Lista Computacional de Sistemas de Controle

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Universidade de Brasília – UnB
Faculdade UnB Gama – FGA
Sistema de Controle
Lista Computacional 1
Autor: João Victor Nunes Fonseca 14/0098321
Professor: Thiago Felippe Kurudez Cordeiro
Brasília, DF
2018
Lista de ilustrações
Figura 1 – Modelo em malha aberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Figura 2 – Gráfico com saída de velocidade 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Figura 3 – Gráfico com saída de posição 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Figura 4 – Modelo de malha aberta com modificação no valor de ajuste . . . . . . 5
Figura 5 – Gráfico com saída de velocidade 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Figura 6 – Gráfico com saída de velocidade 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Figura 7 – Gráfico com saída de velocidade 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Figura 8 – Gráfico com saída de velocidade 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Figura 9 – Gráfico com saída de posição 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Figura 10 – Modelo de malha aberta com modificação no valor de ajuste . . . . . . 10
Figura 11 – Gráfico com saída de velocidade 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Figura 12 – Gráfico com saída de posição 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Sumário
1 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Simulando o servomecanismo no Simulink . . . . . . . . . . . . . . . 3
REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3
1 Atividades
1.1 Simulando o servomecanismo no Simulink
a) Simule e obtenha os gráficos de entrada com saída de posição com saída de
velocidade. Alguma das saídas consegue, em regime permanente, manter o erro limitado?
Figura 1 – Modelo em malha aberta
Figura 2 – Gráfico com saída de velocidade 1
Curva azul representa a saída e a linha rosa representa a entrada.
Capítulo 1. Atividades 4
Figura 3 – Gráfico com saída de posição 1
Curva azul representa a saída e a linha rosa representa a entrada.
O erro é tratado como diferença entre o erro e a entrada, em um regime permanente
somente o gráfico com a saída de velocidade apresenta um erro limitado. O erro tenderá
a zero, para qual a velocidade ficará estável. No entanto, o gráfico com a saída de posição
tenderá ao infinito.
b) Utilize o teorema do valor final para mostrar que a resposta do sistema c(t)
(saída velocidade) à uma entrada degrau unitário, em regime permanente, está de acordo
com a obtida na simulação.
Teorema do valor final:
lim
𝑡→∞ 𝑐(𝑡) = lim𝑡→∞ 𝑔(𝑡)× 𝑟(𝑡) = lim𝑠→0 𝑠𝐺(𝑠)𝑅(𝑠) (1.1)
𝑅(𝑠) = 1
𝑠
(1.2)
𝐺(𝑠) = 10.2𝑠+ 0.5 (1.3)
𝑠𝐺(𝑠)𝑅(𝑠) = 𝑠 10.2𝑠+ 0.5
1
𝑠
= 10.2𝑠+ 0.5 =
1
0.2 ×
1
𝑠+ 0.5 (1.4)
lim
𝑠→0 𝑠𝐺(𝑠)𝑅(𝑠) =
1
𝑠+ 0.5 ×
1
0.2 =
10
2 ×
1
2.5 = 2 (1.5)
lim
𝑡→∞ 𝑐(𝑡) = 2 (1.6)
Capítulo 1. Atividades 5
Com a utilização do teorema do valor final podemos garantir que o resultado encontrado
na figura 3 está correto.
c)Considerando que ganho ajuste pode ser alterado pelo projetista, calcule qual o
valor desse ganho em que o erro em regime permanente é nulo. Altere o valor desse ganho
para o valor calculado, simule, e obtenha o gráfico de saída. Qual a voltagem que está sendo
aplicada no motor para que ele atinja a velocidade desejada em regime permanente?
Figura 4 – Modelo de malha aberta com modificação no valor de ajuste
Figura 5 – Gráfico com saída de velocidade 2
Curva azul representa a saída e a linha rosa representa a entrada. A voltagem
aplicada foi modificada para 0.5 volts pois o sinal de entrada 1 passa pelo ajuste, tendo
então a velocidade de saída com 1 rad/s.
d) Suponha que, nesse sistema simulado, devido ao envelhecimento do equipa-
mento, o disco de inércia perdeu massa (por exemplo, por corrosão), o que reduziu seu
momento de inércia de J = 0,2 kgm2 para J = 0,1 kgm2, e que o coeficiente de atrito B se
Capítulo 1. Atividades 6
manteve constante em B = 0,5 (Nm)/(rad/s)). O sistema (a saída em velocidade) ainda
é capaz de seguir a entrada degrau sem erro? Houve alguma mudança na resposta? Inclua
os gráficos obtidos. Forneça uma explicação utilizando conceitos relacionados à transfor-
mada de Laplace e função de transferência. Forneça uma segunda explicação utilizando os
conceitos de torque, momento de inércia e atrito.
