MAE5834_Lista1_2020

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MAE 5834 - Estat́ıstica Avançada I
Lista de Exerćıcios 1 – 2o semestre de 2020 – Prof. Silvia Ferrari
1. Seja X uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo (θ1, θ1 + θ2), θ1 ∈ R, θ2 > 0.
Mostre que a classe de posśıveis distribuições de X é uma faḿılia de localização-escala.
2. Se a faḿılia de (posśıveis) distribuições de uma variável aleatória X é uma faḿılia de escala, mostre
que a faḿılia de (posśıveis) distribuições de logX é uma faḿılia de localização.
3. Seja X uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo (0, θ), θ > 0.
(a) Mostre que a classe de posśıveis distribuições de X é uma faḿılia de escala.
(b) Encontre a distribuição − logX, e mostre que a classe de distribuições obtida fazendo θ variar em
(0,∞) é uma faḿılia de localização.
4. Seja U uma variável aleatória positiva e X = bU1/c, b > 0, c > 0.
(a) Mostre que isso define uma faḿılia de grupo.
(b) Mostre que se U tem distribuição exponencial de média 1, então X tem distribuição de Weibull
com densidade
c
b
(
x
b
)c−1
e−(x/b)
c
, x > 0.
5. Admita que X tem distribuição arco-seno com parâmetros µ ∈ R e σ ∈ R+ e densidade
p(x;µ, σ) =
1
π
√
(x− µ)(µ+ σ − x)
, x ∈ (µ, µ+ σ).
Mostre que a classe de posśıveis distribuições de X é uma faḿılia de localização-escala.
6. Admita que X tem densidade1
pθ(x) = exp
[
s∑
i=1
ηi(θ)Ti(x)−B(θ)
]
h(x). (1)
Seja A um subconjunto do espaço amostral. Mostre que as distribuições truncadas sobre A, ou seja, as
distribuições com densidade pθ(x)IA(x)/Pθ(A) também constituem uma faḿılia exponencial.
7. Admita queX = (X1, . . . , Xp) ∼ multinomial(n, θ), com θ ∈ Θ = {(θ1, . . . , θp) | θj ∈ (0, 1) e
∑p
j=1 θj =
1}, e função de probabilidade
p(x; θ) =
n!
x1! . . . xp!
θx11 . . . θ
xp
p , x ∈ {(x1, . . . , xp) | xj ∈ {0, 1, . . . , n} e
p∑
j=1
xj = n}.
Mostre que a faḿılia de distribuições de X forma uma faḿılia exponencial de dimensão p − 1 e posto
completo.
8. A partir de propriedades da faḿılia exponencial (1) encontre as funções geradoras de momentos e de
cumulantes, a média e o segundo, o terceiro e o quarto momento central das seguintes distribuições:
Gama(a, b), Binomial(p, n), Poisson(λ) e Binomial Negativa(p,m) (ver Tabela 5.1, p. 25, de TPE).
1Diz-se que uma faḿılia {Pθ} de distribuições forma uma faḿılia exponencial de dimensão s se as distribuições Pθ têm
densidades da forma (1) com respeito a alguma medida µ.
2
9. Considere a distribuição de série de potências com função de probabilidade
fθ(x) = Pθ(X = x) =
a(x)θx
C(θ)
, x = 0, 1, . . . ; a(x) ≥ 0, θ > 0.
(a) Mostre que essa distribuição faz parte da faḿılia exponencial unidimensional.
(b) Mostre que sua função geradora de momentos é MX(u) = C(θe
u)/C(θ).
(c) Mostre que as distribuições binomial, binomial negativa e Poisson são casos especiais da distribuição
de série de potências e determine θ e C(θ).
(d) Mostre que a distribuição série logaŕıtmica, que é uma distribuição de série de potências com
a(x) = 1/x e C(θ) = − log(1− θ), x = 1, 2, 3, . . . , 0 < θ < 1, tem função geradora de momentos
log(1− θeu)/ log(1− θ) e determine E(X) e Var(X).
10. Se X ∼ Gama(α, β) com função densidade de probabilidade
1
Γ(α)βα
xα−1e−x/βI(0,∞)(x).
determine a distribuição de c logX e mostre que, para α fixo, esta define uma faḿılia exponencial.
11. Mostre que a distribuição de uma amostra aleatória de uma densidade normal p-variada constitui uma
faḿılia exponencial s-dimensional. Identifique s e as demais quantidades que definem a faḿılia.
12. Seja T (X) = (T1(X), . . . , Ts(X))
′ e considere a densidade (1).
(a) Para s = 1, mostre que Eθ[T (X)] = B
′(θ)/η′(θ) e varθ[T (X)] = B
′′(θ)/[η′(θ)]2 −
η′′(θ)B′(θ)/[η′(θ)3].
