Vinculação nas Bordas de Lajes de Concreto Armado

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CENTRO UNIVERSITÁRIO DO NORTE PAULISTA 
ENGENHARIA CIVIL – SÃO JOSÉ DO RIO PRETO 
 
 
 
 
 
 
Claudio Roberto Rodrigues dos Santos 
 
 
 
 
 
 
TRABALHO DE CONCRETO ARMADO 
NBR 6118 
VINCULAÇÃO NAS BORDAS E COMBINAÇÃO DE VÍNCULOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SÃO JOSÉ DO RIO PRETO - SP 
2017 
 
 
Resumo 
 
 
 
 
Palavras-chave : LAJE; ENGASTE;NBR 6118; BORDAS; VINCULAÇÃO. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................... 06 
2. VINCULAÇÕES .................................................................................................................. 07 
3. VINCULAÇÕES NAS BORDAS ........................................................................................ 10 
3.1 BORDAS SIMPLISMENTE APIOADAS........................................................................ 11 
3.2 ENGASTE PERFEITO ...................................................................................................... 11 
3.3 ENGASTE ELASTICO ...................................................................................................... 13 
4 AÇÕES A CONSIDERAR .................................................................................................... 14 
5. RESUMOS DAS MUDANÇAS NA NBR 6118 ................................................................. 18 
6. REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ...................................................................................... 20 
 
 
 
 
LISTA DE FIGURAS 
Figura 1: TIPOS DE BORDAS ................................................................................................ 07 
Figura 2: CASOS DE VINCULAÇÃO. ................................................................................... 08 
Figura 3: CASOS ESPECIFICOS DE VINCULAÇÃO...........................................................09 
Figura 4: TABELA DE CRITÉRIOS ....................................................................................... 09 
Figura 5: CRITÉRIOS A CONSIDERAR ............................................................................... 10 
Figura 6: VIGA DE APOIO SIMPLES .................................................................................... 11 
Figura 7: LAJE EM BALANÇO ENGASTADA. ................................................................... 11 
Figura 8: LAJES ADJACENTES ............................................................................................. 12 
Figura 9: LAJE PARCIALMENTE CONTINUA ................................................................... 12 
Figura 10: ENGASTAMENTO ELASTICO ........................................................................... 13 
Figura 11: TIPOS DE LINHAS PARA VÍNCULOS...............................................................13 
Figura 12: TIPOS DE LAJES...................................................................................................13 
Figura 13: PESO PRÓPRIO.....................................................................................................15 
 
 
 
 
 
 
 
LISTAS DE ABREVIATURAS E SIGLAS 
 
 
ABNT - Associação Brasileira de Normas Tecnicas. 
NBR – Normas Brasileiras 
Gpp - peso próprio da laje 
h - altura da laje 
gcontr - carga permanente do contrapiso 
e - espessura do contrapiso 
Kn/m - Kiloniltons por metro 
M - metro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
Esta Norma estabelece os requisitos básicos exigíveis para o projeto de estruturas de 
concreto simples, armado e protendido, excluídas aquelas em que se empregam concreto leve, 
pesado ou outros especiais. 
Normas Necessárias para a aplicação da ABNT NBR 6118:2014 Versão Corrigida:2014 
ABNT NBR 11578:1991 Versão Corrigida:1997 
ABNT NBR 12142:2010 
ABNT NBR 12654:1992 Versão Corrigida:2000 
ABNT NBR 12655:2006 
ABNT NBR 12989:1993 
ABNT NBR 13116:1994 
ABNT NBR 14859-2:2002 
ABNT NBR 14931:2004 
ABNT NBR 15200:2012 
ABNT NBR 15421:2006 
ABNT NBR 15577-1:2008 Versão Corrigida:2008 
ABNT NBR 5674:2012 
ABNT NBR 5732:1991 
ABNT NBR 5733:1991 
ABNT NBR 5735:1991 
ABNT NBR 5736:1991 Versão Corrigida:1999 
ABNT NBR 5737:1992 
ABNT NBR 5738:2003 
ABNT NBR 5739:2007 
ABNT NBR 6004:1984 
ABNT NBR 6120:1980 Versão Corrigida:2000 
ABNT NBR 6123:1988 Versão Corrigida 2:2013 
7 
 
