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Universidade Federal do Piau´ı - CGBEST - CCNII Disciplina: Probabilidade e Estat´ıstica II - Prof(a): Cleide Mayra Intervalo de Confianc¸a e Teste de Hipo´tese 1 Intervalo de Confianc¸a e teste de hipo´teses para a Me´dia de uma populac¸a˜o Normal, com Variaˆncia desconhecida 1.1 Teste de Hipo´teses 1. Hipo´tese Nula: H0 : µ = µ0 2. Estat´ıstica de Teste: T0 = X−µ0 S/ √ n 3. Hipo´teses alternativas e crite´rios de rejeic¸a˜o Hipo´teses Alternativas Crite´rio de Rejeic¸a˜o H1 : µ 6= µ0 t0 > tα/2,n−1 ou t0 < −tα/2,n−1 H1 : µ > µ0 t0 > tα,n−1 H1 : µ < µ0 t0 < −tα,n−1 Exemplo: Um artigo no perio´dico Materials Engineering (1989, Vol II, No. 4, pp. 275-281) descreve os resultados de testes de tensa˜o quanto a` adesa˜o em 22 corpos de prova de liga U-700. A carga no ponto de falha do corpo de prova e´ dada a seguir (em MPA): 19, 8− 18, 5− 17, 6− 16, 7− 15, 8− 15, 4− 14, 1− 13, 6− 11, 9− 11, 4− 11, 4 8, 8− 7, 5− 15, 4− 15, 4− 19, 5− 14, 9− 12, 7− 11, 9− 11, 4− 10, 1− 7, 9 A me´dia da amostra e´ x = 13, 71 e o desvio-padra˜o da amostra e´ s = 3, 55. Os dados sugerem que a carga me´dia na falha excede 10MPa? Considere que a carga na falha tenha uma distribuic¸a˜o normal e use α = 0, 05. Soluc¸a˜o: 1. O paraˆmetro de interesse e´ a carga me´dia na falha µ. 2. H0 : µ = 10. 3. H1 : µ > 10. Queremos rejeitar H0 se a carga me´dia na falha exceder 10MPa. 4. α = 0, 05 5. A estat´ıstica de teste e´ t0 = x− µ0 s/ √ n 6. Rejeite H0 se t0 > t0,05;21 = 1, 721. 7. Ca´lculo: Ja´ que x = 13, 71, s = 3, 55, µ0 = 10 e n = 22, temos t0 = 13, 71− 10 3, 55/ √ 22 = 4, 9 8. Conclusa˜o: uma vez que t0 = 4, 9 > 1, 721, rejeitamos H0 e conclu´ımos, com n´ıvel de 0,05 de significaˆncia, que a carga me´dia na falha excede 10MPa. 1 1.2 Intervalo de Confianc¸a Se x e s forem a me´dia e o desvio-padra˜o de uma amostra aleato´ria proveniente de uma pop- ulac¸a˜o normal, com variaˆncia desconhecida σ2, enta˜o um intervalo de confianc¸a de 100(1−α)% para a me´dia µ e´ dado por x− tα/2,n−1 s√ n ≤ µ ≤ x+ tα/2,n−1 s√ n (1) , sendo tα/2,n−1 os pontos cr´ıticos da distribuic¸a˜o com n− 1 graus de liberdade. Exemplo: Reconsidere o problema da tensa˜o quanto a` adesa˜o no Exemplo anterior. En- contre um intervalo de confianc¸a de 95% para µ. Soluc¸a˜o: Temos que tα/2,n−1 = t0,025;21 = 2, 080 Logo: IC(µ, 95%)= x− tα/2,n−1 s√ n ≤ µ ≤ x+ tα/2,n−1 s√ n (2) 13, 71− 2, 080(3, 55)/ √ 22 ≤ µ ≤ 13, 71 + 2, 080(3, 55)/ √ 22 (3) 13, 71− 1, 57 ≤ µ ≤ 13, 71 + 1, 57 (4) 12, 14 ≤ µ ≤ 15, 28 (5) Portanto, estamos 95% confiantes de a verdadeira carga me´dia da falha esta´ dentro do intervalo 2 Intervalo de Confianc¸a e teste de hipo´teses para a Diferenc¸a nas Me´dias com Variaˆncias Conhecidas 2.1 Teste de Hipo´teses 1. Hipo´tese Nula: H0 : µ1 − µ2 = ∆0 2. Estat´ıstica