apostila-prob-parte3

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Probabilidade e Est´ıstica II/ Engenharia de Produc¸a˜o
Prof(a): Cleide Mayra
Vetor de Varia´veis Aleato´rias
1 Independeˆncia de Varia´veis aleato´rias Discretas e Cont´ınuas
1.1 Definic¸a˜o:
Seja (X, Y ) um vetor aleato´rio discreto com distribuic¸a˜o conjunta p(x, y) =
P (X = x, Y = y). Dizemos que X e Y sa˜o independentes se e somente se
P (X = x, Y = y) = P (X = x)P (Y = y),∀x, y
ou seja, a distribuic¸a˜o conjunta e´ p produto das distribuic¸o˜es marginais.
Exemplo: Consideremos, por exemplo, um estudo da composic¸a˜o de
famı´lias com 3 filhos quanto ao sexo das crianc¸as. Podemos definir as
seguintes varia´veis:
X = nu´mero de meninos
Y =
 1 se o primeiro filho for homem0 se o primeiro filho for mulher (1)
Z=Nu´mero de vezes em que houve variac¸a˜o do sexo entre um nascimento
e outro, dentro da mesma famı´lia.
Com essas informac¸o˜es, e supondo que as poss´ıveis composic¸o˜es tenham
a mesma probabilidade, verificar se as varia´veis aleato´rias (X, Y ), (X,Z)
e (Y, Z) sa˜o independentes.
1.2 Definic¸a˜o:
Seja (X, Y ) um vetor aleato´rio bidimensional com func¸a˜o de densidade
conjunta f(x, y). Sejam fX(x) e fY (y) as densidades marginais de X e
Y , respectivamente. Enta˜o, diz-se que X e Y sa˜o varia´veis aleato´rias
independentes se
f(x, y) = fX(x)fY (y)
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ou seja, a densidade conjunta tem que ser o produto das densidades
marginais para todo par (x, y) no domı´nio de definic¸a˜o.
Exemplo: Se a func¸a˜o de densidade conjunta de X e Y for dada por:
f(x, y) = e−x−y, x > 0, y > 0
Verificar se X e Y sa˜o varia´veis aleato´rias independentes.
2 Caracter´ısticas nume´ricas de uma varia´vel aleato´ria ou de um
vetor aleato´rio
A uma varia´vel aleato´ria quer no caso unidimensional, quer multidimen-
sional podemos associar caracter´ısticas nume´ricas (paraˆmetros) que nos
da˜o informa˜c¸a˜o sobre a varia´vel.
2.1 Esperanc¸a Matema´tica ou Valor Me´dio
1. Dada uma v.a. X chama-se valor me´dio, esperanc¸a matema´tica, valor
esperado ou me´dia e representa-se por E[X], µX ou simplesmente µ
a quantidade assim definida:
E[X] =
∑n
i=1 xipX(xi) seX v.a discreta com distribuic¸a˜o (xi, pX(xi)), i =
1, . . . , n
ou
E[X] =
∫∞
−∞ xfX(x)dx se X v.a cont´ınua com densidade fX(x).
2. Se X e´ uma v.a. e Y = ϕ(X) e´ uma func¸a˜o real de varia´vel real,
tem-se:
E[ϕ(X)] =
∑n
i=1 ϕ(xi)pX(xi) seX v.a discreta com distribuic¸a˜o (xi, pX(xi)), i =
1, . . . , n
ou
E[ϕ(X)] =
∫∞
−∞ ϕ(x)fX(x)dx se X v.a cont´ınua com densidade fX(x).
3. Sendo (X, Y ) um par aleato´rio e g(X, Y ) uma func¸a˜o real de (X, Y ).
Define-se
2
E[g(X, Y )] =
∑n
i=1
∑n
j=1 g(xi, yj)pX,Y (xi, yj), no caso discreto
ou
E[g(X, Y )] =
∫∞
−∞
∫∞
−∞ g(x, y)fX,Y (x, y)dxdy, caso cont´ınuo.
