise de muitos circuitos mais simples. 
 
A análise pelo teorema é baseada no princípio da linearidade, logo não se aplica ao 
efeito da potência. 
A potência absorvida em um resistor é dependente do quadrado da tensão ou corrente 
Cap. 05 - Teoremas de circuitos 
 
5.2. TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO 
Exemplo 5.3 – Calcule io no circuito da figura 5.5 usando a superposição. 
 
Figura 5.5 – Exemplo 5.3. 
Resposta:  8/17 A. 
 
Cap. 05 - Teoremas de circuitos 
 
5.3. TEOREMA DE THÉVENIN 
 Em geral, apenas um elemento em um circuito é variável (carga) e o restante é fixo. Por 
exemplo, uma típica tomada de residência (figura 5.6). 
 
Figura 5.6 – Típica tomada de uma residência. 
 
Neste caso, a cada mudança da carga, uma nova análise deve ser realizada. Procurando 
mitigar este problema, o Teorema de Thévenin substitui a parte fixa do circuito linear por 
um circuito equivalente, facilitando assim a análise. 
Cap. 05 - Teoremas de circuitos 
 
5.3. TEOREMA DE THÉVENIN 
Teorema de Thévenin – estabelece que um circuito linear de dois terminais pode ser 
substituído por um circuito equivalente constituído por uma fonte de tensão VTh em 
série com um resistor RTh. 
 
VTh – Tensão de circuito aberto (vo) nos terminais considerados; 
RTh – Resistência equivalente ou de entrada dos terminais quando as fontes 
independentes são desligadas. 
 
 
Cap. 05 - Teoremas de circuitos 
 
5.3. TEOREMA DE THÉVENIN 
A figura 5.7 mostra a determinação de VTh e RTh. 
 
Figura 5.7 – Determinando VTh e RTh. 
 
VTh = voc (tensão de circuito aberto); 
RTh = Rin 
 
Cap. 05 - Teoremas de circuitos 
 
5.3. TEOREMA DE THÉVENIN 
Para encontrar a Resistência de Thévenin, procede-se da seguinte forma: 
1 – Se o circuito não possuir fontes dependentes, desliga-se todas as fontes 
independentes e RTh = Rin. 
2 – Se o circuito possuir fonte dependentes, desligam-se todas as fontes independentes 
e, em seguida, aplica-se uma fonte de tensão vo (1 V) aos terminais a e b (figura 5.8a) e 
calcula-se a corrente resultante io  RTh = vo/io. Outra forma de encontrar RTh é através da 
aplicação de uma fonte de corrente io (1 A) nos terminais a e b (figura 5.8b) para determinar 
vo  RTh = vo/io. 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 5.8 – Determinando RTh para circuitos com fontes dependentes. 
Observação: em alguns casos RTh é negativa, o que implica no fornecimento de potência. 
Tal situação é possível na presença de fontes dependentes.
Cap. 05 - Teoremas de circuitos 
 
5.3. TEOREMA DE THÉVENIN 
Exemplo 5.4 – Usando o Teorema de Thévenin, calcule o circuito equivalente para a parte 
esquerda dos terminais do circuito da figura 5.9. Então encontre i. 
 
Figura 5.9 – Exemplo 5.4. 
Resposta: VTh = 6 V; RTh = 3 ; i = 1,5 A. 
Cap. 05 - Teoremas de circuitos 
 
5.3. TEOREMA DE THÉVENIN 
Exemplo 5.5 – Calcule o equivalente Thévenin para o circuito da figura 5.10. 
 
Figura 5.10 – Exemplo 5.5. 
Resposta: VTh = 20 V; RTh = 6 . 
 
Cap. 05 - Teoremas de circuitos 
 
5.4. TEOREMA DE NORTON 
 Este teorema é similar ao Teorema de Thévenin, sendo proposto pelo engenheiro 
americano E. L. Norton. 
 
Teorema de Norton – estabelece que um circuito linear de dois terminais pode ser 
substituído por um circuito equivalente constituído por uma fonte de corrente IN em 
paralelo com um resistor RN (figura 5.11). 
 
(a) circuito linear. 
 
(b) equivalente de Norton. 
Figura 5.11 – Circuito original e equivalente de Norton. 
 
