Curso DSc_Turma Preparatória Engenharia BNDES_2012_Estatística_e_Probabilidade_Exercícios

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Banca Cesgranrio 
 
Probabilidade 
e 
Estatística 
 
Questões desde o ano de 2005 
 
 
Ano de 2012 
 
Curso DSc Página 2 
Questões da CESGRANRIO 
Divisão das Questões por assuntos 
(As questões resolvidas estão em destaque) 
1) Medidas de posição (centralidade e dispersão), coeficiente de 
correlação (linear) ou coeficiente de correlação (linear) de Pearson, 
covariância, simetria e assimetria: 1 (Definições: coeficiente de correlação 
linear, covariância); 2 (Definições: média, população, variância populacional, 
amostra, variância amostral, desvio padrão); 3 (Definições: moda, estatística de 
ordem, mediana); 4 (Definições: espaço amostral, evento elementar ou ponto 
amostral, evento, evento certo, evento impossível, união de eventos, interseção 
de eventos, eventos disjuntos ou mutuamente exclusivos ou mutuamente 
excludentes); 5 (Definição: medida resistente); 6, 7, 15 (Definições: simetria e 
assimetria); 16; 23; 31; 33; 35; 36; 45; 50 (Definição: Coeficiente de variação); 
54; 59; 66; 67; 68; 69; 70; 73; 75; 82; 85; 88 (Definições: média e variância de 
combinação linear de variáveis aleatórias ou quantidades de interesse); 90; 
100; 107; 108; 109; 115; 123; 125 (Definição: média harmônica); 127; 129; 130; 
131 (Cálculo da estimativa que minimiza a soma dos quadrados dos desvios); 
139; 142; 143; 156; 162; 166; 171; 174; 182; 190; 195; 197 (Definição: média 
ponderada); 199; 200; 201; 207; 220; 224; 231; 236; 237; 239; 246. 
2) Frequência relativa, freqüência absoluta, box plot, quantis: 11 
(Definições: freqüência absoluta, freqüência relativa); 19 (Definições: Box plot, 
quartis, distância interquartil); 57; 140; 157; 159; 209 (Definições: coeficiente de 
assimetria, coeficiente de curtose); 217. 
3) Interpolação linear (método da ogiva): 27; 28; 29; 30; 34; 41; 62; 63; 83; 
84; 104; 189. 
4) Princípio fundamental da contagem, combinação, arranjo, anagramas: 
20 (Definição: combinação); 65; 98 (Definição: princípio fundamental da 
contagem); 99; 105; 119; 121;128; 135 (anagramas); 136; 137; 141; 144; 145; 
147; 148; 152; 186; 198; 205; 208; 211; 212; 213; 215; 216; 222; 247; 248. 
5) Cálculo de probabilidades, probabilidade condicional, diagrama de 
Euler-Venn: 9; 10 (Definição: probabilidade condicional); 12; 13; 14; 17; 18; 21; 
32; 38; 39; 40; 42; 44; 47; 51; 53; 55; 60; 64; 71; 74; 81; 86; 87; 91; 102; 111; 
113; 116; 117; 120; 122; 138; 146; 149; 150; 151; 161; 173; 178; 181; 184; 187; 
188; 191; 192; 196; 202; 204; 210; 218; 219; 223; 226 (Definição: eventos 
igualmente prováveis); 230; 234; 238; 240. 
6) Teoria de conjuntos: 228 (Definições: subconjunto, subconjunto próprio, 
complemento ou complementar de um conjunto) 
7) Classificação de variáveis aleatórias: 167 
 
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8) Variáveis aleatórias discretas: 22 (Definição: distribuição geométrica); 26 
(Definição: distribuição binomial); 37; 43 (Definição: distribuição 
hipergeométrica); 48; 56; 72 (Definição: distribuição uniforme); 89; 96; 112 
(Definição: distribuição de Poisson); 118; 124; 132; 154; 155; 165; 168; 172; 
175; 183; 185; 193; 194 (Definição: função de distribuição acumulada); 214; 
221; 229; 235; 242; 244; 249. 
9) Variáveis aleatórias contínuas (exceto Distribuição normal): 25 
(Definições: variável aleatória contínua, função de distribuição acumulada 
(FDA), função densidade (de probabilidade), média e variância de uma variável 
aleatória contínua), 46 (Definição: moda de uma variável aleatória contínua); 49 
(Definição: distribuição uniforme); 80 (Definição: distribuição qui-quadrado, 
distribuição t-Student, distribuição F); 92; 94 (Definições: distribuição 
exponencial; falta de memória); 101 (Definição: média de uma função de 
variável aleatória); 106; 110; 114; 133; 233. 
10) Distribuição normal: 8 (Definição: distribuição norma; propriedades); 24; 
58; 93; 103; 126; 134; 227; 232; 241; 245. 
11) Teste de hipóteses, nível de confiança, estatísticas, estimadores, 
Teorema Central do Limite (TCL): 52 (Definições: erro do tipo I, erro do tipo II, 
probabilidade do erro do tipo I ou nível de significância (α), probabilidade do 
erro do tipo II (β), região crítica ou de rejeição, região de aceitação, p-valor): 61; 
76; 78; 79; 95; 97; 153 (Definição: Análise Exploratória de Dados (AED)), 158 
(Definições: parâmetro, estimador, estimador não-viesado ou não tendencioso, 
estimativa); 160; 163 (Teorema Central do Limite (TCL)); 164; 169; 170 
(Definição: estimador consistente), 176, 180, 203, 225, 243. 
12) Intervalo de confiança1: 77 
13) Distribuição conjunta de probabilidade2: 177 
14) Estimadores de maximaverossimilhança3: 179 
 
 
 
 
 
 
1
 Este tópico não cai para as carreiras de administradores e engenheiros do BNDES. 
2
 Este tópico não cai para as carreiras de administradores, economistas e engenheiros do BNDES. 
3
 Este tópico não cai para as carreiras de administradores e engenheiros do BNDES. 
 
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Exercícios da Cesgranrio 
Empresa de Pesquisas Energéticas (EPE) - 2005 
Área: Economia de Energia 
1) O coeficiente de correlação toma valores no intervalo: 
(A) [0,1] (B) ]0,1] (C) [-1,1] (D) ]-1,1[ (E) [-10,10[ 
Resp.: Dados n pares de valores (x1, y1), (x2, y2), , (xn, yn), chamaremos de 
coeficiente de correlação ou coeficiente de correlação linear entre as 
variáveis aleatórias, ou variáveis de interesse, X e Y, denotado por ρXY ou 
corr(X, Y), a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ou seja, a média dos produtos dos valores padronizados das variáveis. De 
modo equivalente, 
 
 
 
 
 
 
 Não é difícil provar que o coeficiente de correlação satisfaz 
 
 O numerador da expressão que define a correlação, que mede o total da 
concentração dos pontos pelos quatro quadrantes, dá origem a uma medida 
bastante usada e que definimos a seguir. 
Definição. Dados n pares de valores (x1, y1), (x2, y2), , (xn, yn), chamaremos 
de covariância entre as duas variáveis X e Y a 
 
 
 
 
 
 
ou seja, a média dos produtos dos valores centrados das variáveis. De modo 
equivalente, após algumas manipulações algébricas, temos que 
 
Com essa definição, o coeficiente de correlação pode ser visto como 
 
 
 
 
 
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 Assim, 
cov(X,Y) = corr(X, Y) x DP(X) x DP(Y). 
O coeficiente de correlação ou coeficiente de correlação linear mede a 
relação linear entre duas variáveis ou quantidades de interesse. 
 A interpretação gráfica é dada abaixo: 
 
(a)dependência linear direta: correlação e covariância positiva; 
(b) dependência linear inversa: correlação e covariância negativas; 
(c) ausência ou reduzida de relação linear: correlação e covariâncias iguais a 
zero ou com valores próximos de zero. 
 O sinal da correlação linear ou, de modo equivalente, o sinal da 
covariância, determina a (inclinação da) reta de regressão, ou seja, a reta 
ajustada aos dados. 
2) Sobre os conceitos de média, desvio padrão e variância, é correto afirmar 
que: 
(A) inexiste relação entre média e variância. 
(B) é impossível calcular o desvio padrão, dada a variância. 
(C) a variância é a raiz quadrada da média. 
(D) o desvio padrão é a raiz quadrada da variância. 
(E) o valor da variância é sempre maior que o valor do desvio padrão. 
Resp.: Se x1, x2, ..., xn são os n valores (distintos ou não) da variável X, a 
média aritmética, ou simplesmente média, de X, denotada por , pode ser 
escrita 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Agora, se tivermos n observações da variável X, das quais n1 são iguais 
a x1, n2 são iguais a x2, ..., nk são iguais a xk, então a média de X pode ser 
escrita 
 
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 Se 
 
 
 representar a freqüência relativada observação xi, então a 
equação acima pode ser escrita 
 
 
 
 
 Quando X representa uma variável aleatória, sua média é indicada por 
 
Nota) População é o conjunto de todos os elementos (pessoas ou objetos) 
cujas propriedades o pesquisador está interessado em estudar. 
 A variância ou variância populacional, denotada por var, é definida 
por 
 
 
 
 
 
 
 A fórmula acima é equivalente à 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Em ambas as fórmulas acima, note a relação entre a variância e a 
média. 
 Quando temos a variável aleatória X, a notação da variância é dada por 
 
 
 
 Suponha que observemos n1 vezes o valor x1,..., nk vezes o valor xk da 
variável X. Então, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A variância é uma medida dispersão, cuja dimensão é igual ao quadrado 
da dimensão dos dados (por exemplo, se os dados são expressos em cm, a 
variância será expressa em cm2). É comum a utilização do desvio padrão, 
 
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denotado por dp, que é uma medida de dispersão definida como a raiz 
quadrada da variância: 
 
Nota) Se uma população é infinita, ou finita, mas muito grande, torna-se 
impossível ou impraticável a realização do censo. Em tais casos, em vez disso, 
examina-se somente uma pequena parte da população que chamamos de 
amostra. Uma amostra é dita representativa da população se a partir de sua 
análise podem ser obtidas conclusões sobre a população. Para tanto é 
necessário que a amostra seja extraída de acordo com regras bem definidas. 
 Dada uma amostra, a variância amostral é dada por 
 
 
 
 
 
 
 Para quaisquer constantes “a” e “b”, temos que 
 (aX + b) = a (X) + b; 
var(aX + b) = a2var(X); e 
dp(aX + b) = |a| dp(x), onde | | indica o módulo ou o valor absoluto de um 
número. 
Nota) Módulo ou valor absoluto de um número: 
 
 
 
 
Exemplos) e . 
3) As observações de uma variável X são: (0,2,2,1,4,5,5,5,3). Os valores de 
moda, média e mediana, respectivamente, são: 
(A) 2, 2, 2 (B) 2, 3, 5 (C) 3, 3, 5 (D) 5, 3, 2 (E) 5, 3, 3 
Resp.: A moda é definida como a realização mais freqüente do conjunto de 
valores observados. Em alguns casos, pode haver mais de uma moda, ou seja, 
a distribuição dos valores pode ser bimodal, trimodal, etc.., ou, de modo mais 
geral, multimodal. Quando tratar-se de uma variável aleatória discreta, a moda 
é o valor ao qual atribuímos a maior probabilidade; para variáveis aleatórias 
contínuas, é o valor ao qual está associado o maior valor assumido pela função 
densidade de probabilidade (FDP). Nesta questão, a moda de X é igual a 5, 
valor ao qual está associada a frequência absoluta igual a 3. A média de X, , é 
igual a 
 