4. A esperanc¸a condicional de Y , dao que X = x e´ definida por:
E[Y |X = x] = ∑y ypY |X(y|X = i)
ou
E[Y |X = x] = ∫∞−∞ yfY |X(y|x)dy
2.1.1 Propriedades
1. Linearidade
• E[a] = a
• Se Y = aX + b, onde a e b sa˜o constantes, enta˜o E(Y ) = E[aX +
b] = aE(X) + b.
• E[ϕ(X) + ψ(X)] = E[ϕ(X)] + E[ψ(X)]
2. Aditividade: Se X1, . . . , Xn sa˜o n varia´veis aleato´rias tal que a es-
peranc¸a E(Xi) existe (i=1,. . . ,n), enta˜o E[X1 ± X2±, . . . ,±Xn] =
E[X1]±, . . . , E[Xn].
3. Se X1, . . . , Xn sa˜o varia´veis aleato´rias independentes, tal que a es-
peranc¸a E(Xi) existe (i=1,. . . ,n), enta˜o: E(
∏n
i=1Xi) =
∏n
i=1E[Xi].
observac¸a˜o: O rec´ıproco na˜o e´ verdadeiro.
2.2 Variaˆncia
Suponha que X e´ uma varia´vel aleato´ria com me´dia µ = E(X).
A variaˆncia, denotada por V [X], σ2X ou simplesmente σ
2 e e´ assim
definida:
V [X] = E[(X − µ)2] = E[X2] − µ2 e σX =
√
V [X] chama-se desvio
padra˜o.
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2.2.1 Propriedades
(a) V [X] ≥ 0;
(b) V (aX + b) = a2V (X);
(c) SeX1, . . . , Xn sa˜o varia´veis aleato´rias independentes, enta˜o: V (X1+
. . .+Xn) = V (X1) + . . .+ V (Xn).
2.3 Covariaˆncia e Coeficiente de Correlac¸a˜o
Definic¸a˜o: Seja (X, Y ) uma varia´vel aleato´ria bidimensional. A co-
variaˆncia de X e Y que denotaremos Cov(X, Y ) e´ definida por:
Cov(X, Y ) = E[(X − E(X))(Y − E(Y ))]
ou
Cov(X, Y ) = E(XY )− E(X)E(Y )
Lema: Se X e Y sa˜o varia´veis aleato´rias independentes tem-se
Cov(X, Y ) = 0
Observac¸a˜o: O rec´ıproco da propriedade na˜o e´ verdadeiro.
Exemplo: Considere a distribuic¸a˜o conjunta de X e Y dada pela
tabela abaixo:
Y / X 0 1 2
1 3/20 3/20 2/20
2 1/20 1/20 2/20
3 4/20 1/20 3/20
Pode-se verificar, que Cov(X, Y ) = 0, mas X e Y sa˜o na˜o indepen-
dentes.
4. Para duas v.a X e Y quaisquer, temos:
V (X + Y ) = V (X) + V (Y )± 2Cov(X, Y )
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Teorema: Se X e Y sa˜o varia´veis aleato´rias tal que V (X) < ∞ e
V (Y ) <∞, enta˜o:
V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2Cov(X, Y )
Em particular:
V (X − Y ) = V (X) + V (Y )− 2Cov(X, Y )
Lema: Cov(aX, bY ) = abCov(X, Y )
Definic¸a˜o: O coeficiente de correlac¸a˜o das varia´veis aleato´rias X e
Y , denotado por ρ(X, Y ), e´ definido por:
ρ(X, Y ) =
Cov(X, Y )
σ(X)σ(Y )
Lema: O coeficiente de correlac¸a˜o ρ(X, Y ) das varia´veis aleato´rias X
e Y satisfaz a desigualdade:
|ρ(X, Y )| ≤ 1.
Se ρ(X, Y ) = ±1, enta˜o os valores de X e Y pertencem a uma reta.
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