UNIDADE Física Moderna

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Física Geral e 
Experimental II
Física Moderna
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Dr. José Agostinho Gonçalves
Prof. Eduardo Landulfo
Revisão Textual:
Profa. Esp. Márcia Ota
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A proposta desta aula é informá-lo a respeito dos conceitos que levaram à fundação da física 
moderna, mais especificamente, a Relatividade Restrita e a Teoria Ondulatória/Corpuscular 
da luz. Serão apresentadas as equações de transformação obtidas dos princípios fundamentais 
da teoria da relatividade e os conceitos propostos para a elucidação do efeito fotoelétrico.
Ao fim desta aula, esperamos que seja capaz de interpretar, conceituar e calcular:
• Postulados da Relatividade;
• Transformação de Lorenz: Equação de dilatação do tempo e contração do espaço;
• Emissão e absorção da luz;
• Efeito fotoelétrico;
• Espalhamento Compton;
• Dualidade Onda-Partícula.
A leitura do Conteúdo Teórico com atenção é essencial para compreender os conceitos 
apresentados. Nesta unidade, a linguagem matemática é utilizada ao longo de todo o texto; 
portanto, o aluno deve se familiarizar com as principais funções matemáticas utilizadas. Os 
exemplos e exercícios resolvidos ajudam a consolidar os conceitos estudados.
Não deixe de utilizar todos os recursos disponíveis e acessar os links sugeridos no texto.
Tenha atenção às atividades avaliativas propostas e ao prazo de realização das mesmas. 
Nesta Unidade, temos Atividades de Sistematização e Atividade de Aprofundamento.
Lembre-se de que essas atividades são pontuadas e possuem prazos de entrega.
 · A proposta desta Unidade é apresentar os conceitos e relatos experimentais 
que levaram à fundação da física moderna, a saber: a Relatividade e a 
Teoria Ondulatória/Corpuscular da luz.
Física Moderna
• Introdução
• Relatividade Galileana
• Experimento de Michelson-Morley
• Princípio da Relatividade Especial de Einstein
• Equações de Transformação de Lorenz
• Dilatação do Tempo
• Contração do Espaço
• Energia Relativística
• Fótons, Elétrons e Átomos
• Emissão e Absorção de Luz
• Efeito Fotoelétrico
• Espalhamento Compton
• Modelo de Bohr
• Dualidade Onda-Partícula
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Unidade: Física Moderna
Contextualização
A física moderna constitui, essencialmente, a física desenvolvida no início do século XX. 
Duas grandes linhas de pesquisa foram desenvolvidas: a teoria da relatividade, proposta por 
Einstein, e a teoria quântica, iniciada com Max Planck. Todo esse conhecimento resultou em um 
grande avanço tecnológico no final do século.
Na última década do século XIX, dois temas de pesquisa despertavam grande interesse. Um 
era a tentativa de conciliar a mecânica Newtoniana e a termodinâmica e o outro tratava das 
descargas elétricas nos gases rarefeitos. 
Os estudos com os gases rarefeitos permitiram, entre outras coisas, a descoberta dos raios X; 
da radioatividade e do elétron. Essas três descobertas, ao lado do trabalho de Planck, iniciaram 
o processo que originou a física moderna e, em 1905, Einstein utiliza as ideias de Planck para 
explicar o efeito fotoelétrico.
A teoria da relatividade explica os fenômenos observados quando a velocidade se aproxima 
da velocidade da luz. Esses efeitos são pouco intensos quando a velocidade é pequena e a sua 
aplicação no campo da tecnologia é menos evidente.
Podemos citar alguns dos principais exemplos de aplicações da Física Moderna: 
microprocessadores quânticos; Nanotecnologia; Microscopia Eletrônica; Ressonância Magnética; 
Radioterapia; Difração de raios X; GPS; Células Fotovoltaicas.
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Introdução
Quando mencionamos Física Moderna, logo nos vem à mente Relatividade e Física Quântica, 
mesmo para um leigo nessas duas áreas. Na virada do século 19 para o século 20, Planck e Einstein 
protagonizaram as ideias e conceitos para fundar as teorias quântica e da relatividade, respectivamente. 
Esses conceitos são difíceis de assimilar, pois os fenômenos ligados a eles são de pouca percepção 
a nós, apesar de sempre presentes. Nesta unidade, iremos mostrar alguns conceitos, apesar de não 
nos aprofundarmos neles, pois são muitos extensos e consumiriam muito tempo. 
