FUNDAMENTOS___MATERIAL_REFERENCIAL

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2018.1 
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N
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IA
S 
E
X
A
T
A
S 
Maricélia Soares 
UAM – Universidade Anhembi 
Morumbi 
 
Raimundo Almeida 
UNIFACS – Universidade Salvador 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Material referencial para uso na disciplina Fundamentos de Ciências Exatas. 
Contribuições: 
Danilo Sande 
Hugo Vasconcelos 
Ivana Barreto Matos 
João Tiago Assunção 
Julianna Pinele Porto 
Ricardo Noburo Igarashi 
 
2 
 
SUMÁRIO 
 
Fundamentos ..................................................................................................... 0 
1 ARITMÉTICA .............................................................................................. 6 
 Números Fracionários ........................................................................... 6 
1.1.1 Operações com Frações ................................................................ 7 
 Potenciação em Z ............................................................................... 11 
1.2.1 Propriedades da Potenciação em Z .............................................. 12 
 Radiciação em Z ................................................................................. 13 
1.3.1 Propriedades da Radiciação em Z ................................................ 14 
1.3.2 Simplificação de Radicais ............................................................. 15 
1.3.3 Operações com Radicais .............................................................. 16 
2 EXPRESSÕES ALGÉBRICAS E POLINÔMIOS ....................................... 24 
 Definição: Expressões Algébricas e Polinômios ................................. 24 
2.1.1 Divisão de Polinômios .................................................................. 24 
3 GRANDEZAS, PADRÕES E UNIDADES .................................................. 31 
 Introdução ........................................................................................... 31 
 O Sistema Internacional de Unidades (SI) .......................................... 31 
 Algarismos Significativos ..................................................................... 34 
3.3.1 Determinando os algarismos significativos de um número ........... 36 
 Arredondamento de Números ............................................................. 37 
 Potências de Base 10 ......................................................................... 38 
3.5.1 Prefixos das Potências de Base 10 .............................................. 39 
 Notação Científica ............................................................................... 40 
 Ordem de Grandeza............................................................................ 41 
D07. Cálculo da quantidade de soja exportada pelo Brasil. ...................... 52 
D08. Cálculo do volume do reservatório que atenderá às necessidades de 
uma família. ............................................................................................... 53 
4 FUNÇÕES: NOÇÕES GERAIS ................................................................. 55 
 Conceito .............................................................................................. 55 
4.1.1 Intervalos numéricos ..................................................................... 55 
 Noção intuitiva de função .................................................................... 56 
 Definição de função............................................................................. 56 
4.3.1 Definição .......................................................................................... 57 
4.3.2 Domínio, Contradomínio e Imagem .................................................. 58 
3 
 
A aplicação apresentada pode ser classificada como uma função? Nesse 
caso, através do diagrama de Venn (figura 3) é possível determinar o seu 
domínio, contradomínio e imagem? .............................................................. 58 
 Plano Cartesiano e esboço de gráfico de funções .............................. 59 
 Construção Gráfica ............................................................................. 60 
Toda curva esboçada num plano representa o gráfico de uma função? ...... 61 
 Análise do gráfico de uma função ....................................................... 62 
 Movimentação gráfica ......................................................................... 64 
4.7.1 Movimentos de Translações: ........................................................... 64 
4.7.2 Movimentos de Reflexões: ............................................................... 64 
 Gráficos de funções elementares ........................................................ 66 
5 FUNÇÕES AFINS E QUADRÁTICAS ....................................................... 81 
 Função Afim ........................................................................................ 81 
5.1.1 Raiz de uma função afim .............................................................. 81 
5.1.2 Gráfico de uma função afim .......................................................... 82 
5.1.3 Crescimento e Decrescimento de uma função afim ..................... 83 
 Função Quadrática .............................................................................. 84 
5.2.1 Raízes de uma Função Quadrática .............................................. 84 
5.2.2 Gráfico de uma função quadrática ................................................ 85 
6 CINEMÁTICA: NOÇÕES GERAIS ............................................................ 93 
 Introdução ........................................................................................... 93 
 Conceitos Fundamentais ..................................................................... 93 
7 MOVIMENTOS RETILÍNEOS ................................................................. 106 
 Movimento Uniforme ......................................................................... 106 
7.1.1 Funções Horárias ....................................................................... 106 
 Movimento Uniformemente Variado .................................................. 114 
7.2.1 Funções Horárias ....................................................................... 114 
8 EXPONENCIAIS E LOGARITMOS ......................................................... 121 
 Funções Exponenciais ...................................................................... 121 
 Gráfico de uma função exponencial .................................................. 121 
 Logaritmos ........................................................................................ 123 
 Propriedades dos Logaritmos ........................................................... 125 
 Funções Logarítmicas ....................................................................... 126 
 O Número de Nepper ........................................................................ 128 
9 TRIGONOMETRIA .................................................................................. 134 
 Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo .......................... 134 
 Relações entre Seno, Cosseno e Tangente (propriedades) ............. 135 
 Seno, Cosseno e Tangente dos Ângulos Notáveis ........................... 135 
4 
 
 Estudo da Circunferência Trigonométrica ......................................... 144 
9.4.1 Introdução ................................................................................... 144 
9.4.2 Conceitos Trigonométricos Básicos ............................................ 144 
9.4.3 Circunferência Trigonométrica .................................................... 150 
9.4.4 Arcos Côngruos ou Congruentes................................................ 151 
 Funções Trigonométricas ..................................................................155 
9.5.1 Função seno ............................................................................... 155 
9.5.2 Função cosseno ......................................................................... 156 
9.5.3 Função tangente ......................................................................... 157 
9.5.4 Outras funções Trigonométricas ................................................. 158 
10 GEOMETRIA ....................................................................................... 163 
 Formas Geométricas Bidimensionais ............................................ 163 
10.1.1 Triângulo ................................................................................. 163 
10.1.2 Paralelogramo ......................................................................... 164 
10.1.3 Trapézio .................................................................................. 165 
10.1.4 Polígonos ................................................................................ 165 
10.1.5 Círculo ..................................................................................... 167 
 Formas Geométricas Tridimensionais............................................ 170 
10.2.1 Prisma ..................................................................................... 170 
10.2.2 Pirâmide .................................................................................. 172 
10.2.3 Cilindro .................................................................................... 174 
10.2.4 Cone ........................................................................................ 174 
10.2.5 Esfera ...................................................................................... 175 
 Resumo .......................................................................................... 179 
11 VETORES ........................................................................................... 180 
 Noção Intuitiva ............................................................................... 180 
12 LEIS DE NEWTON .............................................................................. 187 
 Introdução ...................................................................................... 187 
 Força .............................................................................................. 187 
12.2.1 Força Resultante ..................................................................... 188 
 Equilíbrio ........................................................................................ 188 
 Princípio da Inércia ou 1ª Lei de Newton ....................................... 189 
 Massa de um Corpo ....................................................................... 190 
 Princípio Fundamental da Dinâmica ou 2ª Lei de Newton ............. 191 
 Medida de uma Força .................................................................... 192 
 Princípio da Ação e Reação ou 3ª Lei de Newton ......................... 192 
 Forças Especiais ............................................................................ 194 
5 
 
12.9.1 A Força Peso ........................................................................... 194 
12.9.2 Força de Atrito ......................................................................... 195 
12.9.3 Força de atrito estático ............................................................ 195 
12.9.4 Força de atrito cinético ............................................................ 196 
13 APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON .............................................. 203 
 Introdução ...................................................................................... 203 
 Equilíbrio ........................................................................................ 203 
 Equilíbrio Estático .......................................................................... 204 
 Equilíbrio Dinâmico ........................................................................ 207 
 Dinâmica ........................................................................................ 209 
13.5.1 Plano Horizontal ...................................................................... 209 
13.5.2 Plano Inclinado ........................................................................ 211 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................... 219 
 
 
 
6 
 
1 ARITMÉTICA 
 
 
 Números Fracionários 
 
Números fracionários são números que representam uma 
ou mais partes de uma unidade que foi dividida em partes iguais. 
Os números fracionários são representados por dois 
números inteiros (termos da fração) separados por um traço 
horizontal (traço de fração). 
O número de cima (numerador) pode ser qualquer 
número inteiro e o número de baixo (denominador) deverá ser 
diferente de zero. 
 
Exemplos de alguns tipos de fração: 
• Fração Própria: o numerador é menor que o denominador. Exemplo: 
4
3
. 
• Fração Imprópria: o numerador é maior que o denominador. Exemplo: 
2
9
. 
• Fração Mista ou Numeral Misto: constituída por uma parte inteira e uma fracionária. 
Exemplo: 
3
12 . 
• Frações Equivalentes: frações que mantêm a mesma proporção de outra fração. Exemplo: 
2
5
 e 
4
10
. 
• Fração Irredutível: não pode ser simplificada. Exemplo: 
3
4
. 
• Fração Decimal: o denominador é uma potência de base 10. Exemplo: 
100
8
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Qualquer número escrito na forma de fração é um número 
fracionário? 
Pode parecer estranho, mas a resposta é não! 
Primeiro porque a definição diz que números fracionários são números que 
representam uma ou mais partes de um todo. 
Por exemplo, o número 
2
10
, que está escrito na forma de fração não é um 
número fracionário, porque representa o número 5 e este não é parte de um todo. 
Também o número 
3
2
está escrito na forma de fração, mas não é um número 
fracionário, porque o numerador não é um número inteiro. 
 
7 
 
1.1.1 Operações com Frações 
 
 Adição
 
A soma ou adição de frações requer que todas as frações envolvidas possuam o mesmo 
denominador. Se inicialmente todas as frações já possuírem um denominador comum, basta que 
realizemos a soma de todos os numeradores e mantenhamos este denominador comum. 
Exemplos: 
a) Adição de frações com os mesmos denominadores: ?
7
3
7
2
7
1
=++ 
Podemos observar que todas elas possuem o denominador 7. 
Neste caso a fração final terá como numerador a soma dos números 1, 2 e 3, assim como 
terá o mesmo denominador 7. 
Portanto: 
7
6
7
321
7
3
7
2
7
1
=
++
=++
 
 
b) Adição de frações com denominadores distintos 
 
• Através de Frações Equivalentes: ?
5
4
3
2
=+ 
O uso das frações equivalentes para somar ou subtrair frações é um recurso muito bom. 
Vamos analisar passo a passo o procedimento. 
1º Passo: As frações não possuem o mesmo denominador. Então precisamos encontrar um 
denominador igual (comum) que é um múltiplo de 3 e 5 ao mesmo tempo. 
Múltiplos de 3 e 5 (sem considerar o zero): 15, 30, 45,... 
Logo um desses múltiplos pode ser o denominador das frações equivalentes. Vamos escolher o 
número 15. 
 
