Instrumentação - Aula 6

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3.4 
Erro sistemático, tendência e correção 
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 2/67) 
Algumas definições 
 Tendência (Td) 
 é uma estimativa do Erro Sistemático 
 Valor Verdadeiro Convencional (VVC) 
 é uma estimativa do valor verdadeiro 
 Correção (C) 
 é a constante que, ao ser adicionada à indicação, compensa os 
erros sistemáticos 
 é igual à tendência com sinal trocado 
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 3/67) 
Cálculo do erro sistemático 
média de infinitas indicações 
valor verdadeiro conhecido exatamente 
condições: 
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 4/67) 
Estimativa do erro sistemático 
tendência 
VVC 
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 5/67) 
Correção dos erros sistemáticos 
Td C = -Td 
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 6/67) 
Indicação corrigida 
1014 
1015 
1017 
1012 
1015 
1018 
1014 
1015 
1016 
1013 
1016 
1015 
I 
12 
11 
10 
9 
8 
7 
6 
5 
4 
3 
2 
1 
Nº 
1015 média 
-15 
-15 
-15 
-15 
-15 
-15 
-15 
-15 
-15 
-15 
-15 
-15 
C 
-15 
999 
1000 
1002 
997 
1000 
1003 
999 
1000 
1001 
998 
1001 
1000 
Ic 
1000 
-1 
0 
2 
-3 
0 
3 
-1 
0 
1 
-2 
1 
0 
Ea 
0 
995 1000 1005 
C = -Td 
C = 1000 - 1015 
C = -15 g 
Após correção o sistema de medição passa a 
indicar, em média, corretamente. 
3.5 
Erro aleatório, incerteza padrão e 
repetitividade 
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 8/67) 
Erro aleatório e repetitividade 
-5 0 5 
O valor do erro aleatório é imprevisível. 
A repetitividade define a faixa dentro da qual 
espera-se que o erro aleatório esteja contido. 
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 9/67) 
Distribuição de probabilidade uniforme ou 
retangular 
1 2 3 4 5 6 
probabilidade 
1/6 
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6 7
Valores
Pr
ob
ab
ili
da
de
 (1
/6
)
Lançamento de um dado 
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 10/67) 
Distribuição de probabilidade triangular 
1,5 1,0 2,5 2,0 3,5 3,0 4,5 4,0 5,5 5,0 6,0 
probabilidade (1/36) 
2 
4 
6 
Média de dois dados 
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 11/67) 
Distribuição de probabilidade 
triangular 
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5 6 7
Média de 2 dados
Pr
ob
ab
ili
da
de
 (1
/3
6)
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 12/67) 
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6 7
Valores
Pr
ob
ab
ili
da
de
 (1
/6
)
Lançamento de um dado 
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 13/67) 
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5 6 7
M é di a d e 2 d a do s
P
ro
ba
bi
lid
ad
e
 (1
/3
6)
Média de dois dados 
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 14/67) 
0
5
1 0
1 5
2 0
2 5
3 0
0 1 2 3 4 5 6 7
M édi a d e 3 d ado s
Pr
ob
ab
ili
d
ad
e 
(1
/2
16
)
Média de três dados 
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 15/67) 
0
2 0
4 0
6 0
8 0
10 0
12 0
14 0
16 0
0 1 2 3 4 5 6 7
M édi a d e 4 d ado s
Pr
o
ba
bi
lid
ad
e 
(1
/1
29
6)
Média de quatro dados 
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 16/67) 
0
50 0
100 0
150 0
200 0
250 0
300 0
350 0
400 0
450 0
500 0
0 1 2 3 4 5 6 7
M édi a d e 6 d ado s
Pr
ob
ab
ili
da
de
 (1
/4
66
56
)
Média de seis dados 
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 17/67) 
0
20000
40000
60000
80000
100000
120000
140000
160000
0 1 2 3 4 5 6 7
Média de 8 dados
Pr
ob
ab
ilid
ad
e 
(1/
16
79
61
6)
Média de oito dados 
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 19/67) 
Teorema central do limite 
 Quanto mais variáveis aleatórias forem combinadas, tanto 
mais o comportamento da combinação se aproximará do 
comportamento de uma distribuição normal (ou 
gaussiana). 
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 20/67) 
Curva normal 
m 
s s 
pontos de inflexão 
assíntota assíntota 
m = média 
s = desvio padrão 
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 21/67) 
Efeito do desvio padrão 
s > s > s 
m 
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 22/67) 
Cálculo e estimativa do 
desvio padrão 
n
II
n
i
i
n

