Exercicios Funcao Gamma Beta

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1 Exec´ıcios
Exercise 1 Calcule:
a)Γ(2) b)Γ(0) c)Γ(5) d)Γ(
7
2
) e)Γ(m+ 3) = 5! f)Γ(−2)
Exercise 2 Seja
Γ
(
n+
1
k
)
=
1 · 3 · 5 · 7 · · · (kn− 1)
kn
Γ(k)
Calcule:
a)Beta
(
1
2
,
1
2
)
b)Γ(
1
3
) c)Beta(1, 1)
Exercise 3 Use as formas de recorreˆncia da func¸a˜o gamma e beta para calcular
a)
∫ ∞
0
t2e−tdt b)
∫ ∞
0
√
te−tdt c)
∫ ∞
0
2te−t
2
dt
d)
∫ ∞
0
t1/4(1 + t)−2dt e)
∫ pi
2
0
sin3 x · cos5xdx f)
∫ pi
2
0
sin3x · cos2xdx
g)
∫ 1
0
t
2
3 (1− t)− 13dt
∫ ∞
0
y6e−y
2
dy h)
∫ ∞
0
1√
1 + x3
dx i)
∫ ∞
0
u1/3
1 + u2
du
Exercise 4 Calcule o que se pede:
• Suponha X = Γ(1
3
) e Y = Γ(1
6
), calcule
∫∞
0
6
√
x(1− x)− 43dx
• Prove que a igualdade √pi = Γ(1
2
) implica em
∫∞
0
e−x
2
dx =
√
pi
2
• Calcule ∫∞
0
x1/2e−axdx para a > 0.
Exercise 5 Sabendo da relac¸a˜o
Γ(x)Γ(1− x) = pi
senpix
obtenha
Γ(x+
1
2
)Γ(
1
2
− x) = pi
cos(pix)
Exercise 6 Seja a func¸a˜o densidade de probabilidade Gaussiana
f(x|µ, σ) = 1√
2piσ2
e−
1
2
(x−µ
σ
)2
Calcule a probabilidade para P [−∞ < x < +∞] = ∫ +∞−∞ f(x|µ, σ)dx