ABNT NBR 6153:1988 
ABNT NBR 6349:2008 
ABNT NBR 7222:2011 
ABNT NBR 7480:2007 
ABNT NBR 7481:1990 
ABNT NBR 7482:2008 
ABNT NBR 7483:2008 
ABNT NBR 7484:2009 
ABNT NBR 8522:2008 
ABNT NBR 8548:1984 
ABNT NBR 8681:2003 Versão Corrigida:2004 
ABNT NBR 8953:2009 Versão Corrigida :2011 
ABNT NBR 8965:1985 
ABNT NBR 9062:2006 
ABNT NBR ISO 6892-1:2013 
ABNT NBR ISO 6892-1:2013 Versão Corrigida:2015 
ABNT NBR NM 67:1998 
 
2. VINCULAÇÃO 
 
É uma etapa do projeto das lajes, consiste em identificar os tipos de vínculo de suas 
bordas. Existem, basicamente, três tipos: 
 borda livre, 
 borda simplesmente apoiada 
 borda engastada 
 
 
 Fig 1 – Tipos de Bordas. 
 
8 
 
A borda livre caracteriza-se pela ausência de apoio, apresentando, portanto, 
deslocamentos verticais. Nos outros dois tipos de vinculação, não há deslocamentos verticais. 
Nas bordas engastadas, também as rotações são impedidas. 
Este é o caso, por exemplo, de lajes que apresentam continuidade, sendo o 
engastamento promovido pela laje adjacente. Uma diferença significativa entre as espessuras 
de duas lajes adjacentes pode limitar a consideração de borda engastada somente para a laje 
com menor espessura, admitindo-se simplesmente apoiada a laje com maior espessura. 
É claro que cuidados devem ser tomados na consideração dessas vinculações, 
devendo-se ainda analisar a diferença entre os momentos atuantes nas bordas das lajes, 
quando consideradas engastadas. Na Tabela abaixo são apresentados alguns casos de 
vinculação, com bordas simplesmente apoiadas e engastadas. Nota-se que o comprimento 
total das bordas engastadas cresce do caso 1 até o 6, exceto do caso 3 para o 4A. Outros tipos 
de vínculos, incluindo bordas livres, são indicados em PINHEIRO (1993). 
 
 
 Fig 2 – Casos de Vinculação. 
 
 
As tabelas para dimensionamento das lajes, em geral, consideram as bordas livres, 
apoiadas ou engastadas, com o mesmo tipo de vínculo ao longo de toda a extensão dessas 
bordas. Na prática, outras situações podem acontecer, devendo-se utilizar um critério, 
específico para cada caso, para o cálculo dos momentos fletores e das reações de apoio. 
Pode ocorrer, por exemplo, uma borda com uma parte engastada e a outra apoiada, 
como mostrado na Figura 3. Um critério aproximado, possível para este caso, é indicado na a 
seguir. 
9 
 
 
 Fig 3– Caso especifico de Vinculação. 
 
Critério para bordas com uma parte engastada e outra parte apoiada: 
 
 
 Fig4–Tabela de Critérios. 
 
 
Se a laje do exemplo anterior fosse armada em uma direção, poderiam ser 
consideradas duas partes, uma relativa à borda engastada e a outra, à borda simplesmente 
apoiada. Portanto, seriam admitidas diferentes condições de vinculação para cada uma das 
partes, resultando armaduras também diferentes, para cada uma delas. 
No caso de lajes adjacentes, como indicados anteriormente, vários aspectos devem 
ser analisados parase adotar o tipo de apoio, nos vínculos entre essas lajes. 
Uma diferença significativa entre os momentos negativos de duas lajes adjacentes 
poderia levar à consideração de borda engastada para uma das lajes e simplesmente apoiada 
para a outra, em vez de engastada para ambas. 
Tais considerações são indicadas na Figura 5. 
 
10 
 
 
 Fig 5– Critério para considerar bordas engastadas. 
 
É importante salientar que critérios como este devem ser cuidadosamente analisados, 
tendo em conta a necessidade de garantir a segurança estrutural. 
 
 
 
3. VINCULAÇÃO NAS BORDAS 
 
De modo geral são três os tipos de apoio das lajes: paredes de alvenaria ou de 
concreto, vigas ou pilares de concreto. 
Dentre eles, as vigas nas bordas são o tipo de apoio mais comuns nas construções. 
Para o cálculo dos esforços solicitantes e das deformações nas lajes torna-se necessário 
estabelecer os vínculos da laje com os apoios, sejam eles pontuais como os pilares, ou lineares 
como as vigas de borda. 
Devido à complexidade do problema devem ser feitas algumas simplificações, de 
modo a possibilitar o cálculo manual que será desenvolvido. Os três tipos comuns de vínculo 
das lajes são o apoio simples, o engaste perfeito e o engaste elástico. 
Como as tabelas usuais para cálculo das lajes só admitem apoios simples, engaste 
perfeito e apoios pontuais, a vinculação nas bordas deve se resumir apenas a esses três tipos. 
Com a utilização de programas computacionais é possível admitir também o engaste elástico. 
A idealização teórica de apoio simples ou engaste perfeito, nas lajes correntes dos 
edifícios, raramente ocorre na realidade. No entanto, segundo CUNHA & SOUZA (1994), o 
erro cometido é pequeno, não superando os 10 %. 
 