2º Passo: Nessa etapa vamos descobrir o termo que falta para tornar as frações equivalentes. 
 
3
2
 = 
15
?
 (3 × 5 = 15. Logo o numerador da fração equivalente deve ser multiplicado por 
5). 
É o número 10. Então 
3
2
 será substituída por 
15
10
. 
5
4
 = 
15
?
 (5 × 3 = 15. Logo o numerador da fração equivalente deve ser multiplicado por 3). 
É o número 12. Então 
5
4
 será substituída por 
15
12
. 
8 
 
Deste modo, a soma 
5
4
3
2
+ será substituída por 
15
22
15
12
15
10
=+ .• Através do MMC (Mínimo Múltiplo Comum): ?
13
3
5
2
3
1
=++ 
Neste caso não podemos simplesmente realizar a soma dos numeradores. 
Primeiramente devemos converter todas as frações ao mesmo denominador. 
O denominador escolhido será o mínimo múltiplo comum dos denominadores. 
 
 
 
 
 
Deste modo o MMC(3, 5, 13) = 195 e todas as frações terão este denominador comum. 
O novo numerador de cada uma delas será apurado, dividindo-se 195 pelo seu denominador 
atual e em seguida multiplicando-se o produto encontrado pelo numerador original. 
• Para 
3
1
temos que: 195 ÷ 3 × 1 = 65, logo: 
195
65
3
1
= . 
• Para 
5
2
 
temos que: 195 ÷ 5 × 2 = 78, logo: 
195
78
5
2
= . 
• Para 
13
3
temos que: 195 ÷ 13 × 3 = 45, logo: 
195
45
13
3
=
. 
Obtemos assim, três frações equivalentes às frações originais sendo que todas contendo o 
denominador 195. Agora resta-nos proceder como no primeiro exemplo: 
195
188
195
457865
195
45
195
78
195
65
=
++
=++ 
 
No caso de adição de frações mistas devemos colocar a parte fracionária toda com o 
mesmo denominador e depois realizarmos separadamente a soma das partes inteiras e das partes 
fracionárias: 
24
199
24
35
24
164
8
15
3
24 =+=+ 
Podemos também transformar as frações mistas em impróprias antes de realizarmos a operação 
de soma: 
24
235
24
123112
8
41
3
14
8
1
8
40
3
2
3
12
8
15
3
24 =+=+=





++





+=+ 
 
 
 
3, 5, 13 
1, 5, 13 
1, 1, 13 
1, 1, 13 
3 
5 
13 
 3·5·13 = 195 
= 
9 
 
 Subtração 
 
 
A diferença ou subtração de frações, assim como a adição, também requer que todas as 
frações contenham um denominador comum. 
Quando as frações possuírem um mesmo denominador, temos apenas que subtrair um 
numerador do outro, mantendo-se este denominador comum. 
Exemplos: 
a) Subtração de frações com os mesmos denominadores: ?
9
2
9
1
9
8
=−− 
Observamos que todas as frações possuem o denominador 9. 
Neste caso a fração final terá como numerador a diferença dos numeradores, assim como 
irá manter o denominador 9. 
Portanto: 
9
5
9
218
9
2
9
1
9
8
=
−−
=−−
 
 
b) Subtração de frações com denominadores distintos: ?
7
2
3
1
9
8
=−− 
Como as frações não possuem todas o mesmo denominador, primeiramente devemos 
apurar o MMC(9, 3, 7) para utilizá-lo como denominador comum. 
Sabemos que o MMC(9, 3, 7) = 63. Logo utilizaremos 63 como o denominador comum. 
Como já visto, para encontrarmos as frações equivalentes às do exemplo, que possuam o 
denominador igual a 63, para cada uma delas iremos dividir 63 pelo seu denominador e em 
seguida multiplicaremos o resultado pelo seu numerador. 
• Para 
9
8
temos que: 63 ÷ 9 × 8 = 56, logo: 
63
56
9
8
= . 
• Para 
3
1
 
temos que: 63 ÷ 3 × 1 = 21, logo: 
63
21
3
1
= . 
• Para 
7
2
temos que: 63 ÷ 7 × 2 = 18, logo: 
63
18
7
2
=
. 
Finalmente podemos realizar a subtração: 
63
17
63
182156
63
18
63
21
63
56
7
2
3
1
9
8
=
−−
=−−=−− 
Assim como na adição, no caso da subtração de frações mistas também devemos colocar a 
parte fracionária toda com o mesmo denominador e depois realizarmos separadamente a subtração 
das partes inteiras e das partes fracionárias: 
10 
 
20
34
20
53
20
87
4
13
5
27 =−=− 
Alternativamente podemos transformar as frações mistas em impróprias antes de 
realizarmos a operação de subtração: 
20
83
20
65148
4
13
5
37
4
1
4
12
5
2
5
35
4
13
5
27 =−=−=





+−





+==− 
 
 Multiplicação
 
 
Ao menos conceitualmente, a multiplicação ou produto de frações, talvez seja a mais 
simples das operações aritméticas que as envolvem. 
Diferentemente da adição e da subtração, a multiplicação não requer que tenhamos um 
denominador comum. Para realizarmos o produto de frações, basta que multipliquemos os seus 
numerados entre si, fazendo-se o mesmo em relação aos seus denominadores. 
Exemplos: 
a) 
105
8
753
421
7
4
5
2
3
1
=
⋅⋅
⋅⋅
=⋅⋅
 
b) 
27
40
333
425
3
4
3
2
3
5
=
⋅⋅
⋅⋅
=⋅⋅
 
c) 
32
1120
32
651
84
2131
8
21
4
31
8
52
4
37 ==
⋅
⋅
=⋅=⋅ 
 
 
 
 Divisão
 
A divisão de frações resume-se a inversão das frações divisoras, trocando-se o seu 
numerador pelo seu denominador e realizando-se então a multiplicação das novas frações. 
Exemplos: 
a) 
154
65
7
13
2
5
11
1
13
7
:
5
2
:
11
1
=⋅⋅=
 
b) 
27
40
333
425
3
4
3
2
3
5
=
⋅⋅
⋅⋅
=⋅⋅
 
c) 
32
1120
32
651
84
2131
8
21
4
31
8
52
4
37 ==
⋅
⋅
=⋅=⋅ 
 
 
= 
A multiplicação de frações 
mistas deve ser precedida da 
conversão das mesmas em 
frações impróprias. 
A divisão de frações mistas 
segue o mesmo princípio, no 
entanto devemos primeiramente 
convertê-las em frações 
impróprias. 
 
11 
 
 Múltiplas Operações
 
 
Assim como nas operações aritméticas com números naturais também nas operações 
aritméticas com frações a multiplicação e a divisão têm precedência sobre a adição e a subtração. 
Por isto, em expressões compostas que envolvam múltiplas operações, devemos primeiro realizar 
as operações de multiplicação e de divisão e por último as operações de soma e subtração. 
Exemplo: 
1155
454
1155
195264385
77
13
35
8
3
1
11
13
7
1
35
8
3
1
13
11
:
7
1
35
8
3
1
13
11
:
7
1
75
42
3
1
13
11
:
7
1
7
4
5
2
3
1
=
−+
=−+
=⋅−+
=−+
=−
⋅
⋅
+
=−⋅+
 
 
 
 
 Potenciação em Z 
 
Potenciação é uma operação unária1 usada em Aritmética para indicar a multiplicação de 
uma dada base por ela mesma tantas vezes quanto indicar o expoente. O uso desta operação é 
muito costumeiro, tendo em vista que as potências estão envolvidas em grande variedade de 
problemas de cálculo e técnicas estatísticas. 
 
Dados dois números naturais a e n, chama-se potência n de a, e representa-se por an, ao 
número obtido efetuando o produto de n fatores iguais a a. 
 
an = a ⋅ a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a 
 
 
 
1
 Em Matemática, denominamos de unária à operação que possui apenas um operador, ou seja, trata-se de uma função com somente 
uma variável de entrada. 
Primeiramente executamos a multiplicação. 
Em seguida, executamos a divisão. 
Agora podemos utilizar o MMC(3, 35, 77) = 1155 como o 
denominador comum das frações e realizarmos a soma e a subtração. 
 n parcelas iguais 
12 
 
Chamamos a de base, n de expoente e ao resultado da operação an denominamos potência. 
Decorrentes da definição e das propriedades da multiplicação têm-se que: 
• 1n = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ ... ⋅ 1 = 1 
• 0n = 0 
 
1.2.1 Propriedades da Potenciação em Z 
 
Das propriedades básicas da potenciação de números inteiros, destacamos as seguintes: 
 
• Produto de potências de mesma base: ∀a, m, n ∈ Z, temos que: 
 
am ⋅ an = am + n 
 
Exemplos: a) 23 ⋅ 24 = 23+4 = 27 b) 3-3 ⋅ 34 = 3-3+4 = 31 = 3 c) 105 ⋅ 103 = 108 
 
 
• Quociente de potências de mesma base: ∀a, m, n ∈ Z, temos que: 
 
nm
n
m
a
a
a
−
= 
 
Exemplos: a) 
2
12
2
2 1
4
3
==
−
 b) 3333
3
3 143)4(3
4 ====
+−−−−
−
−3
 c)
 
1001010
10
10 235
3
5
===
−
 
 
 
 
 
• Distributiva em relação ao produto e divisão:∀a, b, m ∈ Z, temos que: 
 
(a ⋅ b)m = am ⋅ bm e 
m
mm
b
a
b
a
=





 
 
Exemplos: a) (2 ⋅ 3)3 = 23 ⋅ 33 = 8 ⋅ 27 = 216 
b) 
3375
1
125
1
27
1
5
1
3
153)53( 33333 =⋅=⋅=⋅=⋅ −−− 
c) 9
25
3
5
3
5
2
22
==





 
d) 
27
8
3
2
3
2
3
33
==





 
 
13 
 
• Potência de potência: ∀a, m, n ∈ Z, temos que: 
 
(am)n = am ⋅ n 
 
Exemplos: a) (23)2 = 26 = 64 b) 
729
1
3
13)3( 6623 === −− c) (102)3 = 106 = 1.000.000 
 
 
 Atenção: 
• Observe a diferença entre as expressões nm )a( e nma . 
Por exemplo: 6422)2( 62323 === ⋅ , enquanto que 
512222 9333
2
===
⋅
. 
• Se n = 1, então: a1 = a. Por exemplo 
4
3
4
3 1
−=





− . 
• Se n = 0 e a ≠ 0, então: a0 = 1. Por exemplo 1
4
3 0
=





− . 
• Se n = -1 e a ≠ 0, então: 
a
1
a 1 =− . 
 