de Teste: Z0 = X1−X2−∆0√ σ2 1 n1 + σ2 2 n2 3. Hipo´teses alternativas e crite´rios de rejeic¸a˜o Hipo´teses Alternativas Crite´rio de Rejeic¸a˜o H1 : µ1 − µ2 6= ∆0 Z0 > Zα/2 ou Z0 < −Zα/2 H1 : µ1 − µ2 > ∆0 Z0 > Zα H1 : µ1 − µ2 < ∆0 Z0 < −Zα Exemplo: Um idealizador de produtos esta´ interessado em reduzir o tempo de secagem de um zarca˜o. Duas formulac¸o˜es de tinta sa˜o testadas, a formulac¸a˜o 1 tem uma qu´ımica padra˜o e a formulac¸a˜o 2 tem um novo ingrediente, que deve reduzir o tempo de secagem. Da experieˆncia, sabe-se que o desvio padra˜o do tempo de secagem e´ igual a 8 minutos, e essa variabilidade 2 inerente na˜o deve ser afetada pela adic¸a˜o do novo ingrediente. Dez espe´cimes sa˜o pintadas com a formulac¸a˜o 1 e outros dez espe´cimes sa˜o pintados pela formulac¸a˜o 2. Os vinte espe´cimes sa˜o pintados em uma ordem aleato´ria. Os tempos me´dios de secagem das duas amostras sa˜o x1 = 121 minutos e x2 = 112, respectivamente. Quais as concluso˜es que o idealizador de produtos pode tirar sobre a eficieˆncia do novo ingrediente, usando α = 0, 05? Soluc¸a˜o: • A grandeza de interesse e´ a diferenc¸a nos tempos me´dios de secagem, µ1 − µ2. • H0 : µ1 − µ2 = 0 ou H0 : µ1 = µ2 • H1 : µ1 > µ2. Queremos rejeitar H0 se o novo ingrediente reduzir o tempo me´dio de secagem. • α = 0, 05 • A estat´ıstica de teste e´ Z0 = (x1 − x2)− 0√ σ21 n1 + σ22 n2 sendo σ21 = σ 2 2 = 8 2 = 64, n1 = n2 = 10. • Rejeitar H0 : µ1 = µ2, se z0 > 1, 64 = z0,05. • Calculo: Uma vez que x1 = 121min e x2 = 112min, a estat´ıstica de teste e´ Z0 = 121− 112√ 82 10 + 82 10 = 2, 52 • Conclusa˜o: Ja´ que z0 = 2, 52 > 1, 64, rejeitamos H0 : µ1 = µ2, com α = 0, 05 e conclu´ımos que a adic¸a˜o do novo ingrediente a` tinta reduz significativamente o tempo de secagem. 2.2 Intervalo de Confianc¸a Se x1 − x2 forem as me´dias de duas amostras aleato´rias dependentes de tamanhos n1 e n2, provenientes de populac¸o˜es com variaˆncias conhecidas σ21 e σ 2 2, respectivamente, enta˜o um intervalo de confianc¸a de 100(1− α)% para µ1 − µ2, e´ ( X1 −X2 ) − zα/2 √ σ21 n1 + σ22 n2 ≤ (µ1 − µ2) ≤ ( X1 −X2 ) + zα/2 √ σ21 n1 + σ22 n2 (6) Exemplo: Testes de resisteˆncia a` tensa˜o foram feitos em duas estruturas contendo dois teo- res diferentes de alumı´nio. Essas estruturas foram usadas na fabricac¸a˜o das asas de um avia˜o comercial. De experieˆncias passadas com o processo de fabricac¸a˜o dessas estruturas e com o procedimento de testes, os desvios-padra˜o das resisteˆncias a` tensa˜o sa˜o considerados conhecidos. Os dados obtidos sa˜o os seguintes: n1 = 10, x1 = 87, 6, σ1 = 1, n2 = 12, x2 = 74, 5 e σ2 = 1, 5. Se µ1 e µ2 denotarem as resisteˆncias me´dias verdadeiras a` tensa˜o para dos dois tipos de es- truturas. Achar um intervalo de confianc¸a de 90% para a diferenc¸a na resisteˆncia me´dia