[TRABALHO] Cálculo e Dimensionamento de Lajes

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Faculdade Anhanguera de Santa Bárbara D’Oeste 
 
 
 
 
 
 
Métodos de cálculo para o dimensionamento de lajes maciças de concreto armado 
 
Estrutura do Concreto 
 
Professor Rodolfo Torquato 
 
 
 
 
 
 
 
Leonnyo Wender Lopes RA: 6814004206 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Santa Bárbara D’Oeste 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
1- Generalidades ............................................................................................................................ 3 
2- Classificação das lajes quanto à relação entre os lados ............................................................. 3 
3- Vinculação ................................................................................................................................. 4 
4- Vãos efetivos de lajes ................................................................................................................ 7 
5- Cargas nas lajes ......................................................................................................................... 7 
6- Determinação da espessura das lajes ......................................................................................... 9 
7 - Conclusão ............................................................................................................................... 15 
 
 
 
 
 
 - Introdução 
 
1- Generalidades 
 
As lajes são elementos estruturais laminares planos, solicitados predominantemente 
por cargas normais ao seu plano médio. Elas constituem os pisos dos edifícios correntes de 
concreto armado. Nas estruturas laminares planas, predominam duas dimensões, 
comprimento e largura, sobre a terceira que é a espessura. De mesma forma, que as vigas 
são representadas pelos seus eixos, as lajes são representadas pelo seu plano médio. As 
lajes são diferenciadas pela sua forma, vinculação e relação entre os lados. Geralmente, nas 
estruturas correntes, as lajes são retangulares, mas podem ter forma trapezoidal ou em L. 
 
 
2- Classificação das lajes quanto à relação entre os lados 
 
As lajes retangulares são classificadas como: 
 
• lajes armadas em uma só direção: são aquelas em que a relação entre o maior e o 
menor vão é maior que 2. 
 
• lajes armadas em duas direções ou armadas em cruz: em caso contrário. 
 
 laje armada em uma só direção laje armada em duas direções 
 b/a > 2 1 < b/a < 2 
 
 
 onde, a é o vão menor e b é o vão maior 
Em função da vinculação das bordas da laje, a classificação acima apresenta 
exceções. Se a laje for suportada continuamente somente ao longo de duas bordas paralelas 
(as outras duas forem livres) ou quando tiver três bordas livres (laje em balanço), ela será 
também armada em uma só direção, independentemente da relação entre os lados. 
 
 
 
b b 
 
engaste 
livre 
livre 
livre 
livre livre 
livre 
livre 
 
 
 
 
 
3- Vinculação 
 
As bordas das lajes podem apresentar os seguintes tipos de vinculação: 
 
• apoiada: quando a borda da laje é continuamente suportada por vigas, paredes de 
alvenaria de tijolos cerâmicos, de blocos de concreto ou de pedras. 
 livre: quando a borda da laje não tiver nenhuma vinculação ao longo daquele lado. 
 
• engastada: quando a borda da laje tem continuidade além do apoio correspondente 
daquele lado (laje adjacente). 
 
 
Exemplo: 
 
B 
CORTE A-A: 
CORTE B-B: 
 B 
Observações sobre a continuidade das bordas das lajes: 
 
Uma laje não deve ser considerada engastada em outra que tenha uma espessura 
mais do que 2 cm inferior. 
 
 
A A 
engaste 
livre 
 
 
 
 
 
 
Toda a laje que tiver um lado adjacente a uma laje rebaixada tem este lado apoiado; 
toda a laje rebaixada deve ser considerada apoiada (salvo se tiver outros três lados livres). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando em um lado da laje ocorrerem duas situações de vínculo (apoiado e 
engastado), a favor da segurança considera-se todo o lado apoiado; se o engaste for 
superior a 85% do comprimento do lado, pode-se considerar como engastado. 
Exemplo: 
 
 
> 2 cm 
apoio 
engaste 
< 2 cm 
engaste 
engaste 
 
apoio 
apoio apoio 
apoio 
 
engaste 
apoio 
exceção: laje em balanço 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: 
 
Normalmente, quando se inicia o cálculo das lajes, não são conhecidas as 
espessuras; deve-se, então, considerar inicialmente engastados todos os lados que são 
adjacentes a outras lajes não rebaixadas. Somente após a primeira hipótese de vinculação é 
que será possível determinar as espessuras das lajes e refazer a vinculação, quando a 
espessura for maior que 2 cm. 
 