IN – Corrente de curto-circuito através dos terminais; 
RN – Resistência equivalente ou de entrada dos terminais quando as fontes 
independentes são desligadas. 
Cap. 05 - Teoremas de circuitos 
 
5.4. TEOREMA DE NORTON 
Determinação de IN e RN: 
Para encontrar IN de Norton, determina-se a corrente de curto-circuito que flui do 
terminal a para o b (figura 5.12). 
 
Figura 5.12 – Determinação da corrente IN de Norton. 
 
Encontra-se a resistência de Norton de forma semelhante à resistência de Thévenin  
RN = Rin = RTh. 
Logo, tem-se uma relação entre os dois teoremas, 
IN = VTh/(RTh = RN) ou isc = voc/(RTh = RN) (5.1) 
A equação 5.1 é simplesmente uma transformação de fonte. Por este motivo a 
transformação de fonte é chamada de transformação Thévenin-Norton. 
Cap. 05 - Teoremas de circuitos 
 
5.4. TEOREMA DE NORTON 
Exemplo 5.6 – Encontre o equivalente de Norton para o circuito da figura 5.13. 
 
Figura 5.13 – Exemplo 5.6. 
Resposta: IN = 1 A; RN = 4 . 
Cap. 05 - Teoremas de circuitos 
 
5.5. MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA 
 
O sentimento da máxima transferência de potência é aplicado em diversas áreas. Por 
exemplo: 
 
▪ Em sistemas de energia elétrica, os quais são projetados para transferir a potência 
até a carga com a maior eficiência possível, minimizando as perdas durante a 
transmissão (redução da resistência da fonte mais a resistência da linha de 
transmissão). 
 
▪ Outra aplicação é na transmissão de sinais, como em sistemas de telecomunicações, 
onde o problema é transmitir a quantidade máxima de sinal até a carga 
(maximização da potência). 
 
Cap. 05 - Teoremas de circuitos 
 
5.5. MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA 
 
Muitas aplicações de circuitos requerem que a potência máxima disponível em uma 
fonte seja transferida para uma determinar carga RL (figura 5.14a). 
 O equivalente de Thévenin é útil para se determinar a máxima potência que um circuito 
linear pode entregar a uma carga (figura 5.14b). 
 
 
(a) Circuito conectado a uma carga. 
 
 
 
(b) Circuito equivalente de Thévenin utilizado para 
máxima transferência de potência. 
Figura 5.14 – Circuito linear. 
Cap. 05 - Teoremas de circuitos 
 
5.5. MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA 
 Para a máxima transferência de potência, considere o circuito da figura 5.15. 
 
Figura 5.15 – Circuito para máxima 
transferência de potência. 
 A potência absorvida pela carga, é: 
L
2Rip 
 
 
 A corrente i é dada por: 
LTh
Th
RR
V
i

 
 
 Então, 
L
2
LTh
Th R
RR
V
p 






 (5.2) 
Cap. 05 - Teoremas de circuitos 
 
5.5. MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA 
 Da equação 5.2, pode-se trançar o seguinte gráfico mostrado na figura 5.16. 
L
2
LTh
Th R
RR
V
p 






 (5.2) 
 
Figura 5.16 – Potência entregue a carga em 
função de RL. 
 
Máxima Transferência de Potência – ocorre quando resistência da carga é igual à 
resistência de Thévenin vista pela carga (RL = RTh). 
Cap. 05 - Teoremas de circuitos 
 
5.5. MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA 
Matematicamente, 
0
L

dR
dp 
0
L
2
LTh
Th
L
















R
RR
V
dR
d
 
   
 
0
2
4
LTh
LThL
2
LTh2
Th








RR
RRRRR
V 
0222
2
LThL
2
LLTh
2
Th
 RRRRRRR
 
0
2
L
2
Th
 RR
 
LTh
RR 
 
Para 
LTh
RR 
, tem-se, 
Th
2
Th
4R
V
p  
Cap. 05 - Teoremas de circuitos 
 
5.5. MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA 
Exemplo 5.7 – Calcule o valor de RL para a máxima transferência de potência no circuito 
da figura 5.17. Encontre a potência máxima. 
 
Figura 5.17 – Exemplo 5.7. 
Resposta: 9 ; 13,44 W. 
Cap. 05 - Teoremas de circuitos 
 
5.5. MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA 
Exemplo 5.8 – Para o circuitoda figura 5.18, determine o valor de R tal que a máxima 
potência transferida para a carga seja 3 mW. 
 