(b) Para s > 1, mostre que Eθ[T (X)] = J
−1∇B, onde J é a matriz Jacobiana definida por J =
{∂ηj/∂θi} e ∇B é o vetor gradiente ∇B = {∂B(θ)/∂θi}.
13. Considere a distribuição secante hiperbólica generalizada definida como a distribuição de
X =
1
π
log
(
Y
1− Y
)
,
em que
Y ∼ Beta
(
1
2
+
θ
π
,
1
2
− θ
π
)
,
|θ| < π.
(a) Encontre a densidade de X e mostre que constitui uma faḿılia exponencial.
(b) Encontre a média e a variância de X, e mostre que a variãncia é igual a 1 +µ2, em que µ = E(X).
Nota: Existem apenas 6 distribuição com variância quadrática. As outras são: normal, binomial,
gama, Poisson e binomial negativa. Ver Morris (Annals of Statistics, 1982).
14. Seja T uma variável aleatória com momentos centrais (finitos) µj = µj(T ) = E[(T − E(T ))j ], j =
2, 3, . . ., e cumulantes = κj = κj(T ), j = 1, 2, 3, . . . e seja a uma constante não nula. Mostre que
(a) κ1 = E(T );
(b) κ2 = µ2 = Var(T );
(c) κ3 = µ3;
(d) κ4 = µ4 − 3µ22;
3
(e) κj(T + a) = κj(T ), j = 2, 3, . . . .
(f) κj(aT ) = a
jκj(T ), j = 1, 2, 3, . . . .
(g) Se T1 e T2 são independentes, então, κj(T1 + T2) = κj(T1) + κj(T2), j = 1, 2, . . . .
(h) Sejam skew(T ) = µ3(T )/µ2(T )
3/2 e kurt(T ) = µ4(T )/µ2(T )
2 medidas de assimetria e curtose
de T . Escreva skew(T ) e kurt(T ) em função de cumulantes.
(i) Se T ∼ N(µ, σ2), κ1(T ) = µ, κ2(T ) = σ2, κj(T ) = 0, para j = 3, 4, . . . ,, skew(T ) = 0 e
kurt(T ) = 3.
15. Seja U uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo unitário e considere as variáveis
X = Uα, α > 0.
(a) Mostre que isso define uma faḿılia de grupo e determine a distribuição de X.
(b) Considere uma amostra aleatória (X1, . . . , Xn) de X. Encontre uma estat́ıstica suficiente para α.
16. Sejam X1, . . . , Xn observações independentes da variável aleatória X, que tem distribuição na faḿılia
P de todas as distribuições discretas que dão probabilidade positiva apenas para os pontos do conjunto
{1, 2, 3}. Encontre uma estat́ıstica suficiente bi-dimensional para P.
17. Suponha que X1, . . . , Xn sejam variáveis aleatórias independentes e tais que, para i = 1, . . . , n, Xi tem
função distribuição acumulada
Fi,θ(x) = x
tiθ, x ∈ (0, 1),
em que θ > 0 é um parâmetro desconhecido e t1, . . . , tn são constantes positivas conhecidas. Encontre
uma estat́ıstica suficiente unidimensional para θ.
18. Seja f(x) uma função positiva tal que
∫+∞
−∞ f(x)dx < +∞ e seja pθ(x) a densidade sobre (0, θ) (θ > 0)
definida por pθ(x) = c(θ)f(x), se 0 < x < θ e 0, caso contrário. Se X1, . . . , Xn são n observações
independentes com densidade pθ, mostre que X(n) = maximo(X1, . . . , Xn) é uma estat́ıstica suficiente
para θ.
19. Sejam X1, . . . , Xn variáveis aleatórias independentes com Xi ∼ Poisson(λi) com λi = aiλ, para
i = 1, . . . , n, sendo que a1, . . . , an são constantes positivas conhecidas. A partir da definição de
suficiência, encontre uma estat́ıstica suficiente T para λ e determine um experimento aleatório para se
reconstruir X1, . . . , Xn a partir de T .
20. Seja X ∼ N(0, θ). Verifique se |X| é uma estat́ıstica suficiente para θ.
21. Se X1, . . . , Xn são variáveis aleatórias iid distribúıdas como Beta(a, b),
(a) mostre que (
∏
Xi,
∏
(1−Xi)) é uma estat́ıstica suficiente minimal para (a, b);
(b) determine uma estat́ıstica suficiente minimal quando a = b.
22. Seja X = (X1, . . . , Xn) amostra aleatória da variável aleatória X que tem distribuição na faḿılia
{N(θ, θ), θ > 0}. Mostre que estat́ıstica T = (
∑
Xi,
∑
X2i ) é suficiente mas não é minimal.
