Análise de conjuntos de dados agrupados

Prévia do material em texto

Adriana Speggiorin e André Espindola Probabilidade e Estatística 36 
CAPÍTULO 5 
 ANÁLISE DE CONJUNTOS DE DADOS AGRUPADOS 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
No capítulo anterior foram apresentados os métodos mais úteis para resumir dados, quando 
se tratava de análise de pequenos conjuntos de dados (dados não agrupados). 
 Quando se lida com grandes conjuntos de dados, pode-se obter uma boa visualização e 
todas as informações necessárias, agrupando os dados em certo número de classes, intervalos ou 
categorias. 
 Este capítulo trata primeiramente dos agrupamentos de dados (distribuição de frequências) 
e na sequência serão tratados os métodos mais úteis para descrever estes dados: medidas de 
tendência central, medidas de dispersão e coeficiente de variação. 
 
 
Distribuição de Frequências (D.F) 
 
A distribuição de frequências é um resumo, em forma de tabela, que mostra a frequência 
(ou o número) de observações em cada uma das diversas classes não sobrepostas. 
Quando se estuda uma variável, o maior interesse do pesquisador é conhecer o 
comportamento dessa variável, analisando a ocorrência de suas possíveis realizações. Ao sintetizar 
os dados eles podem ser mais facilmente entendidos e interpretados 
 Como visto no capítulo 1 as variáveis podem ser qualitativas e quantitativas. O objetivo 
desse capítulo será demonstrar como realizar o agrupamento de dados quantitativos. 
As três etapas necessárias para definir as classes para uma distribuição de frequências com 
dados quantitativos são: 
 
1) Determinar o número de classes não sobrepostas. 
2) Determinar a extensão (tamanho) de cada classe. 
3) Determinar os limites de cada classe. 
 
 
Exemplo 5.1: Serão demonstradas essas etapas para os dados de estaturas, medidas em 
centímetros, de 40 alunos do colégio A. 
 
Dados brutos 
 166 160 161 150 162 160 165 167 164 160 
 162 161 168 163 156 173 160 155 164 168 
 155 152 163 160 155 155 169 151 170 164 
 154 161 156 172 153 157 156 158 158 161 
 
Rol (dados organizados em ordem crescente) 
 150 154 155 157 160 161 162 164 166 169 
 151 155 156 158 160 161 162 164 167 170 
 152 155 156 158 160 161 163 164 168 172 
 153 155 156 160 160 161 163 165 168 173 
 
 
Antes de iniciarmos a resolução é necessário introduzirmos alguns conceitos básicos. 
Para exemplificar cada conceito serão utilizados os dados do exemplo 5.1: 
 
a) Número total de observações: representa-se por n quando se trata de amostra e N quando se 
trata de população. 
 
b) Limite inferior de observação: é o menor valor encontrado no rol. 
 
 
Adriana Speggiorin e André Espindola Probabilidade e Estatística 37 
 
c) Limite superior de observação: é o maior valor do conjunto. 
 
d) Intervalo de observação ou amplitude de observação (H): é a diferença entre os limites de 
observação. 
 
e) Número de classes ( k ): As classes são formadas especificando-se os intervalos que serão 
usados para agrupar as observações no conjunto de dados. 
 
 
Tabela das estaturas 
 
i Variável frequência fi 
Classe Estatura (cm) Número de alunos 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
150 |---- 154 
154 |---- 158 
158 |---- 162 
162 |---- 166 
166 |---- 170 
170 |---- 174 
 
------ TOTAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) Largura (ou amplitude) das classes: Recomenda-se que a largura seja a mesma para cada 
uma das classes. Construindo as classes com a mesma largura, reduzem-se as chances de 
interpretações inapropriadas pelo usuário. é a diferença entre o limite inferior da classe seguinte 
e o limite inferior da classe em questão. 
 
g) Limites de classe: Os limites de classe precisam ser escolhidos de modo que cada uma das 
observações pertença a somente uma classe. 
O limite inferior (li) de classe é o menor valor possível dos dados da respectiva classe. 
O limite superior (Li) de classe é o maior valor possível dos dados da respectiva classe. 
 
h) Ponto médio da classe 





 

2
infinf questãoemclassedaLposteriorclassedaLxi
: é a média 
aritmética entre os extremos da classe. 
 
i) Frequência relativa ( fr ): é a razão entre a frequência e o número de observações. Pode, 
ainda, ser escrita em percentual. 
 
j) Frequência acumulada ( F ): é o número de vezes em que a variável é observada desde a 1ª 
classe até a classe em observação, inclusive . A frequência acumulada da última classe é igual 
ao número de observações. 
 
k) Frequência acumulada relativa ( Fr ): é a razão entre a frequência acumulada e o número de 
observações. A frequência acumulada relativa da última classe é igual a 1. 
 
OBSERVAÇÕES: 
1) Ao agrupar os valores das variáveis em intervalos, ganha-se em simplicidade mas perde-se 
em pormenores. 
 
2) A escolha dos intervalos é arbitrária e a familiaridade do pesquisador com os dados é que 
lhe indicará quantas e quais classes (intervalos) devem ser usadas. Entretanto, deve-se 
observar que, com um pequeno número de classes, perde-se informação, e com um número 
grande de classes, o objetivo de resumir os dados fica prejudicado. Normalmente, sugere-se 
o uso de 5 a 15 classes com a mesma amplitude. 
 
Adriana Speggiorin e André Espindola Probabilidade e Estatística 38 
 
 
Exemplo 5.1 (Continuação): Considerando, então a D.F. dada, pode-se montar a seguinte tabela 
 
 
Distribuição de frequências para dados de estatura 
(i) Variável 
Frequência (fi) 
(freq. absoluta) 
Frequência 
Relativa 
(fri) 
Frequência 
Acumulada (Fi) 
Frequência 
Acumulada 
Relativa 
(Fri) 
Ponto médio 
(xi) 
Classe 
Estatura 
(cm) 
Número de 
alunos 
------ Número de alunos ------ 
Estatura 
(cm) 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
 
Total ------ ------ ------ ------ 
 
 
Considerando a tabela com as diversas frequências responda: 
 
a) Quantos alunos têm estatura abaixo de 166 cm? 
 
b) Quantos alunos têm estatura igual ou superior a 170 cm? 
 
c) Quantos alunos têm estatura abaixo de 162 cm? 
 
d) Qual o percentual de alunos que têm estatura entre 162, inclusive, e 166 cm? 
 
e) Qual o percentual de alunos que têm estaturas não inferior a 162 cm? 
 