Tanto Planck quanto Einstein se basearam em evidências experimentais que os conduziram 
às duas teorias. A teoria da relatividade envolve entender como a física se comporta para 
objetos que se movem a grandes velocidades, um em relação ao outro, sendo essas velocidades 
comparáveis à velocidade da luz. Já a teoria quântica trata dos fenômenos que tem o tamanho 
do comprimento de onda luz, ou seja, bilionésimos de metro, bem como os fenômenos nessa 
escala de tamanho, que são do domínio das moléculas, átomos e seus constituintes.
Figura 1 – Einstein e Planck e seus contemporâneos que juntos lançaram as bases para a criação das 
teorias da relatividade e da física quântica.
Benjamin Couprie
Relatividade Galileana
Ao descrevermos um evento na física, é necessário estabelecer um referencial. Viu-se em 
unidades anteriores que um referencial inercial é aquele em que o objeto é observado sem 
acelerações e, portanto, sem forças atuando sobre ele. 
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Unidade: Física Moderna
Além disso, qualquer referencial, em velocidade constante, em relação a um referencial 
inercial é também um referencial inercial. Como não existe um referencial inercial absoluto, 
entende-se que um experimento realizado em um veículo movendo-se com velocidade uniforme 
apresentará os mesmos resultados que um experimento realizado em um veículo em repouso, 
e isto é resultado do Princípio da Relatividade Galileana: Todas as leis da mecânica 
devem ser as mesmas em todos referenciais inerciais.
Suponha que um fenômeno físico, chamado de evento, seja observado por um observador 
em um referencial que esteja em repouso. Assim, a localização e tempo sejam especificados por 
4 coordenadas: (x,y,z,t). Isto é, três espaciais e uma temporal. Se o mesmo experimento fosse 
realizado agora por um referencial em movimento uniforme com velocidade v em relação ao 
referencial estático e para efeito de simplificação só na direção do eixo x, ao definirmos as novas 
coordenadas nesse novo referencial seriam: (x’, y’, z’, t’). Então, para transformarmos de um 
referencial a outro, do referencial em repouso S para o em movimento S’, temos:
x x vt y y z z t t' � � �' � � � �' � � '= − = = =
E estas são as equações de transformação espaço tempo de Galileu.
Da mesma maneira se for observada uma velocidade em um referencial, a transformação se 
dará como:
u u vx x
, = −
Figura 2 – Um evento ocorrendo em um ponto e sendo observado por dois referenciais inerciais, um 
em repouso (azul) e outro em movimento com velocidade v (vermelho).
Experimento de Michelson-Morley
A chamada experiência de Michelson-Morley, uma das mais importantes e famosas 
experiências da história da física, foi levada a cabo em 1887 por Albert Michelson (1852 - 1931) 
e Edward Morley (1838-1923), no que é hoje a Case Western Reserve University.
O experimento pretendia detectar o movimento relativo da matéria (no caso, do planeta 
Terra) através do éter estacionário. Os resultados negativos desse experimento são geralmente 
considerados as primeiras evidências fortes contra a teoria do éter e iniciariam uma linha de 
pesquisa que eventualmente levou à relatividade especial, na qual o éter estacionário não teria 
qualquer função.
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A sua constatação levou a uma contradição na medida da velocidade da luz, que, aparentemente, 
era a mesma quando a Terra se aproximava ou se afastava do Sol. Outra verificação foi de que a 
luz não necessitava de um meio para se propagar, isto é, não era uma onda mecânica, e na teoria 
do eletromagnetismo surgia uma nova classe de onda, as ondas eletromagnéticas.
Figura 3 – Experimento de Michelson-Morley.
Sabia-se na época que a luz se propagava com velocidades diferentes em meios diferentes, 
a ideia do experimentoera, então, comparar a velocidade de uma onda que se propaga na 
direção do éter com uma onda que se propaga perpendicularmente ao éter. Ora, a onda que 
se propaga paralelamente ao movimento do éter irá estar sujeita a uma alteração em sua 
velocidade de propagação.
O experimento funcionaria do seguinte modo: uma fonte de luz monocromática (com uma 
única frequência) emite um feixe. Esse feixe se propaga até um espelho semi-refletor, deixando 
passar metade da luz e refletindo de 90 graus a outra metade. As duas metades, então, incidem 
nos dois espelhos Espelho 1 e Espelho 2, que são totalmente refletores, fazendo assim com que 
os dois feixes voltem e se superponham novamente no espelho semi-refletor ao centro. O feixe 
recomposto incide no anteparo e através da diferença de fase entre os dois feixes, tem-se uma 
prova real da existência do éter, ou seja, é possível medir a velocidade da Terra em relação ao éter.