23. Seja X = (X1, . . . , Xn) amostra aleatória da distribuição E(θ, θ), θ > 0 é desconhecido, com função
densidade de probabilidade
f(x; θ) =
1
θ
exp
{
−x− θ
θ
}
I[θ,∞)(x).
Mostrar que (X,X(1)), onde X =
∑n
i=1Xi/n e X(1) = min(X1, . . . , Xn), é suficiente minimal mas
não é completa.
4
24. Seja f : (−∞,∞) → (0,∞) uma função integrável. Seja c(θ) = 1/
∫∞
θ f(x)dx. Sejam X1, . . . , Xn
uma amostra aleatória da densidade pθ(x) = c(θ)f(x), para x > 0, e pθ(x) = 0, caso contrário. Mostre
que X(1) = min(X1, . . . , Xn) é uma estat́ıstica suficiente minimal.
25. SejaX = (X1, . . . , Xn) amostra aleatória da distribuição U(θ − 1/2, θ + 1/2), θ ∈ R.
(a) Mostre que (X(1), X(n)), em que X(1) = min(X1, . . . , Xn) e X(n) = max(X1, . . . , Xn), é uma
estat́ıstica suficiente minimal.
(b) Mostre que (X(1), X(n)) não é completa.
26. Seja X = (X1, . . . , Xn) amostra aleatória da variável aleatória X que tem distribuição na faḿılia
{N(θ, θ2), θ > 0}. Mostre que a estat́ıstica T = (
∑
Xi,
∑
X2i ) não é suficiente completa (porém é
suficiente minimal – visto em aula).
27. Sejam X1, . . . , Xn uma amostra aleatória de uma distribuição de Poisson de média θ. Mostre que
X =
∑n
i=1Xi/n é uma estat́ıstica suficiente e completa para θ sem usar propriedades da faḿılia
exponencial.
28. Sejam X1, ...Xn variáveis aleatórias independentes com distribuição uniforme discreta em {1, . . . , θ}, θ
inteiro positivo. A estat́ıstica X(n) = maximo{X1, . . . , Xn} é suficiente completa?
29. (a) Mostre que se P0 e P1 são duas faḿılias de distribuições tais que P0 ⊂ P1 e todo conjunto de
probabilidade nula de P0 também é de probabilidade nula de P1, então uma estat́ıstica suficiente
T que é completa para P0 é também completa para P1.
(b) Seja P0 a classe das distribuições binomiais b(p, n), 0 < p < 1, com n fixado, e seja P1 = P0
⋃
{Q},
onde Q é a distribuição de Poisson de média 1. Mostre que P0 é completa, mas P1 não é.
30. Estat́ıstica suficiente completa se o espaço paramétrico é Ω, mas apenas suficiente (e não completa) se
o espaço paramétrico é Ω0 ⊂ Ω.
Sejam X1, . . . , Xn (n ≥ 2) variáveis aleatórias independentes com distribuição U(0, θ), θ ∈ Ω =
(0,+∞). Sabemos que X(n) = maximo(X1, . . . , Xn) é uma estat́ıstica suficiente completa para θ
(ver notas de aula). Considere agora que o espaço paramétrico é Ω0 = [1,+∞). Mostre que X(n) é
suficiente, mas não é completa.
31. Sejam X1, . . . , Xn e Y1, . . . , Ym variáveis aleatórias independentes com Xi ∼ N(θ, σ2) e Yi ∼ N(λ, τ2);
−∞ < θ < ∞, −∞ < λ < ∞, 0 < σ < ∞, 0 < τ < ∞ . Encontre estat́ısticas suficientes minimais
para os casos abaixo:
(a) todos os parâmetros são desconhecidos;
(b) θ = λ e θ, σ, τ são desconhecidos;
(c) σ = τ e θ, λ e σ são desconhecidos;
(d) θ = λ e σ = τ , θ e σ são desconhecidos.
32. Seja X = (X1, . . . , Xn) um vetor de variáveis aleatórias independentes tais que Xi ∼ N(diθ, θ2), di 6= 0,
para i = 1, . . . , n, θ > 0. Sejam
X̃ =
∑n
i=1 diXi∑n
i=1 d
2
i
e S2 =
n∑
i=1
(Xi − diX̃)2
n− 1
.
Mostre que a estat́ıstica (X̃, S2) é suficiente minimal mas não é completa.
5
33. Admita que (X1, Y1), ...(Xn, Yn) são vetores aleatórios independentes e têm distribuição normal bi-
variada com E(Xi) = E(Yi) = 0, Var(Xi) = Var(Yi) = 1, Cov(Xi, Yi) = ρ, −1 < ρ < 1, para
i = 1, . . . , n, e com função densidade de probabilidade
1
2π
√
1− ρ2
exp
{
−x
2 − 2ρxy + y2
2(1− ρ2)
}
, −∞ < x <∞, −∞ < y <∞.