 
EXERCÍCIOS: 
 
1) As notas obtidas por 50 alunos de uma classe foram: 
 
1 2 3 4 5 6 6 7 7 8 
2 3 3 4 5 6 6 7 8 8 
2 3 4 4 5 6 6 7 8 9 
2 3 4 5 5 6 6 7 8 9 
 2 3 4 5 5 6 7 7 8 9 
 
 
Complete a distribuição de frequências a seguir: 
 
(i) Notas Número de alunos ( fi ) ponto médio ( xi ) 
1 0 |---- 2 
2 2 |---- 4 
3 4 |---- 6 
4 6 |---- 8 
5 8 |---- 10 
------- -------  fi = 50 ------- 
Adriana Speggiorin e André Espindola Probabilidade e Estatística 39 
 
Responda: 
 
a) Qual a amplitude de observação? 
b) Qual a amplitude do segundo intervalo de classe? 
c) Qual o número de classes da distribuição? 
d) Qual o limite superior da classe de ordem 2? 
e) Qual o limite inferior da quarta classe? 
 
 
2) Dão-se, a seguir, as notas obtidas por 48 estudantes em um teste: 
 
37 54 62 70 79 87 
39 54 62 71 80 88 
42 56 63 72 81 91 
45 57 64 75 82 92 
48 58 66 76 83 93 
49 59 67 78 84 94 
50 60 67 78 85 94 
52 60 67 79 85 96 
 
Agrupe essas notas em uma distribuição com 7 classes. 
 
 
 
3) Os pesos, em kg, de 80 alunos de uma universidade estão relacionados abaixo. Organizar os 
dados em forma de uma D.F com 8 classes e iniciar com o limite inferior da primeira classe em 
45. 
 
49 53 61 66 72 79 84 90 93 98 
49 54 61 66 73 80 85 90 93 99 
49 56 61 67 74 80 86 90 9499 
50 56 62 68 74 80 87 91 94 100 
50 58 63 68 75 82 88 92 95 101 
50 59 64 70 76 83 89 92 96 102 
51 60 65 70 76 83 89 92 97 102 
52 60 66 72 78 83 89 93 97 105 
 
 
 
4) Em uma fábrica foram testadas 400 lâmpadas; a duração delas aparece na distribuição por 
frequências abaixo: 
 
DURAÇÂO 
(em horas) 
NÚMERO DE 
LÂMPADAS 
600 |---- 700 
700 |---- 800 
800 |---- 900 
 900 |---- 1000 
1000 |---- 1100 
1100 |---- 1200 
14 
46 
58 
76 
68 
 62 
1200 |---- 1300 48 
1300 |---- 1400 22 
1400 |---- 1500 6 
TOTAL 400 
 
 
Adriana Speggiorin e André Espindola Probabilidade e Estatística 40 
 
Complete a tabela com a frequência relativa, a frequência acumulada, a frequência acumulada 
relativa e o ponto médio. 
 
A seguir, responda: 
a) Qual a amplitude de cada classe? 
b) Qual a porcentagem de lâmpadas com durabilidade inferior a 1.000 horas? 
c) Qual a porcentagem de lâmpadas com durabilidade de 1.200 horas ou mais? 
 
 
 
 
Representação gráfica de uma distribuição de frequências 
 
Uma distribuição de frequências pode ser representada graficamente pelo histograma, pelo 
polígono de frequências simples e pelo polígono de frequências acumulada: 
 
 O HISTOGRAMA é a representação gráfica mais comum de uma distribuição de 
frequências e é formado por um conjunto de retângulos (justapostos quando a variável for 
contínua), que tem: 
 
a) a base sobre o eixo horizontal com o centro no ponto médio e largura igual a amplitude do 
intervalo de classes; 
b) a área proporcional à soma das frequências. 
 
Pode-se construir um histograma para cada tipo de frequência. Sendo que o histograma das 
frequências simples possui o mesmo desenho que o das relativas, assim como o histograma das 
frequências acumuladas tem o mesmo desenho que o das relativas acumuladas, em ambos os 
casos a diferença está na escala vertical. 
 
 
Exemplo 5.2: Histograma baseado na D.F das alturas dos alunos do exemplo 5.1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O POLÍGONO DE FREQUÊNCIAS SIMPLES é um gráfico obtido ligando-se os pontos 
médios dos topos dos retângulos de um histograma. Para realmente obter um polígono (linha 
fechada), deve-se ligar os extremos da linha aos pontos médios da classe anterior à primeira e da 
posterior à última, da distribuição. 
 
Exemplo 5.3: Polígono de Frequência simples baseado na D.F das alturas dos alunos do exemplo 
5.1. 
 
 
 
 
 
 
Histograma de Frequência
0
2
4
6
8
10
12
150 - 154 154 - 158 158 - 162 162 - 166 166 - 170 170 - 174
x
f Histograma de Frequência Relativa
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
150 - 154 154 - 158 158 - 162 162 - 166 166 - 170 170 - 174
x
f
Adriana Speggiorin e André Espindola Probabilidade e Estatística 41 
 
 
0
2
4
6
8
10
12
148 152 156 160 164 168 172 176
fre
qu
ên
cia
estatura (cm)
 
 
 
O POLÍGONO DE FREQUÊNCIAS ACUMULADAS é traçado marcando-se as frequências 
acumuladas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos 
limites superiores dos intervalos de classe. 
 
Exemplo 5.4: Polígono de Frequência Acumulada baseado na D.F das alturas dos alunos do 
 exemplo 5.1. 
 