Para se ter uma alta precisão na medida, Michelson colocou todo o equipamento do 
experimento sobre uma chapa totalmente paralela, sendo essa chapa colocada em uma 
piscina de mercúrio, a fim de que qualquer vibração exterior pudesse ser amortecida. Todo o 
equipamento era possível ser girado de 360 graus sobre a piscina de mercúrio, de modo que, 
em algum momento, o feixe seguindo, por exemplo, para o espelho 2, estivesse paralelo ao 
movimento da Terra em relação ao éter. 
Desse modo, esperava-se que as franjas de interferência que apareceriam no anteparo 
sofressem um deslocamento quando, por rotação, o aparelho passasse de uma posição onde 
um feixe estava paralelo ao movimento da Terra para outra qualquer.
Portanto, se uma diferença de fase existisse entre os dois feixes, a existência do éter estaria 
provada; caso contrário, os físicos da época, tais como Michelson, Lorentz e Morley, teriam que dar 
outras explicações ao fenômeno, sendo elas a favor ou contra a existência do éter. Veremos, no 
próximo texto, qual foi o resultado experimental obtido e o que ele implicou no conceito do éter.
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Unidade: Física Moderna
Princípio da Relatividade Especial de Einstein
Com os resultados contraditórios em relação à teoria conhecida até o presente, criou-se um 
impasse na Física que evidenciou a falha de utilizar a transformação galileana para se obter 
a velocidade da luz, que aparentemente tinha um limite superior independente do referencial 
escolhido. Em 1905, um jovem cientista publicou 4 trabalhos, dentre os quais dois se ocupavam 
em corrigir e revolucionar a física com a teoria de relatividade especial, cuja base eram dois 
postulados bem distintos:
1 - O princípio da relatividade: as leis da física são as mesmas em todos os referenciais inerciais.
2 - A velocidade da luz é uma constante: a velocidade da luz no vácuo é a mesma em todos 
os referenciais inerciais, não importando a velocidade do observador ou da velocidade 
de quem ou o quê estiver emitindo a luz, cujo valor é de:
c m
s
= ×3 00 108,
 
Uma consequência “perturbadora” é que o espaço e o tempo não são mais absolutos, e 
assim o conceito de simultaneidade deixa de existir quando um fenômeno é observado em 
referenciais distintos.
Para mais detalhes, vale a pena consultar o link: http://www.fisica.net/relatividade/ 
Nele, há várias explanações a respeito da relatividade especial e suas consequências.
Uma maneira de Einstein desenvolver a sua teoria foi por meio de experimentos pensados 
(gedanken experiments do alemão), uma vez que os recursos da época eram menos sofisticados 
que os atuais. 
Para exemplificar a relatividade do conceito de relatividade, Einstein imaginou um situação em 
que um vagão se movendo da esquerda para a direita com velocidade constante, e num instante 
dois raios atingem a frente e a traseira vagão, deixando marcas no vagão e no solo onde ele 
está. As marcas no vagão são A’ e B’ e as do solo são A e B. Um observador O’ dentro do vagão 
exatamente a mesma distância dos dois extremos do vagão, ou seja, no meio dele. Além disso, há 
um outro observador O entre os pontos A e B, também à mesma distância. Os eventos são, então, 
registrados pelos dois observadores, os que atingem o vagão e os que atingem o chão.
Os sinais luminosos que saem de A e B atingem o observador O ao mesmo tempo. Dessa 
forma, ele conclui que os sinais viajaram na mesma velocidade (velocidade da luz) e distâncias 
iguais e, assim, os eventos são simultâneos.
Já para o observador O’ dentro do vagão, o sinal proveniente de B’ atinge o observador O’ 
antes do sinal emitido por A’. De acordo com Einstein, dois observadores devem encontrar a 
mesma velocidade nos dois casos, e, portanto, O’ conclui que o raio atingiu a frente do vagão ao 
atingir a traseira dele. Consequentemente, os eventos não são simultâneos para O’ e o são para O.
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Figura 4 – (Lado Esquerdo) Dois raios atingem as extremidades de um vagão em movimento (Lado 
Direito). Os eventos são simultâneos para o observador O, entre A e B, mas não o são para o observador 
O’, entre A’e B’.
Equações de Transformação de Lorenz
Com a perda da simultaneidade de eventos em referenciais distintos, a transformação de 
Galileu deixa de ser válida para objetos próximos da velocidade da luz. Haveria necessidade, 
então, de se criar uma nova maneira de se obter as transformações adequadas. 