 
Exemplos: a) 
3
13 1 =− b) 3
5
5/3
1
5
3 1
==





−
 c) 
2
3
3/2
1
3
2 1
−=
−
=





−
−
 
 
 
 Radiciação em Z 
 
O termo radiciação pode ser entendido como uma operação que, se fornecida uma potência 
de um número e o seu grau, pode-se determinar esse número, ou seja, uma operação recíproca à 
potenciação. 
Dados três números naturais a, b, n tais que a = bn. O número b é dito raiz de índice n de a 
e representa-se pelo símbolo n a . 
 
Assim, a = bn implica que ban = , 
onde a é dito radicando e n índice do radical, a b chamamos de raiz enésima. 
 
 
 
14 
 
1.3.1 Propriedades da Radiciação em Z 
 
 
Das propriedades básicas da radiciação, destacamos as seguintes: 
 
• Distributiva em relação ao produto e à divisão: ∀a, b, m ∈ Z, temos que: 
 
nnn baba ⋅=⋅ 
e 
n
n
n
b
a
b
a
=
 
 
 
Exemplos: a)
 
333 1025 =⋅ b) 
3
2
27
8
27
8
3
3
3 == 
 
• ∀a, m, n ∈ Z, temos que: 
 
( ) n mn aa =m
 
 
Exemplos: a)
 
( ) 222 3 333 ==
 
b)
 
( ) 32288 5533 5 ===
 
c)
 
( ) 2555555555 3 33 33 333 663 =⋅=⋅=⋅==
 
 
 
 
 
 
• ∀a, m, n ∈ Z, temos que: 
n
m
n m aa = 
 
Exemplos: a)
 
( ) 2222 13333 ===
 
b)
 
8222 33
9
3 9
===
 
 
 
 
 
• ∀a, m, n ∈ Z, temos que: 
15 
 
 
nmm n aa ⋅=
 
 
Exemplos:
 
a) 22646464 6 66233 ==== ⋅
 
 b) 10000.10000.10 4 ==
 
 c) 63 2525 =
 
 
As propriedades são válidas apenas para as divisões e radiciações possíveis. 
 
 
 
1.3.2 Simplificação de Radicais 
 
 
Para viabilizar o trabalho com radicais é conveniente transformá-los, colocando-os na 
forma mais simples possível. Essa forma simplificada é obtida através das propriedades dos 
radicais. 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
 
 
 
a) 10410252252252160 2445 =⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
160 
80 
40 
20 
10 
5 
1 
2 
2 
2 
2 
2 
5 
 
 160 = 25 · 5 
16 
 
 
 
b) 333 33 33 43 222222216 =⋅=⋅==
 
 
 
 
 
 
1.3.3 Operações com Radicais 
 
 
Para operar com radicais, usamos suas propriedades e as propriedades operatórias da adição 
e multiplicação de números reais (comutativa, associativa e distributiva). 
Vejamos alguns exemplos: 
 
a) 575)236(525356 =−+=−+ 
Lembre-se que só é possível adicionar radicais com mesmo índice e mesmo radicando. 
 
b) 2182621222323483184 =+=⋅+⋅=+ 
Observe que neste exemplo, fez-se necessário, inicialmente, o processo de simplificação de 
radicais, tendo em vista que só é possível adicionar radicais com mesmo índice e mesmo 
radicando. 
 
c) ( ) 33333 61532)53(3523 =⋅⋅⋅=⋅ 
Lembre-se que só é possível o produto de radicais com mesmo índice. 
 
d) 22
3
6
2
4
32
6432:64 === 
De igual modo ao produto, só é possível o quociente de radicais com mesmo índice. 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
8 
4 
2 
1 
2 
2 
2 
2 
 
 16 = 24 
17 
 
Atividades de Aprendizagem 
 
Exercícios Teóricos 
 
E01. Calcule as expressões numéricas e apresente a resposta na forma de fração irredutível: 
a) 
=+− 2
3
1
7
3
 
b) =−
8
3
8
5
 
c) 
=−+
3
2
4
1
6
3
 
d) =+
7
5
4
3
 e) =−+
9
1
9
3
9
2
 
f) =−
12
52 g) =+−
10
7
3
21
5
41
h) 
=+
5
32
5
13 
i) 
=−+
10
92
2
11 
j) 
=−+−
4
3
6
5
3
1
2
1
 
 
E02. Efetue as multiplicações e apresente a resposta na forma de fração irredutível: 
a) =
2
1
.
4
3
 b) =
4
3
.
7
9
 c) =
8
7
.
5
8
 d) =
17
4
.
7
17
 e) =
5
8
.
4
1
.
3
2
 
f) =
6
49
.
7
2
.
5
14
 g) =
16
45
.
3
1
.
15
8
 h) =
3
14
.
9
4
.
7
3
 i) =
2
9
.
3
25
.
5
6
 j) =
8
5
.
14
7
.
15
16
 
 
E03. Efetue as divisões e apresente a resposta na forma de fração irredutível: 
a) =
3
2
:
5
4
 b) =
3
14
:
9
7
 c) =
8
3
:
4
3
 d) =
15
12
:
5
24
 
e) =
7
2
6
 
f) =2:
5
4
 g) =
9
5
:
3
10
 h) =
5
4
:2 i) =
17
25
:
34
100
 
j) =
8
3
24
12
 
E04. Calcule: 
a) =





2
2
1
 b) =





4
3
1
 c) =





0
3
2
 d) =





5
3
2
 e) =





2
2
3
 
f) =





3
2
11
 g) =





2
3
4
 h) =





0
9
11
 i) =





3
2
1
 j) =





2
4
72
 
k) =





3
3
13
 l) =





2
6
5
 m) =





3
8
7
 n) =





4
5
2
 o) =





1
7
2
 
 
 
 
 
 
18 
 
E05. Calcule o valor das expressões numéricas: 
a) =





−+





−
3
2
4
5
5
2
2
3
 
b) =





−+





−
9
7
9
8
6
5
8
7
 
c) =





−−





−+
4
5
4
7
5
1
2
11 
d) =





+−+





+
6
1
2
12
4
1
3
1
 
e) 












−+





−−−
4
31
3
11
2
3
6
7
= 
f) 
=+











−−+





+
3
2
8
51
4
1
3
1
2
1
 
g) =





−−





+
3
2
4
5
5
2
2
3
 
h) 
4
111
5
3
:
2
13
.
169
12
22
−








+





= 
i) =





−





+
8
7
7
8
.
3
4
4
3
 
j) 
3
7
.
2
3
5
2
.
3
1
5
3
.
2
1
+− = 
k) 











+−−
5
1
2
1
.
4
13
2
117 = 
l) 






+−





+
5
1
.
2
1
6
1
.
5
1
3
1
.
2
1
5
1
.
2
1
= 
 
m) 






+




+





++
4
13.
3
112.
2
11
2
3
= 
n) 4
5.
25
7
10
3
.
3
2
2.
14
3
7
4
.
2
3
+
+
−
= 
o) 
=





−





+
4
3
.
2
12:
5
7
.
7
10
5
3
.
3
1
p) =














6
1
:
25
27
:
5
3 2
 
 
 
E06. Observe o gráfico ao lado e responda: 
a) Qual é a fração que representa o todo-referência? 
b) Qual é a fração que está faltando? 
 
 
 
 
 
E07. Em uma caixa foram colocadas 120 bolinhas coloridas. Dessas bolas: 
• 
6
1
 é azul; • 
5
2
 são vermelhas; • 
10
3
 são verdes; 
• O restante é amarela. 
Com as informações acima, determine a quantidade de bolinhas de cada cor: 
a) azuis; b) vermelhas; c) verdes; 
d) amarelas. 
 
 
19 
 
E08. Uma prova para selecionar candidatos para trabalhar em um banco era formada por 
questões de Português, Matemática e Sistema Bancário. Nessa prova, 
5
2
 do total das questões 
eram de Matemática e 
3
1
 de Português. 
a) Qual é a fração que representa a parte das questões de Português e Matemática? 
b) Qual é a fração que representa a parte das questões sobre o Sistema Bancário? 
 
E09. Considere os seguintes números: 
 
 
 
 
 
 
 
Escreva as frações em ordem crescente. 
 
E10. Num quintal há 60 árvores. As mangueiras representam 
5
2
 das árvores, as jaqueiras, 
4
1
 e o 
restante das árvores são goiabeiras. 
a) Que fração representa a soma das mangueiras e das jaqueiras? _____________ 
b) Que fração representa as goiabeiras? ____________ 
c) Quantas mangueiras há? ________________ 
d) Quantas jaqueiras há? __________________ 
 
E11. Classifique como V (verdadeiro) ou F (falso) as afirmativas abaixo: 
 
________ Em duas frações de mesmo denominador, a maior é a que possui maior numerador. 
 
________ Em duas frações de mesmo numerador, a maior é a que possui menor denominador. 
 
________ Em duas frações de mesmo numerador, a maior é a que possui maior denominador. 
 
________ 
7
3
5
2
2
1
=+ . 
 
________ 200de%60 tem o mesmo valor que o triplo da quinta parte de 200. 
________ Na malha ao lado estão pintados 
4
1
16
3
+ do total de quadradinhos. 
 
