5ª Lista - Testes_Anova

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UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná/ Câmpus Londrina 
Disciplina: Probabilidade e Estatística 
Curso: MA92B-EM21 – Engenharia de Materiais 
Professor: Joelmir André Borssoi 
 
5ª Lista de exercícios 
Capítulo V Testes estatísticos e Análise de variância 
 
1) Uma hipótese será usada para testar se a média de uma população é igual a 10 contra a 
alternativa de que é menor do que 10, com variância conhecida 𝜎2. Qual é o valor crítico para a 
estatística de teste Z, considerando os seguintes níveis de significância: 
a) 𝛼 = 0,01; (𝑅: 𝑧𝛼 = −2,33) b) 𝛼 = 0,05; (𝑅: 𝑧𝛼 = −1,64) c) 𝛼 = 0,1; (𝑅: 𝑧𝛼 = −1,29) 
 
2) Sabe-se que o tempo de vida, em horas, de uma bateria tem, aproximadamente, distribuição 
normal. Uma amostra aleatória de 10 baterias tem vida média de 40,5 horas, com desvio padrão 
de 1,25 horas. Considerando 5% de significância, há evidência que suporte a alegação de que a 
vida da bateria excede 40 horas? (R: não rejeita H0) 
 
3) Problemas relacionados às agressões ao meio ambiente são temas frequentemente discutidos 
na comunidade científica, principalmente no tocante ao controle de qualidade das águas 
subterrâneas, com relação à poluição causada pelos despejos domésticos e industriais. Após um 
programa de conscientização foi desenvolvido um estudo estatístico sobre a variação do teor de 
óleos e graxas (TOG), com base em uma amostra de 30 medições feitas em águas subterrâneas 
de diferentes pontos, cuja média amostral foi de 45 mg/L, com desvio padrão igual a 14mg/L. 
Considerando que a média de TOG antes do programa era de 53mg/L há evidência de melhora 
na qualidade da água? Considere 1% de significância. R: Sim. 
 
4) Uma hipótese será usada para testar se a média de uma população é igual a 7 contra a 
alternativa de que a média da população é diferente de 7, com variância desconhecida. Qual é o 
valor crítico para a estatística de teste t, considerando os seguintes dados: 
a) 𝛼 = 0,01, 𝑛 = 21; (𝑅: 2,845) b) 𝛼 = 0,05, 𝑛 = 13; (𝑅: 2,179) c) 𝛼 = 0,1, 𝑛 = 16; (𝑅: 1,753) 
 
5) Certo tipo de pneu dura, em média, 50.000 Km. O fabricante investiu em uma nova 
composição de borracha para pneus. Vinte pneus, fabricados com a nova composição, duraram, 
em média, 55.000 Km, com desvio padrão de 4.000 Km. Supondo que a durabilidade dos pneus 
segue uma distribuição aproximadamente normal, verificar se os dados provam que os novos 
pneus são mais duráveis, utilizando  = 1%. R: Sim. 
6) O responsável pelas tecnologias da informação de uma empresa pretende avaliar a 
capacidade de transmissão de dados da Intranet. Um dos testes a efetuar consiste em estimar o 
tempo médio de transferência de um ficheiro de 15 Mb, sendo a finalidade do teste validar a 
conjectura de que o tempo médio é inferior a 26 segundos. Foi retirada uma amostra de 50 
elementos da qual sabe-se que a média é 25,51 segundos e que sabe-se o desvio padrão 
populacional, σ = 1,84 segundos. Quais são suas conclusões, a  = 5%? R: Rejeita H0. 
7) Uma amostra de tamanho n = 18 de população normal tem média igual a 31,5 e desvio 
padrão S = 4,2. Pergunta-se: ao nível de 5% de significância, estes dados sugerem que a média 
populacional seja superior a 30? 
 
8) Uma empresa retira periodicamente amostras aleatórias de 500 peças de sua linha de 
produção para análise da qualidade. As peças da amostra são classificadas como defeituosas ou 
não, sendo que a política da empresa exige que o processo produtivo seja revisto se houver 
evidência de mais que 1,5% de peças defeituosas. Na última amostra, foram encontradas nove 
peças defeituosas. Usando nível se significância de 1%, o processo precisa ser revisto? R: Não. 
9) Um estudo feito com alunos do curso de Engenharia Ambiental de uma universidade 
apontou que cerca de 50% deles já realizaram descarte inadequado de baterias (de controles 
remotos, celulares, etc). Um grupo destes alunos acredita que dentre todos os alunos da 
universidade, esta porcentagem pode ser maior. Para testar se a crença do grupo está correta 
foram entrevistados 60 alunos (dentre todos da universidade), dos quais 40 declararam já ter 
feito descarte inadequado. Qual é a conclusão ao nível de 5% de significância? R: Rejeita H0. 
10) Um fabricante garante que 90% de seus itens estão dentro das especificações. Um 
comprador examinou uma amostra aleatória de 50 itens e verificou que apenas 84% estavam 
dentro das especificações. Com  = 1%, há evidência de que o nível de qualidade é menor do 
que o alegado pelo fabricante? R: Não rejeita H0. 
11) Em que situações deve ser recomendada a utilização da análise de variância? 
 
12) Uma indústria dispõe de 24 máquinas similares para fabricação de peças. O setor de Controle 
de Qualidade deseja testar três novos lubrificantes, buscando menor desgaste das máquinas. 
Como você planejaria o experimento? 
 
13) No exercício 12), considere que dentre as 24 máquinas, 12 delas trabalhem com velocidade 
muito superior às demais. Essa característica deve mudar o planejamento do experimento? Se 
sim, como deveria ser o planejamento? 
 