Naquela época, em paralelo aos estudos da relatividade, avanços significativos estavam 
ocorrendo na área do eletromagnetismo, e, em 1890 Hendrik A. Lorenz havia desenvolvido 
equações de transformações de coordenadas, de um evento no sistema de coordenadas S para 
os sistema S’, que mais tarde foram conhecidas como as equações de transformação Lorenz:
x' y x vt y' y z' z t' y t v
c
x = −( ) = = = −




 2
onde:
γ =
−
1
1
2
2
v
c
Se quiséssemos fazer a mudança de S’ para S, basta mudar v para –v e mudar as coordenadas 
(x,y,z,t) para (x,’ y’, z’, t’), e assim:
x y x' vt' y y' z z' t y t' v
c
x= +( ) = = = +




 2
Observe que quando a velocidade do objeto for bem menor que a da luz, isto é, v c , então,
 v
c
1 Portanto, γ →1, e a transformação acima torna-se igual à transformação de Galileu.
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Unidade: Física Moderna
Dilatação do Tempo
Um dos efeitos mais notórios na teoria da relatividade, é que, como o tempo deixa de ser 
absoluto, então, o passar do tempo ou um período de tempo determinado para um evento 
medido por um observador em movimento em relação a um marcador de tempo (relógio) é 
mais longo que o intervalo de tempo para um observador em repouso em relação ao mesmo 
relógio. Esse efeito é conhecido como dilatação do tempo.
Figura 5 – Gráfico de γ×v. Conforme a velocidade se aproxima da velocidade da luz, o valor de γ 
aumenta rapidamente.
Assim, o intervalo de tempo para um observador em movimento em relação ao intervalo de 
tempo do observador em repouso será:
∆
∆
∆t
t
v
c
tp p=
−
=
1
2
2
γ
Onde ∆tp é o chamado de tempo próprio, que é o intervalo de tempo entre dois eventos 
que, quando medidos por um observador, acontecem no mesmo ponto no espaço. Em outras 
palavras, se um relógio está se movendo em relação a você, o intervalo de tempo marcado por 
esse relógio é mais longo que o mesmo relógio parado em relação a você. E, assim, alguém em 
movimento em relação a você envelhece mais devagar que alguém parado (no mesmo sistema 
de coordenada que você).
Exemplo: Um pêndulo tem um período de 3,00 s no seu próprio centro de referência. O 
período para um observador movendo-se a 0,950 c será de (c = 300000 km/s=3x108 m/s):
a) 11,40 s d) 9,60 s
b) 10,30 s e) 9,30 s
c) 9,20 s
Resolução:
∆ ∆
∆
t t
t
v
c
c
c
sp
p= =
−
=
−
= × =γ
1
3 00
1
0 950
3 20 3 00 9 60
2
2
2
2
,
( , )
, , ,
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Contração do Espaço
A distância medida entredois pontos também vai depender do sistema referencial. O 
comprimento próprio Lp de um objeto será aquele em que se mede por alguém em repouso em 
relação ao objeto. Já o comprimento de objeto medido por alguém em movimento em relação 
ao objeto será sempre menor que o comprimento próprio e haverá uma contração do espaço.
Numa viagem espacial de uma nave com velocidade v de um corpo celeste a outro, há dois 
observadores: um na Terra e outro na nave. O observador na Terra em repouso ( e também 
assumindo-se que em repouso em relação às estrelas) mede a distância entre as estrelas como sendo 
o comprimento próprio Lp, e de acordo com este observador o tempo necessário para a nave ir de 
uma estrela a outra vai ser ∆t
L
v
p= Porém, o período de tempo vai ser de diferente para os dois 
observadores, um na Terra, e outro na espaçonave, e, assim, para o astronauta: ∆
∆t tp = γ
. Como 
o astronauta alcança o seu destino em ∆tp, ele conclui que a distância percorrida por ele será de:
L v t v tp= =∆
∆
γ
E para o observador na Terra:
L
L
L v
c
p
p= = −γ
1
2
2
Exemplo:
Momento Linear Relativístico
Um dos grandes desafios de Einstein foi a redefinição das leis de Newton, que para muitos, 
eram absolutas. Para isso, as leis de Newton tinham que ser generalizadas e comportar a situação 
em que a velocidade de um objeto fosse próxima da velocidade da luz, c. Numa situação em 
que se observasse o momento de uma partícula em dois referenciais, um em repouso e outro 
em movimento em relação ao objeto, com velocidade v , temos que o a definição de momento 
de uma partícula é dada por:
p u= m.
Onde u é a velocidade da partícula. Assim, teríamos que aplicar a mudança de velocidade 
nos dois referenciais, um em repouso e outro se deslocando com velocidade v. A transformação 
de Lorentz para as velocidades é:
u u vuv
c
' =
−
−1
2
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Unidade: Física Moderna
Figura 6 – Transformação de Lorenz da velocidade u de um referencial em repouso ao objeto (S) 
para um referencial em movimento (S’), com velocidade v.