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 Considere, agora, as observações da variável X, x1, x2, ..., xn, ordenadas 
em ordem crescente. Vamos denotar a menor observação por x(1), a segunda 
por x(2), e assim por diante; obtém-se 
 (*) 
Por exemplo, se x1=3, x2=-2, x3=6, x4=1, x5=3, então -2 ≤ 1 ≤ 3 ≤ 3 ≤ 6, 
de modo que x(1) = - 2, x(2) = 1, x(3) = 3, x(4) = 3 e x(5) = 6. 
As observações ordenadas como em (*) são chamadas estatísticas de 
ordem. 
Com esta notação, a mediana da variável X pode ser definida como 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Na questão em tela, tem-se: 0 ≤ 1 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 3 ≤ 4 ≤ 5 ≤ 5 ≤ 5; como n = 
9: 
Md(X) = 
 
 
 
 
 = x(5) = 3. 
4) Seja X uma variável discreta que representa o valor numérico de uma única 
jogada de um dado honesto de seis faces. Qual a probabilidade de X=4 ou 
X=5? 
(A) 5/6 (B) 2/3 (C) 1/2 (D) 1/3 (E) 1/6 
Resp.: O espaço amostral de um experimento, Ω, consiste, no caso discreto, 
da enumeração (finita ou infinita) de todos os resultados possíveis do 
experimento em questão; cada elemento do espaço amostral é chamado de 
evento elementar ou ponto amostral. Como os dados são honestos (não 
viciados), a cada evento elementar associamos a probabilidade 1/36. 
Chamamos de evento a todo subconjunto (ou parte) do espaço amostral. 
 A probabilidade de um evento é dada pela soma das probabilidades dos 
eventos elementares que o compõem; o espaço amostral é também chamado 
de evento certo e P(Ω) = 1; e o conjunto vazio, denotado por {} ou , é 
chamado de evento impossível e P( ) = 0. 
 Dados os eventos A e B, podemos considerar dois novos eventos: 
 
i) A U B, chamado reunião (união) de A e B, quando pelo menos um dos 
eventos ocorre; 
 
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ii) A ∩ B, chamado interseção de A e B, quando A e B ocorrem 
simultaneamente. 
 Os seguintes resultados são importantes: 
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 
P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) - P(A ∩ C) – P(B ∩ C) – P(A ∩ B ∩ C) 
 Quando a interseção de 2 (dois) eventos é vazia, os eventos são ditos 
disjuntos ou mutuamente exclusivos ou mutuamente excludentes. Nesse 
caso, os resultados acima tomam a seguinte forma: 
P(A U B) = P(A) + P(B) 
P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) 
A variável X assume os valores 1, 2, 3, 4, 5 e 6, os quais determinam o 
espaço amostral associado à variável X; a cada elemento amostral associa-se 
a mesma probabilidade 1/6, pois é um dado honesto de 6 faces. 
Consideremos os eventos 
A: evento {X = 4} e 
B: evento {X = 5}. 
 Ao conectivo ou está associado o operador união (U); ao conectivo e 
está associado o operador interseção (∩). Sabe-se que P(A U B) = P(A) + 
P(B) – P(A ∩ B). 
 Nesta questão, A ∩ B = Ø e, portanto, P(A ∩ B) = 0. Logo, 
P(A U B) = 1/6 + 1/6 = 1/3. 
Área: Finanças e orçamento 
 
5) Dado o conjunto de valores {2,3,5,7,8}, substituindo o valor 8 por 50, é 
correto afirmar que a: 
(A) moda aumenta. (B) mediana se mantém. (C) mediana aumenta. 
(D) mediana diminui. (E) média diminui. 
Resp.: Dizemos que uma medida de localização ou dispersão é resistente 
quando for pouco afetada por mudanças de uma pequena porção dos dados. A 
mediana é uma medida resistente, ao passo que a média não é. 
 As questões 2 e 3 trazem as definições de média, moda e mediana. 
 Para o conjunto de valores {2, 3, 5, 7, 8, temos: média = 5 e mediana = 
5; para o conjunto {2, 3, 5, 7, 50}, temos media = 13,4 e mediana = 5. 
 
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6) Se num diagrama de dispersão os pontos estiverem próximos de uma reta 
com declive negativo, isso significa que o coeficiente de correlação linear tem 
um valor: 
(A) 0 (B) positivo (C) negativo (D) quase nulo (E) 1 
7) Para a seqüência de números (1,1,3,4), a variância é igual a: 
(A) 1 (B) 2 (C) 2,25 (D) 2,75 (E) 3 
8) Se uma distribuição segue um padrão normal, é correto afirmar que: 
(A) 98% dos números estão a dois desvios padrão da média. 
(B) 95% dos números estão a 1,5 desvio padrão da média. 
(C) 95% dos números estão a um desvio padrão da média. 
(D) 86% dos números estão a um desvio padrão da média. 
(E) 68% dos números estão a um desvio padrão da média. 
Resp.: Dizemos que uma variável aleatória X tem distribuição normal com 
parâmetros μ e σ
2
, - ∞ < μ < + ∞ e 0 < σ
2
 < ∞, se sua função densidade de 
probabilidade é dada por 
 
 
 
 
 
onde µ = Média(X) e σ2 = variância(X). Sempre que µ = 0 e σ2 = 1, a 
distribuição é dita normal padrão ou Gaussiana. Para quaisquer valores de 
média e variância, os valores das probabilidades abaixo são sempre 
verdadeiros: 
 
 
 
 
Exemplo) Seja X ~ N(2, 16); então: 
 
Curso DSc Página 11Um resultado largamente utilizado nos cálculos é a seguinte: 
 
 
 
 . 
Exemplo) Se X ~ N(2, 16); então 
 
 
 
 
9) A probabilidade de se obter a soma 7 ou a soma 3 na jogada de dois dados 
de seis lados não viciados é: 
(A) 6/8 (B) 2/9 (C) 4/9 (D) 2/18 (E) 6/36 
 
Resp.: Quando elencamos todos os resultados possíveis para o lançamento de 
dois dados, obtemos: 
(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) 
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6) 
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6) 
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6) 
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6) 
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) 
Do total dos 36 resultados possíveis: 
(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) => somam 7 
(1,2), (2,1) => somam 3 
Logo, Probabilidade = 8/36 = 2/9. 
De modo mais formal, podemos definir os eventos: 
S3: soma dos resultados iguais a 3; portanto S3 = {(1,2), (2,1) e P(S3) = 2/36; 
S7: soma dos resultados iguais a 7; portanto S7 = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), 
(6,1)} e P(S7) = 6/36. 
Logo, 
P(S3 U S7) = P(S3) + P(S7) – P(S3 ∩ S7) = 6/36 + 2/36 – 0 = 8/36 = 2/9. 
 
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10) Uma moeda honesta foi jogada duas vezes no ar. Sabe-se que ao menos 
uma coroa apareceu. Qual a probabilidade de o resultado ter sido exatamente 
o de uma cara e uma coroa? 
(A) 1 (B) 1/2 (C) 1/3 (D) 1/4 (E) 2/3 
Resp.: Para dois eventos quaisquer A e B, sendo P(B) > 0, definimos a 
probabilidade condicional de A dado B, P(A/B), como sendo 
 
 
 
 
Da definição de probabilidade condicional de A dado B, P(A/B), obtemos a 
chamada Regra do Produto de Probabilidades, 
 
Dizemos que A e B são independentes se, e somente se, é válida a relação 
 
Nesta questão, o espaço amostral deste experimento é dado por Ω = 
{(c,c), (c,k), (k,c), (k,k)}; como a moeda é honesta, a cada elemento amostral 
associamos a probabilidade 1/4. Vamos definir os eventos: 
A: ocorrência de uma cara e de uma coroa; portanto, A = {(c,k), (k,c)} e P(A) = 
2/4; e 
B: ocorrência de ao menos uma coroa; portanto B = {(c,k), (k,c), (k,k)} e P(B) = 
3/4. 
Queremos calcular P(A/B); como A ∩ B = {(c,k), (k,c)} = A e, portanto, P(A ∩ B) 
= 2/4, segue que 
P(A/B) = 
 
 
 
 
 = 
 
 
. 
11) Dada a lista de números {5,5,6,6,6,6,7,14}, a freqüência: 
(A) relativa do número 5 é 25% (B) relativa do número 5 é 75% 
(C) relativa do número 6 é 25% (D) relativa do número 7 é 10% 
(E) absoluta do número 6 é 40% 
Resp.: Por definição: 
Frequência absoluta de um valor (ou de um resultado de um experimento) 
 ; e 
 
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Frequência relativa de um valor (ou de um resultado de um experimento) 
= 
 
 
 
De um total de 8 valores, 2 são iguais a 5. Assim, 
Frequência absoluta do valor 5: 2 
Frequência relativa do valor 5: 
 
 
 
 
 
 = 25%. 
12) A probabilidade condicional Pr (A B), se A e B são eventos mutuamente 
excludentes, é: 
(A) 0 (B) 1 (C) Pr(A∩B) (D) Pr(AUB) (E) Pr(B∩A) 
Resp.: Dois eventos são ditos mutuamente excludentes ou mutuamente 
exclusivos ou disjuntos quando possuem interseção vazia, ou seja, . Da 
teoria da probabilidade, P( ) = 0. Da definição de probabilidade condicional 
entre eventos, dada na Questão 10, segue o gabarito. 
Tribunal de Contas do Estado de Rondônia (TCE Rondônia) - 2007 
 
Função: Economista 
 
13) Uma urna contém 6 bolas marcadas, respectivamente, com os números 1, 
2, 3, 3, 4 e 5. Uma pessoa retira uma das bolas aleatoriamente da urna. A 
probabilidade de sair uma bola com o número 3 é: 
(A) 1/6 (B) 1/5 (C) 1/4 (D) 1/3 (E) 1/2 
14) Dois dados comuns, “honestos”, são lançados simultaneamente. A 
probabilidade de que saia pelo menos um 6 é igual a: 
(A) 1/36 (B) 9/36 (C) 11/36 (D) 12/36 (E) 15/36 
15) Considere a distribuição de probabilidades discreta apresentada a seguir. 
 
Eventos Elementares Probabilidades 
1 1/6 
2 1/6 
3 2/6 
4 1/6 
5 1/6 
 
Analisando-se esses dados, conclui-se que a: 
(A) moda desta distribuição é igual a 2. 
(B) média da distribuição é igual à moda. 
(C) mediana da distribuição é igual a 2. 
(D) distribuição é assimétrica. 
(E) probabilidade do evento “número ímpar” é igual a 50%. 
 
