Lista 8 gabarito

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8ª Lista
Dada a matriz A = 
, determine um autovalor e uma base para o auto-espaço associado a este autovalor.
Solução. Essa é uma matriz triangular superior, logo o autovalor é 
 = 2 e 
S = {(x, 0)/ x 
} = [(1, 0)]. 
= 2 é um autovalor e o autovetor correspondente a este autovalor é v = (1, 0). 
Determine os autovalores e bases para os auto-espaços correspondentes das matrizes abaixo e determine as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor encontrado:
A = 
 
Solução. Temos que o polinômio característico de A é dado por 
p(x) = ( x – 4) ( x – 3). Logo, as raízes do polinômio característico são 4 e 3, ou seja, os autovalores de A são 4 e 3.
* Se o autovalor 
 = 4, temos S = {(x, x) / x
}. Uma base do autoespaço é {(1, 1)}, logo, (1, 1) é um autovetor associado ao autovalor 
 = 4.
* Se o autovalor 
 = 3, temos S = {
 / y
}. Uma base do autoespaço é {(3, 2)}, logo, (3, 2) é um autovetor associado ao autovalor 
 = 4. Os autovalores de A são 4 e 3. Para o autovalor 4 a base do autoespaço é {(1, 1)}, para o autovalor 3 a base do autoespaço é {(3, 2)}. 
 
 A = 
Solução.
Temos que o polinômio característico de A é dado por 
p(x) = ( x -1) ( x + 2) ( x – 3). Logo, as raízes do polinômio característico são 1, -2 e 3, ou seja os autovalores de A são 1, -2 e 3.
Se 
 = 1, temos 
. 
 = 
S = {(x, y, z) / y = z = 0} = {(x, 0, 0)/ x)/ x 
�� EMBED Equation.3 } = [(1, 0, 0)]
Se 
 =- 2 temos 
. 
 = 
S = {(x, y, z) / y = -3x e z = 0} = {(x, -3x, 0)/ x 
�� EMBED Equation.3 } = [(1, -3, 0)]
Se 
 = 3, temos 
. 
 = 
S = {(x, y, z) / y = 2x e z = 10x} = {(x, 2x, 10x)/ x 
�� EMBED Equation.3 } = [(1, 2, 10)]
Os autovalores são 1, -2 e 3. Para o autovalor 1 a base do autoespaço é {(1, 0, 0)}, para o autovalor -2 a base do autoespaço é {(1, -3, 0)} e para o autovalor 3 a base do autoespaço é {(1, 2, 10)}. 
Mostre que A e At têm os mesmos autovalores. 
Solução. Seja A matriz quadrada. Seja 
 autovalor de A. Logo sabemos, pela definição, que existe um autovetor v tal que: A . v = 
 v. 
Logo, ( A - 
I ) v = 0. Mas ( A - 
I ) é também uma matriz quadrada e, pela operação de transposição: ( A - 
I)t = ( At - 
It ) = (At - 
I ). Como uma matriz e sua transposta têm o mesmo determinante, 
|A -
I| = |( A - 
I)t | = | At - 
It | = | At - 
I | = 0
Determine os autovalores e bases para os auto-espaços correspondentes das matrizes abaixo e determine as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor encontrado:
A = 
 
Solução. Temos que o polinômio característico de A é dado por:
p(x) = det(x I3 – A) = 
 = ( x – 1)x2 
Logo os autovalores de A são 1 e 0.
Se 
 = 0, temos 
. 
 = 
S = {(-2y, y, -y) / y 
�� EMBED Equation.3 } = [(-2, 1, -1)] e uma de suas bases é {(-2, 1, -1)}.
Se 
 = 1, temos
. 
 = 
S = {(x, y, z) / y = 0 e x = z} = {(x, 0, x) / x 
�� EMBED Equation.3 } = [(1, 0, 1)] e uma de suas bases é {(1, 0, 1)}.
 A = 
 
Temos que o polinômio característico de A é dado por p(x) = ( x – 3)3
Logo, a raiz do polinômio característico é 3, ou seja o autovalor de A é 3.
Se 
 = 3, temos 
. 
 = 
S = {(x, y, z) / x = -z} = {(-z, y, z) / y, z 
�� EMBED Equation.3 } = [(0, 1, 0), (-1, 0, 1)] e uma de suas bases é o conjunto {(-1, 0, 1) , (0, 1, 0)}.
 