(a) Encontre uma estat́ıstica suficiente minimal para ρ.
(b) Mostre que as estat́ısticas T1 =
∑
Xi/n e T2 =
∑
Yi/n são ancilares mas o par (T1, T2) não é.
34. Se X e Y são variáveis aleatórias independentes com X ∼ Bernoulli(p) e Y ∼ Bernoulli(p2), verifique
se (X,Y ) é completa.
35. Suponha que X1, . . . , Xn sejam uma amostra aleatória de uma faḿılia de localização-escala com função
distribuição F ((x − a)/b) (−∞ < a < +∞ e b > 0 desconhecidos). Sejam Yj = φj(X), para
j = 1, . . . , n, funções do vetor aleatório X = (X1, . . . , Xn) invariantes sob por localização-escala, isto
é, tais que
φj(x1, . . . , xn) = φj((x1 − α)/β, . . . , (xn − α)/β),
para todo −∞ < α < +∞ e β > 0. Mostre que o vetor (Y1, . . . , Yn) é uma estat́ıstica ancilar.
36. Enuncie e prove resultados semelhantes ao do exerćıcio acima para faḿılias de localização e de escala.
37. Suponha que X1, . . . , Xn sejam uma amostra aleatória de uma faḿılia de localização-escala com função
distribuição F ((x− a)/b).
(a) Se b é conhecido, mostre que as diferenças (X1 −Xi)/b, i = 2, . . . , n, são ancilares.
(b) Se a é conhecido, mostre que as razões (X1 − a)/(Xi − a), i = 2, . . . , n, são ancilares.
(c) Se a e b são desconhecidos, mostre que as quantidades (X1 −Xi)/(X2 −Xi), i = 3, . . . , n, são
ancilares.
38. Use o Teorema de Basu para provar a independência dos seguintes pares de estat́ısticas:
(a) X e
∑
(Xi −X)2, onde os Xi’s são iid com distribuição N(θ, σ2).
(b) X(1) e
∑
(Xi −X(1)), onde os Xi’s são iid com distribuição E(a, b).
39. Sejam (X1, Y1), . . . , (Xn, Yn) variáveis aleatórias bidimensionais i.i.d. com densidade fθ(x, y) = 2/θ
2,
para x > 0, y > 0, x+ y < θ, e = 0, caso contrário.
(a) Encontre uma estat́ıstica suficiente minimal para θ.
(b) Encontre a distribuição da estat́ıstica suficiente minimal obtida em (a).
40. Assuma válidas as suposições do Critério da Fatoração. Seja A qualquer conjunto fixado do espaço
amostral, P ∗θ a distribuição Pθ truncada sobre A e P∗ = {P ∗θ , θ ∈ Ω}. Mostre que
(a) Se T é suficiente para P, é também suficiente para P∗.
(b) Se T é completa para P, é também completa para P∗.
41. Seja (X1, . . . , Xn) uma amostra aleatória de uma distribuição de variância σ
2; 0 < σ2 < ∞, n > 2.
[Note que não se faz suposição de normalidade]. Considere o problema de estimar σ2 com função de
perda
L(σ2, d) =
d
σ2
− 1− log d
σ2
.
6
(a) Esboce o gráfico de L(σ2, d) como função de quociente r = d/σ2. Comente.
(b) Considere estimadores da forma bS2, onde S2 =
∑
(Xi −X)2/(n− 1) é a variância amostral (um
estimador não viciado de σ2). Encontre o valor de b que minimiza o risco para todo σ2.
42. Demonstre as seguintes proposições.
Proposição 1. Seja X uma variável ou vetor aleatório com distribuição Pθ ∈ P = {Pθ, θ ∈ Ω}. Seja
δ(X) um estimador do estimando g(θ), uma função de θ a valores reais. Se c(θ) > 0 para todo θ ∈ Ω,
então δ(X) é inadmisśıvel com função de perda L(θ, d) se e somente se δ(X) é inadmisśıvel com função
de perda c(θ)L(θ, d).
Proposição 2. Seja b(θ) é uma função de θ a valores reais. Então, δ(X) é inadmisśıvel com função de
perda L(θ, d) se e somente se δ(X) é inadmisśıvel com função de perda L(θ, d) + b(θ).
43. Use o fato de que, para qualquer estimador δ(X) com var[δ(X)] < +∞ e qualquer estat́ıstica T ,
var[δ(X)] = var[E(δ(X)|T )] + E[var(δ(X)|T )]
para formular e provar um teorema semelhante ao de Rao Blackwell (Teorema 7.8, TPE) para variâncias.