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Resp.: Para facilitar a notação, vamos chamar de X uma variável aleatória 
discreta que possui a distribuição acima. Temos: 
X = xi P(X = xi) 
1 1/6 
2 1/6 
3 2/6 
4 1/6 
5 1/6 
 Da definição de moda de uma variável aleatória discreta (Questão de nº 
3), segue que a moda é igual a 3, pois a este valor está associado o maior 
valor de probabilidade. 
 Da Questão de nº 2, o cálculo da média é dado por 
 (X) = 1 x 1/6 + 2 x 1/6 + 3 x 2/6 + 4 x 1/6 + 5 x 1/6 = 3. 
 A mediana pode ser calculada associando a X o seguinte experimento 
aleatório: suponhamos uma urna, contendo 5 bolas, das quais, 2 numeradas 
com o 3 e as demais, com os números 1, 2, 4 e 5. Assim, o rol obtido para este 
experimento é dado por: 
1 ≤ 2 ≤ 3 ≤ 3 ≤ 4 ≤ 5 
e, então, a mediana é igual a 3. 
 Para o estudo da simetria, temos: 
1) Variável aleatória discreta simétrica: sua distribuição de frequência 
apresenta valores que são iguais à mediana ou eqüidistantes da mediana; 
neste último caso, a esses valores associamos igual probabilidade. 
 
2) Variável aleatória contínua simétrica: sua função densidade de 
probabilidade (FDP) tem gráfico simétrico em relação à mediana da 
distribuição. 
 
Curso DSc Página 15 
 
Os demais casos são definidos a partir das apresentações acima: 
 
No caso da análise gráfica de uma variável aleatória discreta, devemos 
comparar o “contorno” da sua distribuição de frequência às apresentações 
acima para concluir sobre a assimetria 
 Na questão em tela, vamos adotar a seguinte representação 
 
onde vemos uma reflexão em relação à vertical que passa pelo ponto x = 3: os 
pontos x = 1 e x = 5 distam 2 unidades do ponto x = 3 e ambos possuem iguais 
probabilidades; os pontos x = 2 e x = 4 distam 1 unidade do pontos x = 3 e 
ambos possuem iguais probabilidades. Logo, a distribuição é simétrica. 
 Ocorre o evento “número impar” quando a variável aleatória X assume 
um dos valores: 1, 3 e 5, ou seja, {X = 1, X = 2, X = 3}; como a probabilidade de 
um evento é dada pela soma das probabilidades dos pontos amostrais que o 
compõem, então tal probabilidade é dada por 1/6 + 2/6 + 1/6 = 4/6. 
 
Curso DSc Página 16 
16) A variância de uma distribuição de probabilidades descreve o(a): 
(A) seu valor médio. 
(B) valor mais provável da distribuição. 
(C) correlação da variável aleatória com outras variáveis. 
(D) dispersão da distribuição em relação à origem. 
(E) dispersão da distribuição em relação à média. 
 
Função: Estatístico 
 
O enunciado a seguir refere-se às questões de nos 17 e 18. 
 
Em um jogo, apresentam-se ao participante 3 fichas voltadas para baixo, 
estando representadas em cada uma delas as letras T, C e E. As fichas 
encontram-se alinhadas em uma ordem qualquer. O participante deve ordenar 
as fichas, mantendo as letras voltadas para baixo, tentando obter a sigla TCE. 
Ao desvirá-las, para cada letra que esteja na posição correta, ganhará um 
prêmio de R$ 500,00. 
 
17) A probabilidade de o participante não ganhar qualquer prêmio é igual a: 
(A) 0 (B) 1/6 (C) 1/4 (D) 1/3 (E) 1/2 
18) A probabilidade de o participante ganhar exatamente o valor de R$ 
1.000,00 é igual a: 
(A) 3/4 (B) 2/3 (C) 1/2 (D) 1/6 (E) 0 
19) 
 
O Box plot ilustrado acima mostra a distribuição das idades, em anos 
completos, de um grande número de mulheres. Escolhida aleatoriamente uma 
dessas mulheres, a probabilidade de sua idade estar entre 49 e 54 anos é: 
(A) 0,15 (B) 0,25 (C) 0,35 (D) 0,50 (E) 0,75 
Resp.: O esquema gráfico abaixo nos traz as definições dos 1º e 3º quartis. 
 
 
Curso DSc Página 17 
 A mediana, que é o 2º quartil, é o valor que objetivadividir os dados em 
2 partes: 50% a sua esquerda e 50% a sua direita. 
 O Box plot é uma diagrama que traz as seguintes informações: 
 
 Os valores da amostra que são menores do que “1º Quartil – 1,5 x DIQ” 
ou maiores do que “3º quartil + 1,5 x DIQ” são ditos discrepantes ou outliers e 
são explicitamente indicados no Box plot através de “ * ”, “ +” ou “ º ”. 
Nota) O Box Plot é desenhado de forma que, para dados de uma distribuição 
Normal, aproximadamente 99,5% das observações caiam “dentro dos fios”. 
 Para a distribuição de idades desta questão, o 1ª Quartil é igual a 49 
anos, enquanto o 2º quartil (mediana), 54 anos. Logo, a probabilidade de estar 
entre 49 e 54 anos equivale a probabilidade de estar entre o 1º e o 2º quartis, 
ou seja, 25%. 
20) Considerando-se 240 processos divididos em dois grupos de 120 
processos cada, qual a probabilidade de dois desses processos ficarem no 
mesmo grupo? 
(A) 119/239 (B) 129/242 (C) 117/221 (D) 120/240 (E) 128/248 
21) Sara tem três cartões magnéticos de Bancos diferentes, A, B e C. Na última 
semana ela usou os três cartões para retirar dinheiro em caixas eletrônicos (o 
mesmo valor e a mesma quantidade de notas), e descobriu que uma das notas 
sacadas durante esse período era falsa. O banco A diz que a probabilidade de 
uma nota ser falsa, dado que o dinheiro foi retirado de um de seus caixas 
eletrônicos, é 0,2%. Já os Bancos B e C afirmam que essas probabilidades 
para os seus caixas eletrônicos são, respectivamente, 0,1% e 0,05%. Sara 
recebeu uma nota falsa. Qual é a probabilidade dessa nota ter vindo do Banco 
A? 
(A) 0,47 (B) 0,57 (C) 0,67 (D) 0,77 (E) 0,87 
Resp.: Nesta questão, o espaço amostral é formado por todas as notas 
sacadas pela Sara. Vamos definir os seguintes eventos: 
 
Curso DSc Página 18 
A: evento “notas sacadas no Banco A”; 
B: evento “notas sacadas no Banco B” 
C: evento “notas sacadas no Banco C” 
F: evento “notas falsas” 
 Na ilustração abaixo, os eventos acima, bem como o espaço amostral, 
Ω, são representados. 
 
 Notemos que o evento F pode ser representado por 3 partes (eventos) 
disjuntas (os): F∩A, F∩B e F∩C. De fato, uma nota falsa não pode ter sido 
sacada ao mesmo tempo dos bancos A e B, por exemplo. Assim, 
F = (F∩A) U (F∩B) U (F∩C) 
e, portanto, 
P(F) = P(F∩A) + P(F∩B) + P(F∩C), 
ou seja, 
P(F) = P(F/A) x P(A) + P(F/B) x P(B) + P(F/C) x P(C) 
O enunciado nos dá: P(A) = P(B) = P(C) = 1/3, P(F/A) = 0,2%, P(F/B) = 0,1% e 
P(F/C) = 0,05%. O objetivo é calcular P(A/F). Assim, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22) Uma experiência com 0,4 de probabilidade de sucesso é repetida até que 
um sucesso seja alcançado. Se o custo de cada experiência é R$ 40,00, o 
custo esperado dessa série de experiências, em reais, é igual a: 
(A) 4,00 (B) 16,00 (C) 40,00 (D) 100,00 (E) 120,00 
Resp.: A variável aleatória X, que assume apenas os valores 0 e 1, com função 
de probabilidade (x, p(x)) tal que 
 
Curso DSc Página 19 
p(0) = P(X = 0) = 1-p, 
p(1) = P(X = 1) = p, 
é chamada variável aleatória de Bernoulli. O resultado 1 é chamado de 
sucesso e a probabilidade p, de probabilidade de sucesso. O resultado 0 é 
chamado de fracasso e a probabilidade 1-p, de probabilidade de fracasso. 
Da definição de média e variância de uma variável aleatória discreta, temos 
que 
E(X) = p e Var(X) = p – p2 = p x (1 – p). 
 A variável aleatória Y que indica a ocorrência do primeiro sucesso em 
uma repetição de ensaios (idênticos e independentes) de Bernoulli tem 
distribuição geométrica de parâmetro p (p é a probabilidade de sucesso nos 
ensaios de Bernoulli). Assim, 
Y: número de repetições do experimento até que se obtenha sucesso pela 
primeira vez. 
P(Y = j) = (1 – p)
j-1
 x p, j = 1, 2, 3, ..., 
pois se Y = j, nas primeiras j – 1 repetições ocorrem fracassos, somente 
ocorrendo sucesso na j-ésima repetição. Temos que 
E(Y) = 
 
 
 e Var(Y) = 
 – 
 
. 
 Para obter uma solução mais geral, vamos definir a variável aleatória G: 
G: gasto com a experiência. 
Vale notar a relação entre Y e G: G = 40Y 
 
Y = yi G = gi 
1 40 
2 80 
3 120 
... ... 
 Da Questão nº 2 e do fato que p = 0,4, segue que: 
 (G) = 40 (Y) = 40 x 
 
 
 = 100. 
23) O retorno mensal de certo investimento de risco pode ser modelado pela 
variável aleatória W, com função de probabilidade dada a seguir. 
 
 
Curso DSc Página 20 
W -5% 0% 5% 10% 15% 
P(W=w) 0,4 0,15 0,25 0,15 0,05 
O retorno esperado é: 
(A) – 0,5% (B) 0,5% (C) 1,5% (D) 5% (E) 7,5% 
24) O gasto médio dos clientes de um posto de gasolina é uma variável 
aleatória normal com média R$ 100,00 e desvio padrão R$ 25,00. Os 10% dos 
que mais consomem recebem um tratamento VIP, incluindo lavagem de 
carroceria, calibragem nos pneus e verificação do óleo e da água. Quanto você 
precisa gastar nesse posto de gasolina, em reais, para obter tratamento VIP? 
(A) 158,00 (B) 149,00 (C) 141,00 (D) 132,00 (E) 128,00 
25) Considere a seguinte função de densidade de probabilidade: 
 
f(x)=2(1-x) para 0 ≤ x ≤ a. 
 
O valor da constante a é: 
(A) 1/2 (B) 1 (C) 3/2 (D) 2 (E) 5/2 
Resp.: Uma função X, definida sobre um espaço amostral Ω e assumindo 
valores num intervalo de números reais, é dita uma variável aleatória 
contínua. 
 A característica principal de uma v.a. contínua é que, sendo resultado de 
uma mensuração, o seu valor pode ser pensado como pertencendo a um 
intervalo ao redor do valor efetivamente observado. 
Exemplo) Medida da altura de uma pessoa. 
 A Função de Distribuição Acumulada (FDA) de uma variável aleatória 
X, denotada por FX, é definida por 
 , para todo valor . 
Nota) A definição de uma FDA, dada acima, é válida também para variáveis 
aleatórias discretas. 
 Podemos construir modelos teóricos para variáveis aleatórias contínuas 
escolhendo adequadamente as funções densidade de probabilidade (f.d.p.). 
Nota) O índice X foi utilizado para indicar que a função FX foi definida a partir 
de X. 
 