 
E12. Classifique as seguintes frações como próprias, impróprias ou aparentes: 
 
 
4
5
 
10
12
 
 
100
3
4
7
 2
1
 
5
4
 
5
3
 
20 
 
E13. Passe para a forma mista as seguintes frações impróprias: 
a) 
5
26
 b) 
13
147
 c) 
8
125
 
d) 
2
59
 e) 
6
47
 f) 
25
1313
 
 
E14. Transforme as frações mistas em frações impróprias. 
a) 
3
12 b) 
3
11 c) 
7
21 
d) 
5
32 e) 
7
24 f) 
11
53 
 
E15. Coloque um dos sinais de ordem (<, >, =) entre as frações, tornando a relação verdadeira: 
a) 
7
1
____
14
2
 b) 
6
32 ____
8
52 c) 
2
3
____
3
4
 d) 
4
11
____
3
4
 
e) 
5
2
____
7
3
 f) 
4
7
____
5
8
 g) 
4
10
____
6
15
 h) 
4
13 ____
4
12 
 
E16. Usando a equivalência de frações, descubra o número que deve ser colocado no lugar da 
letra x para que se tenha: 
a) 
x
14
9
7
= b) 
28
x
7
4
= c) 
12
x
2
7
= d) 
2
x
30
15
= 
e) 
x
9
11
3
= f) 
40
x
8
1
= g) 
x
1
18
6
= h) 
x
10
12
40
= 
 
E17. Reduza as frações ao mesmo denominador comum: 
a) 
8
1
,
4
1
,
2
1
 b) 
9
1
,
3
1
,
6
1
 c) 
5
9
,
2
3
,
4
5
 d) 
5
2
,
6
5
,
15
4
,
10
7
 
 
 
Respostas dos Exercícios Teóricos: 
E01. 
a) 
21
44
 b) 
4
1
 c) 
12
1
 d) 
28
41
 e) 
9
4
 
f) 
12
19
 g) 
6
5
 h) 
5
29
 i) 
5
13
 j) 
4
1
 
 
 
 
21 
 
E02. 
a) 
8
3
 b) 
28
27
 c) 
5
7
 d) 
7
4
 e) 
15
4
 
f) 
15
98
 g) 
2
1
 h) 
9
8
 
i) 45 j) 
3
1
 
 
E03. 
a) 
5
6
 b) 
6
1
 
c) 2 d) 6 
e) 
7
3
 
f) 
5
2
 
g) 6 h) 
2
5
 
i) 2 j) 
3
4
 
 
E04. 
a) 
4
1
 b) 
81
1
 
c) 1 d) 
243
32
 e) 
4
9
 
f) 
8
27
 g) 
9
16
 
h) 1 i) 
8
1
 j) 
16
225
 
k) 
27
1000
 l) 
36
25
 m) 
512
343
 n) 
625
16
 o) 
7
2
 
 
 
E05. 
a) 
60
101
 
b) 
72
11
 
c) 
5
4
 
d) 
4
9
 
e) 
12
1
 
f) 
8
11
 
 
g) 
60
79
 
h) 
4
133
 
i) 
224
125
 
j) 
3
11
 
k) 
40
151
 
l) 
100
13
 
 
m) 
4
71
 
n) 
56
239
 
o) 
65
88
 
p) 2 
 
E06. a) 
12
12
 
b) 
6
1
 
 
E07. a) 20 b) 48 c) 36 d) 16 
 
22 
 
E08. a) 
15
11
 
b) 
15
4
 
 
E09. 
4
7
4
5
10
12
5
4
5
3
2
1
100
3
<<<<<< 
 
E10. a) 
20
13
 
b) 
20
7
 
c) 24 d) 15 
 
E11. V – V – F – F – V – V 
 
E12. Própria – Aparente – Própria – Imprópria – Aparente – Própria – Aparente. 
 
E13. 
a) 
5
15 b) 
13
411 c) 
8
515 
d) 
2
129 e) 
6
57 f) 
25
1352 
 
E14. 
a) 
3
7
 b) 
3
4
 c) 
7
9
 
d) 
5
13
 e) 
7
30
 f) 
11
38
 
 
E15. 
a) 
7
1
=
14
2
 b) 
6
32 <
8
52 c) 
2
3
>
3
4
 d) 
4
11
>
3
4
 
e) 
5
2
<
7
3
 f) 
4
7
>
5
8
 g) 
4
10
=
6
15
 h) 
4
13 >
4
12 
 
E16. 
a) 
18
14
9
7
= b) 
28
16
7
4
= c) 
12
42
2
7
= d) 
2
1
30
15
= 
e) 
33
9
11
3
= f) 
40
5
8
1
= g) 
3
1
18
6
= h) 
3
10
12
40
= 
 
E17. 
a) 
8
1
,
8
2
,
8
4
 b) 
18
2
,
18
6
,
18
3
 c) 
20
36
,
20
30
,
20
25
 d) 
30
12
,
30
25
,
30
8
,
30
21
 
23 
 
E18. Assinale V (verdadeiro) ou F (falso), considerando as propriedades da potenciação: 
a) ______ 60203 222 =⋅
 
d) ______ 
4
49
7
2 2
=





−
 
 
b) ______ 333 32)32( +=+
 
 
e) ______ ( ) 1642 55 =
 
 
c) ______ ( ) 632 33 =
 
 
f) ______ 7
2
5
3
3
3
=
−
 
 
 
E19. Efetue, observando as definições e propriedades: 
a) ( ) =− 32 _______
 
b) =201 _________ 
c) =1500 ________ 
d) =0100 ________ 
e) =30 _________ 
f) =





−1
3
4
______ 
g) =−15 ________ 
h) =−32 ________ 
i) ( ) =− 43 ________
 
j) ( ) =35,0 ________ 
k) =− 215 ________ 
l) =090 ________ 
m) =200 ________ 
n) =





−1
2
1
________ 
o) =





−2
3
2
________ 
p) =





3
5
4
________ 
 
E20. Calcule o valor da expressão 
32
3
5
2
2
3)2(
−






+





−+−
. 
E21. Efetue as adições algébricas com radicais, observando as propriedades estudadas: 
a) =−+ 56553 b) =+−+ 5555 3323235 
c) =+−+ 39223624 d) =−++− 45254 33e) =++− 55 3333323 2 f) =−++ 25723 
 
E22. Reduza os radicais a uma expressão na forma ba , com a e b inteiros, fazendo uso de 
simplificação de radicais: 
a) =+ 4520 b) =−+ 81850 
c) =− 125272 d) =− 7634 
e) =−+ 729850 f) =++ 1087512 
 
E23. O valor da expressão 2112 )2()2()2()2( −+−+−+− −− é igual a: 
a)  -1 b)  -3 c)  4
9
− d)  
4
7
 e)  0 
24 
 
2 EXPRESSÕES ALGÉBRICAS E POLINÔMIOS 
 
 Definição: Expressões Algébricas e Polinômios 
 
Chama-se expressão algébrica qualquer agrupamento de letras e números ligados por 
sinais de operações. O elemento fundamental da expressão algébrica é o termo, ou seja, um 
conjunto de letras e números ligados por operações quaisquer, exceto a adição e a subtração. 
Exemplo: Expressão Algébrica: 
ab2
xy3yx2ba
2
22
−+ . Termos: ba 2 ; yx2 2 ; 
 
ab2
xy3 2
−
 
Chama-se polinômio de grau n (n inteiro e positivo) na variável x, a expressão algébrica 
do tipo: 
 
P(x) = a0(x)n + a1(x)n−1 + a2(x)n−2 + ... + an−1(x) + an, onde a0, a1, a2, ..., na são números quaisquer 
e a0 ≠ 0. 
 
 
2.1.1 Divisão de Polinômios 
 
A divisão de polinômios estrutura-se em um algoritmo, podemos enunciá-lo como sendo a 
divisão de um polinômio D(x) por um polinômio não nulo E(x), de modo a obter os polinômios 
Q(x) e R(x). Esse algoritmo da divisão pode ser expresso pelo Método de Descartes também 
conhecido como Método dos coeficientes determinantes, da seguinte forma: E(x) × Q(x) + R(x) 
= D(x), ou seja: Quociente × Divisor + Resto = Dividendo. 
 
♦ Método da Chave: neste método, realizamos a divisão entre os coeficientes numéricos e a 
divisão de potências de mesma base, conservando a base e subtraindo os expoentes. Quando 
trabalhamos com divisão, utilizamos também a multiplicação no processo. 
Observe o seguinte esquema: 
 
 
Quociente × Divisor + Resto = Dividendo 
 
Vamos dividir um polinômio por um monômio, com o intuito de entendermos o processo 
operatório. 
25 
 
Exemplo 01: Dividir o polinômio 12x3 + 4x2 – 8x por 4x. 
Resolução: 
 
Caso queira verificar se a divisão está correta, basta multiplicar o quociente pelo divisor, com 
vistas a obter o dividendo como resultado. 
Verificando: Quociente × Divisor + Resto = Dividendo 
4x × (3x² + x – 2) + 0 = 
= 12x³ + 4x² – 8x 
Caso isso ocorra, a divisão está correta. 
 
Exemplo 02: Dividir o polinômio 10x2 – 43x + 40 por 2x – 5. 
Resolução: 
 
Verificando: Quociente × Divisor + Resto = Dividendo 
 (2x – 5) × (5x – 9) + (–5) = 
= 10x² – 18x – 25x + 45 + (–5) = 
= 10x² – 43x + 45 – 5 = 
= 10x² – 43x + 40 
 
Exemplo 03: Dividir o polinômio 6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5 por 2x2 – 4x + 5. 
Resolução: 
 
 
 
 
26 
 
Verificando: Quociente × Divisor + Resto = Dividendo 
(3x² + x – 1) × (2x² – 4x + 5) + 0 = 
= 6x4 – 12x³ + 15x² + 2x³ – 4x² + 5x – 2x² + 4x – 5 = 
= 6x4 – 10x³ + 9x² + 9x – 5 
 
Exemplo 04: Dividir o polinômio 12x3 – 19x2 + 15x – 3 por 3x2 – x + 2. 
Resolução: 
 
Verificando: Quociente × Divisor + Resto = Dividendo 
(4x – 5) × (3x² – x + 2) + (2x + 7) = 
= 12x³ – 4x² + 8x – 15x² + 5x – 10 + (2x + 7) = 
= 12x³ – 19x² + 13x – 10 + 2x + 7 = 
= 12x³ – 19x² + 15x – 3 
 
♦ Dispositivo de Briot-Ruffini: a divisão de um polinômio P(x) por um binômio da forma (x – 
a) também pode ser feita utilizando-se o dispositivo de Briot-Ruffini. Este algoritmo se 
caracteriza pela sua agilidade na divisão de polinômios por binômios do 1º grau do tipo (x – a). 
Vamos analisar o exemplo detalhado, apresentado em Barroso (2008, p.178): 
 
Exemplo: Vamos determinar o quociente e o resto da divisão de P(x) = 2x3 – 4x + 1 por D(x) = 
x – 4, utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini. 
Resolução: Inicialmente, colocamos os coeficientes de P(x) em ordem decrescente segundo o 
grau do termo e completamos com zero, caso necessário. Assim, temos P(x) = 2x3 + 0x2 – 4x + 
1. 
 