Sendo assim, o momento linear de uma partícula é:
p u u≡
−
=
m
u
c
m
1
2
2
γ
Quando u « c, a expressão acima torna-se a mesma definida pela mecânica Newtoniana p=mu.
Exemplo: Um elétron, cuja massa é de 9,11 x 10-31 kg, move-se a velocidade 0,75 c. O seu 
momento relativístico é de:
a) 3,10×10-22 kg.m/s
b) 2,05×10-22 kg.m/s
c) 3,10×10-20 kg.m/s
d) 2,05×10-20 kg.m/s
e) 3,10×10-19 kg.m/s
Solução:
p m
u
c
c
c
=
−
=
× × × ×
−
( )
= ×
−
−u
1
9 11 10 0 750 3 00 10
1
0 75
3 10 10
2
2
31 8
2
2
2, , ,
,
,
22kg m s. /
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Energia Relativística
A partir da definição de momento linear, pode-se obter a energia relativística tendo-se como 
ponto de partida o teorema de trabalho-energia cinética. Vamos considerar que uma partícula 
mova-se ao longo do eixo x e que uma força faça com que ocorra uma mudança no momento 
desta partícula. O trabalho realizado por essa força vai ser então:
W F dx dp
dt
dx
x
x
x
x
= =∫ ∫
1
2
1
2
 
Esta passagem exige que façamos a derivação de p em relação a t:
dp
dt
d
dt
m
u
c
m du
dt
u
c
=
−
=






−






u
1
1
2
2
2
2
3
2
Substituindo dx=udt temos:
W
m du
dt
udt
u
c
m u
u
c
du
t u
=






−






=
−






∫ ∫
0 2
2
3
2 0 2
2
3
2
1 1
E a integral acima vai ser igual a:
W m
u
c
mc=
−
−
c2
2
2
2
1
E lembrando que o trabalho realizado é equivalente à energia cinética:
K m
u
c
mc mc mc mc=
−
− = − = −( )c
2
2
2
2 2 2 2
1
1γ γ
Observe que o termo mc2 independe da velocidade da partícula e é chamado de energia de 
repouso da partícula:
E mcR =
2
Que é a famosa equação de Einstein e tem consequências muito importantes. Apesar de 
Einstein não ter sido o primeiro a propor a relação entre massa e energia, várias fórmulas similares 
aparecerem antes da teoria de Einstein. Ele foi o primeiro a propor que a equivalência da massa e 
energia é um princípio geral que é uma consequência das simetrias do espaço e tempo.
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Unidade: Física Moderna
Figura 7 - Escultura da fórmula ‘E=mc²’ postulada por Albert Einstein em 1905, Walk of Ideas 
2006, Alemanha.
Lienhard Schulz/Wikimedia Commons
O termo γmc2 , que depende da velocidade da particular, é, portanto, a soma da energia 
cinética e energia de repouso:
E K mc= + 2
E vemos que a massa é uma forma de energia. Esse conceito inspirou e abriu caminho para 
a construção de reatores nucleares e, infelizmente, da bomba atômica.
Assim, quando multiplicamos a massa pela velocidade (da luz) ao quadrado, temos o 
equivalente em energia e suas unidades:
m c M L T kg m s J joule[ ]  = = ≡ ( )
− −2 2 2 2 2
. . . .
Como, geralmente, essas energias são atribuídas a pequenas quantidades de material, que 
são aceleradas em potenciais elétricos, utilizamos uma outra unidade: o elétron-Volt, onde:
1 1 60 10
19eV J= × −,
Exemplo: Um elétron viaja numa TV a tubo a uma velocidade de 0,350 c. Sua energia total 
vai ser em eV de (massa de repouso do elétron = 0,511 MeV):
a) 0,546 MeV
b) 0,528 MeV
c) 0,612 MeV
d) 0,017 MeV
e) 1,029 MeV
Resolução:
K m
u
c
MeV
c
c
MeV=
−
=
−
( )
= ≈
c2
2
2
2
2
1
0 511
1
0 350
0 545503 0 546
,
,
, ,
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Fótons, Elétrons e Átomos
Certos aspectos da luz só podem ser explicados se considerarmos que a luz consiste de 
elementos individuais chamados de fótons, ou quanta de luz. Esse conceito veio da explicação 
da emissão do corpo negro. 
Na Física, um corpo negro é aquele que absorve toda a radiação eletromagnética que nele 
incide: nenhuma luz o atravessa (somente em casos específicos) nem é refletida. Um corpo com 
essa propriedade, em princípio, não pode ser visto1, daí o nome corpo negro. 