Figura 5.18 – Exemplo 5.8. 
Resposta: 1 k. 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ 
INSTITUTO DE TECNOLOGIA 
FACULDADE DE ENGENHARIAS ELÉTRICA E BIOMÉDICA 
 
Notas de Aulas 
CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
Cap. 06 - Elementos armazenadores de energia 
 
Prof. Claudomiro Fábio de Oliveira Barbosa 
cfob@ufpa.br. 
 
 
Belém – Pará 
Cap. 06 - Elementos armazenadores de energia 
 
6.1. CAPACITORES 
Noções Básicas 
O capacitor é um elemento de circuito que armazena energia (“carga”) em seu campo 
elétrico (utilizados em equipamentos eletrônicos e em sistemas elétricos de potência). 
Um capacitor (figura 6.1) é constituído por duas 
placas condutoras separadas por um ou dielétrico, como 
o ar, a cerâmica, papel ou mica. 
 
Figura 6.1 – Capacitor típico. 
Quando inicialmente se conecta uma fonte de tensão 
v ao capacitor (figura 6.2), a fonte deposita uma carga q 
positiva em uma placa e na outra uma carga – q. Diz-se, 
então, que o capacitor está armazenando energia. 
 
 
Figura 6.2 – Capacitor com uma tensão 
v aplicada. 
Cap. 06 - Elementos armazenadores de energia 
 
6.1. CAPACITORES 
O total de carga armazenado será dado por: 
Cvq 
 (6.1) 
onde: C – é uma constante de proporcionalidade denominada de capacitância, cuja unidade é coulomb 
por volt (C/V), ou farads (F), homenagem ao físico inglês Michael Faraday. 
 
Apesar da capacitância ser a razão da carga q da placa pela tensão v (equação 6.1), 
ela não depende das mesmas, mas sim das dimensões físicas do capacitor. 
 
Por exemplo, para um capacitor de placas paralelas, tem-se: 
d
A
C

 (6.2) 
onde: A – área da superfície da placa (m2); d – distância entre as placas (m);  - permissividade do 
material dielétrico (F/m). 
 
Embora a equação 6.2 represente a capacitância de um capacitor de placas paralelas, em 
geral, a A (quanto maior A, maior C), a d (quanto menor d, maior C) e a  (quanto 
maior , maior C) são os fatores que determinam o valor da capacitância. 
 
Cap. 06 - Elementos armazenadores de energia 
 
6.1. CAPACITORES 
Noções Básicas 
A figura 6.3 mostra alguns capacitores existentes e os símbolos utilizados em circuitos. 
 
 
(a) Capacitor de poliéster. 
 
(b) Capacitor de cerâmica. 
 
(c) Capacitores eletrolíticos. 
 
(d) Trimer. 
 
(e) Capacitor fixo. 
 
(f) Capacitor variável. 
Figura 6.3 – Alguns tipos capacitores e símbolos (convenção do sinal passivo). 
 
Cap. 06 - Elementos armazenadores de energia 
 
6.1. CAPACITORES 
Energia Armazenada num Capacitor 
 Sabendo que a corrente é 
dt
dq
i  , e que a carga é Cvq  , então a corrente em um 
capacitor será:   Cv
dt
d
i
dt
dv
Ci  (6.3) 
Capacitores que satisfazem a eq. 6.3 são ditos capacitores lineares (relação tensão-corrente - reta). 
 Arrumando e integrando os dois lados da equação 6.3, 
 o
t
ot
tvdti
C
v  
1 (6.4) 
onde: 
 otv
 é a tensão no capacitor no tempo to (memória do capacitor – a tensão depende da corrente 
anterior) 
Sabendo que vi
dt
dw
p  e considerando que o capacitor está descarregado em t =  , 
a energia armazenada é dada por: 2
2
1
Cvw  (6.5) 
Cap. 06 - Elementos armazenadores de energia 
 
 
6.1. CAPACITORES 
Propriedades importantes do capacitor 
1 – Um capacitor é um circuito aberto para corrente contínua (tensão não varia = não há 
corrente). No entanto, o capacitor quando conectado a uma bateria irá carregar até atingir o 
valor da bateria. 
 
2 – A tensão em um capacitor não pode variar abruptamente (figura 6.4) – fisicamente 
impossível (corrente infinita). 
 
(a) Permitida. 
 