 
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
150 154 158 162 166 170 174
fre
qu
ên
cia
estatura (cm)
 
 
 
Exemplo 5.5: 
Resistência à compressão (psi) Frequência (nº de peças) 
80 ≤ x < 100 4 
100 ≤ x < 120 5 
120 ≤ x < 140 7 
140 ≤ x < 160 12 
160 ≤ x < 180 19 
180 ≤ x < 200 17 
200 ≤ x < 220 9 
220 ≤ x < 240 4 
240 ≤ x < 260 2 
 
 
Adriana Speggiorin e André Espindola Probabilidade e Estatística 42 
 
0
4
8
12
16
20
 
 
 
 
EXERCÍCIO 
 
1) A tabela abaixo apresenta uma distribuição de frequência das áreas de 400 lotes: 
 
Área (m2) Número de Lotes 
300 |----- 400 14 
400 |----- 500 46 
500 |----- 600 58 
600 |----- 700 76 
700 |----- 800 68 
800 |----- 900 62 
 900 |----- 1000 48 
1000 |----- 1100 22 
1100 |----- 1200 6 
 
Com referência a essa tabela determine: 
a) a amplitude total; 
b) o limite superior da quinta classe; 
c) o limite inferior da oitava classe; 
d) o ponto médio da sétima classe; 
e) a amplitude do intervalo da segunda classe; 
f) a frequência da quarta classe; 
g) a frequência relativa da sexta classe; 
h) a frequência acumulada da quinta classe; 
i) o número de lotes cuja área não atinge 700 m2 ; 
j) o número de lotes cuja área é igual ou ultrapassa 800 m2; 
k) a percentagem dos lotes cuja área não atinge 600 m2; 
l) a percentagem dos lotes cuja área seja maior ou igual a 900 m2; 
m) a percentagem dos lotes cuja área é de 500m2 , no mínimo, mas inferior a 1000m2; 
n) a classe do 72º menor lote; 
o) até que classe estão incluídos 60% dos menores lotes. 
 
Respostas 
a) 900 m² b) 800 m² c) 1000 m² d) 950 m² 
e) 100 m² f) 76 lotes g) 0,155 h) 262 lotes i) 194 lotes j)138 lotes 
k) 29,5% l) 19% m) 78% n) terceira o) quinta 
 
 
 
80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 
Resistência à compressão (psi) 
F
r
e
q
u
ê
n
c
i
a 
Adriana Speggiorin e André Espindola Probabilidade e Estatística 43 
 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL (a partir da D.F.) 
 
No passado, deu-se considerável atenção à descrição de dados agrupados, porque, de 
modo geral, era vantajoso agrupar os dados antes de calcular várias medidas estatísticas. Hoje as 
condições são outras, pois os cálculos necessários podem ser feitos em questão de segundos por 
um computador. Mas alguns dados (cifras do governo e distribuição de medidas contínuas, por 
exemplo) só são acessíveis em forma de distribuições de frequências. 
 
MÉDIA 
 
O agrupamento de dados acarreta alguma perda de informação. Cada elemento perde sua 
identidade, por assim dizer; sabemos apenas quantos elementos há em cada classe; por isso, 
teremos aproximações. 
 
 Nesse caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo 
de classe coincidem com o seu ponto médio, e determinamos a média aritmética ponderada por 
meio da fórmula: 
 
 
 
 
 
 
Onde: xi é o ponto médio da classe. 
 
Exemplo 5.6: Consideremos a distribuição: 
 
(i) Variável fi xi (cm) xi . fi 
Classe Estatura (cm) Nº de alunos Ponto médio 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
150 |--- 154 
154 |--- 158 
158 |--- 162 
162 |--- 166 
166 |--- 170 
170 |--- 174 
4 
9 
11 
8 
5 
3 
 
------ ------  = ------  = 
 
Resolução: 
Por questão de praticidade, abrimos uma coluna para os pontos médios e outra para os 
produtos xi . fi. Neste caso teremos: 
 
 
  



i
ii
f
fx
x
. 
 
 
 
EXERCÍCIOS: 
 
1) Determine o preço médio de aparelhos eletrodomésticos montados por uma pequena empresa 
 
Preço por unidade (R$) 50 60 80 90 
Nº de unidades montadas 8 5 4 3 
 
 
Adriana Speggiorin e André Espindola Probabilidade e Estatística 44 
 
 
2) Calcule a média aritmética da distribuição de frequências abaixo: 
 
NOTAS Número de alunos 
0 |---- 2 
2 |---- 4 
4 |---- 6 
6 |---- 8 
 8 |---- 10 
5 
8 
14 
10 
7 
------  = 
 
 
3) A distribuição a seguir apresenta os dados relativos ao número de notebooks defeituosos 
encontrados em 34 lotes produzidos no mês de janeiro. Determinar o número médio de notes 
defeituosos por lote. 
 
Nº de notebooksNº de lotes 
0 2 
1 6 
2 10 
3 12 
4 4 
------  = 34 
 
 
 
4) A tabela a seguir é uma distribuição de frequência que mostra o preço de livros comercializados 
em uma certa livraria. Determinar o preço médio dos livros baseados nesta amostra. 
 
Preço (R$) Nº de livros 
29,90 27 
34,90 24 
35,90 19 
39,90 22 
42,90 13 
49,00 12 
 
 
 
Respostas: 
1) 64,50 2) 5,3 3) 2,3 4) 37,18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Adriana Speggiorin e André Espindola Probabilidade e Estatística 45 
 
MEDIANA 
 
 Nesse caso, o problema consiste em determinar o ponto do intervalo em que está 
compreendida a mediana. 
 Para isso, inicialmente vamos determinar a classe na qual se acha a mediana - chamaremos 
de classe mediana. Tal classe será aquela correspondente à frequência acumulada imediatamente 
superior a 
2
 if . 
 
 
Exemplo 5.7: Voltando ao exemplo das estaturas dos alunos de uma escola. Determine a estatura 
mediana. 
 
(i) Variável Frequência ( fi ) Frequência acumulada ( Fi ) 
Classe Estatura ( cm) Número de alunos Número de alunos 
1 150 |----- 154 4 4 
2 154 |----- 158 9 13 
3 158 |----- 162 11 24 
4 162 |----- 166 8 32 
5 166 |----- 170 5 37 
6 170 |----- 174 3 40 
------ ------  = 40 ------ 
 
 
 
Temos: 
 Ponto mediano: P = 
aluno
f
oi 20
2
40
2


 
 
A mediana é, então, calculada pela seguinte fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
li
= limite inferior da classe mediana. 
h = amplitude de classe. 
P = ponto mediano. ( fi / 2) 
F(ant) = frequência acumulada da classe anterior à classe mediana. 
fi = frequência simples da classe mediana. 
 