Apesar do nome, corpos negros produzem radiação, o que permite determinar qual a sua 
temperatura. Em equilíbrio termodinâmico, ou seja, à temperatura constante, um corpo negro 
ideal irradia energia na mesma taxa que a absorve, sendo essa uma das propriedades que o 
tornam uma fonte ideal de radiação térmica. Na natureza, não existem corpos negros perfeitos, 
já que nenhum objeto consegue ter absorção e emissão perfeitas.
Independente da sua composição, verifica-se que todos os corpos negros à mesma temperatura 
T emitem radiação térmica com mesmo espectro. De mesmo modo, todos os corpos, com 
temperatura acima do zero absoluto, emitem radiação térmica. 
Conforme a temperatura da fonte luminosa aumenta, o espectro de corpo negro apresenta 
picos de emissão em menores comprimentos de onda, partindo das ondas de rádio, passando 
pelas micro-ondas, infravermelho, luz visível, ultravioleta, raios x e radiação gama. Em temperatura 
ambiente (cerca de 300K), corpos negros emitem na região do infravermelho do espectro. 
À medida que a temperatura aumenta algumas centenas de graus Celsius, corpos negros 
começam a emitir radiação em comprimentos de onda visíveis ao olho humano (compreendidos 
entre 380 a 780 nanômetros). A cor com maior comprimento de onda é o vermelho e as cores 
seguem como no arco-íris, até o violeta, com o menor comprimento de onda do espectro visível.
Figura 8 - É possível observar no gráfico o deslocamento dos picos de emissão do corpo negro, o produto 
da temperatura pelo comprimento de onda máximo se mantém constante com valor 2,898 x 10-3 m.K.
Fonte: Wikimedia Commons
1 http://pt.wikipedia.org/wiki/Corpo_negro#cite_note-um-1
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Unidade: Física Moderna
Figura 9
Fonte: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/
Um bom modelo de corponegro são as estrelas, como o Sol, no qual a radiação produzida 
em seu interior é expelida para o universo e, consequentemente, aquece o nosso planeta. A cor 
branca do Sol corresponde a uma temperatura superficial da ordem de 5750K. 
A primeira menção a corpos negros deve-se a Gustav Kirchhoff em 1860, em seu estudo 
sobre a espectrografia dos gases. Muitos estudiosos tentaram conciliar o conceito de corpo 
negro com a distribuição de energia prevista pela termodinâmica, mas os espectros obtidos 
experimentalmente, ainda que válidos para baixas frequências, mostravam-se muito discrepantes 
da previsão teórica, explicitada pela Lei de Rayleigh-Jeans para a radiação de corpo negro. 
Uma boa aproximação dos valores para o máximo de emissão para cada temperatura era dado 
pela Lei de Wien, porém foi Max Planck que, em 1901, ao introduzir a Constante de Planck, como 
mero recurso matemático, determinou a quantização da energia, o que mais tarde levou à teoria 
quântica que, por sua vez, rumou para o estudo e surgimento da mecânica quântica.
Emissão e Absorção de Luz
A luz emitida por átomos da matéria pode ocorrer quando aquecemos a mesma ou ao colocarmos 
um gás num tubo de descargas elétricas, como uma lâmpada de neon ou vapor de mercúrio. 
Observamos que, quando isso ocorre, a luz emitida aparece em algumas cores bem definidas ou, 
mais especificamente, comprimentos de onda de luz bem estreitos. No início do século XIX, mostrou-
se que cada elemento tinha um espectro característico; no entanto, com a teoria disponível naquela 
época não se tinha uma explicação satisfatória para se compreender esses fenômenos.
Figura 10
Hélio Nitrogênio Sódio
Havia outros fenômenos que também não eram bem compreendidos: o Efeito Fotoelétrico 
e a Emissão de Raios-X. Para explicar esses fenômenos e prever a observação de outros, foi 
necessário se criar um teoria nova, com grandes mudanças nos paradigmas vigentes na época 
e bem radical. A Teoria Quântica da radiação, que prevê que a luz ora é explicada pela sua 
natureza ondulatória, da radiação eletromagnética, ora enxerga a luz como uma partícula.
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A energia transportada por uma onda eletromagnética é um múltiplo de uma unidade que 
é proporcional à frequência da luz. Estas unidades de luz, como previsto pela primeira vez por 
Max Planck, são chamadas de fótons ou quanta (do plural de quantum, do latim: quantidade).
E hf=
Onde f é a frequência da radiação, e h é a constante de Planck, cujo valor é:
h J s≡ × −6 626 10 34, .