(b) Não permitida. 
Figura 6.4 – Tensão em um capacitor. 
Cap. 06 - Elementos armazenadores de energia 
 
6.1. CAPACITORES 
Propriedades importantes do capacitor 
3 – Um capacitor ideal não dissipa energia (retira potência do circuito = armazena energia 
em seu campo; libera a energia armazenada = fornece potência ao circuito). 
 
4 – Um capacitor real possui uma resistência tão alta quanto 100 M em seu modelo 
conforme figura 6.5. Tal resistência pode ser desprezada na maioria das aplicações práticas. 
 
Figura 6.5 – Modelo de um capacitor real. 
Cap. 06 - Elementos armazenadores de energia 
 
6.1. CAPACITORES 
Exemplo 6.1 – Se um capacitor de 10 F é conectado a uma fonte de tensão com 
)2000(50)( tsentv 
 V, determine a corrente do capacitor. 
Resposta: 
)2000cos( t
 A. 
 
Exemplo 6.2 – Em condições c.c., determine a energia armazenada nos capacitores da figura 
6.6. 
 
Figura 6.6 – Exemplo 6.2. 
Resposta: 405 J, 90 J. 
Cap. 06 - Elementos armazenadores de energia 
 
6.1. CAPACITORES 
Capacitores em paralelo 
 Considere o circuito mostrado na figura 6.7. 
 
Figura 6.7 – Circuito com capacitores ligados em paralelo. 
Sabendo que 
Niiiii  ...321
 (LKC) e 
dt
dv
Ci kk 
, tem-se: 
NCCCCC  ...321eq
 (6.6) 
A capacitância equivalente de N capacitores em paralelo é a soma das capacitâncias 
individuais. 
 
Capacitores em paralelo ↔ Resistores em série 
 
Cap. 06 - Elementos armazenadores de energia 
 
6.1. CAPACITORES 
Capacitores em série 
 Considere o circuito mostrado na figura 6.8. 
 
Figura 6.8 – Circuito com capacitores ligados em série. 
Sabendo que 
Nvvvvv  ...321
 (LKT) e 
 
t
ot
ok
k
k tvdtti
C
v )()(
1 , tem-se: 
NCCCCC
1
...
1111
321eq
 (6.7) 
A capacitância equivalente de N capacitores em série é o recíproco da soma dos 
recíprocos das capacitâncias individuais. 
Capacitores em série ↔ Resistores em paralelo. 
Cap. 06 - Elementos armazenadores de energia 
 
6.1. CAPACITORES 
Exemplo 6.3 – Calcule a tensão em cada um dos capacitores da figura 6.9. Utilize o conceito 
de capacitância equivalente para auxiliar na resolução. 
 
Figura 6.9 – Exemplo 6.3. 
Resposta: v1 = v2 = 30 V; v3 = 10 V; v4 = 20 V. 
Cap. 06 - Elementos armazenadores de energia 
 
6.2. INDUTORES 
Noções Básicas 
O indutor é um elemento de circuito elétrico que armazena energia no seu campo 
magnético (utilizados em equipamentos eletrônicos e em sistemas elétricos de potência). 
 
 Um condutor de corrente elétrica possui 
propriedade indutivas, podendo ser visto como um 
indutor. Na prática, para melhorar o efeito indutivo, um 
indutor típico (figura 6.10) é normalmente constituído 
na forma de uma solenóide. 
Figura 6.10 – Forma típica de um indutor. 
 
Ao passar uma corrente por um indutor, a tensão no mesmo será diretamente 
proporcional a taxa de variação dessa corrente (equação 6.8). 
dt
di
Lv  (6.8) 
onde: L – é uma constante de proporcionalidade denominada de indutância, cuja unidade é volt-
segundo por ampère, ou henry (H), homenagem ao inventor americano Joseph Henry.
Cap. 06 - Elementos armazenadores de energia 
 
6.2. INDUTORES 
Noções Básicas 
Indutância – é a propriedade na qual o indutor apresenta uma oposição à variação 
de corrente que passa por ele. 
 
A indutância dos indutores depende de suas dimensões físicas e de sua construção. Por 
exemplo, para um indutor “solenóide” da figura 6.11 a equação 6.9 o modela. 
 
l
AN
L
2
 (6.9) 
onde: 
N – número de voltas; 
l – comprimento (m); 
A – área da seção transversal (m2); 
 – permeabilidade do núcleo (H/m). 
 