Dispomos os valores que participam do 
cálculo para montar o dispositivo. 
 
27 
 
Repetimos o coefiente dominante do 
dividendo P(x) na linha de baixo. 
 
Multiplicamos o valor de a por esse 
coeficiente e somamos o produto obtido 
com o próximo coeficiente de P(x), 
colocando o resultado abaixo dele. 
 
Multiplicamos o valor de a pelo resultado 
que acabamos de obter, somamos o 
produto com o próximo coeficiente de 
P(x) e colocamos esse novo resultado 
abaixo desse coeficiente. 
 
Repetimos o processo até o último 
coefiente de P(x), que está separado, à 
direita. 
 
 
 
Fonte: Barroso et al, 2008, p.174. 
 
O último resultado é o resto da divisão, e os demais números obtidos são os coeficientes 
do quociente, dispostos ordenadamente segundo as potências decrescentes de x. 
Dessa forma, no exemplo apresentado no quadro acima, temos que Q(x) = 2x2 + 8x + 28 e 
R(x) = 113. 
 
2.1.1.1 Fatoração 
 
Fatorar uma expressão algébrica é transformá-la num produto utilizando, em geral, a lei 
distributiva. 
Exemplo: A3B + A2C – A2D = A2⋅(AB + C – D) → neste caso, o fator comum A2 foi colocado 
em evidência. 
 
 
 
28 
 
1º Caso: Fator Comum 
 
2ax3 + 6bx2 = 2⋅a⋅x⋅x2 + 2⋅3⋅b⋅x2 = 2x2⋅(ax + 3b) 
 
 
 
 
 
 
2º Caso: Agrupamento 
 
ax + bx + ay + by = x⋅(a + b) + y⋅(a + b) = (a + b)⋅(x + y) 
 
 
 
 
 
 
3º Caso: Diferença de Quadrados 
 
a2 – b2 = (a + b)⋅(a – b) 
 
 
 
 
 
 
4º Caso: Quadrado Perfeito 
 
a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 
 
 
 
 
 
 
5º Caso: Cubo Perfeito 
 
a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 = (a ± b)3 
6º Caso: Soma e Diferença de Cubos 
 
a3 + b3 = (a + b)⋅(a2 – ab + b2) 
a3 − b3 = (a − b)⋅(a2 + ab + b2) 
 
 
 
 
 
 
7º Caso: Trinômio do 2º Grau 
 
ax2 + bx + c = a⋅(x – x1)⋅(x – x2), onde x1, x2 são raízes da equação ax2 + bx + c = 0. 
 
2.1.1.2 Frações Algébricas 
 
São frações que contém expressões algébricas no numerador e no denominador. Se for 
possível fatorar o numerador e o denominador e a fatoração apresentar fatores iguais, então 
podemos cancelar os fatores comuns. 
Exemplo: 1x2
x3
)1x2(x3
x3
x3x6 2
−=
−⋅
=
−
 CORRETO 
 1x6
x3
x3x6 22
−=
−
 INCORRETO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
Atividades de Aprendizagem 
 
Exercícios Teóricos 
 
E01. Efetue as operações: 
a) (2x2 – 3x + 1) + (2x – 3) + (4x2 + 5) 
b) (2x2 – 6x – 5) − (x2 – 3x – 5) 
c) (2x – 1)(x2 – 3x + 5) 
d) (x – 3y)(x2 – 3xy + y2) 
e) (3x – 1)(x + 2) – (x – 2)2 
f) 2(x – 2)3 – (x – 2)2 – 3(x – 2) 
g) (x + 2y)3 
h) (s + 7)(s – 2) 
i) (u – 3)(u + 3) 
j) (c – 9)(c – 6) 
k) (a + b)(a – b) 
l) (3y + 2)(3y – 2) 
 
E02. Efetue as divisões: 
a) 6x2 – x + 2 por 3x – 2 
b) 4x4 – 10x – 9x2 – 10 por 2x + 3 
c) 16x – 5x3 – 4 + 6x4 – 8x2 por 2x – 4 + 3x2 
d) x3 – 8 por x – 2 
 
E03. Fatore: 
a) 2x2 – 10x 
b) 2x2y – 12xy2 
c) a(x + y) – b(x + y) 
d) 2x2y – 12xy2 
e) x3 – x2 + x – 1 
f) a2 – 1 
 
g) a4 – 1 
h) x2 – 2xy + y2 
i) x2 + 2x + 1 
j) 4a2 + 20ab + 25b2 
k) 16x2 – 56x + 49 
l)
 
4
y
xy3x9
2
2 ++ 
E04. Simplifique as frações: 
a) 
2)3x(
3x
+
+
 
b) 
)5y(2
)5y(8 2
−
−
 
c) 
3
2
)7x(x6
)7x(x2
+
+
 
d) 
4x2
x2x2
−
−
 
e) 
y3
y3y9 2+
 
f) 
9x6x
9x
2
2
++
−
 
g) 
22
22
xy6yx4
y9x4
+
−
 
h) 
y3xy
y3x3xyx 2
+
−+−
 
i) 
23
23
x4x12
x10x28x6
−
−+
 
j) 
4x
8x
2
3
−
−
 
k) 
)3x(x4
6x2
)3x(x4
12x4
−
−
−
−
−
 
l)
 
2)1x(9
2
)1x(6
5
−
+
−
 
 
30 
 
Respostas dos Exercícios Teóricos: 
 
E01. 
a) 6x2 – x + 3b) x2 – 3x 
c) 2x3 – 7x2 + 13x – 5 
d) x3 – 6x2y + 10xy2 – 3y3 
e) 2x2 + 9x – 6 
f) 2x3 – 13x2 + 25x – 18 
g) x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3 
h) s2 + 5s – 14 
i) u2 – 9 
j) c2 + 5c + 54 
k) a2 – b2 
l) 9y2 – 4 
 
E02. 
a) Q(x) = 2x + 1 R = 4 
b) Q(x) = 2x3 – 3x2 – 5 R = 5 
c) Q(x) = 2x2 – 3x + 2 R = 4 
d) Q(x) = x2 + 2x + 4 R = 0 
 
E03. 
a) 2x(x – 5) 
b) 2xy(x – 6y) 
c) (x + y)(a – b) 
d) (x + y)(a + b) 
e) (x – 1)(x2 + 1) 
f) (a + 1)(a – 1) 
g) (a2 + 1)(a + 1)(a – 1) 
h) (x – y)2 
i) (x + 1)2 
j) (2ª + 5b)2 
 
E04. 
a) 
3x
1
+
 
b) 4(y – 5) 
 
c) 
2)7x(3
x
+
 
d) 
2
x
 
e) 3 + y 
f) 
3x
3x
+
−
 
g) 
xy2
y3x2 −
 
h) 
y
yx −
 
i) 
x2
5x+
 
j) 
2x
4x2x 2
+
++
 
k) 
x2
1
 
l) 
2)1x(18
11x15
−
−
 
31 
 
3 GRANDEZAS, PADRÕES E UNIDADES 
 
 
 Introdução 
 
 
Quando falamos em ciências, sempre nos vêm à mente os métodos científicos que lançam 
mão de medidas para interpretar, analisar e compreender os fenômenos que são pertinentes a cada 
ciência. 
Especificamente no caso da Física, faz-se necessário: 
 
1. determinar qual fenômeno físico pretende observar, dentro do “rol” (conjunto) de 
fenômenos físicos possíveis de serem medidos (esses fenômenos físicos serão 
denominados de variáveis); 
2. nomear o fenômeno físico, isto é, dar um nome para esta variável e 
3. encontrar uma unidade para este fenômeno físico (variável), para que possamos medi-
lo. 
 
Grandeza física é alguma coisa que pode ser medida, isto é, que pode ser representada por 
um número e uma unidade. Veja alguns exemplos: 
• A distância da bola à barreira deve ser de 10 jardas ou 9,15 metros. 
• A bola deve ter entre 400 gramas e 500 gramas. 
• O tempo de uma partida é de 90 minutos. 
Nesses exemplos estão três grandezas fundamentais: comprimento, massa e tempo. A partir 
dessas grandezas fundamentais, pode-se definir outras que, por isso, chamam-se grandezas 
derivadas. São exemplos de grandezas derivadas a área de uma superfície, o volume e a densidade 
de um corpo, a velocidade e aceleração de um automóvel, a força exercida por um motor e muitas 
outras. 
Até há algum tempo, não havia ainda um conjunto de unidades fundamentais que fosse 
reconhecido e adotado em todo mundo. A partir de 1948, esse conjunto começou a ser 
estabelecido e, em 1960, recebeu o nome de Sistema Internacional de Unidades (SI). Atualmente, 
só os Estados Unidos ainda não adotam o SI, mas passarão a utilizá-lo em breve. 
 
 
 O Sistema Internacional de Unidades (SI) 
 
O SI estabelece 7 grandezas físicas fundamentais das quais são derivadas todas as outras. 
 
32 
 
COMPRIMENTO MASSA TEMPO 
CORRENTE 
ELÉTRICA 
TEMPERATURA 
QUANTIDADE 
DE MATÉRIA 
INTENSIDADE 
LUMINOSA 
 
Os padrões de comprimento, o metro e, de tempo, o segundo, têm definições muito 
complicadas devido às exigências da Ciência e da Tecnologia modernas. O padrão de massa é o 
mais antigo, criado em 1889, e também o mais simples (Quadro 01). 
 
 
QUADRO 01 – TRÊS UNIDADES FUNDAMENTAIS DO SI 
GRANDEZA NOME SÍMBOLO DEFINIÇÃO 
Comprimento Metro m Distância percorrida pela luz, no vácuo, num intervalo de tempo de 1/299792458 s. 
Massa Quilograma kg 
Massa de um cilindro padrão de platina-irídio 
conservada no Bureau Internacional de Pesos e 
Medidas em Sèvres, na França. 
Tempo Segundo s 
Duração de 9.192.631.770 períodos da radiação de 
transição de dois níveis do estado fundamental do 
átomo do Césio 133. 
Observação: Note que os símbolos não são abreviaturas, por isso não têm ponto final. 
 