 
Curso DSc Página 21 
Definição) A função densidade de probabilidade (f.d.p.), fX, de uma v.a. 
contínua X é a função que satisfaz 
 
 
 
 para todo x . 
 Da definição acima, segue que 
 
 
 
Nota) O índice X foi utilizado para indicar que a função fX foi definida a partir da 
v.a. X. 
 Se a e b forem dois números reais quaisquer, 
P(a < X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a ≤ X ≤ b) = FX(b) – FX(a). 
Nota) A f.d.p. é também chamada de densidade ou função densidade. 
Resultado) A função fX é a densidade de uma v.a. X se, e somente se, 
a) fX(x) ≥ 0, para todo valor x . 
b) 
 
 
 = 1. 
 Em outras palavras, teoricamente, qualquer função f, que seja não 
negativa e cuja área total sob a curva seja igual a 1, caracterizará uma v.a. 
contínua. 
Exemplo) Seja f(x) = 2x, para 0 ≤ x ≤ 1, e zero fora desse intervalo. Logo, a 
função f pode representar a função densidade de uma v.a. continua X. 
 
█ 
 
Curso DSc Página 22 
Exemplo) Dizemos que a v.a. X tem Distribuição Uniforme Contínua em um 
intervalo [a, b] se sua densidade fX é definida por 
 
 
 
 
 
 
 
Nota) No caso de X ser uma variável aleatória contínua, sempre teremos P(X = 
x) = 0 para todo x Є . 
Definição) O valor esperado ou média de uma v.a. X, com f.d.p. fX, denotado 
por E(X), é dada por 
 = 
 
 
. 
Resultado) , onde a e b são constantes. 
Definição) O variância de uma v.a. X, com f.d.p. fX, denotada por Var(X), é 
Var(X) = 
 
 
 
 
. 
Resultado) De modo equivalente, Var(X) = , onde 
 
 
 
 
Resultado) Var(aX + b) = a2Var(X), onde a e b são constantes. 
 Nesta questão devemos ter 
 
 
 
 = 1, 
ou seja, 
 
 
26) Sacam-se, com reposição, 4 bolas de uma urna que contém 7 bolas 
brancase 3 bolas pretas. Qual é a probabilidade de serem sacadas 2 bolas de 
cada cor? 
(A) 0,1987 (B) 0,2067 (C) 0,2646 (D) 0,3476 (E) 0,4412 
Resp.: Chama-se de experimento binomial ao experimento: 
(i) que consiste em n ensaios de Bernoulli; 
(ii) cujos ensaios são independentes; e 
 
Curso DSc Página 23 
(iii) para o qual a probabilidade de sucesso em cada ensaio é sempre 
igual a p, 0 < p < 1. 
Definição. A variável aleatória X, correspondente ao número de sucessos num 
experimento binomial, tem distribuição binomial b(n, p) com função de 
probabilidade dada por 
P(X = k / n, p) = 
 
 
 
 k = 0, 1, ..., n. 
Denotaremos uma v.a. X com distribuição binomial com parâmetros n e p por 
X ~ b(n, p). 
 Como ocorre com qualquer variável aleatória discreta, a soma das 
probabilidades associadas a cada um dos valores assumidos pela variável é 
igual a 1 (= 100%). Logo, 
P(X =0) + P(X = 1) + ... + P(X = n) = 1. 
 A média e a variância de uma v.a. binomial de parâmetros n e p são 
dadas, respectivamente, por 
E(X) = n x p, 
Var(X) = n x p x q. 
Exemplo) Dez peças são extraídas, ao acaso, com reposição, de um lote 
contendo 500 peças; qual é a probabilidade de que todas sejam defeituosas, 
sabendo-se que 10% das peças do lote são defeituosas? 
 Temos n = 10 ensaios de Bernoulli, cada um com P(S) = P(peça 
defeituosa) = p = 0,1. Se X indicar o número de peças defeituosas na amostra, 
queremos calcular. Logo, 
P(X = 10) = 
 
 
Nesta questão, temos n = 4, k = 2, p = 7/10 e q = 1 – p = 3/10. Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O enunciado a seguir refere-se às questões de nos 27 a 31. 
 
Os dados abaixo representam a distribuição de 1200 domicílios residenciais, 
por classe de consumo de energia elétrica mensal, em uma área de concessão 
da CERON, medidos em 2006. Não existem observações coincidentes com os 
extremos das classes. 
 
 
Curso DSc Página 24 
Faixas de Consumo Frequência Relativa 
0-50 kWh 8% 
50 -100 kWh 12% 
100-150 kWh 32% 
150-300 kWh 40% 
300-500 kWh 8% 
 
27) O consumo médio mensal, em kWh, pode ser estimado, aproximadamente, 
em: 
(A) 108 (B) 124 (C) 147 (D) 173 (E) 236 
Resp.: Tabelas contendo faixas de variação para os valores assumidos são 
adequadas para representar o comportamento de variáveis contínuas. Em cada 
uma das faixas, utilizaremos o seu ponto médio para representar todos os 
dados nela contidos: 
Representante (kWh) Frequência Relativa (%) 
25 8 
75 12 
125 32 
225 40 
400 8 
Assim, “discretizamos” a variável consumo. Para o cálculo da média, usamos a 
definição de média de uma variável discreta: 
Consumo médio = 25 x 8% + 75 x 12% + 125 x 32% + 225 x 40% + 400 x 8% = 
173 kwh. 
28) O consumo mediano mensal, em kWh, pode ser estimado, 
aproximadamente, em: 
(A) 108 (B) 124 (C) 147 (D) 173 (E) 236 
Resp.: Por definição, 50% da população (ou amostra) terá valores inferiores ou 
iguais à mediana e 50% da população (ou amostra) terá valores superiores ou 
iguais à mediana.Vamos usar Regra de Três para resolver a questão. 
Consideremos o esquema: 
 
Curso DSc Página 25 
 
Notemos que a mediana ocorre na 3º Faixa, na qual uma amplitude de 50 kwh 
está associada a uma amplitude de frequência igual a 32%. 
 
Dada a relação direta entre as grandezas “Amplitude Consumo” e “Amplitude 
de Frequência”, temos que 
32 x h = 30 x 50 h = 46,875 47 kwh. 
Logo, Mediana = 100 + h 147 kwh. 
29) O primeiro quartil da distribuição, em kWh, pode ser estimado, 
aproximadamente, em: 
(A) 108 (B) 124 (C) 147 (D) 173 (E) 236 
Resp.: Notemos que o primeiro quartil ocorre na 3º Faixa, na qual, como 
vimos, uma amplitude de 50 kwh está associada a uma amplitude de 
frequência igual a 32%. 
 
Curso DSc Página 26 
 
 
32 x h = 5 x 50 h = 7,8125 8 kwh. 
Logo, Mediana = 100 + h 108 kwh. 
30) O terceiro quartil da distribuição, em kWh, pode ser estimado, 
aproximadamente, em: 
(A) 108 (B) 124 (C) 147 (D) 173 (E) 236 
Resp.: Notemos que o terceiro quartil ocorre na 4º Faixa, na qual uma 
amplitude de 150 kwh está associada a uma amplitude de frequência igual a 
40%. 
 
Curso DSc Página 27 
 
 
40 x h = 23 x 150 h = 86,25 86 kwh. 
Logo, 3º Quartil = 150 + h 236 kwh. 
31) A distribuição de freqüência está representada no histograma a seguir. 
 
 
 
Essa distribuição: 
(A) é simétrica. (B) apresenta assimetria à esquerda. 
 
Curso DSc Página 28 
(C) apresenta assimetria à direita. (D) tem média igual à mediana. 
(E) tem histograma de freqüência em forma de J. 
Resp.: Ver Questão de nº 15. 
REFAP S/A – Empresa do Sistema Petrobras – 2007 
 
Área: Administração (Júnior) 
 
32) A probabilidade de que o preço da farinha de trigo aumente em um 
determinado mês é estimada em 40%. Se isso ocorrer, a probabilidade de que 
o preço do pão francês também aumente é de 50%; caso contrário, a 
probabilidade de aumento do pão francês será de apenas 10%. Se o preço do 
pão francês subiu, a probabilidade de que o preço da farinha de trigo tenha 
sofrido majoração é igual a: 
(A) 1/13 (B) 2/10 (C) 6/13 (D) 6/11 (E) 10/13 
33) O setor de recursos humanos de uma empresa tem o hábito de divulgar 
separadamente a média e a variância das notas das avaliações dos 
funcionários do sexo feminino e do masculino. Na última avaliação, os 
resultados obtidos foram: 
 
 Feminino Masculino 
Número de 
funcionários 
20 30 
Média 6 7 
Variância 3,4 4 
 
A média e a variância das notas dos funcionários dessa empresa, 
respectivamente, valem: 
(A) 6,5 e 3,7 (B) 6,6 e 3,4 (C) 6,6 e 4,0 
(D) 7,5 e 3,7 (E) 13,0 e 7,5 
 
Resp.: Seja H e M as variáveis que indicam as notas dos homens e das 
mulheres que trabalham na empresa, respectivamente. Os valores assumidos 
por H e por M são indicados abaixo: 
H: h1, h2, ..., h30; e 
M: m1, m2, ..., m20. 
 A questão pede o cálculo da variância (VAR) e da média (M) dos 
funcionários dessa empresa. Assim, 
M = 
 
 
 
 
Curso DSc Página 29 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Do enunciado da questão, segue que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, 
 
 
 
 
 
 
 
 
34) O gráfico de setores abaixo representa a distribuição de freqüências 
relativas dos salários de uma empresa, em salários mínimos. Não existem 
observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
 
 
Curso DSc Página 30 
 
O primeiro e o terceiro quartis da distribuição, respectivamente, valem: 
(A) 2,25 e 4,00 (B) 2,25 e 5,75 (C) 4,00 e 2,25 
(D) 4,00 e 5,75 (E) 5,75 e 12,00 
Área: Economia (Júnior) 
 
35) Considere a distribuição de probabilidades apresentada abaixo. 
Eventos Probabilidades 
Elementares 
1 ........................1/12 
2 ........................1/12 
3 ........................2/3 
4 ........................1/12 
5 ........................1/12 
Quanto a essa distribuição, é correto afirmar que: 
(A) é uma distribuição assimétrica em torno da média. 
(B) sua mediana é igual a 2. 
(C) seu desvio padrão é maior que 2. 
(D) a média da distribuição é igual à moda. 
(E) a probabilidade do evento “número par” é igual a 1/3. 
36) O símbolo E ( ) indica o operador esperança ou expectativa matemática. 
Sendo X e Y variáveis aleatórias, a expressão abaixo nem sempre válida é: 
(A) E (X + 3) = E (X) + 3 (B) E (3 X) = 3 E (X) 
(C) E (XY) = E (X) E (Y) (D) E (X + Y) = E (X) + E (Y) 
(E) E (X – Y) = E (X) – E (Y) 
Empresa de Pesquisa Energética (EPE) - 2007 
 