Figura 6.11 –Forma típica de um indutor. 
Cap. 06 - Elementos armazenadores de energia 
 
6.2. INDUTORES 
Noções Básicas 
A figura 6.12 mostra alguns indutores existentes e os símbolos utilizados em circuitos. 
 
(a) Indutor solenóide. 
(b) Indutor toroidal. 
 
(c) Indutor em pastilha. 
 
(d) Núcleo de ar. 
 
(e) Núcleo de ferro. 
 
(f) Núcleo variável. 
Figura 6.12 – Alguns tipos de indutores e símbolos (convenção do sinal passivo). 
Cap. 06 - Elementos armazenadores de energia 
 
6.2. INDUTORES 
Energia Armazenada num Indutor 
 A equação 
dt
di
Lv  apresenta a relação tensão-corrente em um indutor. Os indutores 
no qual a indutância não varia com a corrente são ditos indutores lineares (relação tensão-
corrente uma reta). 
Arrumando e, em seguida, integrando os dois lados da relação supracitada, 
)(
1
o
t
ot
tidtv
L
i   (6.10) 
onde:  oti é a corrente no capacitor no tempo to. 
Sabendo que vi
dt
dw
p  e considerando que o indutor está descarregado em t =  , a 
energia armazenada é dada por: 
2
2
i
L
w  (6.11) 
 
Cap. 06 - Elementos armazenadores de energia 
 
6.2. INDUTORES 
Propriedades importantes do indutor 
1 – Um indutor é um curto-circuito para corrente contínua (corrente não varia = tensão nula). 
 
2 – A corrente que atravessa um indutor não pode variar instantaneamente (figura 6.13) – 
fisicamente impossível (tensão infinita). 
 
(a) Permitida. 
 
(b) Não permitida.
Figura 6.13 – Corrente em um indutor. 
Cap. 06 - Elementos armazenadores de energia 
 
6.2. INDUTORES 
Propriedades importantes do indutor 
3 – Um indutor ideal não dissipa energia (retira potência do circuito = armazena energia em 
seu campo magnético; libera a energia armazenada = fornece potência ao circuito). 
 
4 – Um indutor real (não-ideal) possui certa resistência (resistência de enrolamento Rw), 
dada ao material condutor do qual ele é feito (figura 6.14). Logo, o indutor real armazena 
como dissipa energia. Todavia, como Rw é pequena, a mesma pode ser ignorada. O indutor 
não-ideal também possui uma capacitância de enrolamento Cw devido ao acoplamento 
capacitivo entre as espiras. Cw é pequeno, logo pode ser também ignorada, exceto para altas 
frequências. 
 
Figura 6.14 – Modelo de um indutor real. 
Cap. 06 - Elementos armazenadores de energia 
 
6.2. INDUTORES 
Exemplo 6.4 – A tensão terminal de um indutor de 2 H é 
)1(10)( ttv 
 V. Determine a 
corrente que passa por ele em t = 4 s e a energia armazenada em 0 < t ≤ 4 s. Considere i(0) 
= 2 A. 
Resposta:  18 A; 320 J. 
 
Exemplo 6.5 – Considere o circuito da figura 6.15. Em condições c.c., calcule i, vC, iL, e a 
energia armazenada no capacitor e no indutor. 
 
Figura 6.15 – Exemplo 6.5. 
Resposta: i = iL = 2 A; vC = 10 V; wC = 50 J; wL = 4 J. 
Cap. 06 - Elementos armazenadores de energia 
 
6.2. INDUTORES 
Indutores em série 
 Considere o circuito mostrado na figura 6.16. 
 
Figura 6.16 – Circuito com indutores ligados em série. 
Sabendo que 
Nvvvvv  ...321
 (LKT) e que 
dt
di
Lv kk 
, tem-se: 
NLLLLL  ...321eq
 (6.12) 
A indutância equivalente de N indutores em série é a soma das indutâncias 
individuais. 
Indutores em série ↔ Resistores em série. 
 
Cap. 06 - Elementos armazenadores de energia 
 
6.2. INDUTORES 
Indutores em paralelo 
 Considere o circuito mostrado na figura 6.17. 
 
Figura 6.17 – Circuito com indutores ligados em paralelo. 
Sabendo que 
Niiiii  ...321
 (LKC) e que  
t
ot
ok
k
k tidttv
L
i )()(
1 , tem-se: 
NLLLLL
1
...
1111
321eq
 (6.13) 
A indutância equivalente de N indutores em paralelo é o recíproco da soma dos 
recíprocos das indutâncias individuais. 
Indutores em paralelo ↔ Resistores em paralelo. 
Cap. 06 - Elementos armazenadores de energia 
 
6.2. INDUTORES 
Exemplo 6.6 – Calcule a indutância equivalente para o circuito indutivo em escada da figura 
6.18. 
 
Figura 6.18 – Exemplo 6.6. 
Resposta: 25 mH. 
 