Cálculo da mediana: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Adriana Speggiorin e André Espindola Probabilidade e Estatística 46 
 
Exemplo 5.8: Calcule a média e a mediana da distribuição de frequência abaixo: 
 
Variável Frequência 
( fi ) 
Frequência acumulada 
(Fi) 
Valor ( R$) Nº de notas Nº de notas 
450 |----- 550 8 
550 |----- 650 10 
650 |----- 750 11 
750 |----- 850 16 
850 |----- 950 13 
 950 |----- 1050 5 
1050 |----- 1150 1 
------  = 
 
 
 
Devido às condições impostas na obtenção da fórmula da mediana, fica evidente que o valor 
obtido pela fórmula é um valor aproximado do verdadeiro valor da mediana da série. 
 De modo geral, todas as medidas calculadas para uma variável contínua serão valores 
aproximados para estas medidas, uma vez que ao agruparmos os dados segundo uma variável 
contínua, há perda de informações quanto à identidade dos dados. 
 
 
MODA 
 
 A classe que apresenta a maior frequência é denominada classe modal. 
 
 Obs: Podemos determinar a moda como sendo o ponto médio da classe modal. 
 
 
Exemplo 5.9: As alturas dos alunos de uma escola estão representadas na tabela abaixo. Calcule 
a altura modal. 
 
Classe Estatura ( m ) Número de alunos 
1 1,10 |--- 1,20 12 
2 1,20 |--- 1,30 21 
3 1,30 |--- 1,40 32 
4 1,40 |--- 1,50 24 
5 1,50 |--- 1,60 8 
6 1,60 |--- 1,70 3 
------- ------  = 
 
 
Exemplo 5.10: As velocidades das motocicletas estão representadas na tabela abaixo. Calcule a 
velocidade modal. 
 
 Classe 
Velocidade 
(km / h) 
Número de 
motocicletas 
1 50 |-- 60 6 
2 60 |-- 70 9 
3 70 |-- 80 11 
4 80 |-- 90 22 
5 90 |-- 100 16 
6 100 |-- 110 4 
7 110 |-- 120 2 
------ Total 70 
 
Adriana Speggiorin e André Espindola Probabilidade e Estatística 47 
 
 
MEDIDAS DE DISPERSÃO (OU DE VARIABILIDADE) 
 
 
Variância 
 
A variância amostral para dados agrupados é calculada pela seguinte fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desvio padrão para dados agrupados 
 
 Como o desvio padrão é a raiz quadrada positiva da variância, temos, para dados 
agrupados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5.11: Calcular a variância e o desvio padrão das seguintes D.F’s (representam amostras) 
a) 
 
Variável Frequência 
Ponto médio 
 ( xi ) 
 
Estaturas 
 ( cm) 
Número de 
alunos 
cm 
150 |--154 4 
154 |--158 9 
158 |--162 11 
162 |--166 8 
166 |--170 5 
170 |--174 3 
------  = 40 ------ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Adriana Speggiorin e André Espindola Probabilidade e Estatística 48 
b) 
 
Notas Nº de alunos 
Ponto médio 
( xi ) 
 
0 |--- 2 8 
2 |--- 4 12 
4 |--- 6 16 
6 |--- 8 10 
 8 |--- 10 4 
------  = 50 ------ 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS: 
 
1) Calcular a variância e o desvio padrão da distribuição dos QI de uma amostra dos alunos de 
uma escola de ensino fundamental. 
 
QI 
Número de 
alunos 
60 |--- 70 1 
70 |--- 80 6 
80 |--- 90 12 
90 |---100 20 
100|---110 18 
110|---120 10 
120|---130 3 
Total 70 
 
 
 
2) Calcule a variância e o desvio padrão para a distribuição do consumo de energia elétrica de 
uma amostra de 54 notas famílias de 4 pessoas emitidas na mesma data, selecionadas em um 
bairro da cidade. 
 
 
classe 
Consumo 
(kW/h) 
Número de famílias 
1 0 |----- 50 10 
2 50 |----- 100 28 
3 100 |----- 150 12 
4 150 |----- 200 2 
5 200 |----- 250 1 
6 250 |----- 300 1 
 
 
Respostas 
1) s² = 180,12 s = 13,4 
3) s² = 2446,7 s = 49,5 
 
 
 
 
Adriana Speggiorin e André Espindola Probabilidade e Estatística 49 
 
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO 
 
 O coeficiente de variação é uma medida adimensional, útil para comparar resultados de 
amostras cujas unidades podem ser diferentes. 
 É definido como o quociente entre o desvio padrão e a média e, em geral, é expresso em 
percentual. 
100.
x
s
CV 
 
 
 
Exemplo 5.12: Dois processos, medindo a espessura de materiais diferentes, obtiveram os 
seguintes resultados: 
1 - Folha de aço: média = 2,49 mm; desvio padrão = 0,12 mm 
2 - Chapa de madeira: média = 3,75 mm; desvio padrão = 0,15 mm 
 
Qual dos dois processos é relativamente mais preciso? 
 
 
CV1 = CV2 = 
 
 
 
 
 
CURVAS DE FREQUÊNCIAS 
 
 Como, em geral, os dados coletados pertencem a uma amostra extraída de uma população, 
podemos imaginar as amostras tornando-se cada vez mais amplas e a amplitude das classes 
ficando cada vez menor, o que nos permite concluir que a linha poligonal (contorno do polígono de 
frequência) tende a se transformar numa curva - a curva de frequências - mostrando a verdadeira 
natureza da distribuição da população. 
 Podemos dizer, então, que, enquanto o polígono de frequência nos dá a imagem real do 
fenômeno estudado, a curva de frequência nos dá a imagem tendencial. 
 
 
Curvas em forma de sino 
 
 Caracterizam-se pelo fato de apresentarem um valor máximo em torno da região central. 
São muitos os fenômenos que oferecem distribuições em forma de sino: a estatura de 
adultos, o peso de adultos, a inteligência medida em testes. 
As curvas em forma de sino podem ser simétricas ou assimétricas. 
 
a) SIMÉTRICA: Esta curva caracteriza-se por apresentar o valor máximo no ponto central e os 
pontos equidistantes desse ponto terem a mesma frequência. 
 
b) ASSIMÉTRICA: Na prática, não encontramos distribuições perfeitamente simétricas. Assim, as 
curvas correspondentes a tais distribuições apresentam a cauda de um lado mais alongada que 
do outro . Se a cauda mais alongada fica à direita, a curva é chamada assimétrica positiva. Se a 
cauda se alonga à esquerda, a curva é assimétrica negativa.Adriana Speggiorin e André Espindola Probabilidade e Estatística 50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Adriana Speggiorin e André Espindola Probabilidade e Estatística 51 
 
CAPÍTULO 6 
PROBABILIDADE 
 
MODELO PROBABILÍSTICO 
 
Qual ocorrência parece ter maior probabilidade: ser atingido por um raio ou ganhar na 
loteria? 
 