Área: Economia de Energia 
 
37) Uma firma exploradora de petróleo acha que 95% dos poços que perfuranão acusam depósito de gás natural. Se ela perfurar 6 poços, a probabilidade 
de obter resultado positivo em pelo menos um deles é, aproximadamente, de: 
(A) 96,1% (B) 73,5% (C) 30,0% (D) 26,5% (E) 3,9% 
38) No lançamento simultâneo de dois dados comuns, a diferença (em valor 
absoluto) entre os dois resultados é aleatória, tem uma distribuição de 
probabilidades. Se os dados forem honestos, qual é a moda dessa 
distribuição? 
(A) zero (B) cinco (C) 5/18 (D) um (E) 50% 
Resp.: Basta observar o esquema abaixo: 
 
Curso DSc Página 31 
 
 A diferença, em módulo, igual a 1 é a que ocorre com maior freqüência. 
TERMOAÇU – 2007 
 
Área: Economia 
 
39) Em determinada cidade, 80 pessoas foram entrevistadas sobre o meio de 
transporte utilizado para ir ao trabalho. Quarenta e duas responderam ônibus, 
28 responderam carro e 30 responderam metrô. Doze utilizam ônibus e carro, 
14, carro e metrô e 18, ônibus e metrô. Cinco utilizam ônibus, carro e metrô. 
Dentre as pessoas que responderam que utilizam pelo menos um desses três 
meios de transporte, a probabilidade de que uma pessoa selecionada ao acaso 
utilize somente um desses veículos é 
A) 27/56 (B) 56/61 (C) 56/80 (D) 27/61 (E) 27/80 
40) Em certa turma, 40% dos homens e 20% das mulheres falam inglês 
fluentemente. 80% das pessoas são homens. A probabilidade de um aluno 
fluente na língua inglesa, selecionado ao acaso, ser homem é 
(A) 8/9 (B) 1/2 (C) 2/5 (D) 8/25 (E) 4/25 
41) O Departamento de Recursos Humanos de uma empresa realizou um 
levantamento dos salários dos 120 funcionários do setor administrativo e 
obteve o seguinte resultado: 
 
Faixa Salarial 
(em salários 
mínimos) 
Frequência 
relativa 
0 a 2 25% 
2 a 4 40% 
4 a 6 20% 
6 a 10 15% 
 
Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. A média, 
a mediana e o desvio padrão dos salários, em salários mínimos, são, 
aproximadamente, 
Média Mediana Desvio padrão 
(A) 3,65 3,00 1,50 
 
Curso DSc Página 32 
(B) 4,25 3,00 1,50 
(C) 4,25 3,25 2,26 
(D) 3,65 3,00 2,26 
(E) 3,65 3,25 2,26 
42) A tabela a seguir apresenta a distribuição dos 50 milhões de domicílios 
particulares por recebimento de dinheiro de programa social do governo 
federal, segundo as classes de rendimento mensal domiciliar per capita, em 
salários mínimos. 
 
Domicílios particulares, por recebimento de dinheiro de programa social do 
governo no mês de referência e classes de rendimento mensal domiciliar per 
capita (salários mínimos) 
Classe de 
Rendimento 
mensal domiciliar 
per capita 
Não 
receberam 
dinheiro 
de 
programa 
social do 
governo 
no mês de 
referência 
Receberam 
dinheiro de 
programa 
social do 
governo no 
mês de 
referência – 
somente de 
um programa 
Receberam 
dinheiro de 
programa 
social do 
governo no 
mês de 
referência – 
de mais de 
mais 
programa 
Total 
Até 1/4 3,8% 2,1% 1,9% 7,9% 
Mais de 1/4 a 1/2 10,0% 3,5% 2,6% 16,0% 
Mais de 1/2 a 2 22,6% 3,1% 1,5% 23,7% 
Mais de 1 a 2 23,8% 0,8% 0,3% 24,9% 
Mais de 2 23,8% 0,1% 0,0% 23,9% 
Total 84,0% 9,6% 6,3% 100,0% 
 Fonte: IBGE/PNAD 
 
Um domicílio é selecionado aleatoriamente. Sabendo-se que esse domicílio 
recebe dinheiro de pelo menos um programa social do governo, a 
probabilidade de sua renda familiar ser inferior a ¼ do salário mínimo é, 
aproximadamente, 
(A) 0,04% (B) 4,00% (C) 15,90% (D) 25,16% (E) 50,63% 
Secretaria do Meio Ambiente do RJ (INEA) – 2007 
 
Função: Economista 
 
43) Uma urna tem cinco bolas pretas e quatro brancas. Sem ver o conteúdo da 
urna, uma pessoa extrai dela duas bolas seguidas (sem reposição). Qual é a 
probabilidade de as duas bolas serem brancas? 
 
Curso DSc Página 33 
(A) 1/6 (B) 12/81 (C) 16/81 (D) 2/9 (E) 3/9 
Resp.: A Distribuição Hipergeométrica é adequada quando consideramos 
extrações casuais feitas sem reposição de uma população dividida em dois 
atributos. Para ilustrar, considere uma população de N objetos, r dos quais têm 
atributo A e N-r têm atributo B. Um grupo de n elementos é escolhido ao 
acaso, sem reposição. Estamos interessados em calcular a probabilidade de 
que esse grupo contenha k elementos com atributo A. Pode-se ver facilmente, 
utilizando o princípio multiplicativo, que essa probabilidade é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde max (0, n – N + r) ≤ k ≤ min (r, n). 
 Os pares (k, pk) constituem a distribuição hipergeométrica de 
probabilidades. Se definirmos a v.a. X como sendo o número de elementos da 
amostra que têm atributo A, então P(X = k) = pk. Com base nesta notação, 
P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + ... + P(X = r) = 1 
 A média e a variância são dadas, respectivamente, por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
 Nesta questão, sejam 
A: atributo cor branca; B: atributo cor preta; N = 9; r = 4; n = 2; e k = 2. Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
44) Dois dados comuns, “honestos”, são lançados simultaneamente. A 
probabilidade de que a soma dos dois resultados seja igual a 9 ou 10 é 
(A) nula (B) 4/36 (C) 6/36 (D) 7/36 (E) 10/36 
45) Considere a seguinte distribuição de probabilidades: 
Eventos Elementares Probabilidades 
6 ...................................... 0.15 
7 ...................................... 0.20 
8 ...................................... 0.30 
9 ...................................... 0.20 
10 ...................................... 0.15 
 
A distribuição de probabilidades apresentada acima 
(A) é unimodal. (B) é assimétrica. (C) tem desvio padrão igual a 2. 
(D) tem moda igual a 0,30. (E) tem mediana maior que a média. 
 
Curso DSc Página 34 
 
 
Agência Nacional do Petróleo, Gás Natural e Biocombustíveis (ANP) - 
2008 
 
Especialidade: Economia 
 
46) A figura mostra a distribuição de probabilidades de uma variável aleatória 
X. 
 
 
A distribuição apresentada acima NÃO 
(A) é bimodal. (B) é simétrica. 
(C) tem mediana igual a 2. (D) tem primeiro quartil igual a 1. 
(E) tem média igual à moda. 
Resp.: Dado que X é uma variável aleatória contínua, a moda será 
determinada pelo valor assumido por X ao qual associamos o maior valor da 
função densidade de probabilidade (FDP). Nesta questão, aos valores X = 1 e 
X = 3 associamos o valor 0,5 para a FDP, isto é, f(1) = 0,5 = f(3), e, portanto, a 
distribuição é bimodal e os valores 1 e 3 suas modas. Podem ser identificados 
2 triângulos na figura dada; como suas áreas são iguais a 50%, então o valor X 
= 2 determina dois subintervalos, um à esquerda e outro à direita, aos quais 
associamos probabilidades iguais a 50%, ou seja, 2 é a mediana. Notemos, 
ainda, que, em relação à vertical que passa pelo ponto x = 2, o gráfico do FDP 
é simétrico. O 1º quartil é igual a 1, porque P(X < 1) = 25%. Por último, a 
média: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 vale notar que a FDP é definida por 
 
Curso DSc Página 35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47) Três dados comuns, honestos, são lançados seqüencialmente. Se o 
resultado S1 do primeiro dado for igual a 3, a distribuição de probabilidades da 
soma dos três resultados, condicional a S1 = 3, terá moda igual a 
(A) 11 (B) 10 (C) 9 (D) 7 (E) 1/6 
Resp.: Quando elencamos todos os resultados possíveis para o lançamento 
dos 2 últimos dados, obtemos: 
(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) 
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6) 
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6) 
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6) 
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6) 
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) 
 
Assim, quando tomamos os 2 últimos dados, o valor para a soma dos 
resultados que ocorre com maiorfrequência é o número 7, ou seja, 7 é a moda 
da variável soma dos valores obtidos no lançamento de 2 dados. Como 
tomamos o valor 3 para o resultado do 1º lançamento, então a moda 
(condicional a S1 = 3) será igual a 10 (= 3 + 7). 
48) A tabela abaixo mostra a distribuição de freqüência dos vinte empregados 
de uma empresa, de acordo com as suas idades. 
 
Idade (em 
anos) 
Número de 
empregados 
27 4 
28 1 
30 2 
34 5 
37 2 
42 3 
48 3 
 
 
Curso DSc Página 36 
Dois empregados diferentes são escolhidos em seqüência, aleatoriamente, 
para representar a empresa num determinado evento. Qual a probabilidade de 
que ambos tenham 34 anos? 
(A) 5/20 (B) 5/34 (C) 2/20 (D) 2/34 (E) 1/19 
49) A variável aleatória X tem uma distribuição de probabilidade contínua e 
uniforme entre 0 e 2. A probabilidade de que uma realização de X ocorra entre 
0.9 e 1.1 é 
(A) nula. (B) menor que 10%. 
(C) igual a 10%. (D) maior que 20%. 
(E) maior que um desvio padrão. 
Resp.: A v.a. X tem distribuição uniforme no intervalo (a, b) se sua f.d.p. é 
dada por 
 
 
 
 
 
 
Assim, para esta questão, 
 
 
 
 
 
 
e, portanto, 
P(0,9 < X < 1,1) = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Especialidade: Geral I 
 
50) Para estudar o desempenho dos preços da gasolina nas cinco regiões 
geográficas do país, selecionou-se uma amostra aleatória de postos de 
combustíveis em cada uma dessas regiões. Para cada posto selecionado 
computou-se o preço do litro da gasolina em um determinado período. Os 
resultados estatísticos, expressos em reais, encontram-se resumidos na tabela 
a seguir. 
 