Exemplo: Uma lâmpada de sódio tem uma potência de 100 W. Considerando que a luz 
emitida é de 590 nm, o número de fótons emitidos é de (c = 3 x 108 m/s e h= 6,63 x 10-34 J.s):
a) 2,97 x 1021 fótons/s
b) 2,97 x 1020 fótons/s
c) 2,97 x 1019 fótons/s
d) 2,97 x 1018 fótons/s
e) 2,97 x 1017 fótons/s
P E
t
W E J s= = → =
∆
100 100 /
E n h f= . .
Mas f c= / λ , então:
E n h c n E
h c
= → = =
× ×
× ×
= ×
−
−. .
.
. , . ,
,λ
λ 100 590 10
6 62 10 3 00 10
2 9708 1
9
34 8
00 2 97 10
20 20≈ ×, /fótons s
Efeito Fotoelétrico
O efeito Édison ou emissão termoiônica é o processo pelo qual os elétrons atingem energia 
suficiente, por meio do calor, para escapar da superfície do elemento metálico emissor, 
descoberto pelo inventor americano Thomas Alva Edison, em 1883. Para escapar, o elétron 
tem que adquirir energia suficiente para ultrapassar a barreira de energia. A energia mínima 
necessária para ocorrer um escape de elétrons é chamada de função trabalho e varia de um 
material para outro.
Analogamente à emissão termiônica, o efeito fotoelétrico ocorre quando certos materiais, 
metais em geral, adquirem energia para que seus elétrons sejam ejetados quando iluminados 
por luz com comprimentos de onda próximos ao ultravioleta, isto é, pequenos. 
Esse efeito foi observado por Hertz em 1887 e investigado anos depois por Hallwachs e 
Lenard. A sua explicação foi dada, porém, por Einstein em 1905 que postulou que um feixe de 
luz consiste de pequenos “pacotes” energia ou quanta. Quando um fóton colide com um elétron 
na superfície de um metal ou bem próximo dela, o mesmo pode transferir sua energia. 
20
Unidade: Física Moderna
Nesse processo, o fóton é absorvido pelo elétron e a energia assimilada no processo será 
suficiente para ejetar o elétron do átomo ao qual ele estava ligado. A energia máxima com que 
o elétron pode emergir é a energia ganha pelo fóton menos a função trabalho:
eV hfo = −φ
Exemplo: Uma célula fotoelétrica tem uma frequência de corte de 4,5 x 1014 Hz. A sua 
função de trabalho φ é de (h = 6,63 x 10-34 J.s):
a) 2,3 eV
b) 2,2 eV
c) 2,1 eV
d) 2,0 eV
e) 1,9 eV
eV hfo = −φ
A frequência de corte ocorre quando Vo=0
0 6 63 10 4 5 10 2 9835 10
34 14 19= − → = = × × × = ×− −hf h f Jφ φ . , , ,
Em eV, é necessário dividir pela carga elementar e:
φ = ×
×
= ≈
−
−
2 9835 10
1 6 10
1 86469 1 9
19
19
,
,
, , eV
Espalhamento Compton
Um fenômeno denominado espalhamento de Compton foi observado pela primeira vez por 
A.H. Compton, em 1924, quando raios X atingem a matéria, e parte da radiação espalha-se. 
A observação realizada mostrou que parte da radiação espalhada tem frequência menor 
e comprimento de onda maior que a radiação que atinge a matéria e que a variação no 
comprimento de onda depende do ângulo de espalhamento. Se a radiação espalhada emergir 
num ângulo θ, e λ e λ’ forem os comprimentos de onda das radiações incidente e espalhada, 
respectivamente, tem-se:
λ λ θ'
.
( cos )− = −
h
m ce
1
Onde me é a massa do elétron.
21
Figura 11 – Diagrama do espalhamento Compton. 
JabberWok/Wikimedia Commons
Modelo de Bohr
Na física atômica, o átomo de Bohr é um modelo que descreve o átomo como um núcleo 
pequeno e carregado positivamente cercado por elétrons em órbita circular.
Ernest Rutherford, no início do século XX, realiza o experimento conhecido como espalhamento 
de Rutherford, no qual ele incidiu um feixe de partículas alfa (α) sobre uma folha de ouro e 
observou que, ao contrário do que era esperado - que as partículas deveriam ser refletidas pelos 
átomos de ouro considerados maciços até então -, muitas partículas atravessaram a folha de 
ouro e outras sofreram desvios. 
Tendo por base a análise dessa experiência, afirmou que átomos eram constituídos de uma 
nuvem difusa de elétrons carregados negativamente que circundavam um núcleo atômico 
denso, pequeno e carregado positivamente.