 As origens da matemática da probabilidade remontam ao século XVI. As aplicações iniciais 
referiam-se quase todas a jogos de azar. Os jogadores ricos aplicavam o conhecimento da teoria 
das probabilidades para planejar estratégias de apostas. Mesmo hoje ainda há muitas aplicações 
que envolvem jogos de azar, tais como os diversos tipos de loterias, os cassinos de jogos, as 
corridas de cavalos e os esportes organizados. Todavia, a utilização das probabilidades ultrapassou 
de muito o âmbito desses jogos. Hoje os governos, as empresas, as organizações profissionais 
incorporam a teoria das probabilidades em seus processos diários de deliberações. 
 
 Independentemente de qual seja a aplicação em particular, a utilização das probabilidades 
indica que existe um elemento de acaso, ou de incerteza, quanto à ocorrência ou não de um evento 
futuro. Assim é que, em muitos casos, pode ser impossível afirmar por antecipação o que ocorrerá; 
mas é possível dizer o que pode ocorrer. Por exemplo, se jogarmos uma moeda para o ar, de modo 
geral não podemos afirmar se vai dar cara ou coroa. Além disso, mediante determinada 
combinação de julgamentos, experiências e dados históricos, em geral é possível dizer quão 
provável é a ocorrência de determinado evento futuro. 
 
 Há numerosos exemplos de tais situações no campo dos negócios e do governo. A previsão 
da procura de um produto novo, o cálculo dos custos de produção, a compra de apólices de seguro, 
a contratação de um novo empregado, o preparo de um orçamento, a avaliação do impacto de uma 
redução de impostos sobre a inflação – tudo isso contém algum elemento de acaso. 
 
 
 As probabilidades são úteis porque auxiliam a desenvolver estratégias. Assim é que 
alguns motoristas parecem demonstrar uma tendência para correr à grande velocidade se acham 
que há pouco risco de ser apanhados; os investidores sentem-se mais inclinados a aplicar seu 
dinheiro se as chances de lucro são boas; e um cidadão carregará capa ou guarda-chuva se houver 
grande probabilidade de chover. Analogamente, uma empresa pode sentir-se inclinada a investir 
em novo equipamento se há boa chance de recuperar o dinheiro; ou contratar um novo funcionário 
que pareça promissor. 
 
 O ponto central em todas essas situações é a probabilidade de quantificar quão provável é 
determinado evento. 
 
 Vimos anteriormente que a análise de um conjunto de dados por meio de técnicas 
numéricas e gráficas permite que tenhamos uma boa ideia da distribuição desse conjunto. Em 
particular, a distribuição de frequências é um instrumento importante para avaliarmos a 
variabilidade das observações de um fenômeno aleatório. A partir dessas frequências observadas 
podemos calcular medidas de posição e variabilidade, como média, mediana, desvio padrão, etc. 
Essas frequências e medidas calculadas a partir dos dados são estimativas de quantidades 
desconhecidas, associadas, em geral, a populações das quais os dados foram extraídos na forma 
de amostras. Em particular, as frequências (relativas) são estimativas de probabilidades de 
ocorrências de certos eventos de interesse. Com suposições adequadas, e sem observarmos 
diretamente o fenômeno aleatório de interesse, podemos criar um modelo teórico que reproduza de 
maneira razoável a distribuição de frequências, quando o fenômeno é observado diretamente. Tais 
modelos são chamados modelos probabilísticos. 
 
 
 
 
 
Adriana Speggiorin e André Espindola Probabilidade e Estatística 52 
 
FUNDAMENTOS 
 
Se medirmos a resistência à compressão de um corpo de prova de concreto, estaremos 
conduzindo um experimento. Entretanto, em repetições diárias de medidas, os resultados poderão 
diferir levemente, devido a pequenas variações que não estejam controladas em nosso 
experimento, incluindo variações climáticas (temperatura e umidade), leves variações dos 
instrumentos de medição, pequenas variações na composição química dos componentes do 
concreto. Consequentemente, diz-se que esse experimento tem um componente aleatório. Em 
alguns casos, as variações aleatórias são tão pequenas que podem ser ignoradas. No entanto, a 
variação está quase sempre presente e sua magnitude pode ser tanta que as conclusões 
importantes do nosso experimento podem não ser óbvias. 
 
 
Experimento 
 Um experimento é qualquer processo que permite ao pesquisador fazer observações. 
 
Experimento aleatório 
 É o experimento que pode fornecer diferentes resultados muito embora seja repetido toda 
vez da mesma maneira. 
 
Espaço Amostral 
 Espaço amostral, S, é qualquer conjunto, de todos os resultados possíveis do experimento 
em questão. 
 
Evento 
 Um evento é uma coleção de resultados de um experimento. É, portanto, um subconjunto do 
espaço amostral. 
 
 
Exemplo 6.1 No experimento aleatório de lançar uma moeda, com lados 0 e 1, há dois possíveis 
pontos amostrais: 0 e 1. Então, o espaço amostral para esse experimento é S={0, 1}. 
 
 
Exemplo 6.2 Seja um experimento para testar um artigo produzido por uma fábrica. Da linha de 
produção é retirado um artigo e classificado como bom (B) ou defeituoso (D). O espaço amostral do 
experimento é 
S={B, D} 
 
Exemplo 6.3 A partir do exemplo 6.2, considere o experimento que consiste em retirar três artigos 
da linha de produção. O espaço amostral do experimento é 
 
S={(B,B,B) , (B,B,D) , (B,D,B) , (B,D,D) , (D,B,B) , (D,B,D) , (D,D,B) , (D,D,D)} 
 
Exemplo 6.4 Numa linha de produção conta-se o número de peças defeituosas num intervalo de 
uma hora. 
S={0, 1, 2, 3, ..., k }, onde k=nº de peças produzidas em uma hora 
 
Exemplo 6.5 Considere o experimento que consiste em retirar uma lâmpada de um lote e medir 
seu “tempo de vida” antes de queimar. Um espaço amostral conveniente é 
 
}0:{  ttS 
 
isto é, o conjunto de todos os números reais não negativos. Se A indicar o evento “o tempo de vida 
da lâmpada é inferior a 20 horas”, então 
}200:{  tIRtA
. Esse é um exemplo de um espaço 
amostral contínuo, contrastando com os anteriores, que são discretos. 
 