Não haverá erro, pois o momento de inércia não altera em nada a entrada degrau.
Pode-se notar apenas na rapidez que a velocidade alcança a estabilidade.
Figura 6 – Gráfico com saída de velocidade 3
Curva azul representa a nova saída, a linha vermelha representa a saída antiga e
a linha rosa representa a entrada.
Pela equação 1.1 utilizada anteriormente podemos provar:
lim
𝑡→∞ 𝑐(𝑡) = lim𝑡→∞ 𝑔(𝑡)× 𝑟(𝑡) = lim𝑠→0 𝑠𝐺(𝑠)𝑅(𝑠) (1.7)
𝑅(𝑠) = 1
𝑠
(1.8)
𝐺(𝑠) = 10.2𝑠+ 0.5 (1.9)
𝑠𝐺(𝑠)𝑅(𝑠) = 𝑠 10.2𝑠+ 0.5
1
𝑠
= 10.1𝑠+ 0.5 =
1
0.1 ×
1
𝑠+ 0.5 (1.10)
Capítulo 1. Atividades 7
lim
𝑠→0 𝑠𝐺(𝑠)𝑅(𝑠) =
1
𝑠+ 0.5 ×
1
0.1 =
10
1 ×
1
5 = 2 (1.11)
lim
𝑡→∞ 𝑐(𝑡) = 2 (1.12)
Ao diminuirmos o momento de inércia, um corpo tenderá a sofrer rotação mais facilmente,
sendo assim podemos obter uma aceleração angular maior para um mesmo torque.
𝐽 ·Θ(𝑡) = 𝑇𝑚(𝑡)−𝐵Θ(𝑡) (1.13)
Analisando o atrito, percebe-se que ele diminui a velocidade e o oposto ocorre quando
diminuímos o atrito, pois tem-se uma maior energia cinética.
e) Novamente simulando um envelhecimento no equipamento, considere que o mo-
mento de inércia se manteve constante (J = 0,2 kgm2), mas que o coeficiente de atrito
dobrou (mudou de B = 0,5 (Nm)/(rad/s) para B = 1,0 (Nm)/(rad/s)). Simule e responda
às mesmas perguntas existentes no item anterior.
A mudança no atrito alterará a transformada, na qual será deslocada para metade.
Figura 7 – Gráfico com saída de velocidade 4
Curva azul representa a nova saída, a linha vermelha representa a saída antiga e
a linha rosa representa a entrada. Pela equação 1.1 podemos provar que:
𝑅(𝑠) = 1
𝑠
(1.14)
Capítulo 1. Atividades 8
𝐺(𝑠) = 10.2𝑠+ 1 (1.15)
𝑠𝐺(𝑠)𝑅(𝑠) = 𝑠 10.2𝑠+ 1
1
𝑠
= 10.1𝑠+ 1 =
1
0.2 ×
1
𝑠+ 5 (1.16)
lim
𝑠→0 𝑠𝐺(𝑠)𝑅(𝑠) =
1
𝑠+ 5 ×
1
0.2 =
10
2 ×
1
5 = 1 (1.17)
lim
𝑡→∞ 𝑐(𝑡) = 1 (1.18)
f) Verificando o resultado dos itens anteriores, discuta sobre a técnica de controle
em malha aberta, citando possíveis vantagens e desvantagens.