R
e
g
iã
o
 
g
e
o
g
rá
fi
c
a
 
N
ú
m
e
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d
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M
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d
ia
 
M
e
d
ia
n
a
 
D
e
s
v
io
 
p
a
d
rã
o
 
1
º 
q
u
a
rt
il 
3
º 
q
u
a
rt
il 
M
e
n
o
r 
p
re
ç
o
 
M
a
io
r 
p
re
ç
o
 
 
Norte 38 2,69 2,79 0,54 2,52 2,84 2,33 2,89 
Nordeste 34 2,62 2,62 0,52 2,35 2,66 2,35 2,89 
Centro-
oeste 
36 2,66 2,58 0,65 2,34 2,69 2,34 2,88 
 
Curso DSc Página 37 
Sudeste 38 2,59 2,4 0,52 2,33 2,48 2,31 2,88 
Sul 36 2,47 2,46 0,25 2,38 2,49 2,35 2,89 
 
Com base nas informações e na análise da tabela acima, pode-se afirmar que: 
I - Os preços da região Sul são bem representados pelo preço médio, visto que 
a distribuição é homogênea, pois apresenta coeficiente de variação de 
aproximadamente 10%. 
II - Os preços da região Centro-Oeste são melhor representados pelo preço 
médio, pois esta região apresenta o maior desvio padrão entre todas as 
regiões. 
III - Nas regiões Sudeste e Sul existe, em cada uma, pelo menos um posto de 
combustível que adota um preço considerado outlier, utilizando-se como critério 
os limites inferiores e superiores obtidos em função dos quartis. 
Está(ão) correta(s) a(s) afirmação(ões) 
(A) I, apenas. (B) II, apenas. (C) I e III, apenas. 
(D) II e III, apenas. (E) I, II e III. 
Resp.: O coeficiente de variação (CV) de uma variável aleatória X, definido 
por: 
 
 
 
 
É uma medida de dispersão adimensional, ou seja, não possui unidade e, 
portanto, pode ser utilizada para comparar dispersões entre dados com 
unidades distintas (por exemplo, centímetros (cm) e quilograma (kg)). Como o 
valor do CV é sempre uma proporção da média (notem que o denominador da 
razão que o define é dado pela média), é uma medida relativa. 
Na questão em tela, o coeficiente de variação da Região Sul é 
aproximadamente igual a 10% (0,25/,247); parece razoável considerar, para 
esta pesquisa, 10% como um valor pequeno para o coeficiente de variação e, 
portanto, com base em tal consideração, um valor que representa uma 
pequena dispersão, o que nos permite elencar o preço médio (ou seja, a 
média) como um bom representante para a os preços de tal Região. Não há na 
literatura um intervalo de valores para os quais a distribuição é considerada 
homogênea; isso dependerá do problema em análise. 
A afirmação contida no item II não faz sentido, pois o maior desvio padrão 
representa a maior dispersão dos dados em relação à media. 
Com base na Questão de nº 19, são considerados outliers os pontos situados 
fora do intervalo definido por (1º quartil – 1,5 x DIQ, 3º quartil + 1,5 x DIQ), 
onde DIQ denota a distância interquartil. 
i) Região Sudeste 
1º quartil: 2,33 
3º quartil: 2,48 
 
Curso DSc Página 38 
DIQ: 0,15 (1,5 x DIQ = 0,225) 
Intervalo: (2,105; 2,705) 
Valor máximo: 2,88 (outlier) 
ii) Região Sul 
1º quartil: 2,38 
3º quartil: 2,49 
DIQ: 0,11 (1,5 x DIQ = 0,165) 
Intervalo: (2,215; 2,655) 
Valor máximo: 2,89 (outlier) 
Como o item II está errado e o item III está certo, somos levados a optar pela 
opção C. 
51) Em um determinado município, 20% de todos os postos de gasolina 
testados quanto à qualidade do combustível apontaram o uso de combustíveis 
adulterados. Ao serem testados, 99% de todos os postos desse município que 
adulteraram combustível foram reprovados, mas 15% dos que não adulteraram 
também foram reprovados, ou seja, apresentaram um resultado falso-positivo. 
A probabilidade de um posto reprovado ter efetivamente adulterado o 
combustível é, aproximadamente, 
(A) 0,62 (B) 0,50 (C) 0,32 (D) 0,20 (E) 0,12 
52) Certo distribuidor, ao comercializar um novo aditivo, assegura que este faz 
reduzir o consumo de combustível. Com o objetivo de testar tal afirmação, 
selecionou-se uma amostra aleatória de 36 carros de diversos modelos, que 
fizeram o mesmo percurso, nas mesmas condições, com o combustível sem 
aditivo e depois, com aditivo. A média da diferença entre o consumo (sem 
aditivo menos com aditivo) fornecido pela amostra foi de 0,2 litros e desvio 
padrão amostral de 0,01 litros de combustível. Como o p-valor desse teste é 
aproximadamente 0,10%, nos níveis de 1%, 5% e 10% de significância, 
respectivamente, conclui-se que o novo aditivo 
 
 
(A) 
 
(B) 
 
(C) 
 
(D) 
 
(E) 
α=1% α=5% α=10% 
não reduz o 
consumo 
não reduz o 
consumo 
não reduz o 
consumo 
não reduz o 
consumo 
reduz o 
consumo 
reduz o 
consumo 
não reduz o 
consumo 
não reduz o 
consumo 
reduz o 
consumo 
reduz o 
consumo 
não reduz o 
consumo 
não reduz o 
consumo 
reduz o reduz o reduz o 
 
Curso DSc Página 39 
consumo consumo consumo 
 
Resp.: A construção de um teste de hipóteses, para um parâmetro 
populacional, pode ser colocada do seguinte modo. Existe uma variável X 
associada a dada população e tem-se uma hipótese sobre determinado 
parâmetro θ dessa população. Por exemplo, afirmamos que o verdadeiro valor 
de θ é θ0. Colhe-se uma amostra aleatória de elementos dessa população, e 
com ela deseja-se comprovar ou não tal hipótese. 
Qualquer que seja a decisão tomada em um teste de hipóteses estamos 
sujeitos a cometer erros. Para facilitar a linguagem, introduzimos as definições: 
 Erro de tipo I: rejeitar a hipótese nula quando essa é verdadeira. 
Chamamos de α a probabilidade de cometer esse erro, isto é, 
α = P(erro do Tipo I) = P (rejeitar H0 / H0 é verdadeira). 
 Erro de tipo II: não rejeitar H0 quando H0 é falsa. A probabilidade de 
cometer esse erro é denotada por β, logo 
β = P(erro do Tipo II) = P (não rejeitar H0 / H0 é falsa). 
 O objetivo do teste de hipóteses é dizer, usando uma estatística , se a 
hipótese H0 é ou não aceitável. Operacionalmente, essa decisão é tomada 
através da consideração de uma região crítica RC. Caso o valor observado da 
estatística pertença a essa região, rejeitamos H0; caso contrário, não 
rejeitamos H0. Esta região é construída de modo que P( RC / H0 é 
verdadeira) seja igual a α, fixado a priori. RC recebe o nome de região crítica 
ou região de rejeição do teste. Um fato importante a ressaltar é que a região 
crítica é sempre construída sob a hipótese de H0 ser verdadeira. A 
determinação do valor de β já é mais difícil, pois usualmente não especificamos 
valores fixos para o parâmetro sob a hipótesealternativa. 
 A probabilidade α de se cometer um erro do tipo I (ou de primeira 
espécie) é um valor arbitrário e recebe o nome de nível de significância do 
teste. O resultado da amostra é tanto mais significante para rejeitar H0 quanto 
menor o esse nível α. Ou seja, quanto menor for α, menor é a probabilidade de 
se obter uma amostra com estatística pertencente à região crítica, sendo pouco 
verossímil a obtenção de uma amostra da população para a qual H0 seja 
verdadeira. Usualmente, o valor de α é fixado em 5%, 1% ou 0,1%. 
Devemos tomar como H0 aquela hipótese que, rejeitada, conduza a um 
erro de tipo I mais importante de evitar. Vejamos um exemplo. Suponha um 
experimento para se determinar se um produto A é ou não cancerígeno. Após 
realizado o teste, podemos concluir: (i) A é cancerígeno ou (ii) A não é 
cancerígeno. Cada uma dessas conclusões pode estar errada e temos os dois 
 
Curso DSc Página 40 
tipos de erros já mencionados, dependendo de qual hipótese seja H0. Do ponto 
de vista do usuário do produto, a hipótese a ser testada deve ser 
H0: A é cancerígeno, 
pois a probabilidade de erro na rejeição dessa hipótese, se ela for verdadeira, 
deve ser um valor muito pequeno. 
Assim, vamos tomar a hipótese 
H0: o aditivo não reduz o consumo de combustível. 
Uma dos métodos de construção de um teste de hipóteses parte da 
fixação do nível de significância α. Pode-se argumentar que esse procedimento 
pode levar à rejeição da hipótese nula para um valor de α e à não-rejeição para 
um valor menor. Outra maneira de proceder consiste em apresentar a 
probabilidade de significância ou nível descritivo ou ainda p-valor do teste. 
A principal diferença está em não construir a região crítica. O que se faz é 
indicar a probabilidade de ocorrer valores da estatística mais extremos do que 
o observado, sob a hipótese de H0 ser verdadeira. 
 Nesta questão, o p-valor é igual a 0,01% e somente considere 
níveis de significância (α) maiores do que este valor. Logo, para os 3 casos, H0 
será rejeitada. 
Caixa Econômica Federal - 2008 
 
Para responder às questões de nos 53 e 54, utilize os dados da tabela 
abaixo, que apresenta as freqüências acumuladas das idades de 20 
jovens entre 14 e 20 anos. 
 
Idade 
(anos) 
Frequência 
acumulada 
14 2 
15 4 
16 9 
17 12 
18 15 
19 18 
20 20 
 
 
Curso DSc Página 41 
53) Um desses jovens será escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de que o 
jovem escolhido tenha menos de 18 anos, sabendo que esse jovem terá 16 
anos ou mais? 
(A) 8/14 (B) 8/16 (C) 8/20 (D) 3/14 (E) 3/16 
54) Uma das medidas de dispersão é a variância populacional, que é calculada 
por 
 
 
 
 
 
 
 
Sabendo-se que m é a média aritmética dessas idades, qual a variância das 
idades na população formada pelos 20 jovens? 
(A) 0,15 (B) 0,20 (C) 1,78 (D) 3,20 (E) 3,35 
Petrobras – 2008 
 
Área: Economia 
 
55) Dois dados comuns, “honestos”, são lançados simultaneamente. A 
probabilidade do evento “a soma dos valores dos dados é ímpar e menor que 
10” é igual a 
(A) 4/11 (B) 17/36 (C) 4/9 (D) 12/36 (E) 3/8 
Área: Estatística (Júnior) 
 
56) Um estudante marca, ao acaso, as respostas de um teste de 10 questões 
de múltipla escolha, com 4 alternativas por questão. O número mais provável 
de acertos é 
(A) 1,5 (B) 2,0 (C) 2,5 (D) 3,0 (E) 3,5 
57) Os quartis das notas de um exame nacional foram calculados e estão 
apresentados a seguir. 
Q1 = 46 , Q2 = 50 e Q3 = 65 
Um aluno que tirou a nota 46 está entre os 
(A) 15% dos melhores alunos. (B) 25% dos melhores alunos. 
(C) 35% dos melhores alunos. (D) 50% dos melhores alunos. 
(E) 75% dos melhores alunos. 
58) Sejam X1 e X2 componentes de um vetor aleatório X, de dimensão 2 x 1, 
com distribuição normal multivariada. A condição necessária e suficiente para 
que X1 + X2 e X1-X2 sejam independentes é que 
(A) Var (X1) = 2 Var (X2) (B) Var (X1) = Var (X2) 
(C) Var (X1 + X2) = Var (X1 - X2) (D) Cov (X1, X2) = 0 
(E) 2 Var (X1) = Var (X2) 
Resp.: Sejam as variáveis X e Y com distribuição normal, então uma nova 
variável formada a partir da combinação linear de X e Y, aX + bY + c, também 
 
Curso DSc Página 42 
tem distribuição normal. Com base neste resultado e no enunciado do 
problema, as variáveis X1 + X2 e X1-X2 são normalmente distribuídas. 
 Ver questão de nº 1. Sejam X1 e X2 duas variáveis aleatórias; caso 
sejam independentes, então podemos afirmar que a covariância 
(correlação) entre elas é igual a zero; a recíproca nem sempre é 
verdadeira, ou seja, a covariância (correlação) entre X1 e X2 pode ser igual 
a zero, mas essas variáveis podem ser dependentes. 
Quando temos uma distribuição normal multivariada, afirmar que duas 
variáveis aleatórias são independentes equivale a afirmar que possuem 
covariância (correlação) igual a zero. 
 
