apostila- parteII

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Probabilidade e Est´ıstica II/ Engenharia de Produc¸a˜o
Prof(a): Cleide Mayra
Vetor de Varia´veis Aleato´rias
1 Vetor Aleato´rio Bidimensional Cont´ınuo
1.1 Func¸a˜o Densidade de Probabilidade Conjunta - Caso Cont´ınuo
Definic¸a˜o 1: SejamX, Y duas varia´veis aleato´rias cont´ınuas. A densidade
conjunta fX,Y (x, y) e´ uma func¸a˜o que satisfaz as seguintes propriedades:
1. fX,Y (x, y) ≥ 0;
2.
∫∞
−∞
∫∞
−∞ fX,Y (x, y)dxdy = 1
3. P [(X, Y ) ∈ A] =
∫
A
∫
fX,Y (x, y)dxdy
Exemplo 1: Suponha que a f.d.p conjunta de X e Y seja especificado
da seguinte forma:
fX,Y (x, y) =


2 se 0 ≤ x ≤ y ≤ 1
0 caso contra´rio
(1)
a) mostrar que fX,Y (x, y) realmente define uma func¸a˜o de densidade de
probabilidade de (X, Y );
b) Calcular P (X ≤ 1/2, Y ≤ 1/2)
Exemplo 2: Uma fa´brica de doces distribui caixas de chocolate de
diferentes tipos, classificados basicamente entre chocolates brancos e mar-
rons. Para uma caixa selecionada de forma aleato´ria, sejam X e Y , re-
spectivamente, as proporc¸o˜es de chocolates brancos e marrons, e suponha
que a func¸a˜o de densidade conjunta e´:
fX,Y (x, y) =


2
3
(2x+ 3y), se 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
0 caso contra´rio
(1)
a) mostrar que fX,Y (x, y) realmente define uma func¸a˜o de densidade de
probabilidade de (X, Y );
1
b) Calcular P [(X, Y ) ∈ A], onde A = {(X, Y )|0 < x > 1/2, 1/4 < y <
1/2}
Exemplo 3: Suponha que a f.d.p conjunta de X e Y seja especificado
da seguinte forma:
fX,Y (x, y) =


cx2y se x2 ≤ y ≤ 1
0 caso contra´rio
(2)
a) Determinar o valor da constante c.
b) Calcular P (X ≥ Y )
Exerc´ıcio: Para uma copiadora, fac¸a a varia´vel aleato´ria X denotar o
tempo (em horas) ate´ a falha de um componente e fac¸a Y representar o
tempo (em horas) ate´ a falha de um componente sobressalente (de reserva).
Cada uma dessas varia´veis mede o tempo ate´ a falha, a partir de um tempo
inicial comum. Devido ao fato de o sobressalente na˜o ser colocado em uso
ate´ que o primeiro componente falhe, X < Y . Suponha que os tempos
de vida do componente e do sobressalente sejam , cada um, distribu´ıdos
exponencialmente, com paraˆmetros 0,003 e 0,002, respectivamente. Se a
func¸a˜o de densidade conjunta e´:
fX,Y (x, y) = 6× 10
−6exp(−0, 001x− 0, 002y), para x < y
a) Confira que fX,Y (x, y) e´ uma func¸a˜o de densidade de probabilidade
de (X, Y );.
b) Determine a probabilidade P (X < 1000, Y < 2000).
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