O sistema de controle moderno de malha aberta possui um sinal que não exerce
nenhuma ação de controle no sistema. Pela estabilidade, o sistema de controle de malha
aberta é mais fácil de ser construído, pois a estabilidade é um problema menos significa-
tivo. Lembrando que, para sistemas em que as entradas são conhecidas anteriormente e
que não sofrem distúrbios, é conveniente o uso de malha de controle aberta. (OGATA,
2010)
Com os exercícios anteriores foi possível notar tais fatos, pois alterando o momento de
inércia e o atrito não ouve alteração na estabilidade e sim na velocidade. A desvantagem
de tal método é que não temos valores tão parecidos com a realidade, pois não possuímos
uma realimentação, ou seja, não temos um controle regulado automaticamente.
g) Retorne os valores do sistema para 𝐽 = 0, 2𝑘𝑔 ·𝑚2 e 𝐵 = 0, 5(𝑁 ·𝑚)/(𝑟𝑎𝑑/𝑠),
mantendo o ganho “ajuste” com o valor encontrado. Considere agora que se deseja contro-
lar a posição (ainda em malha aberta) ao invés da velocidade. Considerando que é possível
controlar de forma satisfatória a velocidade, pode-se controlar a posição controlando-se a
intensidade e duração da velocidade. Por exemplo, duas formas possíveis de se posicionar
o sistema na posição 5 rad, considerando que o sistema está inicialmente na posição 0
rad, seria aplicar uma velocidade de 1 rad/s durante 5 segundos, ou então aplicar umavelocidade de 5 rad/s durante 1 segundo.
a. Altere a entrada de forma a posicionar o sistema na posição 5 rad usando
qualquer uma das alternativas dadas acima. Fazendo uso da primeira opção temos que:
Capítulo 1. Atividades 9
Figura 8 – Gráfico com saída de velocidade 5
Curva azul representa a saída e a linha rosa representa a entrada.
Figura 9 – Gráfico com saída de posição 5
Curva azul representa a saída e a linha rosa representa a entrada.
b. Veja que quando o sinal se torna nulo, a posição tende para um valor não nulo,
enquanto que a velocidade se anula após um tempo. Avaliando a função de transferência
de ambos os casos, o que você acredita que causa essa diferença? Tente dar uma explicação
matemática (o que a diferença entre as funções de transferência faz com a entrada) e uma
física (o que significa entrada nula em um motor elétrico com atrito).
Capítulo 1. Atividades 10
Utilizando a equação 1.1 podemos notar que a velocidade vai para um valor finito,
no entanto a posição vai para o infinito. Porém temos um sistemas com tempo finito de
5 rad, sendo então um valor finito, temos portanto uma posição marginalmente estável e
uma velocidade estável. Pela física o motor parará se tirarmos energia dele, mas com o
atrito tal fato será mais rápido e lembrando que a posição irá parar junto com a velocidade,
só que parando na posição de 5 rad.
h) Adicione, entre o ganho “ajuste” e o motor DC, a função de transferência
Gc(s) abaixo. Essa função representa um controlador de malha aberta. Verifique como é a
resposta (posição) para uma entrada degrau. Explique porque a solução também permitiu
que a saída em posição apresentasse erro nulo.
𝐺𝑐(𝑠) =
𝑠
𝑠+ 1 (1.19)
Figura 10 – Modelo de malha aberta com modificação no valor de ajuste
Figura 11 – Gráfico com saída de velocidade 6
Curva azul representa a saída e a linha rosa representa a entrada.
Capítulo 1. Atividades 11
Figura 12 – Gráfico com saída de posição 6
Curva azul representa a saída e a linha rosa representa a entrada.
Pela montagem do sistema temos:
𝐶(𝑠) = 𝑅(𝑠)× 𝑎× 𝑏×𝐺(𝑠)×𝐺𝑐(𝑠)× 1
𝑠
(1.20)
Sendo b o motor e a o ajuste.
𝑒 = lim
𝑠→0(𝑅(𝑠)× (1− 0.5×𝐺𝑐(𝑠)×𝐺(𝑠)×
1
𝑠
)) (1.21)
0.5× 1(𝑠+ 1)× (0.2𝑠+ 0.5) (1.22)
lim
𝑠→0(𝑅(𝑠)× (1− 0.5×𝐺𝑐(𝑠)×𝐺(𝑠)×
1
𝑠
)) = lim
𝑠→0(𝑅(𝑠)× (1− 1)) = 0 (1.23)
𝑒 = 0 (1.24)
O erro é zero, causado pela adição da função de transferência Gc(s).
12
Referências
OGATA, K. Engenharia de controle moderno - 5a edição - editora pearson. São Paulo,
2010. Citado na página 8.
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	Referências