µ1−µ2. Soluc¸a˜o: IC(µ1 − µ2; 90%) e´ dado por 3 LI = X1 −X2 − zα/2 √ σ21 n1 + σ22 n2 = 87, 6− 74, 5− 1, 64 √ 12 10 + (1, 5)2 12 = 13, 1− 0, 88 = 12, 22kg/mm2 e LS = X1 −X2 + zα/2 √ σ21 n1 + σ22 n2 = 87, 6− 74, 5 + 1, 64 √ 12 10 + (1, 5)2 12 = 13, 1 + 0, 88 = 13, 98kg/mm2 Desse modo, o intervalo de confianc¸a de 90% para a diferenc¸a na resisteˆncia me´dia a` tensa˜o e´ 12, 22kg/mm2 ≤ µ1 − µ2 ≤ 13, 98kg/mm2 Note que o intervalo de confianc¸a na˜o inclui o zero, implicando que a resisteˆncia me´dia da estrutura 1 (µ1) excede a resisteˆncia me´dia da estrutura (µ2). De fato, podemos estabelecer que estamos 90% confiantes em que a resisteˆncia me´dia a` tensa˜o da estrutura 1 excede a resisteˆncia me´dia da estrutura 2 por um valor entre 12,22 e 13, 98km/mm2. 3 Intervalo de Confianc¸a e teste de hipo´teses para a Diferenc¸a nas Me´dias de duas distribuic¸o˜es Normais, com Variaˆncias desconhecidas e iguais 3.1 Teste de Hipo´teses 1. Hipo´tese Nula: H0 : µ1 − µ2 = ∆0 2. Estat´ıstica de Teste: T0 = X1−X2−∆0 Sp √ 1 n1 + 1 n2 onde S2p = (n1−1)S21+(n2−1)S22 n1+n2−2 3. Hipo´teses alternativas e crite´rios de rejeic¸a˜o Hipo´teses Alternativas Crite´rio de Rejeic¸a˜o H1 : µ1 − µ2 6= ∆0 t0 > tα/2,n1+n2−2 ou t0 < −tα/2,n1+n2−2 H1 : µ1 − µ2 > ∆0 t0 > tα/2,n1+n2−2 H1 : µ1 − µ2 < ∆0 t0 < −tα/2,n1+n2−2 Exemplo: Dois catalisadores esta˜o sendo analisados para determinar como eles afetam o rendimento me´dio de um processo qu´ımico. Especificamente, o catalizador 1 esta´ cor- rentemente em uso, mas o catalizador 2 e´ aceita´vel. Uma vez que o catalizador 2 e´ mais barato, ele deve ser adotado, desde que ele na˜o mude o rendimento do processo.Um teste e´ 4 feito em uma planta piloto. Os dados obtidos sa˜o os n1 = 8, x1 = 92, 255, s1 = 2, 39, n2 = 8, x2 = 74, 592, 733 e s2 = 2, 98. Ha´ alguma diferenc¸a entre os rendimento me´dios? Use α = 0, 05 e considere as variaˆncias iguais. Soluc¸a˜o: (a) Os paraˆmetros de interesse sa˜o µ1 e µ2, o rendimento me´dio do processo usando os catalizadores 1e 2 respectivamente. Queremos saber se µ1 − µ2 = 0 (b) H0 : µ1 − µ2 = 0 ou H0 : µ1 = µ2 (c) H1 : µ1 − µ2 6= 0 ou µ1 6= µ2. (d) α = 0, 05 (e) A estat´ıstica de teste e´ t0 = X1 −X2 − 0 Sp √ 1 n1 + 1n2 (f) Rejeite H0 se t0 > t0,025;14 = 2, 145 ou se t0 < t0,025;14 = −2, 145. (g) Ca´lculo: Ja´ que n1 = 8, x1 = 92, 255, s1 = 2, 39, n2 = 8, x2 = 74, 592, 733 e s2 = 2, 98, temos S2p = (n1 − 1)S21 + (n2 − 1)S22 n1 + n2 − 2 = (7)(2, 392) + (7)(2, 982) 8 + 8− 2 = 7, 30 Sp = √ 7, 30 = 2, 7 e t0 = 92, 255− 92, 733 2, 7 √ 1 8 + 1 8 = −0, 35 (h) Conclusa˜o: uma vez que t0 = −2, 145 < −0, 35 < 2, 145, a hipo´tese nula na˜o pode ser rejeitada. Ou seja, no n´ıvel de significaˆncia de 0,05, na˜o temos evideˆncia forte para concluir que o catalizador 2 resulte em um rendimento me´dio que difira do rendimento me´dio quando o catalizador 1 for usado. 