 
 
4- Vãos efetivos de lajes 
 
Conforme o item 14.7.2.2 da NBR6118:2014, quando os apoios puderem ser 
considerados suficientemente rígidos quanto à translação vertical, o vão efetivo deve ser 
calculado pela seguinte expressão: 
 
lef = l0 + a1 + a2 
 
com a1 igual ao menor valor entre (t1/2 e 0,3h) e a2 igual ao menor valor entre (t2/2 e 0,3h), 
conforme a figura abaixo. 
 
 
 
Nas lajes em balanço, o vão efetivo é o comprimento da extremidade até o centro 
do apoio, não sendo necessário considerar valores superiores ao comprimento livre 
acrescido de trinta por cento da espessura da laje junto ao apoio. 
 
 
 
5- Cargas nas lajes 
 
Em lajes o carregamento, em geral, é considerado como uniformemente distribuído: 
p (kN/m
2
), onde: p = g + q 
 
h 
t 
mín(t/2 ; 0,3h) 
 
 
 
onde: g – é a parcela permanente das cargas que atuam sobre a laje (peso próprio, 
revestimento, reboco, etc.); q – é a parcela variável das cargas que atuam sobre a laje (peso 
das pessoas, móveis, equipamentos, etc.). 
 
Os valores das cargas a serem considerados no cálculo de estruturas de edificações 
são indicados na NBR6120:1980. 
 
Para edifícios residenciais, os valores mais usuais de cargas são: 
 
- peso específico do concreto armado = 25 kN/m3 
- peso específico do concreto simples = 24 kN/m3 
- enchimento de lajes rebaixadas = 14 kN/m3 
- reboco (1cm) = 0,2 kN/m2 
- revestimento de tacos ou tabuões de madeira = 0,7 kN/m2 
- revestimento de material cerâmico = 0,85 kN/m2 
- forro falso = 0,5 kN/m2 
- carga variável em salas, dormitórios, cozinhas, banheiros = 1,5 kN/m2 - carga variável em 
despensa, lavanderia, área de serviço = 2,0 kN/m
2
 - carga variável em corredores, escadas 
em edifícios: 
não residenciais = 3,0 kN/m
2
 
residenciais = 2,5 kN/m
2
 
- sacada: mesma carga da peça com a qual se comunica. 
- carga variável linear nas bordas livres das lajes de 2 kN/m (vertical) e 0,8 kN/m na altura 
do corrimão (horizontal) 
 
Exemplos: 
 
* laje de 10cm de espessura de uma sala de estar: peso próprio - 0,10 x 25 = 2,5 kN/m
2
 
 revestimento (tacos) = 0,7 kN/m
2
 
 reboco = 0,2 kN/m
2
 
 q (carga variável) 
 
 
= 1,5 kN/m
2
 4,9 
kN/m
2
 
* laje de uma área de serviço, rebaixada de 20cm, 
com 15 cm de enchimento; espessura de 8 cm: 
peso próprio - 0,08 x 25 
enchimento - 0,15 x 14 
revestimento (cerâmico) 
= 2,0 kN/m
2
 
= 2,1 kN/m
2
 
= 0,85kN/m
2
 
 reboco = 0,2 kN/m
2
 
 q (carga variável) = 2,0 kN/m
2
 
 7,15kN/m
2 
 
 
Além da cargasuperficial, é comum ocorrer cargas lineares, correspondentes a 
paredes de alvenaria executadas sobre a laje. 
 
 
 
 
A carga linear é obtida a partir do peso específico da alvenaria (13 kN/m
3
- tijolos 
furados; 18kN/m
3 
- tijolos maciços), da espessura da parede e de sua altura. 
 