Mostre, em cada caso, que as matrizes abaixo são diagonalizáveis e determine uma matriz diagonal D e uma matriz P tal que D = P-1. A . P .
a) A = 
 b) A = 
Solução. 
a)
 
p(x) = (x – 2) ( x – 1)2 . 
Se 
= 1, temos que 
Portanto, v1 = (1, 1, 0) e v2 = (1, 0, 1) são os dois autovetores linearmente independentes associados a 
= 1.
Se 
= 2, temos que 
Portanto v3 = (1, 1, -1) é o autovetor associado a 
= 2. O conjunto de autovetores {v1, v2, v3} é uma base para o 
,ou seja, A é diagonalizável. A matriz diagonal D, semelhante a A, é dada por D = 
 
Enquanto a matriz P tal que D = P-1. A . P é dada por P = 
 
b) A = 
p(x) = (x )(x – 1)( x – 2) 
Agora para que possamos analisar se A é ou não diagonalizável, precisamos verificar se os autovetores associados a estes autovalores são linearmente independentes, ou seja, se os autovetores formam uma base de 
.
Se 
= 0, temos que v1 = (0, 1, -1) é o autovetor associado a 
= 0.
Se 
= 1, temos que v2 = (1, 0, 0) é o autovetor associado a 
= 1.
Se 
= 2, temos que v3 = (0, 1, 1) é o autovetor associado a 
= 2. O conjunto de autovetores {v1, v2, v3} é linearmente independente, ou seja, A é diagonalizável.
A matriz diagonal D, semelhante a A, é dada por D = 
 
Enquanto a matriz P tal que D = P-1. A . P é dada por P = 
Verifique que a matriz A = 
 não é diagonalizável.
Solução. P(x) = x2 – x + 1 , o qual não admite raízes reais. A não é diagonalizável.
Verifique que a matriz A = 
 não é diagonalizável.
Solução. p(x) = (x – 5) ( x – 4)2 
Agora para que possamos analisar se A é ou não diagonalizável, precisamos verificar se os seus autovetores são linearmente independentes, ou seja, se os autovetores formam uma base de 
.
Se 
= 4, temos que v1 = (0, 1, 0) é o único autovetor associado a este autovalor. Não conseguiremos uma base para 
formada por autovetores. 
Mostre que se A e B são semelhantes então det A = det B.
Prova: Temos que duas matrizes A e B são semelhantes se existe uma terceira matriz inversível P tal que B = P-1 . A . P. Se B = P-1 . A . P então det ( B) = det (P-1 . A . P). 
Mas, det(P-1 . A . P) = det( P-1) det( A) . det(P) e det( P-1) = 
. Logo temos que: det ( B) = 
 = det (A). Daí, det(B) = det(A).
Verifique que a matriz A = 
 é diagonalizável. Determine uma matriz diagonal D e uma matriz P, que representa a base dos autovetores, tais que D = P-1. A. P.
O polinômio característico é dado por p(x) = ( x - 3) (x - 6)( x – 9). Portanto, os autovalores da matriz A são 3, 6 e 9. 
Para o autovalor 
=3, v1 = (1, 2, 2) é um autovetor associado.
Para o autovalor 
= 6, v2 = ( 2, 1, -2) é um autovetor associado.
Para o autovalor 
= 9, v3 = ( 2, -1, 1) é um autovetor associado
A matriz diagonal D, semelhante a A é dada por D = 
.
A matriz P tal que D = P-1. A . P é dada por P = 
Em cada caso, verifique se o operador linear T : 
 é diagonalizável, caso seja, determine sua representação diagonal D 
 e a matriz P que representa a base dos autovetores correspondente.
T(x, y, z) = ( z, y, x) 
Seja T(x, y, z) = (z, y, x), logo A = [T] =
. Para determinar a representação diagonal de T , ou seja para determinar D, devemos encontrar os autovalores de [T].
det (x I3 – A) = 
= (x – 1)2(x + 1). Logo, os autovalores de A são: 
. Seja 
, determinamos dois autovetores, v1 = (1, 0, 1) e v2 = ( 0, 1, 0).
Seja 
 determinamos o autovetor, ou seja v3 = (1, 0, -1) 
D=
,P =
 e a base dos autovetores é {(1, 0, 1),(0, 1, 0),(1,0, -1)}.
T(x, y, z) = (2x + y, y – z, 2y + 4z)
Seja T(x, y, z) = (2x + y, y – z, 2y + 4z), logo A = [T] =
. Para determinar a representação diagonal de T, ou seja para determinar D, devemos encontrar os autovalores de [T].
P(x)=( x – 2)2( x – 3). Logo, os autovalores de A são: 
Seja 
, v3 = (1, 1, -2) um autovetor associado.
Seja 
, v1 = (1, 0, 0) um autovetor assocido. Logo, não existe uma base para o 
 formada por autovetores e então T não é diagonalizável.
Seja A = 
e defina T: 
 por T(v) = Av. Mostre que v1= (1,1) é autovetor de T e que o operador linear T não é diagonalizável.
Como T: 
 por T(v) = Av sendo A = 
, temos que para qualquer vetor (x,y) 
, temos que T(x,y) = 
�� EMBED Equation.3 = ( x + y, - x + 3y)
Logo, A = [T] =
. 
Para determinar a representação diagonal de T, ou seja, para determinar D, devemos encontrar os autovalores de [T].
P(x) = 
 . Se 
, temos o autovetorv = (1, 1) e T não é diagonalizável.
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