TRABALHO(AP1) CÁLCULO

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UNIVERSIDADE UNIGRANRIO
ELTON JOHN ALVES DOURADO -MATRÍCULA: 5803315
TRABALHO (AP1)
CÁLCULO I
Rio de Janeiro, 2018.
PARTE 1
LIMITES (síntese)
Definição formal de limite:
Observe a função f(x) representada no gráfico abaixo:
	
Perceba que se pudermos relacionar "ε" em função de "δ", então para qualquer intervalo no eixo x próximo de a podemos fazer um intervalo no eixo y próximo de L, ou seja, f(x) tende a L quando x tende a a se fizermos "ε" e "δ" tão pequenos quanto possível, porém maiores que zero, e se pudermos encontrar uma relação entre "ε" e "δ".
Propriedades básicas dos limites:
 ;
  ;
  ;
  ;
 
APLICAÇÃO:
1. 
 
2.
 
3.
 
4.
 
PARTE 2
CONTINUIDADE (síntese):
 Continuidade de uma função está fortemente vinculado com o estudo de limites, pois quando quer-se saber se uma função é continua deve-se analisar também a existência do limite. Grosseiramente, pode-se afirmar que uma função é continua quando conseguimos desenhar seu gráfico completo sem tirar o lápis do papel, ou seja, de maneira interrupta.
Definição formal
Uma função  é continua em  se as seguintes condições forem satisfeitas:
a)  está definida;
b)  existir;
c)  .
Caso falhar qualquer uma destas condições, a função  é dita descontínua em        =  .
Se essa condição não se verificar, dizemos que a função y = f(x) é descontinua no ponto a. Esse ponto é chamado de ponto de descontinuidade da função.
Analisando o gráfico da função, é fácil descobrir quando ela é e quando não é continua num ponto x=a.
Nesse ponto, quando a função não é continua, o gráfico sofre algum tipo de interrupção.
APLICAÇÃO:
1.	Verifique se a função f (x) é contínua no ponto  sendo 
1- 
2- 
3- não é continua.
2. Verifique se a função g(x) definida por   é contínua no ponto 
 1- 
2- 
3- 
 , logo f não é continua .
PARTE 3
DERIVADA (síntese):
Em primeiro lugar, as derivadas, quando existem, determinam a inclinação da reta tangente a uma função f (x). Essa inclinação também é conhecida como taxa de variação e é utilizada para resolver os mais variados tipos de problemas matemáticos. Para determinar essa inclinação, deve-se calcular o limite abaixo. Dessa maneira, f ' (x) é a derivada da função f (x) e diz-se que f (x) é derivável no ponto p.
f ' (x) = lim    f (x) – f (p)
      x→p      x – p
As notações mais utilizadas para a derivada da função f (x) são: f ' (x) ou [f (x)]'. Se essas derivadas forem calculadas no ponto p, as notações passarão a ser: f '(p) ou [f(p)]'.
O cálculo de derivadas pode ser feito de duas formas: utilizando a definição de derivada, que envolve um limite que tende a uma indefinição, ou utilizando regras de derivação, cujo funcionamento é garantido pela análise matemática.
Regras de derivação
Sejam f (x) e g (x) funções deriváveis e seja a um número real qualquer. Então, valem as propriedades:
i) Se f (x) = a, então f ' (x) = 0.
ii) Se f (x) = ax, então f ' (x) = a.
iii) (Regra do tombo) Se f (x) = xa, então f ' (x) = a·xa – 1.
iv) (Derivada da soma) [f (x) + g (x)]' = f ' (x) + g' (x).
v) [af (x)]' = a·f ' (x).
vi) (Regra do produto) [f (x) g (x)]' = f ' (x) g (x) + f (x) g' (x).
vii) (regra do quociente):
APLICAÇÃO:
Derive as seguintes funções:
1. f(x) = x²
2. f(x) = 20
 
 
3. f(x) = 5x³ + 2x
 
4. f(x) = x³ + 1000
 
5. f(x) = x³ + x² + x + 1