14) Uma indústria, fabricante de pigmentos passou a receber nos últimos meses diversas 
reclamações sobre a qualidade de um de seus principais produtos. Diante desta situação, a equipe 
técnica da indústria desejava confirmar sua hipótese de que a causa fundamental era a existência 
de diferenças na qualidade da matéria-prima (cromita) vendida pelos três fornecedores da 
empresa. Existia a suspeita de que os lotes de cromita, vendidos pelos fornecedores, diferiam, em 
relação ao teor médio (%) de Cr2O3, e que este fator estava comprometendo a qualidade do 
produto. Com o objetivo de avaliar a veracidade dessa suspeita, a equipe da empresa decidiu 
realizar uma análise de variância utilizando os dados da tabela abaixo, que representam os 
resultados obtidos para o teor de Cr2O3 de treze lotes de matéria-prima entregues pelos 
fornecedores. Com base nessa situação, responda às seguintes questões a seguir. 
 
Tabela: Teores de Cr2O3 (%), dos lotes de cromita vendidos pelos fornecedores da empresa. 
Matéria-prima 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 
Fornecedor 
I 46 48 50 45 46 43 46 47 46 44 46 45 51 
II 49 44 46 47 45 44 42 45 45 48 41 47 48 
III 44 49 48 48 46 47 47 47 49 50 45 43 46 
 
a) Para as medidas do teor de Cr2O3, construa Box plots estratificados, segundo o fator 
Fornecedor. Quais são as indicações obtidas por meio da análise dos gráficos?; 
b) Construa uma tabela de análise de variância para os dados coletados no estudo. A partir da 
análise da tabela, a equipe técnica da indústria poderá concluir que os lotes de matéria-prima, dos 
três fornecedores, diferem quanto ao teor médio de Cr2O3? Essa conclusão está de acordo com as 
indicações fornecidas pelos Box plots? 
c) Utilize um método conhecido para fazer comparações entre os teores médios de Cr2O3, dos 
lotes de matéria-prima vendidos pelos diferentes fornecedores. 
 
15) Um estudo sobre a presença de substâncias tóxicas no meio ambiente, associadas à utilização 
de um pesticida envolve análises efetuadas por quatro laboratórios diferentes. Existe alguma 
preocupação de que os resultados destas análises difiram, não apenas em virtude da habitual 
variabilidade inerente a quaisquer medições, mas também devido à utilização de diferentes 
técnicas laboratoriais o que, a ser verdade, exigiria maior controle das técnicas laboratoriais 
usadas. 
A fim de avaliar a questão, foram entregues a cada laboratório 6 pequenos sacos com solo 
recolhido aleatoriamente num terreno que antes fora tratado com o referido pesticida. Os 
resultados laboratoriais das análises químicas medem a concentração dum composto químico 
nocivo (em ppm). Os valores observados são indicados na tabela. 
Saco 
Laboratório 
A B C D 
1 53,2 51,0 47,4 51,0 
2 54,5 40,5 46,2 51,5 
3 52,8 50,8 46,0 48,8 
4 49,3 51,5 45,3 49,2 
5 50,4 52,4 48,2 48,3 
6 53,8 49,9 47,1 49,8Média 52,33 49,35 46,70 49,77 
 
a) Indique: 
i) o tipo de delineamento experimental usado; 
ii) a variável resposta; 
iii) o fator em estudo; 
iv) os níveis do fator; 
v) se os princípios da experimentação foram cumpridos; 
vi) o modelo estatístico correspondente. 
b) Construa a tabela da análise de variância correspondente a este caso; 
c) Formalize e efetue o teste de hipóteses adequado ao problema acima referido, com um nível 
de significância de 5%. Parece-lhe necessário exigir aos laboratórios a adopção de uma técnica 
padronizada? 
d) Caso o teste F indique que o fator tem efeito sobre a variável resposta, realize um teste de 
comparações múltiplas e diga quais os laboratórios cujos resultados médios são estatisticamente 
diferentes. 
 
16) Três diferentes soluções de limpeza estão sendo comparadas para estudar sua efetividade em 
retardar o crescimento de bactérias (ufc) em recipientes com galões de leite. A análise é feita 
num laboratório, e somente três tentativas podem ser executadas num mesmo dia. O fato de os 
dias poderem representar uma fonte potencial de variabilidade, o experimentador decide usar um 
desenho em blocos casualizados. Observações são tomadas para quatro dias e os dados são 
mostrados na tabela a seguir. 
Solução 
Dias 
1 2 3 4 
1 13 22 18 39 
2 16 24 17 44 
3 5 4 1 22 
Realize uma análise dos dados deste experimento (use =0,05) e tire conclusões. 
 
 
17) Uma experiência pretende estudar o efeito do tempo de exposição e temperatura de uma dada 
solução sobre a dissolução de um produto químico presente num certo material, quando este é 
submerso na solução. O estudo apenas se concentra sobre três níveis de temperatura, porém, 
foram considerados três tempos de exposição. Os dados recolhidos são os seguintes: 
Tempo de 
Exposição 
Temperatura (ºC) 
T1 T2 T3 
E1 
35,5 91,2 70,1 
29,7 100,7 64,1 
31,5 82,4 70,1 
E2 
52,5 71,0 79,4 
53,3 77,0 77,7 
55,0 75,6 75,1 
E3 
85,9 87,0 83,0 
85,2 86,1 87,0 
80,2 88,1 78,5 
 
 
a) Construa os gráficos de interação entre tempos de exposição e temperaturas; 
b) Indique as hipóteses nulas e alternativas para testar efeitos de temperatura, efeitos do tempo 
de exposição e efeitos de interação; 
c) Teste cada uma das hipóteses da alínea anterior e indique as suas conclusões ao nível de 
significância de 5%; 
d) Se necessário, faça os testes de comparações múltiplas adequados e tire conclusões.