 
 
Adriana Speggiorin e André Espindola Probabilidade e Estatística 53 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6.6 
 Queremos estudar as frequências de ocorrência das faces de um dado. Um procedimento 
seria lançar o dado certo número de vezes, n, e depois contar o número s de vezes em que ocorre 
a face em questão. As proporções 
n
s
 determinam a distribuição de frequências do experimento 
realizado. Lançando o dado um número diferente de vezes da anterior, teríamos outra distribuição 
de frequências, mas com um padrão que esperamos ser muito próximo do anterior. 
 
Mas o modelo teórico (ou probabilístico) para o experimento é dado na tabela a seguir: 
 
Face 
 
1 2 3 4 5 6 Total 
Frequência teórica 
 
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
)(
)(
)(
Sn
An
AP  
 
 
 
 
 
Notação para Probabilidades 
P denota uma probabilidade. A, B, C denotam eventos específicos. P(A) denota a 
probabilidade de ocorrência do evento A. 
Lei dos Grandes Números 
Se repetirmos um experimento um grande número de vezes, a probabilidade pela 
frequência relativa de um eventotende para a probabilidade teórica. 
Definição Clássica de Probabilidade 
Intuitivamente, probabilidade de um evento, é uma medida de ele ocorrer. 
Suponha que um experimento tenha n eventos simples diferentes, cada um dos 
quais com a mesma chance de ocorrer. Se o evento A pode ocorrer em s dentre as n 
maneiras, então 
 
NÚMERO DE ELEMENTOS DO EVENTO A 
NÚMERO DE ELEMENTOS DO ESPAÇO AMOSTRAL 
Adriana Speggiorin e André Espindola Probabilidade e Estatística 54 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eventos Complementares 
Em uma dada observação ou experimento, um evento deve ocorrer ou não ocorrer. Esses 
eventos são chamados eventos complementares. Por isso, a probabilidade da ocorrência mais a 
probabilidade da não ocorrência será sempre igual a 1. 
 
 Se A é um evento então denotamos seu complementar por A’. 
 Segue, então 
P(A’) = 1 – P(A) 
 
 
Exemplo 6.7: Numa urna têm-se três bolas amarelas, cinco bolas vermelhas e duas bolas azuis. 
Ao retirarmos, aleatoriamente, uma bola, a probabilidade dela ser azul é 
 
 
 
 
logo, a probabilidade dela ser amarela ou vermelha é 
 
 
 
 
 
Eventos Mutuamente Excludentes 
Dois ou mais eventos são mutuamente excludentes, ou disjuntos, se os mesmos não podem 
ocorrer simultaneamente. Isto é, a ocorrência de um evento automaticamente impede a ocorrência 
do outro evento (ou eventos). 
 
 
Exemplo 6.8: Em um estudo do comportamento do consumidor, um analista classifica as pessoas 
que entram em uma loja de equipamentos de som de acordo com o sexo (‘masculino’ ou ‘feminino’) 
e de acordo com a idade (‘menos de 30’ ou ‘30 ou mais’). Os dois eventos, ou classificações, 
‘masculino’ e ‘feminino’ são mutuamente excludentes, uma vez que qualquer pessoa dada deveria 
ser classificada em uma categoria ou em outra. Da mesma forma, os eventos ‘menos de 30’ e ’30 
ou mais’ são também mutuamente excludentes. Contudo, os eventos ‘masculino’ e ‘menos de 30’ 
não são mutuamente excludentes, porque uma pessoa aleatoriamente escolhida poderia ter ambas 
as características. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A expressão da Probabilidade 
Sendo P(A) a probabilidade de um evento ocorrer, tem-se que o menor valor que 
um enunciado de probabilidade pode ter é 0 (indicando que o evento é impossível) e o 
maior é 1 (indicando que o evento certamente irá ocorrer – evento certo). Então 
 
Adriana Speggiorin e André Espindola Probabilidade e Estatística 55 
 
REGRAS DA ADIÇÃO 
 
As regras da adição são utilizadas quando desejamos determinar a probabilidade P(A ou B) 
de ocorrer o evento A ou o evento B (ou ambos) como resultado de um experimento. A palavra-
chave aqui é a conjunção ou. Na linguagem da teoria dos conjuntos, isto é conhecido como união 
de A e B e a probabilidade é designada por 
)( BAP 
. 
 
O diagrama de Venn ilustra visualmente a regra da adição: 
 
 
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUDENTES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EVENTOS NÃO MUTUAMENTE EXCLUDENTES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6.9: Ao retirar uma carta de um baralho, os eventos “ás” e “rei” são mutuamente 
excludentes. A probabilidade de tirar um ás ou um rei numa única tentativa é: 
 
 
 Podemos representar a probabilidade da ocorrência conjunta por 
)( BeAP
. Em linguagem 
de teoria dos conjuntos isto é chamado de intersecção de A e B, e a probabilidade é indicada por 
)( BAP 
. 
 Então, a regra da adição para eventos é : 
 
)()()()( BeAPBPAPBouAP  
 
 
Exemplo 6.10: Ao retirar uma carta de um baralho, os eventos “ás” e “espadas” não são 
mutuamente excludentes. A probabilidade de retirar um ás ou espada (ou ambos) em uma só 
tentativa é 
 
13
4
52
16
52
1
52
13
52
4
)()()()(  EeAPEPAPEouAP
 
 
 
A B 
E INTERSECÇÃO DOS 
EVENTOS A E B. 
Adriana Speggiorin e André Espindola Probabilidade e Estatística 56 
 
Exemplo 6.11: Ao retirar uma carta de um baralho, os eventos “ás” e “rei” são mutuamente 
excludentes. A probabilidade de retirar um ás ou um rei numa única tentativa é: 
 
 
13
2
52
8
52
0
52
4
52
4
E)eAP(P(E)P(A)E)ouP(A 
 
 
 
 
Exemplo 6.12: Uma pesquisa relativa à leitura de determinados jornais regionais (A e B) apontou 
os seguintes resultados: 
 - cada pessoa entrevistada havia lido pelo menos um dos jornais; 
 - 22 pessoas leram o jornal A; 
 - 18 pessoas leram o jornal B; 
 - 10 pessoas, os jornais A e B. 
 Qual a probabilidade de, ao sortearmos um entrevistado, ele ter lido o jornal A? E somente o 
jornal B? E ambos os jornais? Não ter lido qualquer jornal? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6.13: a) Se um dos 2072 indivíduos da tabela a seguir é escolhido aleatoriamente, 
determine a probabilidade de se obter alguém que fez uso de um placebo ou estava no grupo de 
controle. 
 