Vimos que para variáveis aleatórias quaisquer X e Y temos que: 
cov(X,Y) = 
Assim, do exposto acima, X1+X2 e X1-X2 são independentes se, e somente se, 
cov (X1 + X2, X1 - X2) = 0, ou seja, 
0 = cov(X1 + X2, X1 - X2) = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Var(X1) – Var(X2). 
Logo, X1+X2 e X1-X2 são independentes se, e somente se, Var(X1) = Var(X2). 
BNDES – 2008 
 
Área: Engenharia 
 
59) Para um estudo sobre a distribuição de salário mensal dos empregados de 
uma empresa foram coletados os salários de uma amostra aleatória de 50 
empregados. Os resultados amostrais levaram à construção da distribuição de 
freqüência abaixo. Não existem observações coincidentes com os extremos 
das classes. 
Média Amostral 
(em salários mínimos) 
Frequência relativa acumulada 
1 - 3 40 
3 – 5 70 
5 – 7 90 
7 – 11 100 
 
 
Curso DSc Página 43 
A média aritmética e a variância amostral da distribuição valem, 
aproximadamente, 
 
 
 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
Média amostral (em salários 
mínimos) 
Variância amostral (em salários 
mínimos2) 
2,6 2,2 
2,6 2,9 
4,1 2,9 
4,1 5,0 
7,2 12,1 
60) O gráfico a seguir mostra, em percentuais, a distribuição do número de 
mulheres de 15 anos ou mais de idade, segundo o número de filhos, no Brasil. 
 
 
 
Selecionando-se aleatoriamente um filho dessa população, a probabilidade de 
que ele seja filho único é, aproximadamente, 
(A) 17/55 (B) 17/71 (C) 17/100 (D) 17/224 (E) 17/1000 
61) Considere o seguinte teste de hipótese para a proporção populacional p: 
 
 
 
 
 
 
Para uma amostra de tamanho n=12, construiu-se a região crítica RC = {0, 1, 
11, 12}. O poder do teste para p = 0,5 é 
(A) 26 . 0,512 (B) 13 . 0,512 (C) 12 . 0,512 
(D) 2 . 0,512 (E) 0,512 
Petrobras Distribuidora S.A. – 2008 
 
Área: Administração Júnior 
 
 
Curso DSc Página 44 
Considere as informações abaixo para responder às questões de nos 62, 
63 e 64. 
A tabela abaixo apresenta os pesos de um grupo de pessoas e suas 
respectivas freqüências. Não há observações coincidentes com os extremos 
das classes. 
 
Classes (em kgf) Frequência 
40 ├ 50 2 
50 ├ 60 5 
60 ├ 70 7 
70 ├ 80 8 
80 ├ 90 3 
 
62) O peso médio do conjunto de pessoas, em kgf, é 
(A) 60 (B) 65 (C) 67 (D) 70 (E) 75 
63) O valor aproximado, em kgf, do peso mediano do conjunto de pessoas é 
(A) 67 (B) 68 (C) 69 (D) 70 (E) 71 
64) Uma pessoa com mais de 50 kgf será escolhida ao acaso. A probabilidade 
de que o peso dessa pessoa esteja entre 60 kgf e 80 kgf é, aproximadamente, 
(A) 65% (B) 63% (C) 60% (D) 58% (E) 55% 
65) Um grupo é formado por 7 mulheres, dentre as quais está Maria, e 5 
homens, dentre os quais está João. Deseja-se escolher 5 pessoas desse 
grupo, sendo 3 mulheres e 2 homens. De quantas maneiras essa escolha pode 
ser feita de modo que Maria seja escolhida e João, não? 
(A) 60 (B) 90 (C) 126 (D) 150 (E) 210 
66) Em um grupo de 40 pessoas adultas, a idade média é 30 anos. A idade 
média doshomens desse grupo é 36 anos, enquanto a média das idades das 
mulheres é 26 anos. O número de homens nesse grupo é 
(A) 24 (B) 22 (C) 20 (D) 18 (E) 16 
67) Do total de funcionários de uma empresa, foi retirada uma amostra de seis 
indivíduos. A tabela abaixo apresenta o tempo trabalhado na empresa, em 
anos completos, por cada um deles. 
 
 
3 7 2 2 3 1 
 
A variância dessa amostra é 
(A) 3,7 (B) 4,0 (C) 4,4 (D) 5,0 (E) 5,5 
 
Curso DSc Página 45 
Área: Economia 
 
68) Suponha que os dez números abaixo (entre parênteses) foram retirados 
aleatoriamente de uma urna, sucessivamente, mas com reposição (1, 2, 3, 3, 5, 
3, 4, 8, 4, 1) Nesta amostra, é correto afirmar que o(a) 
(A) desvio padrão é igual a 8. (B) mediana é 8. 
(C) média é igual à moda. (D) média é 1. 
(E) moda é 3. 
69) Se X e Y são variáveis aleatórias não independentes e E( ) indicar o 
operador Esperança Matemática, a única expressão INCORRETA é 
(A) E(X) E(X) = (E (X))2 (B) E (3 + Y) = 3 + E (Y) 
(C) E (3X) = 3 E (X) (D) E (XY) = E (X) E (Y) 
(E) E (3 XY) = 3E (XY) 
70) A figura abaixo mostra a distribuição de uma variável aleatória discreta X. 
 
 
 
Esta distribuição é 
(A) normal. (B) bimodal. (C) simétrica. 
(D) uniforme. (E) de desvio padrão igual a 4. 
Tribunal de Justiça do Estado de Rondônia (TJ-RO) – 2008 
 
Área: Economia 
 
71) Dois dados comuns, “honestos”, são lançados simultaneamente. A 
probabilidade de que a soma dos resultados seja igual ou maior que 11 é 
(A) 11/12 (B) 1/6 (C) 1/12 (D) 2/36 (E) 1/36 
Resp.: Quando elencamos todos os resultados possíveis para o lançamento 
dos 2 últimos dados, obtemos: 
(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) 
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6) 
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6) 
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6) 
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6) 
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) 
 
Curso DSc Página 46 
Em negrito, seguem os resultados cuja soma é maior do que ou igual a 11. 
Logo, p = 3/36 = 1/12. 
72) Uma urna contém dez bolas, cada uma gravada com um número diferente, 
de 1 a 10. Uma bola é retirada da urna aleatoriamente e X é o número marcado 
nesta bola. X é uma variável aleatória cujo (a) 
(A) desvio padrão é 10. 
(B) primeiro quartil é 0,25. 
(C) média é 5. 
(D) distribuição de probabilidades é uniforme. 
(E) distribuição de probabilidades é assimétrica. 
Resp.: A variável aleatória X assume os valores 1, 2, ..., 9, 10; a todos eles 
associamos probabilidade igual a 1/10. Logo, temos uma variável aleatória 
discreta uniformemente distribuída, que é simétrica, pois a todos os pontos 
eqüidistantes da média associamos igual probabilidade. Para exercitar, vamos 
aos cálculos: 
 (X) = 
 
 
 
 
 
 
 
Variância (X) = (X2) – [ (X)]2 = 
 
 
 + 5,52 = 
 
 
 
 + 5,52 = 
38,5 – 30,25 = 8,25 
Desvio padrão (X) = = 2,87. 
Nota) Foram utilizados os seguintes resultados: 
1 + 2 + ... + n = 
 
 
 
12 + 22 + ... + n2 = 
 
 
 
73) Sendo y um erro de medida expresso em milímetros, y é uma variável 
aleatória cuja variância 
(A) não pode ser calculada se a distribuição de y for contínua. 
(B) é a raiz quadrada do desvio padrão de y. 
(C) é uma grandeza sem unidades. 
(D) é o dobro da média de y. 
(E) mede a dispersão de y em torno de sua média. 
Ministério da Defesa – Comando da Aeronáutica – Departamento de 
Controle Aéreo (DECEA) - 2009 
 
Área: Ciências Econômicas 
 
74) A probabilidade de que, no lançamento de três dados comuns, honestos, a 
soma dos resultados seja igual a 18 é 
(A) 1/12 (B) 1/36 (C) 1/216 (D) 3/18 (E) 3/216 
 
Curso DSc Página 47 
75) Uma amostra dos pesos (em kg e sem casas decimais) dos bebês, 
nascidos em certa maternidade, é composta de 10 observações: 2, 2, 4, 3, 2, 4, 
3, 5, 3, 2. Nesta amostra, o(a) 
(A) coeficiente de correlação é -0,5. 
(B) desvio padrão é 4. 
(C) moda é 2. 
(D) média é menor que a moda. 
(E) mediana é 5. 
Tribunal de Contas do Estado de Rondônia (TCE - RO) – 2007 
 
 Função: Estatística 
 
O enunciado a seguir refere-se às questões de nos 76 e 77. 
Recente pesquisa para avaliar o percentual de eleitores favoráveis a um 
candidato a senador foi realizada de acordo com um plano de amostragem 
aleatória simples, sendo a amostra extraída de uma população infinita. O 
resultado apontou uma intenção de votos no candidato na ordem de 45%. 
 
76) Considerando que a margem de erro foi de 2 pontos percentuais, para mais 
ou para menos, quantos eleitores foram ouvidos, se o nível de confiança 
utilizado foi de 95%? 
(A) 1 247 (B) 1 684 (C) 1 820 (D) 2 377 (E) 2 642 
77) Caso uma amostra de 100 eleitores fosse utilizada, o intervalo aproximado 
de 95% de confiança para a preferência dos eleitores nesse candidato seria: 
(A) 45% ± 6% (B) 45% ± 8% (C) 45% ± 10% 
(D) 45% ± 12% (E) 45% ± 14% 
Resp.: Vimos no texto que se P então 
 ; como o papel de é desempenhado por , então o intervalo de 
confiança procurado é dado por ; como = 45% e = 
 0,05 então ]45% - 1,96 x 0,05, 
45% + 1,96 x 0,05[ ]45% - 10%, 45% + 10%. 
O enunciado a seguir refere-se às questões de nos 78 e 79. 
Um pesquisador avaliou se a pressão sangüínea dos candidatos do último 
Concurso para um Tribunal de Contas se alterava no início da prova. Em 
condições normais, sem stress, os candidatos entre 18 e 32 anos 
apresentaram uma pressão sistólica média de 120 mm Hg. Após medir a 
pressão de 36 candidatos a cinco minutos do início da prova, foi encontrada a 
pressão sistólica média de 125,2 mm Hg com desvio padrão amostral de 12 
mm Hg. Deve-se testar: 
 
 
 
 
78) O valor calculado da estatística t é: 
(A) 2,60 (B) 0,43 (C) 0,01 (D) – 0,43 (E) – 2,60 
79) Nos níveis de significância de 5% e 10%, é correto afirmar que a(o): 
 
Curso DSc Página 48 
(A) hipótese nula é aceita em ambos os níveis. 
(B) hipótese nula é rejeitada em ambos os níveis. 
(C) hipótese nula é rejeitada em 5% e aceita em 10%. 
(D) hipótese nula é aceita em 5% e rejeitada em 10%. 
(E) teste é inconclusivo. 
80) Se X1, X2, ..., Xn, Y1, Y2, ..., Yn são variáveis aleatórias independentes e 
com distribuição normal reduzida, então a variável aleatória 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
tem distribuição: 
 
(A) normal. 
(B) qui-quadrado com n - 1 graus de liberdade. 
(C) t de Student com n graus de liberdade. 
(D) F com (n - 1, n - 1) graus de liberdade. 
(E) F com (n, n) graus de liberdade. 
 