A partir dessa descrição, é fácil deixar-se induzir por uma concepção de um modelo planetário 
para o átomo, com elétrons orbitando ao redor do “núcleo-sol”. Porém, a aberração mais séria 
desse modelo é a perda de energia dos elétrons através da radiação síncrotron: uma partícula 
carregada eletricamente ao ser acelerada emite radiações eletromagnéticas que têm energia; fosse 
assim, ao orbitar em torno do núcleo atômico, o elétron deveria gradativamente emitir radiações 
e cada vez mais aproximar-se do núcleo, em uma órbita espiralada, até finalmente chocar-se 
contra ele. Um cálculo rápido mostra que isso deveria ocorrer quase que instantaneamente.
O físico dinamarquês Niels Bohr desenvolve seu modelo atômico a partir de quatro postulados:
1 - Os elétrons que circundam o núcleo atômico existem em órbitas, as quais têm níveis de 
energia quantizados.
2 - A energia total do elétron (cinética e potencial) não pode apresentar um valor qualquer 
e sim, valores múltiplos de um quantum.
3 - Quando ocorre o salto de um elétron entre órbitas, a diferença de energia é emitida (ou 
suprida) por um simples quantum de luz (também chamado de fóton), que tem energia 
exatamente igual à diferença de energia entre as órbitas em questão.
22
Unidade: Física Moderna
4 - As órbitas permitidas dependem de valores quantizados (bem definidos) de momento 
angular orbital.L n h= .
2pi
A regra 4 afirma que o menor valor possível de n é 1. Isso corresponde ao menor raio 
atômico possível, de 0,0529 nm, valor também conhecido como raio de Bohr. Nenhum elétron 
pode aproximar-se mais do núcleo do que essa distância.
O modelo de átomo de Bohr é, às vezes, chamado de modelo semiclássico do átomo 
porque agrega algumas condições de quantização primitiva a um tratamento de mecânica 
clássica. Esse modelo, certamente, não é uma descrição mecânica quântica completa do átomo. 
A regra 2 diz que as leis da mecânica clássica não valem durante um salto quântico, mas não 
explica que leis devem substituir a mecânica clássica nessa circunstância. A regra 4 diz que o 
momento angular é quantizado, mas não diz por quê.
Dualidade Onda-Partícula
De Broglie, físico francês, fundou seu raciocínio inicialmente na intuição e nos conhecimentos 
acerca do efeito fotoelétrico para chegar a esta conclusão. Durante seus estudos acerca do 
efeito fotoelétrico, Einstein havia concluído que fótons, os quais atuavam no efeito fotoelétrico 
exibiam todas as propriedades esperadas de um feixe de partículas, com energia E=h•f, onde f 
representa a frequência de onda da onda eletromagnética associada aos fótons em consideração. 
Além disso, De Broglie foi capaz de relacionar com sucesso o comprimento de onda associado 
ao comportamento ondulatório da “partícula” com a massa da referida “partícula” mediante 
a fórmula λ=h/P, onde P representa o módulo do vetor quantidade de movimento , ou seja, 
o produto da massa pelo módulo da velocidade (m•v) do ente; h representa a constante de 
Constante de Planck, e ‘λ’, o comprimento de onda associado.
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Material Complementar
Para complementar os conhecimentos adquiridos nesta Unidade, veja os vídeos indicados e 
consulte a bibliografia indicada:
 
 Vídeos
Experiência de Michelson - Parte 1 http://youtu.be/NR_OA8c5khU
Experiência de Michelson - Parte 2 http://youtu.be/oRsSHUzKx14
Experiência de Michelson - Parte 3 http://youtu.be/3XMVSYWD-Bg
Postulados da Relatividade - http://youtu.be/Dl0DfBW85d0
Relatividade da Simultaneidade - http://youtu.be/v2vCj7iQRC0
Dilatação do Tempo - http://youtu.be/PKLLUL4-jV4
 
 Cursos Unicamp
Física Geral IV -http://univesptv.cmais.com.br/� sica-geral-iv/teoria-da-relatividade-restrita
Física Geral IV - http://univesptv.cmais.com.br/� sica-geral-iv/teoria-da-relatividade-restrita-ii
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Unidade: Física Moderna
Referências
ALONSO, M. Física: um curso universitário. – 12a. edição – São Paulo: Edgard Blucher, 2011.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: ótica e física moderna – 
8ª. Edição - Rio de Janeiro: LTC editora, 2009.
GAMOW, George. O incrível mundo da física moderna. 2.ed. São Paulo: IBRASA, 
1980. 202 p.
LORENTZ, H. A.; EINSTEIN, A.; MINKOWSKI, H. O princípio da relatividade. 5.ed. Lisboa: 
Fundação Calouste Gulbenkian, 2001. v.1.
SERWAY, Raymond A. Física: para cientistas e engenheiros: com física moderna. 3.ed. 
Rio de Janeiro: LTC, 1996. 4 v.
25
Anotações