3.2 Intervalo de Confianc¸a Se x1, s1, x2 e s2 forem as me´dias e as variaˆncias de duas amostras aleato´rias de tamanhos n1 e n2, respectivamente, provenientes de duas populac¸o˜es normais independentes, com variaˆncias desconhecidas, pore´m iguais, enta˜o um intervalo de confianc¸a com 100(1−α)% para a diferena˜ nas me´dias µ1 − µ2 e´ X1−X2− tα/2,n+m−2Sp √ 1 n + 1 m ≤ µ1−µ2 ≤ X1−X2 + tα/2,n+m−2Sp √ 1 n + 1 m (7) em que sp = √ (n1 − 1)S21 + (n2 − 1)S22 n1 + n2 − 2 5 e´ a estimativa combinada do desvio-padra˜o comum da populac¸a˜o. Exemplo: Em um processo qu´ımico de mate´rias-primas, usado para gravar placas de circuito impresso, esta˜o sendo comparados dois catalisadores diferentes para se determinar se eles exigem tempo diferentes de imersa˜o para a remoc¸a˜o de quantidades ideˆnticas de material fotorresistente. Doze lotes foram submetidos ao catalisador 1, resultando em uma me´dia amostral do tempo de imersa˜o de X1 = 24, 6 minutos e um desvio padra˜o amostral de s1 = 0, 85 minutos. Quinze lotes foram submetidos ao catalisador 2, resultado em um tempo me´dio de imersa˜o de X2 = 22, 1 minutos e em um desvio-padra˜o de s2 = 0, 98 minuto. Achar um intervalo de confianc¸a de 95% de confianc¸a para a diferenc¸a entre as me´dias µ1 − µ2, supondo que os desvios-padra˜o das duas populac¸o˜es sejam iguais. Soluc¸a˜o: Temos que: i) S2p = (n−1)S21+(m−1)S22 n+m−2 = 11(0,85)2+14(0.98)2 12+15−2 = 0, 8557 ii) O desvio-padra˜o combinado e´ Sp = √ 0, 8557 = 0, 925 iii) tα/2,n+m−2 = t0,025;25 = 2, 060. Portanto: 24, 6− 22, 1− 2, 060(0, 925) √ 1 12 + 1 15 ≤ (µ1 − µ2) ≤ 24, 6− 22, 1 + 2, 060(0, 925) √ 1 12 + 1 15(8) 1, 76 ≤ µ1 − µ2 ≤ 3, 24 (9) Portanto, estamos 95% confiantes de que o catalisador 1 requer um tempo de imersa˜o maior do que o tempo de imersa˜o exigido pelo catalisador 2 por uma quantidade que esta´ entre 1,76 minuto e 3,24 minutos. 4 Intervalo de Confianc¸a e teste de hipo´teses para a Igual- dade de Proporc¸o˜es de duas Populac¸o˜es 4.1 Teste de Hipo´teses (a) Hipo´tese Nula: H0 : p1 = p2 (b) Estat´ıstica de Teste: Z0 = p̂1−p̂2√ p̂(1−p̂) ( 1 n1 + 1 n2 ) onde p̂ = x1+x2n1+n2 e´ um estimador comum do paraˆmetro p (c) Hipo´teses alternativas e crite´rios de rejeic¸a˜o Exemplo: Dois tipos diferentes de soluc¸a˜o de polimento esta˜o sendo avaliados para poss´ıvel uso em uma operac¸a˜o de polimento na fabricac¸a˜o de lentes intra-oculares usadas no olho humano depois de uma operac¸a˜o de catarata. Trezentas lentes foram polidas usando a primeira soluc¸a˜o de polimento e, desse nu´mero, 253 na˜o tiveram defeitos, usando a segunda soluc¸a˜o de polimento, sendo 196 lentes consideradas satisfato´rias. Ha´ qualquer raza˜o para acreditar que as duas soluc¸o˜es de polimento difiram? Use α = 0, 01. 