Exemplo: p = 0,15 x 2,60 x 13 = 5,1 kN/m 
 
6- Determinação da espessura das lajes 
 
Conforme o item 13.2.4.1 (NBR 6118:2014), nas lajes maciças de concreto armado 
devem ser respeitados os seguintes limites mínimos para a espessura: 
 
a) 7 cm para lajes de cobertura não em balanço; 
b) 8 cm para lajes de piso não em balanço; 
c) 10 cm para lajes em balanço; 
d) 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN; 
d) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN. 
 
No dimensionamento das lajes em balanço, os esforços solicitantes de cálculo a 
serem considerados devem ser multiplicados por um coeficiente adicional γn, de acordo 
com o indicado na tabela abaixo. 
 
Tabela - Valores do coeficiente adicional γn para lajes em balanço 
h 
cm > 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 
n 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 
Onde: 
n = 1,95 – 0,05 h; h é a 
altura da laje em cm. 
NOTA: O coeficiente n deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo nas lajes em balanço, quando do seu dimensionamento. 
 
As lajes devem ter uma espessura tal que atendam a verificação do estado limite de 
serviço de deformações excessivas. Desta forma, sugere-se o seguinte procedimento para 
determinar a espessura de uma laje, que esteja submetida exclusivamente a cargas 
uniformemente distribuídas: 
 
(a) arbitrar a espessura da laje como sendo o valor mínimo; 
(b) fazer a composição de cargas para a laje, determinando os valores da carga permanente 
e variável; 
(c) determinar o valor da carga de serviço, correspondente à combinação quase 
permanente de serviço: 
pd,ser = 𝞢 gi,k + 𝞢 2j qj,k 
 
(d) como a armadura a ser colocada na laje não é conhecida ainda, não é possível 
determinar a sua rigidez. O momento de inércia da seção, Ieq, pode ser estimado da 
seguinte forma: 
se ma ≤ mr 
 
→ Ieq = Ic 
 
 
 
 
se ma > mr 
 
→ Ieq = 0,30 Ic 
Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto; ma é o momento fletor na seção 
crítica, momento máximo no vão para lajes biapoiadas ou contínuas e momento no 
apoio para lajes em balanço, para a combinação quase permanente de serviço; mr é o 
momento de fissuração da laje, calculado por: 
 mr = 0,25 fctm b h
2
 
 
onde o valor de fctm é obtido das seguintes expressões: 
 
- para concretos de classes até C50: 
fctm = 0,3 fck2/3 
 
- para concretos de classes de C55 até C90: 
fctm = 2,12 ln (1+0,11 fck) 
 
onde fctm e fck são expressos em MPa. 
 
A flecha imediata deve ser calculada utilizando o módulo de elasticidade secante do 
concreto: 
 
Ecs = i . Eci 
 
sendo: 
f ck 1,0 
i 0,8 0,2 
80 
e onde, Eci é o módulo de deformação tangente inicial, que pode ser calculado pelas 
expressões: 
 
Eci = E . 5600 fck
1/2
, para fck de 20 MPa a 50 MPa 
 
Eci = 21,5.10
3
 . E (fck/10 + 1,25)
1/3
, para fck de 55 MPa a 90 MPa 
 
sendo: 
E = 1,2 para basalto e diabásio 
E = 1,0 para granito e gnaisse 
E = 0,9 para calcário 
E = 0,7 para arenito 
 
onde, Eci e fck são dados em MPa. 
 
 
 
 
A expressão para cálculo da flecha imediata é a seguinte: 
pd,ser 4 
 f(t 0) 
Ecs Ieq 
onde: 
 – é um coeficiente que depende da vinculação e da relação entre os vãos da laje 
(tabelas seguintes); 
 - é o vão menor da laje. 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela – Valores de para lajes armadas em uma direção 
 
 
 
 
1,30 
 
 
 
0,53 
 
 
 
0,26 
 
 
 
12,5 
 
Tabela – Valores de para lajes armadas em duas direções 
 
a/b 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 
 
 
 
b 
0,99 0,85 0,71 0,59 0,48 0,40 
b 
0,25 0,23 0,21 0,18 0,15 0,13 
b 
0,46 0,41 0,36 0,30 0,25 0,21 
b 
0,83 0,63 0,48 0,35 0,26 0,19 
b 
0,25 0,25 0,24 0,23 0,21 0,19 
b 
0,91 0,73 0,58 0,46 0,35 0,28 
b 
0,48 0,44 0,41 0,36 0,31 0,28 
b 
0,24 0,24 0,23 0,20 0,18 0,16 
b 
0,44 0,38 0,32 0,25 0,20 0,16 
 