 
 
11 
 
3.1 Bordas Simplesmente Apoiadas 
 
 O apoio simples surge nas bordas onde não existe ou não se admite a continuidade 
da laje com outras lajes vizinhas. O apoio pode ser uma parede de alvenaria ou uma viga de 
concreto. No caso de vigas de concreto de dimensões correntes, a rigidez da viga à torção é 
pequena, de modo que a viga gira e deforma-se, acompanhando as pequenas rotações da laje, 
o que acaba garantindo a concepção teórica do apoio simples (figura 6). 
Cuidado especial há de se tomar na ligação de lajes com vigas de alta rigidez à 
torção. Pode ser mais adequado engastar perfeitamente a laje na viga, dispondo-se uma 
armadura, geralmente negativa, na ligação com a viga. 
Os esforços de torção daí decorrentes devem ser obrigatoriamente considerados no 
projeto da viga de borda. 
 
 
 Fig 6– Viga de borda como apoio simples para a laje. 
 
3.2 Engaste Perfeito 
 
O engaste perfeito surge no caso de lajes em balanço, como marquises, varandas, etc. 
(Figura 7). É considerado também nas bordas onde há continuidade entre duas lajes vizinhas. 
 
 
 Fig 7– Laje em Balanço engastada em uma viga de apoio. 
 
Quando duas lajes contínuas têm espessuras muito diferentes, como mostrado na 
Figura 6, pode ser mais adequado considerar a laje de menor espessura (L2) engastada na de 
maior espessura (L1), mas a laje com maior espessura pode ser considerada apenas apoiada na 
borda comum as duas lajes. 
 
 
 
12 
 
 
 
Fig 8 - Lajes adjacentes com espessuras muito diferentes. 
 
 
No caso onde as lajes não têm continuidade ao longo de toda a borda comum, o 
critério simplificado para se considerar a vinculação é o seguinte (Figura 9): 
 
 
Fig 9 – Lajes parcialmente contínuas. 
 
 
 
 
 
13 
 
3.3 Engaste Elástico 
 
No caso de apoios intermediários de lajes contínuas surgem momentos fletores 
negativos devido à continuidade das lajes. A ponderação feita entre os diferentes valores dos 
momentos fletores que surgem nesses apoios conduz ao engastamento elástico (Figura 10). 
No entanto, para efeito de cálculo inicial dos momentos fletores ML1 e ML2 , as lajes que 
apresentam continuidade devem ser consideradas perfeitamente engastadas nos apoios 
intermediários; 
 
Fig 10 – Engastamento elástico na continuidade das lajes decorrente dos momentos fletores negativos 
diferentes. 
 
 
Conforme as tabelas de BARÉS que serão utilizadas neste curso (anexas ao final da 
apostila) para cálculo das lajes maciças retangulares, a convenção de vinculação é feita com 
diferentes estilos de linhas, como mostrado na Figura 11. 
 
Fig 11 – Convenção de estilo de linha para os vínculos engaste perfeito, apoio simples e borda livre. 
 
Em função das várias combinações possíveis de vínculos nas quatro bordas das lajes 
retangulares, as lajes recebem números que diferenciam as combinações de vínculos nas 
bordas, como indicados na Figura 12. 
 
14 
 
 
Figura 12 – Tipos de lajes em função dos vínculos nas bordas. 
 
 
4. AÇÕES A SE CONSIDERAR 
 
As ações ou carregamentos a se considerar nas lajes são os mais variados, desde 
pessoas até móveis, equipamentos fixos ou móveis, divisórias, paredes, água, solo, etc. 
As lajes atuam recebendo as cargas de utilização e transmitindo-as para os apoios, 
geralmente vigas nas bordas. 
Nos edifícios as lajes ainda têm a função de atuarem como diafragmas rígidos 
(elemento de rigidez infinita no seu próprio plano), distribuindo os esforços horizontais do 
vento para as estruturas de contraventamento (pórticos, paredes, núcleos de rigidez, etc.), 
responsáveis pela estabilidade global dos edifícios. 
Para determinação das ações atuantes nas lajes deve-se recorrer às normas NBR 
6118, NBR 8681 e NBR 6120, entre outras pertinentes. As ações peculiares das lajes de cada 
15 
 