6 Hipo´teses Alternativas Crite´rio de Rejeic¸a˜o H1 : p1 6= p2 Z0 > Zα/2 ou Z0 < −Zα/2 H1 : p1 > p2 Z0 > Zα H1 : p1 < p2 Z0 < −Zα Soluc¸a˜o: (a) Os paraˆmetros de interesse sa˜o p1 e p2, a proporc¸a˜o de lentes satisfato´rias depois do polimento com os flu´ıdos 1 e 2. (b) H0 : p1 = p2 (c) H1 : p12 (d) α = 0, 01 (e) A estat´ıstca de teste e´ Z0 = p̂1 − p̂2√ p̂(1− p̂) ( 1 n1 + 1n2 ) sendo p̂1 = 253/300 = 0, 8433 e p̂2 = 196/300 = 0, 6533, n1 = n2 = 300 e p̂ = x1 + x2 n1 + n2 = 253 + 196 300 + 300 = 0, 7483 (f) Rejeitar H0 : p1 = p2, se z0 > z0,005 = 2, 58 ou se z0 < −z0,005 = −2, 58 (g) Ca´lculo: o valor da estat´ıstica de teste e´: Z0 = 0, 8433− 0, 6533√ 0, 7483(0, 2517) ( 1 300 + 1 300 ) = 5, 36 (h) Conclusa˜o: Uma vez que z0 = 5, 36 > 2, 58, rejeita-se a hipo´tese nula. 4.2 Intervalo de Confianc¸a Se ha´ duas proporc¸o˜es de interesse, digamos p1 e p2, e´ poss´ıvel obter um intervalo de confianc¸a de 100(1 − α)% de confianc¸a para sua diferenc¸a p1 − p2. Se duas amostras independentes, de tamanhos n1 e n2, sa˜o extra´ıdas de populac¸o˜es infinitas, de modo que X1 e X2 sejam varia´veis aleato´rias binomiais independentes, com paraˆmetros (n1, p1) e (n2, p2) respectivamente, onde X1 e´ o nu´mero de observac¸o˜es amostrais da primeira pop- ulac¸a˜o que pertencem a uma classe de interesse, e X2 representa o nu´mero de observac¸o˜es amostrais da segunda populac¸a˜o que pertencem a uma classe de interesse, enta˜o p̂1 = X1 n1 e p̂2 = X2 n2 , sa˜o estimadores independentes de p1 e p2, respectivamente. Enta˜o um intervalo de confianc¸a para a diferenc¸a nas proporc¸o˜es verdadeiras e´, p̂1 − p̂2 − zα/2 √ p̂1(1− p̂1) n1 + p̂2(1− p̂2) n2 ≤ p1 − p2 (10) ≤ p̂1 − p̂2 + zα/2 √ p̂1(1− p̂1) n1 + p̂2(1− p̂2) n2 7 Exemplo: Em uma amostra aleato´ria de 75 eixos, 12 teˆm um acabamento de su- perf´ıcie que e´ mais a´spero do que permitem as especificac¸o˜es. Portanto, uma estima- tiva da proporc¸a˜o p de eixos na populac¸a˜o que excedem as especificac¸o˜es de aspereza e´ p̂ = x/n = 12/75 = 0, 16. Suponha que seja feita uma modificac¸a˜o no processo de acaba- mento da superf´ıcie e que, subsequentemente, seja obtida uma segunda amostra aleato´ria de 85 eixos. O nu´mero de eixos defeituosos nessa segunda amostra e´ 10. Obter um in- tervalo de confianc¸a aproximado de 95% de confianc¸a para a diferenc¸a das proporc¸o˜es de defeituosos produzidos pelos dois processos. Soluc¸a˜o: 0, 16− 0, 12− 1, 96 √ 0, 16(0, 84) 75 + 0, 12(0, 88) 85 ≤ p1 − p2 ≤ 0, 16− 0, 12 + 1, 96 √ 0, 16(0, 84) 75 + 0, 12(0, 88) 85 (11) −0, 07 ≤ p1 − p2 ≤ 0, 15. Esse intervalo inclui o zero, de modo que, com base nos dados amostrais parece improva´vel que as mudanc¸as feitas no processo de acabamento da superf´ıcie tenham reduzido a pro- porc¸a˜o de eixos defeituosos produzidos. 8
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