Cap. 06 - Elementos armazenadores de energia 
 
6.2. INDUTORES 
Tabela 6.1 – Características importantes dos elementos básicos. 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ 
INSTITUTO DE TECNOLOGIA 
FACULDADE DE ENGENHARIAS ELÉTRICA E BIOMÉDICA 
 
Notas de Aulas 
CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
Cap. 07 - Circuitos de 1ª. ordem 
 
Prof. Claudomiro Fábio de Oliveira Barbosa 
cfob@ufpa.br. 
 
 
Belém – Pará 
Cap. 07 - Circuitos de 1ª. ordem 
 
7.1. CONTEXTUALIZAÇÃO 
Visto as principais características dos resistores, dos capacitores e dos indutores, pode-
se agora analisar os circuitos compostos por tais elementos nas mais diversas formas de 
combinações. 
A preocupação aqui é examinar os circuitos com um resistor e um capacitor e os 
circuitos com um resistor e um indutor. Estes circuitos são chamados, respectivamente, por 
circuitos RC e RL. 
 
Para a análise, aplicam-se as Leis de Kirchhoff, conforme visto para os circuitos 
puramente resistivos, tendo como diferença a obtenção de equações diferenciais 
(resolução mais complexa) ao invés de equações algébricas. 
 
Devido a isso, esses circuitos (RC e RL) são chamados de circuitos de primeira ordem. 
 
Um circuito de primeira ordem caracteriza-se por uma equação diferencial de 
primeira ordem. 
Cap. 07 - Circuitos de 1ª. ordem 
 
7.1. CONTEXTUALIZAÇÃO 
Como comentado anteriormente, há dois tipos de circuitos de primeira ordem: circuitos 
RC e circuitos RL. 
Existem duas formas de excitar estes circuitos: 
 
1ª. Circuitos sem fonte (neste caso sem fontes independentes, pois podem existir fontes 
dependentes no circuito) – Considera-se que a energia está armazenada inicialmente no 
elemento capacitivo ou indutivo, sendo dissipada nos resistores. Esta forma também é 
chamada de condições iniciais dos elementos armazenadores de energia. 
 
2ª. Circuitos com fonte – neste momento as fontes independentes consideradas na 
análise serão do tipo c.c. 
 
Os dois tipos de circuitos de primeira ordem mais as duas formas de excitação 
proporcionam quatro situações possíveis, as quais serão apresentadas a seguir. 
Cap. 07 - Circuitos de 1ª. ordem 
 
7.2. CIRCUITO RC SEM FONTE 
Um circuito RC sem fonte é o resultado da desconexão repentina de uma fonte c.c. que 
o alimentava, quando, então, a energia armazenada no capacitor é liberada para o resistor. 
 
 
Considere o circuito mostrado na 
figura 7.1, 
 
 
Figura 7.1 – Circuito RC sem fonte. 
Para obter a resposta deste circuito v(t), considera-se t = 0 e o capacitor inicialmente 
carregado. 
Então, em t = 0 
oVv )0(
 (7.1) 
Com uma energia armazenada de 
22
2
1
)0()(
2
1
)( oCVwtCvtw 
 (7.2)
Cap. 07 - Circuitos de 1ª. ordem 
 
7.2. CIRCUITO RC SEM FONTE 
 
 
 
 
Figura 7.1 – Circuito RC sem 
fonte. 
 Aplicando a LKC ao nó superior, 
0 RC ii
 (7.3) 
 Sabendo que 
dt
dv
CiC 
 e 
R
v
iR 
, tem-se 
0
R
v
dt
dv
C ou 
0
RC
v
dt
dv (equação diferencial 1ª. ordem) (7.4) 
dt
RCv
dv 1
 (7.5) 
 
 Integrando os dois lados da equação 7.5 
A
RC
t
v lnln  ( Aln - constante de integração) 
RC
t
A
v
ln (7.6) 
Cap. 07 - Circuitos de 1ª. ordem 
 
7.2. CIRCUITO RC SEM FONTE 
 
 
Figura 7.1 –