=


= 1
2)(
lims
cálculo exato: 
(da população) 
1
)(
1
2


=

=
n
II
s
n
i
i
estimativa: 
(da amostra) 
Ii i-ésima indicação 
 média das "n" indicações 
n número de medições repetitivas efetuadas 
I
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 23/67) 
Incerteza padrão (u) 
 medida da intensidade da componente 
aleatória do erro de medição. 
 corresponde à estimativa do desvio padrão 
da distribuição dos erros de medição. 
 u = s 
 Graus de liberdade (): 
 corresponde ao número de medições 
repetidas menos um. 
  = n - 1 
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 24/67) 
Área sobre a curva normal 
2s 2s 
95,45% 
m 
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 25/67) 
Estimativa da repetitividade 
(para 95,45 % de probabildiade) 
Para amostras infinitas: 
Re = 2 . s 
Para amostras finitas: 
Re = t . u 
Sendo “t” o coeficiente de Student para  = n - 1 
graus de liberdade. 
A repetitividade define a faixa dentro da qual, 
para uma dada probabilidade, o erro aleatório é 
esperado. (INTENSIDADE DO ERRO 
ALEATÓRIO DE UM SISTEMA DE MEDIÇÃO) 
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 26/67) 
Coeficiente “t” de Student 
 t  t  t  t
1 13,968 10 2,284 19 2,140 80 2,032
2 4,527 11 2,255 20 2,133 90 2,028
3 3,307 12 2,231 25 2,105 100 2,025
4 2,869 13 2,212 30 2,087 150 2,017
5 2,649 14 2,195 35 2,074 200 2,013
6 2,517 15 2,181 40 2,064 1000 2,003
7 2,429 16 2,169 50 2,051 10000 2,000
8 2,366 17 2,158 60 2,043 100000 2,000
9 2,320 18 2,149 70 2,036  2,000
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 27/67) 
Exemplo de estimativa da repetitividade 
1014 
g 
0 g 1014 g 
1 
(1000,00 ± 0,01) g 
1014 g 
1012 g 
1015 g 
1018 g 
1014 g 
1015 g 
1016 g 
1013 g 
1016 g 
1015 g 
1015 g 
1017 g 
112
)1015(
u
12
1
2


=

=i
iI
média: 1015 g 
u = 1,65 g 
 = 12 - 1 = 11 
t = 2,255 
Re = 2,255 . 1,65 
Re = 3,72 g 
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 28/67) 
Exemplo de estimativa da repetitividade 
1015 1020 1010 
+3,72 -3,72 1015 
-1 
0 
2 
-3 
0 
3 
-1 
0 
1 
-2 
1 
0 
Ea 
0 
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 29/67) 
Efeitos da média de medições repetidas sobre 
o erro de medição 
 Efeito sobre os erros sistemáticos: 
 Como o erro sistemático já éo erro médio, nenhum efeito é 
observado. 
 
Efeitos da média de medições repetidas sobre 
o erro de medição 
 Efeitos sobre os erros aleatórios 
 A média reduz a intensidade dos erros aleatórios, a 
repetitividade e a incerteza padrão na seguinte proporção: 
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 30/67) 
n
ut
n
Re
Re I
I
.
==
n
u
u I
I
=
sendo: 
 n o número de medições utilizadas para calcular a média 
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 31/67) 
Exemplo 
 No problema anterior, a repetitividade da 
balança foi calculada: 
 
 
 Se várias séries de 12 medições fossem 
efetuadas, as médias obtidas devem 
apresentar repetitividade da ordem de: 
ReI = 3,72 g 
g
I
07,1
12
72,3
Re
12
==