obra também devem ser cuidadosamente avaliadas. Se as normas brasileiras não tratarem de 
cargas específicas, pode-se recorrer a normas estrangeiras, na bibliografia especializada, com 
os fabricantes de equipamentos mecânicos, de máquinas, etc. 
Nas construções de edifícios correntes, geralmente as ações principais a serem 
consideradas são as ações permanentes (g) e as ações variáveis (q), chamadas pela norma de 
carga acidental, termo esse inadequado. As principais ações permanentes diretas que devem 
ser verificadas e determinadas são as apresentadas a seguir. 
 
 Peso Próprio 
O peso próprio da laje é o peso do concreto armado que forma a laje maciça. Para o 
peso específico do concreto armado (conc) a NBR 6118 indica o valor de 25 kN/m3 . O peso 
próprio para lajes com espessura constante é uniformemente distribuído na área da laje, e para 
um metro quadrado de laje (Figura 13) pode ser calculado como: 
 gpp = conc . h = 25 . h 
com: gpp = peso próprio da laje (kN/m2 ); 
h = altura da laje (m) 
 
Figura 13 – Peso próprio calculado para 1 m2 de laje. 
 Contrapiso 
A camada de argamassa colocada logo acima do concreto da superfície superior das 
lajes recebe o nome de contrapiso ou argamassa de regularização. A sua função é de nivelar e 
diminuir a rugosidade da laje, preparando-a para receber o revestimento de piso final. A 
espessura do contrapiso deve ser cuidadosamente avaliada. Recomenda-se adotar espessura 
não inferior a 3 cm. 
A argamassa do contrapiso tem comumente o traço 1:3 (em volume), sendo 
considerado o peso específico (contr) de 21 kN/m3 , conforme a NBR 6120. A ação 
permanente do contrapiso é função da espessura (e) do contrapiso: 
gcontr = contr . e = 21 . e 
com: gcontr = carga permanente do contrapiso (kN/m2 ); 
e = espessura do contrapiso (m). 
 
16 
 
 Revestimento do Teto 
Na superfície inferior das lajes (teto do pavimento inferior) é padrão executar-se uma 
camada de revestimentode argamassa, sobreposta à camada fina de chapisco. Para essa 
argamassa, menos rica em cimento, pode-se considerar o peso específico (rev) de 19 kN/m3 , 
conforme a NBR 6120. De modo geral, este revestimento tem pequena espessura, mas 
recomenda-se adotar espessura não inferior a 1,5 ou 2 cm. Para o revestimento de teto a ação 
permanente é: 
grev. teto = rev . e = 19 . e 
com: grev. teto = carga permanente do revestimento do teto (kN/m2 ); 
e = espessura do revestimento (m). 
 
 Piso 
O piso é o revestimento final na superfície superior da laje, assentado sobre a 
argamassa de regularização. Para a sua correta quantificação é necessário definir o tipo ou 
material do qual o piso é composto, o que normalmente é feito com auxílio do projeto 
arquitetônico, que define o tipo de piso de cada ambiente da construção. Os tipos mais 
comuns são os de madeira, de cerâmica, carpetes ou forrações, e de rochas, como granito e 
mármore. A Tabela da NBR 6120 fornece os pesos específicos de diversos materiais, valores 
estes que auxiliam no cálculo da carga do piso por metro quadrado de área de laje. 
 
 Paredes 
A carga das paredes sobre as lajes maciças deve ser determinada em função da laje 
ser armada em uma ou em duas direções. É necessário conhecer o tipo de unidade de 
alvenaria (tijolo, bloco, etc.), que compõe a parede, ou o peso específico da parede, a 
espessura e a altura da parede, bem como a sua disposição e extensão sobre a laje. 
O peso específico da parede pode ser dado em função do peso total da parede, 
composta pela unidade de alvenaria e pelas argamassas de assentamento e de revestimento, ou 
pelos pesos específicos individuais dos materiais que a compõe. 
 