Cada país deve ter laboratórios capazes de reproduzir os padrões ou cópias devidamente 
aferidas e cuidadosamente guardadas. No Brasil essa tarefa é desempenhada pelo Inmetro – 
Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial, do Ministério da Indústria 
e do Comércio. 
Não é necessário saber essas definições, entretanto é importante saber que existem os 
padrões, as unidades fundamentais e derivadas e formas corretas de expressá-las (Quadro 02). 
 
QUADRO 02 – ALGUMAS UNIDADES DERIVADAS DO SI 
GRANDEZA NOME SÍMBOLO 
Área Metro quadrado m2 
Volume Metro cúbico m3 
Velocidade Metro por segundo m/s 
Aceleração Metro por segundo ao quadrado m/s2 
Densidade Quilograma por metro cúbico kg/m3 
 
Existem inúmeras unidades práticas ainda em uso devido ao costume ou às suas aplicações 
tecnológicas. Muitas dessas unidades, principalmente as de origem inglesa, tendem a desaparecer 
com o tempo e serem substituídas por unidades do SI. Por enquanto elas ainda são muito usadas 
e é interessante conhecê-las (Quadro 03). 
 
QUADRO 03 – ALGUMAS UNIDADES PRÁTICAS MAIS USADAS 
GRANDEZA NOME SÍMBOLO 
RELAÇÃO COM A UNIDADE 
CORRESPONDENTE DO SI 
Comprimento Milímetro  mm 0,001 m 
33 
 
Centímetro  
Quilômetro  
Polegada  
Pé  
Jarda  
Milha  
cm 
km 
in 
ft 
yd 
mi 
0,01 m 
1.000 m 
0,0254 m ou 2,54 cm 
0,3048 m ou 30,48 cm 
0,9144 m ou 91,44 cm 
1.609 m ou 1,609 km 
Massa 
Grama  
Tonelada  
Quilate  
Libra  
Arroba  
g 
t 
− 
lb 
− 
0,001 kg 
1.000 kg 
0,0002 kg ou 0,2 g 
0,454 kg ou 454 g 
14,688 kg 
Tempo 
Minuto  
Hora  
Dia  
min 
h 
d 
60 s 
60 min ou 3.600 s 
24 h ou 86.400 s 
Área 
Hectare  
Alqueire (SP)  
Alqueire (MG, RJ e GO)  
ha 
− 
− 
10.000 m2 
2,42 ha 
4,84 há 
Volume Litro  l 0,001 m3 ou 1.000 cm3 
Velocidade 
Quilômetro por hora  
Milha por hora  
Nó  
km/h 
min/h 
− 
(1/3,6) m/s 
1,609 km/h 
1,852 km/h 
Legenda:  Submúltiplos do SI  Múltiplos do SI  Unidades não pertencentes ao SI 
 
 
Curiosidade: O Quilate é tanto uma medida de massa quanto uma medida de composição 
em ligas de ouro. A palavra vem do grego keratio, significando uma semente que era usada como 
unidade de peso na antiga Grécia. Em função das disparidades de valores do quilate como unidade 
de massa, em 1907 foi adotada a correspondência de 200 miligramas (0,2 gramas) para cada 
quilate, que passou a ser desde então, o valor usado em joalherias. Desta forma a seguinte frase 
está correta: "20 quilates de ouro 14", significando o mesmo que "4 gramas de ouro cuja liga é 14 
quilates". 
Apesar de alguns autores indicarem ct (do inglês carat) como sendo símbolo de quilate 
métrico, esta forma não existe na língua portuguesa, portanto indicamos que se use o termo por 
extenso, ou a abreviação ql, tal como citado no site da Academia Brasileira de Letras. 
 
Observe, no Quadro 03, que algumas unidades têm símbolos 
diferentes, como a polegada, o pé e a jarda. 
Essas unidades foram adaptadas do inglês: polegada é 
inches, daí o símbolo in; pé é feet, por isso seu símbolo é ft 
e a jarda é yard, por isso seu símbolo yd. 
Atualmente é comum utilizar o símbolo pol para indicar 
polegada. 
 
 
 
34 
 
 Algarismos Significativos 
 
Quando se trabalha com medidas quase sempre aparece uma dúvida: com quantos 
algarismos se escreve uma medida? 
Tente medir o diâmetro do seu lápis. Que resultado você obteve? 
7 mm? 7,1 mm? 7,15 mm? 
Essa pergunta tem inúmeras respostas, e todas podem estar certas! 
Se você mediu com uma régua comum, provavelmente achou 7 mm, ou talvez 7,5 mm ou 
ainda 0,7 cm. Se você dispõe de um instrumento mais preciso, como um micrômetro ou um 
paquímetro, pode ter achado 7,34 mm ou 7,4082 mm. Se você repetir a medida várias vezes pode 
ser que em cada uma ache um valor diferente! 
Como saber qual é o valor correto? Como escrever esse valor? 
Na verdade, nem sempre existe um valor correto nem uma só forma de escrevê-lo. O valorde uma medida depende do instrumento utilizado, da escala em que ele está graduado e, às vezes, 
do próprio objeto a ser medido e da pessoa que faz a medida. Por exemplo, a medida do diâmetro 
do lápis com uma régua comum será feita na escala em que ela é graduada (centímetros ou 
milímetros) e dificilmente alguém conseguirá expressá-la com mais de dois algarismos. Nesse 
caso, certamente o segundo algarismo é avaliado ou duvidoso. Se for utilizado um instrumento 
mais preciso, é possível fazer uma medida com um número maior de algarismos e, ainda, 
acrescentar mais um, o duvidoso. 
Todos os algarismos que se obtêm ao fazer uma medida, incluindo o duvidoso, são 
algarismos significativos. Se outra pessoa fizer a mesma medida, talvez encontre um valor um 
pouco diferente, mas, ao escrevê-lo, deverá utilizar o número correto de algarismos significativos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 01: Paquímetro Digital – Instrumento de Precisão 
35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma régua comum não permite medidas muito precisas porque não há como subdividir o 
espaço de 1 mm: a distância entre os traços é muito pequena. O paquímetro e o micrômetro são 
instrumentos que utilizam duas escalas, uma fixa, semelhante à escala de uma régua comum e 
uma escala móvel que, de maneira muito engenhosa, permite dividir a menor divisão da escala 
fixa. No paquímetro, essa escala corre junto à escala fixa, enquanto que no micrômetro ela está 
gravada numa espécie de cilindro móvel que gira à medida que se ajusta ao instrumento para 
efetuar a medida. 
Imaginemos agora, a seguinte situação: ao medir o diâmetro de um lápis com um 
paquímetro, um aluno encontre o valor 7,34 mm enquanto que outro aluno, efetuando a mesma 
medição, encontre 7,37 mm. Pelo resultado, percebe-se que eles têm certeza do 7 e do 3, mas o 
último algarismo é incerto. Imagine agora que eles resolvam entrar num acordo e considerar, 
como melhor medida, um valor que seja igual à média aritmética dos seus resultados, obtendo, 
assim 355,7
2
37,734,7
=
+
. Estaria correto expressar o diâmetro do lápis acrescentando ainda um 
terceiro algarismo oriundo da média? É certo que não! Se cada um só tinha certeza de dois 
algarismos e avaliaram, discordando quanto à segunda casa após a vírgula, não tem sentido dar 
uma resposta com três casas após a vírgula! 
Nesse caso, para manter a coerência e expressar a medida com o número correto de 
algarismos significativos, deve-se desprezar o último algarismo obtido no cálculo da média 
aritmética. 
É comum utilizar a seguinte regra: quando esse algarismo (o que deve ser desprezado) for 
maior ou igual a 5 acrescenta-se 1 ao último algarismo que restou. 
Teremos então 7,355 mm ≅ 7,36 mm, que é a melhor forma de expressar a média aritmética 
das medidas de ambos os alunos: mantêm-se os mesmos dois algarismos dos quais têm certeza, o 
7 e o 3, mas o algarismo duvidoso passa a ser o 6. É provável que esse valor seja, provisoriamente, 
o melhor valor dessa medida. Se outras pessoas participarem e fizerem outras medidas, a média 
aritmética terá um número muito maior de parcelas e o seu valor representará melhor o diâmetro 
do lápis. 
 
 
 
Figura 02: Micrômetro Digital – Instrumento de Precisão 
36 
 
3.3.1 Determinando os algarismos significativos de um número 
 
No item anterior verificamos que, para entender o conceito de números significativos de 
uma medida física, é necessário compreender que os resultados físicos que utilizamos são obtidos 
através de medições que os cientistas realizam. Logo, para efetuar essas medições os cientistas 
utilizam aparelhos que possuem incertezas, isto é, uma medida física nunca é exata e, sim, tem 
um erro do próprio instrumento de medida, que é determinado pela metade da menor medida do 
instrumento. 
Vejamos agora um exemplo de como determinar os algarismos significativos de um 
número. 
Quando medimos o tamanho do lápis com a régua escolar e verificamos que este tem 15,1 
cm, o valor que se deve expressar é: 15,10 ± 0,05cm. 
Observe que temos um valor de 0,05 cm (metade da menor medida indicada na régua) para 
mais ou para menos em relação ao tamanho do lápis, isto é, o tamanho do lápis está com certeza 
entre 15,05cm e 15,15cm, por causa do instrumento utilizado na medição, que neste caso, é a 
régua. 
Pelo fato de uma medida física possuir incerteza, a utilização do conceito de algarismos 
significativos se torna importante, pois quando efetuamos operações com números decorrentes de 
medições precisamos escrever o resultado de forma que este expresse o valor mais coerente com 
as certezas dos instrumentos utilizados para a determinação dos valores utilizados nas operações. 
Portanto, para determinar a quantidade de números significativos de uma medida física é 
necessário que: 
• Inicialmente apresente o valor da medida física em notação científica (veja o item 4.3, na 
página 12). 
• Verifique quantos números aparecem no primeiro fator (mantissa) da notação científica 
(desconsiderando a vírgula). 
• A quantidade de algarismos significativos é exatamente igual ao resultado obtido no item 
anterior, ou seja, na mantissa da expressa numérica em notação científica. 
Vejamos alguns exemplos: 
a) 230.000.000 = 2,3 × 108, portanto o número de algarismos significativo nesse valor é de 
2. 
b) 0,000 000 000 000 148 = 1,48 × 10-13, portanto o número de algarismos significativo 
nesse valor é de 3. 
c) 0,06289 = 6,289 × 10-2, portanto o número de algarismos significativo nesse valor é de 
4. 
37 
 
d) 795.000.000.000.000 = 7,95 × 1014, portanto o número de algarismos significativo nesse 
valor é de 3. 
 