(e) calcular a flecha de longa duração, levando em conta as deformações por fluência do 
concreto: 
 
a 
 
a 
 
a 
 
a 
 
a 
 
a 
 
a 
 
a 
 
a 
 
 
 
 f(t= ) = (1+ f) f(t=0) 
 
Considerando, que as lajes não têm armadura de compressão e, a favor da segurança, 
tomando-se t= e t0=1 mês, tem-se: 
 
f (t ) (t0 1mês) 2-0,68 1,32 
 
(f) comparar o valor da flecha de longa duração com o valor da flecha admissível; se a 
flecha de longa duração for superior à flecha admissível, deve-se incrementar a 
espessura da laje em 1 cm e voltar ao passo (b); em caso contrário, adota-se a espessura 
corrente para a laje. 
 
 
Exemplo de determinação de espessura de uma laje: 
 
A laje, da figura abaixo, corresponde a um dormitório e apresenta revestimento de 
tacos de madeira na face superior e reboco de 1cm de espessura na face inferior. A laje 
será executada para um concreto C20 e o agregado graúdo será de granito. 
 
 
 
- arbitra-se, inicialmente, que a espessura h=8 cm (valor mínimo); 
 
- calcula-se a carga permanente, que atua na laje: peso próprio - 0,08 x 25 = 2,0 
kN/m
2
 revestimento (tacos) = 0,7 kN/m
2
 reboco = 0,2 kN/m
2
 
 g = 2,9 kN/m
2 
 
 
- a carga variável a ser considerada é de 1,5 kN/m2; 
 
- a carga de serviço, correspondente a combinação quase permanente é de: pd,ser = 
gi,k + 2j qj,k = 2,9 + 0,3 x 1,5 = 3,35 kN/m
2 
 
 
- o módulo de elasticidade secante do concreto é de: 
 f ck 0,8 0,2 20 0,85 1,0 
 i 0,8 0,2 
 80 80 
 
a=4m 
b=5m 
 
 
 
 
Ecs = i . E 5600 fck
1/2
 = 0,85 x 1 x 5600 (20)
1/2
 = 21287 MPa 
- o valor médio da resistência à tração do concreto: 
fctm = 0,3 fck
2/3
 = 0,3 (20)
2/3
 = 2,21 MPa 
- o momento de fissuração: mr = 0,25 fctm b h
2
 = 0,25 x 0,221 x 100 x 8
2
 = 354 
kN.cm/m = 3,54 kN.m/m 
- o momento de serviço: ma = 0,039 pd,ser 
2
 = 0,039 x 3,35 x 4
2
 = 2,09 kN.m/m 
como ma<mr, a seção não está fissurada e deve-se considerar Ieq = Ic. 
- o valor correspondente ao momento de inércia da seção bruta de concreto: 
Ieq = Ic = b h
3
/12 = 100 x 8
3
/12 = 4267 cm
4
 
 
- a flecha de curta duração é dada por (para a/b=0,8, =0,30): 
f(t 0) pd,ser 4 0,30 0,000335x4004 0,283cm 
 Ecs Ieq 2128,7x4267 
 
- a flecha de longa duração é dada por: 
f(t= ) = (1+ f) f(t=0) = 2,32 x 0,283 = 0,657cm 
 
- a flecha admissível, para a situação de aceitabilidade visual (deslocamentos visíveis 
em elementos estruturais), é: 
fadm = /250 = 400/250 = 1,60 cm 
 
Como a flecha provável é inferior à flecha admissível, pode-se adotar para a laje a 
espessura de 8 cm.7 – Conclusão 
 
O trabalho realizado foi de grande importância para uma visão holística das fases 
envolvidas no projeto de uma laje maciça, seus cálculos e dimensionamentos. 
Entendendo os procedimentos a serem tomados para executar o mesmo.