Teste de Seldane 
 Seldane Placebo Grupo de 
controle 
Total 
Dor de cabeça 
Não-dor de 
cabeça 
49 
732 
49 
616 
24 
602 
122 
1950 
Total 781 665 626 2072 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b) Escolhido aleatoriamente um dos 2072 indivíduos da tabela acima, determine a 
probabilidade de obter alguém que tenha usado Seldane ou que não teve dor de cabeça. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Adriana Speggiorin e André Espindola Probabilidade e Estatística 57 
 
REGRAS DA MULTIPLICAÇÃO 
 
As regras de multiplicação se relacionam com a determinação da probabilidade da 
ocorrência conjunta de A e B. Temos, então, a intersecção de A e B, sendo a probabilidade 
designada por 
)( BAP 
. Existem duas variações da regra de multiplicação, conforme os eventos 
sejam independentes ou dependentes. 
 
)(.)()()( BPAPBAPBeAP 
 
 
Exemplo 6.14: Uma moeda é lançada duas vezes. A probabilidade de que ambos os resultados 
sejam “cara” é: 
 
4
1
2
1
2
1
)(  xcaraecaraP
 
 
Exemplo 6.15 Na extração de duas cartas de um baralho bem misturado, determine a 
probabilidade de que a primeira carta seja um ás e a segunda seja um rei. (Admita que a primeira 
carta extraída não seja reposta antes da extração da segunda carta.) 
 
00603,0
51
4
52
4
)(  xreieásP
 
 
Exemplo 6.16: Deve-se inspecionar uma grande remessa de caixas de chocolate. Os registros 
indicam que 2% das caixas acusam conteúdo inferior ao estipulado. Escolhidas duas caixas 
aleatoriamente, qual a probabilidade de ambas acusarem conteúdo inferior, admitindo-se que a 
remessa inspecionada é semelhante às anteriores? 
 
0004,0)02,0(.)02,0()( sdeficienteambasP
 
 
 
 
Exemplo 6.17: Teste de Seldane 
 
 Seldane Placebo 
Grupo de 
controle 
Total 
Dor de cabeça 
Não-dor de 
cabeça 
49 
732 
49 
616 
24 
602 
122 
1950 
Total 781 665 626 2072 
 
 Ao sortear-se uma pessoa, qual a probabilidade de ela ter feito uso de placebo e não ter tido 
dor de cabeça? (procura-se a frequência que se encontra na intersecção entre a coluna “placebo” 
e a linha “não dor de cabeça” e divide pelo total) 
 
 
 
 
 
 
 
 
A PROBABILIDADE DE “AO MENOS UM” 
 
* “Ao menos 1” é equivalente a “1 ou mais”. 
 * O complemento de “obter ao menos 1 item de determinado tipo” é “não obter item daquele 
tipo”. 
 
Adriana Speggiorin e André Espindola Probabilidade e Estatística 58 
 
 
Exemplo 6.18: Baseados no exemplo 6.2, qual a probabilidade de, ao retirarmos três peças da 
linha de produção, ao menos uma ter defeito? 
 
A probabilidade de “ao menos uma ter defeito” tem como complemento “as três peças boas” 
 
P(ao menos uma com defeito) = 1 – P(três boas)P(A) = 1 – P(A’) 
 
 Considerando P(Boa) = 
4
3
 
P(A) = 1 – P(B e B e B) 

 P(A) = 1 - 
4
3
4
3
4
3
xx
 

 P(A) = 1 – 
64
27
 

 P(A) = 0,578 
 
 
 
 
 
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
 
 
 Se A e B são eventos e P(B) > 0, então a probabilidade condicional de A dado B, escrita 
como P(A|B), é 
 
 ( | ) 
 ( | )
 ( )
 
 
Observa-se que o que acontece no cálculo de probabilidade condicional é que B se torna o 
espaço amostra. A intuição é que nosso espaço amostral original S, foi atualizado para B. 
 
 
 
Exemplo 6.19: Componentes complexos são montados em uma fábrica que usa duas linhas de 
montagem diferentes: A1 e A2. A linha A1 usa equipamentos mais antigos que A2, de forma que é 
mais lenta e um pouco menos confiável. Suponha que, em determinado dia, a linha A1 tenha 
montado 8 componentes, dos quais 2 foram identificados como defeituosos (D) e, 6 como não 
defeituosos (ND), ao passo que a linha A2 produziu 1 defeituoso e 9 não defeituosos. Essas 
informações estão resumidas na tabela a seguir: 
 
 Condição 
 D ND 
Linha 
A1 2 6 
A2 1 9 
 
 Selecionado 1 componente aleatoriamente, qual a probabilidade de ser da linha A1, dado 
que é defeituoso? 
 
 ( | ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Quais dos valores abaixo não podem ser probabilidades? 
0 0,0001 -0,2 3/2 2/3 
2
 
2,0 
Adriana Speggiorin e André Espindola Probabilidade e Estatística 59 
 
 
 2) Dado um experimento aleatório, deixar cair o dado e verificar o número da face voltada 
para cima. 
a) Qual é a probabilidade de ocorrer um número par na face superior? 
b) Qual é a probabilidade de ocorrer um número menor ou igual a 6 na face superior ? 
c) Qual é a probabilidade de ocorrer um número 4 na face superior? 
d) Qual é a probabilidade de ocorrer um múltiplo de 3? 
e) Qual é a probabilidade de ocorrer um número maior ou igual a 2? 
f) Qual é a probabilidade de ocorrer um número maior que 6 na face superior? 
 
3) Um baralho contém 4 “valetes” e 48 outras cartas. A probabilidade de se obter um 
valete em uma única retirada, ao acaso, de uma carta é 
 
 4) Antes de incluir a cobertura para certos tipos de problemas dentais em apólices de 
seguro-saúde para empregados adultos, uma companhia de seguros deseja determinar a 
probabilidade de ocorrer tais problemas, para estabelecer a taxa de seguro. Portanto, o estatístico 
coletou dados para 10000 adultos na faixa de idade adequada e observou que 100 pessoas tiveram 
o problema dental particular no ano passado. Qual a probabilidade de ocorrência dessa doença? 
 
 5) Determine a probabilidade de obter o total 4 no arremesso de um par de dados. 
 