Observação: Quando fazendo operações com números (multiplicação, divisão adição e 
subtração) a resposta final deve ter o mesmo número de algarismos significativos que o valor de 
menor algarismo significativo, isto é, o resultado não pode ser mais preciso que a pior precisão 
que temos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Arredondamento de Números 
 
As regras de arredondamento estão estabelecidas pela Resolução 886 de 06.10.66 do IBGE 
que corroboram com a Norma ABNT NBR 5891, de 1977. 
Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser conversado for 
inferior a 5, superior a 5 ou igual a 5, estabeleceremos as regras de arredondamento que seguem 
na tabela abaixo. 
 
CONDIÇÃO PROCEDIMENTO 
EXEMPLO 
(ARREDONDAMENTO POR 
CENTÉSIMO) 
< 5 O último algarismo a permanecer fica inalterado. 4,76|201 → 4,76 
> 5 Aumenta-se de uma unidade o algarismo a permanecer. 3,77|620 → 3,78 
= 5 
(i) Se ao 5 seguir em qualquer casa um algarismo 
diferente de zero, aumenta-se uma unidade no 
algarismo a permanecer. 
5,75|504 → 5,76 
(ii) Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só seguirem 
zeros, o último algarismo a ser conservado só será 
aumentado de uma unidade se for ímpar. 
2,14|500 → 2,14 
2,11|500 → 2,12 
 
 
As grandezas e as medidas povoam nosso dia-a-dia, tornando-se cada vez 
mais variadas e complexas, porém, toda medida resulta de um esforço do 
homem para compreender e interpretar a natureza. 
Fomos nós, seres humanos, que criamos as grandezas, os padrões, as unidades 
e os instrumentos de medida. 
Portanto, nenhuma medida é a expressão da verdade, independentemente do 
número de algarismos significativos que possua. 
Há, certamente, medidas e instrumentos mais confiáveis, processos de medição 
mais adequados a determinados fins; é importante distinguir uns dos outros. 
 
38 
 
Gostaria de mais informações sobre o conteúdo estudado? Seguem dicas de vídeo-aulas 
sobre o tema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Potências de Base 10 
 
Observe,na tabela abaixo, algumas potências de base 10, seus expoentes inteiros positivos 
e a quantidade de zeros da potência. 
 
 
EXPOENTE INTEIRO 
POSITIVO (n) 
INDICAÇÃO DE 10n POTÊNCIA (RESULTADO) 
NÚMERO DE ZEROS DA 
POTÊNCIA 
1 101 10 1 
2 102 100 2 
3 103 1.000 3 
4 104 10.000 4 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 
N 10n 100...0 n 
 
Agora observe, nesta outra tabela, algumas potências de base 10, seus expoentes inteiros 
negativos e a quantidade de algarismos à direita da vírgula. 
 
EXPOENTE INTEIRO 
NEGATIVO (n) 
INDICAÇÃO DE 10n POTÊNCIA (RESULTADO) 
NÚMERO DE ALGARISMOS 
À DIREITA DA VÍRGULA 
-1 10-1 0,1 1 
-2 10-2 0,01 2 
-3 10-3 0,001 3 
-4 10-4 0,0001 4 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 
n 10n 0,00...1 N 
 
Dicas de vídeos sobre o assunto desta aula: 
 
 Grandezas Físicas e Unidades de Medidas: 
https://www.youtube.com/watch?v=LZPiq8RK9j0 
 Múltiplos e Submúltiplos das Unidades de Medidas: 
https://www.youtube.com/watch?v=lQfZ_aSJ7xU 
 
n zeros 
n algarismos 
39 
 
A observação feita a partir dessas tabelas vai auxiliá-lo a escrever potências de base 10 na 
representação decimal e vice-versa. 
Por exemplo: 
 
a) 1.000.000.000.000 = 1012 b) 10-8 = 0,00000001 
 
 
 
O uso das potências de base 10 é tão difundido nas Ciências Exatas, que alguns múltiplos 
e submúltiplos decimais recebem denominações especiais, conforme apresentamos no item 
abaixo. 
 
 
3.5.1 Prefixos das Potências de Base 10 
 
É comum utilizar prefixos para expressar números escritos em potência de 10, como, por 
exemplo, uma massa de 3.000 g, que pode ser expresso em potência de 10 como 3 × 103 g ou 
utilizando prefixo como 3 kg, em que o prefixo quilo (k) equivale a 103. 
Abaixo é apresentada uma tabela com a relação dos principais prefixos. 
 
NOME SÍMBOLO POTÊNCIA DE BASE DEZ 
exa E 1018 
peta P 1015 
tera T 1012 
giga G 109 
mega M 106 
quilo k 103 
hecto h 102 
deca da 101 
 
 100 
deci d 10-1 
centi c 10-2 
mili m 10-3 
micro μ 10-6 
nano n 10-9 
pico p 10-12 
femto f 10-15 
atto a 10-18 
 
12 zeros 8 algarismos 
40 
 
 
 Notação Científica 
 
Se nos disserem que o raio do átomo de hidrogênio é igual a 0,000.000.005 cm ou que uma 
dada célula tem cerca de 2.000.000.000.000 de átomos dificilmente assimilaremos essas ideias, 
pois nossos sentidos não estão acostumados a perceber esses números. Eles estão fora do nosso 
quadro de referências. 
Dada a abrangência da Física atual micro-macro cosmo, é importante compreender 
números nessas ordens. A notação científica, ou seja, a escrita de um número com o auxílio de 
potências de base 10, é um recurso comum para a representação simplificada de números muito 
grandes ou muito pequenos, tendo em vista a facilidade de operar com esses números ante a seus 
equivalentes numéricos. Na utilização dos computadores ou máquinas de calcular, por exemplo, 
a notação científica tem uso regular, tornando os cálculos mais rápidos devido às propriedades da 
potenciação. 
Um número escrito em notação científica segue a seguinte configuração: 
 
 
m · 10e 
 
Onde: 
• m é denominado mantissa e corresponde a um valor numérico 1 ≤ m < 10. 
• e, dado sob a forma de expoente, é denominado ordem de grandeza. 
 
Vejamos alguns exemplos e sua resolução: 
 
a) 230.000.000 = 2,3 × 108 
A vírgula se “deslocou” em 8 casas para a esquerda; o expoente da base 10 indica o deslocamento 
da vírgula e seu sinal é positivo. 
 
b) 0,000 000 000 000 148 = 1,48 × 10-13 
A vírgula se “deslocou” em 13 casas para a direita; o expoente da base 10 é igual ao deslocamento 
da vírgula e seu sinal é negativo. 
 
c) 0,06289 = 6,289 × 10-2 
A vírgula se “deslocou” em 2 casas para a direita; o expoente da base 10 é igual ao deslocamento 
da vírgula e seu sinal é negativo. 
 
41 
 
d) 795.000.000.000.000 = 7,95 × 1014 
A vírgula se “deslocou” em 14 casas para esquerda; o expoente da base 10 é igual ao deslocamento 
da vírgula e seu sinal é positivo. 
 
Observe outros exemplos de números grandes e pequenos, expressos em notação científica: 
 
• 600.000 = 6 · 105 
• 30.000.000 = 3 · 107 
• 500.000.000.000.000 = 5 · 1014 
• 7.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 = 7 · 1033 
• 0,0004 = 4 · 10-4 
• 0,00000001 = 1 · 10-8 
• 0,0000000000000006 = 6 · 10-16 
 
Para valores como esses, a notação científica é mais adequada, pois apresenta a vantagem 
de representar adequadamente a quantidade de algarismos significativos, em detrimento de seus 
equivalentes numéricos que trazem pouco significado prático. 
Pode-se até pensar que esses valores são pouco relevantes e de uso quase inexistente na 
vida cotidiana. Porém, em áreas como Física, Química e Engenharias de um modo geral, esses 
valores são frequentes. Também na área de Economia, ao se fazer referência a um valor 
monetário, em bilhões de dólares, por exemplo, é comum o uso da notação científica. 
 
 
 Ordem de Grandeza 
 
Muitas vezes, ao trabalharmos com grandezas físicas, apenas algumas casas decimais são 
relevantes, devido a imprecisões nos aparelhos de medida. 
Nesses casos é suficiente conhecer a potência de 10 que mais se aproxima do seu valor. 
Essa potência é denominada ordem de grandeza da medida. 
 
 
 
 
 
Ordem de grandeza de um número é uma estimativa 
de potência de base 10 mais próxima deste número. 
 
Para determinação da ordem de grandeza de um número usaremos a fronteira numérica de 
16,310 ≅ . Observe os exemplos. 
 
Qual a ordem de grandeza das seguintes medidas? 
 
42 
 
• 3 × 10-3 m → 3 < 3,16 , logo a ordem de grandeza é 10-3. 
• 4 × 102 m → 4 > 3,16 , logo a ordem de grandeza é 103. 
• 7 × 10-6 m → 7 > 3,16 , logo a ordem de grandeza é 10-5. 
• 0,00022 = 2,2 × 10-4 → 2,2 < 3,16, logo a ordem de grandeza é 10-4. 
• 174.500.000 = 1,745 × 108 → 1,745 < 3,16, logo a ordem de grandeza é 108. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Não devemos nos preocupar em estabelecer critérios rigorosos para 
determinar a potência de base 10 mais próxima do número, pois o conceito de 
ordem de grandeza, por sua própria natureza, é uma avaliação aproximada, 
na qual não cabe nenhuma preocupação com rigor matemático. 
Por essa mesma razão, quando o número estiver aproximadamente no 
meio, entre duas potências de 10, será indiferente escolher uma ou outra para 
representar a ordem de grandeza daquele número. 
(MÁXIMO; ALVARENGA, 1992, p. 11.) 
 
43 
 
Atividades de Aprendizagem 
 
Exercícios Teóricos 
 
E01. Calcule quantos metros estão contidos em: 
a) 108 km b) 103 cm c) 10-2 mm 
 
E02. Transforme em quilômetros: 
a) 3600 m b) 2.160.000 cm c) 0,03 m 
d) 5.780 dm e) 27.600 m f) 5.800 mm 
 
E03. A espessura de uma folha de papel é de 0,05 mm. Seiscentas mil folhas iguais a essa foram 
empilhadas até atingirem uma altura h. Determine o valor de h em metros. 
 
E04. Sabendo que a distância entre a Terra e a Lua é de 384.000 km, aproximadamente, e que 
entre a Terra e o Sol é de 150.000.000 km, aproximadamente, quantas vezes a primeira distância 
está contida na segunda? 
 