 Laje Armada em Duas Direções 
Para as lajes armadas em duas direções considera-se simplificadamente a carga da 
parede uniformemente distribuída na área da laje, de forma que a carga é o peso total da 
parede dividido pela área da laje. 
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Para blocos cerâmicos furados a NBR 6120 recomenda o peso específico (alv) de 13 
kN/m3 e para tijolos maciços cerâmicos 18 kN/m3 . 
Ao se considerar o peso específico da unidade de alvenaria para toda a parede está se 
cometendo um erro, pois os pesos específicos das argamassas de revestimento e de 
assentamento são diferentes do peso específico da unidade de alvenaria. 
O peso específico das paredes correto pode ser calculado considerando-se os pesos 
específicos dos materiais individualmente. 
Para a argamassa de revestimento pode-se considerar o peso específico de 19 kN/m3 
(NBR 6120). 
Não se conhecendo o peso específico global da parede pode-se determinar a sua 
carga com os pesos específicos individuais da parede, calculando-se a carga da parede por 
metro quadrado de área. 
 
 Laje Armada em Uma Direção 
 
Para laje armada em uma direção há dois casos a serem analisados, em função da 
disposição da parede sobre a laje. Para o caso de parede com direção paralela à direção 
principal da laje (direção do menor vão), considera-se simplificadamente a carga da parede 
distribuída uniformemente numa área da laje adjacente à parede, com largura de 2/3 Lx. 
 
 Ações Variáveis 
A ação variável nas lajes é tratada pela NBR 6120 (item 2.2) como “carga acidental”. 
Na prática costumam chamar também de “sobrecarga”. A carga acidental é definida pela NBR 
6120 como “toda aquela que pode atuar sobre a estrutura de edificações em função do seu uso 
(pessoas, móveis, materiais diversos, veículos, etc.). 
As cargas verticais que se consideram atuando nos pisos de edificações, além das que 
se aplicam em caráter especial, referem-se a carregamentos devidos a pessoas, móveis, 
utensílios materiais diversos e veículos, e são supostas uniformemente distribuídas, com os 
valores mínimos indicados”. 
 
5. RESUMO DAS PRINCIPAIS MUDANÇAS DA NBR 6118 
NBR 6118/2007 – CONCRETO ATÉ C50 
NBR 6119/2014 – INCLUI CONCRETOS C55 A C90 
 
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 DIAGRAMA TENSÃO X DEFORMAÇÃO (COMPRESSÃO): 
 
 
- MÓDULO DE ELASTICIDADE INICIAL: 
Eci = fck E α .5600 para concretos C20 a C50; 
 Eci = 3 3/1 )25,1 10 10.5,21 . .( + fck 
α E para concretos C55 a C90. 
α E = 1,2 para basalto e diabásio 
α E = 1,0 para granito e gnaisse α E = 0,9 para calcário 
α E = 0,7 para arenito 
 
- MÓDULO DE ELASTICIDADE SECANTE: 
 
 
 
19 
 
- DIMENSÃO MÍNIMA DAS LAJES: 
a) 7 cm para cobertura não em balanço (a versão anterior considerava 5 cm!); 
 b) 8 cm para lajes de piso não em balanço 
c) 10 cm para lajes em balanço; 
d) 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN; 
e) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN; 
f) 15 cm para lajes com protensão apoiadas em vigas, com o mínimo de l 42/ para lajes de 
piso biapoiadas e l 50/ para lajes de piso contínuas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. REREFÊNCIAS BIBLIOGRÁFICA 
 
NBR 6118 (1978) Projeto e execução de obras de concreto armado. Rio de Janeiro, 
Associação Brasileira de Normas Técnicas. 
NBR 6118 (2001) Projeto de estruturas de concreto. Associação Brasileira de Normas 
Técnicas. (Projeto de revisão da NBR 6118). 
NBR 6120 (1980) Cargas para o cálculo de estruturas de edificações. Rio de Janeiro, 
Associação Brasileira de Normas Técnicas. 
PINHEIRO, L.M. (1993) Concreto armado: tabelas e ábacos. São Carlos, Escola de 
Engenharia de São Carlos, USP. 
BARES, R. (1972) Tablas para el calculo de placas y vigas pared. Barcelona, Gustavo Gili. 
SOUZA, V.C.M.; CUNHA, A.J.P. (1994). Lajes em Concreto Armado e Protendido. Niterói, 
Ed. da Universidade Federal Fluminense, 580p. 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Lajes alveolares pré-moldadas de 
concreto protendido — Requisitos e procedimentos, NBR 14861, Rio de Janeiro, ABNT, 
2011, 36p. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Armaduras treliçadas 
eletrossoldadas – Requisitos, NBR 14862, Rio de Janeiro, ABNT, 2002, 10p. BASTOS, 
P.S.S. Flexão Normal Simples – Vigas. Bauru/SP, Unesp - Departamento de Engenharia 
Civil, Notas de aula, Fev/2015,78p., disponível em: 
http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto1.htm