 6) Um estudo de hábitos de fumantes compreende 200 casados (54 dos quais fumam), 100 
divorciados (38 dos quais fumam) e 50 adultos que nunca se casaram (11 dos quais fumam). 
Escolhido aleatoriamente 1 indivíduo dessa amostra, determine a probabilidade de obter alguém 
divorciado ou fumante. 
 
7) Joga-se um par de dados equilibrados: 
a) Qual a probabilidade de ambas as faces serem seis? 
b) Qual a probabilidade de ambas as faces serem dois? 
c) Qual a probabilidade de ambas as faces serem números pares? 
 
8) Na jogada de um par de dados, qual é a probabilidade de ambas as faces terem o 
mesmo valor? 
 
9) Faça o exercício 8 no caso da jogada de três dados. 
 
10) As falhas de diferentes máquinas são independentes umas das outras. Se há quatro 
máquinas e, se suas respectivas probabilidades de falha são 1%, 2%, 5% e 10% em determinado 
dia, calcule as probabilidades: 
a) de todas falharem em determinado dia. 
b) de nenhuma falhar. 
c) ao menos uma falhar. 
 
 11) Numa escola de ensino fundamental, 30% dos estudantes são do primeiro ciclo, 35% do 
segundo, 20% do terceiro e os restantes, do quarto ciclo. Um dos estudantes ganhou uma bolsa de 
estudos. Determine as seguintes probabilidades: 
a) de o estudante ser do quarto ciclo. 
b) de ser do primeiro ou do segundo ciclo. 
c) de não ser do quarto ciclo. 
 
 12) As probabilidades de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ou 7 acidentes num dia de semana entre 13 e 18 
horas são, respectivamente, 0,08, 0,15, 0,20, 0,25, 0,18, 0,07, 0,04 e 0,01. Determine as 
seguintes probabilidades para um dia qualquer da semana naquele horário: 
a) menos de 3 acidentes. 
b) 3 ou menos acidentes. 
c) exatamente 3 acidentes. 
d) nenhum acidente. 
e) mais de 7 acidentes. 
Adriana Speggiorin e André Espindola Probabilidade e Estatística 60 
 
 13) Uma fábrica de louças tem um processo de inspeção com quatro etapas. A 
probabilidade de uma peça defeituosa passar numa etapa de inspeção sem ser detectada é de 
aproximadamente 20%. Com base nesta cifra, determine a probabilidade de uma peça defeituosa 
passar por todas as quatro etapas de inspeção sem ser detectada. Qual seria a probabilidade, se 
se acrescentasse uma quinta etapa de inspeção, com 50% de probabilidade de detectar peças 
defeituosas? 
 
 14) Os dados da tabela a seguir resumem resultados de um estudo de 1000 mortes, 
selecionadas aleatoriamente, de homens com idade de 45 a 64 anos. 
 
Causa da morte 
 Câncer Doença Cardíaca Outros 
Fumante 
Não fumante 
135 
55 
310 
155 
205 
140 
 
 
a) Se, dos 1000 indivíduos, 1 é selecionado aleatoriamente, determine a probabilidade de se obter 
um fumante. 
b) Se, dos 1000 indivíduos, 1 é selecionado aleatoriamente, determine a probabilidade de se obter 
um fumante ou alguém que tenha morrido em consequência de doença cardíaca. 
c) Escolhidos aleatoriamente dois indivíduos, determine a probabilidade de ambos terem morrido de 
câncer. 
d) Escolhidos aleatoriamente um indivíduo, determine a probabilidade de obter um não fumante que 
tenha morrido de câncer. 
e) Escolhidos aleatoriamente três indivíduos diferentes, determine a probabilidade de serem todos 
fumantes. 
f) Escolhido aleatoriamente um indivíduo, determine a probabilidade de se tratar de um fumante, 
dado que morreu de câncer. (probabilidade condicional) 
g) Escolhido aleatoriamente um indivíduo, determine a probabilidade de obter alguém que tenha 
morrido de câncer, dado que se tratava de um fumante. (probabilidade condicional) 
 
 
 15) Um vendedor de automóveis deseja impressionar os possíveis compradores com o 
número de combinações diferentes possíveis. Um modelo pode ser dotado de três tipos de motor, 
dois tipos de transmissão, cinco cores externas e duas internas. Quantas são as escolhas 
possíveis? 
 
 16) Um cardápio oferece cinco tipos de carne ou peixe, três de salada, dois de batatas e 
quatro de vegetais. Quantos “pratos” são possíveis de serem formados, com um tipo de cada um? 
 
 
 17) De quantas maneiras podemos formar um comitê de três pessoas dentre cinco? 
 
 
18) Suponha que 2% dos rolos de tecido de algodão e 3% dos rolos de tecido de náilon 
contenham falhas. Dos rolos utilizados por uma confecção, 70% são de algodão e 30% são de 
náilon. Qual a probabilidade de um rolo selecionado aleatoriamente, usado pela confecção, 
contenha falhas? 
 
 
 
 
 
 
 
Adriana Speggiorin e André Espindola Probabilidade e Estatística 61 
 19) Discos de plástico de policarbonato, provenientes de dois fornecedores, são analisados 
quanto à resistência a arranhões. Os resultados estão resumidos a seguir: 
Resistência a arranhões Fornecedor 1 Fornecedor 2 
Alta 38 43 
Baixa 12 7 
 
 Qual a probabilidade de um disco selecionado aleatoriamente: 
a) ter alta resistência a arranhões? 
b) ser do fornecedor 2? 
c) ter baixa resistência e ser do fornecedor 1? 
d) ter alta resistência,dado que é proveniente do fornecedor 2? (probabilidade condicional) 
 
 
 
RESPOSTAS 
 
2) a) 0,5 b) 1 c) 0,167 d) 0,333 e) 0,833 f) 0 
3) 0,077 4) 0,01 5) 0,083 6) 0,471 7) a) 0,028 7) b) 0,028 
7) c) 0,25 8) 0,167 9) 0,0278 10) a) 0,000001 b) 0,829 c) 0,171 
11) a) 0,15 b) 0,65 c) 0,85 
12) a) 0,43 b) 0,68 c) 0,25 d) 0,08 e) 0,02 
13) a) 0,0016 b) 0,0008 
14) a) 0,65 b) 0,805 c) 0,036 d) 0,055 e) 0,274 f) 0,711 g) 0,208 
15) 60 16) 120 17) 10 
18) 2,3% 
19) a) 0,81 b) 0,5 c) 0,12 d) 0,86