E05. Calcule quantos gramas estão contidos em: 
a) 75 kg b) 0,8 mg c) 10-5 kg 
 
E06. Sabendo que 1 tonelada (1 t) equivale a 1.000 quilogramas (103 kg), determine o número de 
pessoas de 50 kg e o de 80 kg que podem viajar juntas em um bondinho do tipo teleférico, que 
transporta no máximo 60 pessoas ou 4,2 t. 
 
E07. Calcule o número de segundos de: 
a) 1 minuto b) 1 hora c) 1 dia d) 1 mês de 30dias 
 
E08. Qual é a duração de um espetáculo teatral que se inicia às 19h20min10s e termina às 
22h12min15s? 
 
E09. Podemos considerar o átomo de hidrogênio como uma esfera com diâmetro de 10-10 m. 
Admitindo que pudéssemos enfileirar esses átomos, quantos seriam necessários para cobrir a 
distância de 1 mm? 
 
E10. No século III a.C., Erastótenes, astrônomo egípcio, determinou o valor do raio da Terra com 
grande precisão: 6.370 km. Escreva esse número em metros, fazendo uso de notação científica. 
 
 
44 
 
E11. Um fumante consome por dia vinte cigarros de 100 mm. Imagine que fosse possível 
enfileirar os cigarros que esse fumante consome num período de dez anos. Qual seria, em metros, 
o comprimento dessa fila? 
 
E12. Uma dona de casa curiosa teve a ideia de descobrir a massa de um grão de feijão. Utilizando 
uma balança descobriu que a massa de 1.000 grãos era de 0,57 kg. Determine a massa, aproximada, 
de um único grão, em miligramas. 
E13. Um analgésico deve ser ingerido na quantidade de 3 mg/kg de massa corporal, mas a dose 
administrada não pode exceder 200 mg. Cada gota contém 5 mg do remédio. Quantas gotas devem 
ser prescritas a um paciente de 80 kg? 
 
E14. No estádio do Morumbi 120.000 torcedores assistem a um jogo. Através de cada uma das 6 
saídas disponíveis podem passar 1.000 pessoas por minuto. Qual o tempo mínimo necessário para 
esvaziar o estádio? 
--------- 
 
E18. Escreva os expoentes das potências de 10 conforme a indicação abaixo: 
a) 23.856 = 23,856 × 10_____ b) 23.856 = 2385,6 × 10_____ 
c) 23.856 = 238,56 × 10_____ d) 23.856 = 2,3856 × 10_____ 
 
E19. Coloque a vírgula nos números abaixo conforme a indicação das potências de 10, para que 
a igualdade seja válida: 
a) 7,82 × 103 = 78200 × 102 b) 7,82 × 103 = 78200 × 101 
c) 7,82 × 103 = 78200 ×104 d) 7,82 × 103 = 78200 × 10-1 
 
E20. Escreva os números abaixo em notação científica: 
a) 529 = __________________ 
b) 7.843 = _________________ 
c) 5.971.432 = ______________ 
d) 73 = ______________ 
e) 0,7 = ______________ 
f) 0,52 = ______________ 
g) 0,278 = _________________ 
h) 0,05697 = _______________ 
i) 749 × 107 = ______________ 
j) 59,47 × 10-9 = ____________ 
k) 0,38 × 104 = ____________ 
l) 0,7159 × 10-12 = _________ 
 
E21. Descubra a potência de base 10 que deve ser colocada no lugar de � para que se tenha: 
a) 56,754 · � = 567.540 c) � · 23 = 0,000023 
b) 0,003 · � = 30 d) � · 4,5 = 0,00045 
45 
 
 
E22. Resolva as expressões, apresentando os resultados em notação científica: 
a) =
⋅
⋅
− 2,110
106,3
2
4
 
b) =
⋅
⋅
−
−
7,010
101,2
3
2
 
 
E23. Diga, em cada caso, a quantidade de algarismos significativos: 
a) 1,324 × 104 b) 0,324 × 105 
c) 1200 × 10-2 d) 0,000424 × 105 
 
E24. Efetue as operações abaixo e responda utilizando os algarismos significativos na resposta: 
Lembre-se de que a resposta não pode ter mais algarismos significativos do que a menor quantidade de algarismos 
significativos dos números envolvidos nas operações. 
a) (0,07⋅10-3) × (7⋅10-5) = b) =
⋅
⋅
− 5
3
1003,0
109
 
c) (0,6⋅10-3) + (4⋅10-5) = d) (1,09⋅10-3) − (87⋅10-5) = 
 
E25. Indique a ordem de grandeza em cada um dos itens abaixo: 
a) 1,324 × 104 b) 0,324 × 105 
c) 1200 × 10-2 d) 0,000424 × 105 
 
E26. Uma partida normal de futebol é disputada em 90 min. O estádio do Morumbi, em São 
Paulo, já recebeu cerca de 30 milhões de torcedores desde sua abertura, em 1960. A média de 
torcedores por partida é de aproximadamente 28 mil. Então, qual é a ordem de grandeza do total 
de minutos de futebol já jogados no Morumbi? 
 
E27. Em um hotel com 200 apartamentos, o consumo médio de água por apartamento é de 100 
litros por dia. Qual a ordem de grandeza do volume que deve ter o reservatório do hotel, em 
metros cúbicos, para abastecer todos os apartamentos durante um dia? 
 
------ 
 
Respostas dos Exercícios Teóricos: 
E01. a) 108.000 m b) 10 m c) 10-5 m 
E02. a) 3,6 km b) 21,6 km c) 3,0 ⋅ 10-5 km 
 d) 0,578 km e) 27,6 km f) 5,8 ⋅ 10-3 km 
E03. 30 m 
E04. 390,625 vezes 
46 
 
E05. a) 7,5 ⋅ 104 g b) 8,0 ⋅ 10-4 g c) 10-2 g 
E06. 40 pessoas de 80 kg e 20 pessoas de 50 kg. 
E07. a) 60 s b) 3.600 s c) 8,64 ⋅ 104 s d) 2,592 ⋅ 106 s 
E08. 2h 52min 5s 
E09. 107 átomos 
E10. 6,37 ⋅ 106 m 
E11. 7.300 m 
E12. 570 mg 
E13. 40 gotas 
E14. 20 min 
E15. a) F b) F c) V d) V e) F f) V 
E16. a) -8 b) 1 c) 500 d) 1 e) 0 f) 3/4 
 g) 1/5 h) 1/8 i) 81 j) 1/8 k) 1/225 l) 1 
 m) 0 n) 2 o) 9/4 p) 64/125 
E17. 79/8 
E18. a) 3 b) 1 c) 2 d) 4 
E19. a) 78,2 × 102 b) 782,0 × 101 c) 0,782 × 104 d) 78200, × 10-1 
E20. a) 5,29 × 102 
b) 7,843 × 103 
c) 5,971432 × 106 
d) 7,3 × 10 
e) 7 × 10-1 
f) 5,2 × 10-1 
g) 2,78 × 10-1 
h) 5,697 × 10-2 
i) 7,49 × 109 
j) 5,947 × 10-8 
k) 3,8 × 103 
l) 7,159 × 10-13 
E21. a) 104 b) 104 c) 10-6 d) 10-4 
E22. a) 3 × 106 b) 3 × 10 
E23. a) 4 b) 3 c) 2 d) 3 
E24. a) 5 × 10-9 b) 3 × 1010 c) 6 × 10-4 d) 2,2 × 10-4 
E25. a) 104 b) 105 c) 10-1 d) 102 
E26. 105 
E27. 101 
E28. a) 52− 
b) 5 36 
c) 22315 + 
d) 3 538 +− 
e) 335 5 + 
47 
 
f) 2410 − 
E29. a) 55 
b) 26 
c) 34− 
d) 711 
e) 26 
f) 313 
 
 
 
Testes: 
 
T01. Um caminhão consegue transportar 3,9 toneladas de carga. Sabendo que uma laranja pesa 
130 gramas, quantas laranjas o caminhão pode carregar? 
a)  30 b)  300 c)  3.000 d)  30.000 e)  300.000 
 
T02. Em uma área disponível em formato retangular, de 3 metros por 4 metros, eu pretendo cavar 
uma cisterna para guardar 15.000 litros de água. A qual profundidade, em centímetros, eu devo 
cavar? 
a)  1,25 cm b)  12,5 cm c)  125 cm d)  1.250 cm e)  12.500 cm 
T03. Um aquário tem o formato de um paralelepípedo retangular, de largura 50 cm, comprimento 
32 cm e altura 25 cm. Para encher 3/4 dele com água, quantos litros de água serão usados? 
a)  0,03 b)  0,3 c)  3 d)  30 e)  300 
T04. Em uma enchente, um jornalista viu uma menina com uma lata de refrigerante de 350 ml. 
Perguntando à menina o que ela estava fazendo, ela respondeu que estava tirando a água para 
secar a enchente. Sabendo que o volume da enchente era de 70.000 m3, quantas viagens a menina 
teria que fazer para secar toda a água? 
a)  2⋅102 b)  2⋅104 c)  2⋅106 d)  2⋅108 e)  2⋅1010 
T05. Muitos remédios são tomados em doses menores que o mg. Um comprimido de certo 
remédio tem 0,025 mg de uma certa substância. Com 1 kg desta substância, quantos comprimidos 
podem ser feitos? 
48 
 
a)  < 1 b)  40 c)  40.000 d)  40.000.000 e)  400 
T06. Uma sala tem o formato aproximado de dois paralelepípedos grudados. Um destes tem 
largura de 4 metros e comprimento de 3 metros, e o outro tem largura e comprimento iguais, de 
2 metros. A altura da sala é de 2,5 metros. Eu quero comprar um ar condicionado para resfriar 
esta sala, e cada ar condicionado indica o volume, em litros, que ele consegue refrigerar. Então, 
é preciso comprar o menor ar condicionado, dentre aqueles que tem capacidade de resfriar esta 
sala. Das opções abaixo, qual é a mais indicada? 
a)  10.000 l b)  20.000 l c)  50.000 l d)  70.000 l e)  100.000 l 
 
T07. Fui colocar gasolina no meu carro, que estava com o tanque pela metade. Coloquei 35 litros 
e enchi o tanque. Qual é a capacidade do tanque em m3? 
a)  0,07 m3 b)  17,5 m3 c)  70 m3