Resp.: Uma variável aleatória X tem distribuição qui-quadrado com graus 
de liberdade, 
 , quando sua função densidade de probabilidade (FDP) é dada 
por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde denota a função gama: 
 
 
 
 
Para , a função gama nos dá que em particular, para 
um inteiro positivo n, temos que = (n-1)! 
Se Z~N(0,1), então Z2 ~ 
 . 
Se X1, ..., Xn são independentes e Xi ~ 
 , então X1 + ... + Xn ~ 
 , ou 
seja, a soma de variáveis independentes com distribuição qui-quadrado tem 
distribuição qui-quadrada. 
 
Curso DSc Página 49 
Seja X1, ..., Xn uma amostra aleatória de uma distribuição normal N(μ, σ
2). A 
variável 
 
 
 
 tem distribuição t-Student com n-1 graus de liberdade. 
Equivalentemente, uma variável aleatória T tem distribuição t-Student com 
graus de liberdade, T ~ , se tem FDP dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sejam as variáveis aleatórias independentes X e Y, com X 
 e Y 
 ; 
então a variável 
 
 
 
 
 tem distribuição F (F de Snedecor) com m e n graus de 
liberdade, Fm,n. Equivalentemente, uma variável aleatória F tem distribuição F 
com m e n graus de liberdade se sua FDP é dada por:Se X ~ Fm,n, então 
 
 
 Fn,m. 
Se X ~ , então X
2 ~ 
Petroquímica SUAPE (Companhia Petroquímica de Pernambuco) – 2009 
 
Função: Operador Júnior 
 
81) Em um grupo de 20 pessoas, 15 tomaram suco e 12 comeram biscoitos. 
Sabendo-se que todas as pessoas do grupo realizaram, pelo menos, uma 
dessas ações, quantas pessoas tomaram suco e também comeram biscoitos? 
(A) 3 (B) 4 (C) 5 D) 6 (E) 7 
Resp.: Vamos utilizar os Diagramas de Euller-Venn: 
 
Curso DSc Página 50 
 
Como há um total de 20 pessoas, então: 
20 = (15 – x) + x + (12 – x) x = 7. 
Função: Operador Pleno 
 
82) Para calcular a média de Pedro, em Matemática, são consideradas três 
notas. A primeira tem peso 1, a segunda, peso 2 e a terceira, peso 3. Pedro 
obteve a mesma nota nas duas primeiras avaliações e a nota da terceira 
avaliação foi 0,8 ponto maior do que a da segunda. Se a média de Pedro foi 
7,6, a sua nota na terceira avaliação foi 
(A) 7,2 (B) 7,5 (C) 7,8 (D) 8,0 (E) 8,3 
IBGE – 2009 
 
Área de conhecimento: Todos os cargos exceto Estatística e Letras 
Português - Inglês 
 
Leia o texto a seguir para responder às questões de 
nos 83 e 84. 
A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências das idades de um 
grupo de crianças. 
 
 
 
83) A média das idades dessas crianças, em anos, é 
(A) 5,0 (B) 5,2 (C) 5,4 (D) 5,6 (E) 5,8 
84) A mediana da distribuição de frequências apresentada é 
(A) 5,5 (B) 5,6 (C) 5,7 (D) 5,8 (E) 5,9 
85) No último mês, Alípio fez apenas 8 ligações de seu telefone celular cujas 
durações, em minutos, estão apresentadas no rol abaixo. 
5 2 11 8 3 8 7 4 
 
Curso DSc Página 51 
O valor aproximado do desvio padrão desse conjunto de tempos, em minutos, 
é 
(A) 3,1 (B) 2,8 (C) 2,5 (D) 2,2 (E) 2,0 
86) Três dados comuns e honestos serão lançados. A probabilidade de que o 
número 6 seja obtido mais de uma vez é 
(A) 5/216 (B) 6/216 (C) 15/216 (D) 16/216 (E) 91/216 
87) Lança-se uma moeda honesta três vezes. Sejam os eventos: 
A = {sair duas caras ou três caras} e 
B = {os dois primeiros resultados são iguais} 
Nessas condições, tem-se que 
(A) P(A) = 0,25; P(B) = 0,25; A e B não são independentes e não são 
mutuamente exclusivos. 
(B) P(A) = 0,25; P(B) = 0,25; A e B são independentes e não são mutuamente 
exclusivos. 
(C) P(A) = 0,5; P(B) = 0,25; A e B não são independentes e não são 
mutuamente exclusivos. 
(D) P(A) = 0,5; P(B) = 0,5; A e B são independentes e não são mutuamente 
exclusivos. 
(E) P(A) = 0,5; P(B) = 0,5; A e B não são independentes e não são mutuamente 
exclusivos. 
88) Sejam X1, X2, X3 variáveis aleatórias independentes, todas com média 100 
e variância 100. O valor esperado e a variância Z = 
 
 
 são, 
respectivamente, 
(A) 100 e 100 (B) 100 e 
 
 
 (C) 100 e 
 
 
 (D) 0 e 
 
 
 (E) 0 e 
 
 
 
Resp.: Sejam as variáveis aleatórias X, Y e Z e as constantes “a”, “b”, “c” e “d”. 
Temos os seguintes resultados para a média e para a variância: 
 
Var 
 
Assim, para esta questão, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso DSc Página 52 
pois as covariâncias são iguais a zero dada a independência entre as variáveis. 
89) Um comitê é formado por três pesquisadores escolhidos dentre quatro 
estatísticos e três economistas. A probabilidade de não haver nenhum 
estatístico é 
(A) 1/35 (B) 4/35 (C) 27/243 (D) 64/243 (E) 3/7 
90) Sejam X e Y duas variáveis aleatórias independentes, correspondendo às 
medições realizadas por dois diferentes operadores. Essas variáveis aleatórias 
possuem a mesma média, mas as variâncias são diferentes, σ 
 e σ 
 , 
respectivamente. Deseja-se calcular uma média ponderada dessas duas 
medições, ou seja, Z = kX + (1-k)Y. O valor de k que torna mínima a variância 
de Z é 
(A) 
 
 (B) 
 
 
 (C) 
 
 
 
 
 
(D) 
 
 
 
 
 (E) 
 
 
 
 
 
Resp.: Dada a função quadrática, f, da forma f(x) = ax2 + bx + c, temos que: 
1) Para a > 0: o maior valor de f é alcançado quando x = 
 
 
, no qual 
temos f 
 
 
 
 
 
, onde ; e 
2) Para a < 0: o menor valor de f é alcançado quando x = 
 
 
, no qual 
temos f 
 
 
 
 
 
, onde . 
(Ver Questão 88) Var(Z) = Var(kX + (1-k)Y) = k2Var(X) + (1-k)2Var(Y) = K2σ 
 + 
(1-k)2σ 
 = σ 
 σ 
 k2 - 2σ 
 k + σ 
 dada a independência entre as variáveis X e 
Y. Tomando Var(Z) como uma função quadrática na variável K, temos que o 
seu valor mínimo (supondo 
 > 0) é alcançado quando k = 
 σ 
 
 σ 
 σ 
 
 
σ 
 
σ 
 σ 
 
91) Em uma empresa, por experiências passadas, sabe-se que a probabilidade 
de um funcionário novo, o qual tenha feito o curso de capacitação, cumprir sua 
cota de produção é 0,85, e que essa probabilidade é 0,40 para os funcionários 
novos que não tenham feito o curso. Se 80% de todos os funcionários novos 
cursarem as aulas de capacitação, a probabilidade de um funcionário novo 
cumprir a cota de produção será 
(A) 0,48 (B) 0,50 (C) 0,68 (D) 0,76 (E) 0,80 
92) Considere uma variável aleatória X com função de distribuição dada por 
 
F(x) = 0, x<0. 
 = 1-e-2x, x ≥ 0. 
 
A função de densidade que representa esta variável é 
(A) f(x) = (B) f(x) = (C) f(x) = 0,5 
(D) f(x) = (E) f(x) = 
 
Curso DSc Página 53 
 
93) Suponha que as notas dos candidatos de um concurso público, em uma 
certa prova, sigam distribuição normal com média 7 e desvio padrão 1. A 
relação candidato/vaga é de 40 para 1. A nota mínima necessária para 
aprovação nessa prova é 
(A) 8,65 (B) 8,96 (C) 9,37 (D) 9,58 (E) 9,75 
94) O intervalo de tempo entre a chegada de dois navios a um porto, em horas, 
segue distribuição exponencial com média 1. Se acaba de chegar um navio, 
qual a probabilidade aproximada de que leve mais de uma hora até a chegada 
do próximo? 
(A) 0,37 (B) 0,5 (C) 0,63 (D) 0,75 (E) 0,9 
Resp.: Dizemos que uma variável aleatória X tem distribuição exponencial 
com parâmetro λ, X ~ Exp(λ), quando sua função densidade de probabilidade 
(FDP) é dada por 
 
 
 
 
 
 
Temos que , e P(X < x) = 
 
 . 
 A distribuição exponencial pode ser usada para modelar tempo de vida e 
possui a propriedade da “falta de memória”: se X ~ Exp(λ), então para s > t ≥ 
0, 
P(X > s / X > t) = P(X > s - t), 
pois 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na questão em tela, seja X a variável aleatória representativa do intervalo de 
tempo entre a chegada de dois navios a um porto, em horas: X ~ Exp(1). Dada 
a propriedade da falta de memória, temos que 
P(X>1) = 0,368. 
BNDES (2009) 
Área: Administração 
95) O rótulo das garrafas de certo refrigerante indica que o seu conteúdo 
corresponde ao volume de 290 mL. A variável aleatória que representa o 
volume de líquido no interior dessas garrafas é X. A máquina que enche essas 
garrafas o faz segundo uma distribuição normal, com média μ e variância igual 
a 36 mL2, qualquer que seja o valor de μ. A máquina foi regulada para μ = 290 
 
Curso DSc Página 54 
mL. Semanalmente, uma amostra de 9 garrafas é colhida para verificar se a 
máquina está ou não desregulada para mais ou para menos. Para isso, 
constrói-se um teste de hipótese bilateral no qual 
 
 X ~ N (μ , 36) 
 H0 (Hipótese Nula): μ = 290 mL 
 H1 (Hipótese Alternativa): μ ≠ 290 mL 
 
O nível de significância do teste foi fixado em α. A hipótese nula não será 
rejeitada se a média apresentada pela amostra estiver entre 285,66 mL e 
294,34 mL. 
Logo, α é