L9 - autovalores e autovetores

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
Departamento Acadêmico de Matemática - DAMAT
Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear (MA71B)
Profa. Dra. Nara Bobko
Lista de Exerćıcios 9
(Autovetores e Autovalores)
1. Determinar os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares
(a) T : R2 → R2, definida por T (x, y) = (x+ 2y,−x+ 4y)
(b) T : R2 → R2, definida por T (x, y) = (2x+ 2y, x+ 3y)
(c) T : R2 → R2, definida por T (x, y) = (2y, x)
(d) T : R2 → R2, definida por T (x, y) = (x+ y, 2x+ 2y)
(e) T : R3 → R3, definida por T (x, y, z) = (x+ y + z, 2y + z, 2y + 3z)
(f) T : R3 → R3, definida por T (x, y, z) = (x,−2x− y, 2x+ y + 2z)
(g) T : P2 → P2, definida por T (ax2 + bx+ c) = ax2 + cx+ b
(h) T : M2×2 →M2×2, definida por T (A) = A>
2. Suponha que λ seja autovalor de T : V→ V com autovetor v.
a) Mostre que αv, com α um escalar não nulo, também é autovetor associado ao autovalor λ.
b) Mostre que o conjunto formado pelo vetor nulo e por todos os autovetores associados ao
autovalor λ é um subespaço vetorial de V.
3. Ache o polinômio caracteŕıstico, os autovalores e os autovetores de cada uma das matrizes abaixo:
a)
(
1 1
1 1
)
b)
(
1 −1
2 4
)
c)
 0 1 20 0 3
0 0 0

d)
 1 0 0−1 3 0
3 2 −2

e)
 2 −2 30 3 −2
0 −1 2

4. Para cada um dos autovalores das matrizes do exerćıcio anterior, encontre uma base para o
autoespaço e determine a multiplicidade algébrica e a multiplicidade geométrica do autovalor.
5. Suponha que λ seja autovalor de T : V → V com autovetor V e seja α um escalar não nulo.
Ache os autovalores e autovetores da transformação linear αT .
6. Seja T : V→ V uma transformação linear.
a) Se λ = 0 é autovalor de T , mostre que T não é injetora.
b) Se T não é injetora, mostre que λ = 0 é autovalor de T .
7. Mostre que os autovalores de uma matriz triangular são os elementos diagonais da matriz.
8. Seja A uma matriz invert́ıvel e λ um autovetor de A. Mostre que 1/λ é autovalor de A−1.
9. Seja A uma matriz de ordem n e seja B = A − αI, onde α é um escalar. Qual a relação entre
os autovalores de A e B? Explique.
1
10. Mostre que A e A> têm os mesmos autovalores. Elas têm necessariamente os mesmos autove-
tores? Explique.
11. Seja λ um autovalor não nulo de A e v um autovetor associado a λ. Mostre que Amv também
é um autovetor associado a λ para qualquer m ∈ N.
12. Seja B = M−1AM e seja v um autovetor de B associado a um autovalor λ. Mostre que Mv é
um autovetor de A associado a λ.
13. Sejam λ1 e λ2 autovalores distintos de A. Seja x um autovetor de A associado a λ1 e seja y
um autovetor de A> associado a λ2. Mostre que x e y são ortogonais segundo o produto interno
usual.
14. Sejam A e B matrizes de ordem n. Mostre que se λ é um autovalor não nulo de AB, então λ
também é um autovalor de BA.
15. Considere a matriz
A =
[
a11 a12
a21 a22
]
.
Mostre que o polinômio caracteŕıstico de A é p(λ) = λ2 − tr(A)λ+ det(A).
16. Os vetores v1 = (2,−1) e v2 = (1, 1) são autovetores de um operador linear T : R2 → R2,
associados a λ1 = −1 e λ2 = 5, respectivamente. Determine a imagem do vetor v = (4, 1) por
esse vetor.
17. Os autovalores de um operador linear T : R2 → R2 são λ1 = −3 e λ2 = 2, sendo v1 = (−1, 0) e
v2 = (1,−1) os respectivos autovetores associados. Determine T (x, y).
18. Determine o operador linear T : R2 → R2 cujos autovalores são λ1 = 1 e λ2 = 3 associados aos
autovetores v1 = (1,−1) e v2 = (0, 1), respectivamente.
19. Verifique quais das matrizes são diagonalizáveis:
a)
[
1 4
1 −2
]
b)
[
1 0
−2 1
]
c)
1 1 −24 0 4
1 −1 4
 d)
1 2 30 −1 2
0 0 2

20. Seja T : R2 → R2 uma transformação linear não invert́ıvel tal que T (1, 2) = (2, 4). T é
diagonalizável?
21. Para cada matriz A abaixo encontre, se posśıvel, uma matriz não-singular P tal que P−1AP
seja uma matriz diagonal:
a)
1 1 20 1 0
0 1 3
 b)
1 2 30 1 0
2 1 2

22. Prove que qualquer matriz 3× 3 da forma
a 1 00 a 1
0 0 b
 não é diagonalizável.
23. Seja T : R2 → R2 uma transformação linear que dobra o comprimento do vetor u = (2, 1) e
triplica o comprimento do vetor v = (1, 2), sem alterar as direções nem inverter os sentidos.
(a) Calcule T (0, 3).
(b) Determine T (x, y).
2
(c) Qual é a matriz do operador T na base B = {(2, 1), (1, 2)}?
24. Para cada uma das seguintes matrizes simétricas A, encontre uma matriz ortogonal P , para a
qual D = P>AP seja diagonal.
a) A =
[
2 2
2 2
]
b) A =
[
3 −1
−1 3
]
c) A =
1 0 10 −1 0
1 0 1

25. Considere a matriz A =
a 0 00 b c
0 c b
 .
(a) Mostre que os autovalores de A são: a, b+ c e b− c.
(b) Ache uma base de autovetores de A para o R3.
26. Mostre que se A é uma matriz ortogonal então det(A) = ±1.
27. Seja A uma matriz simétrica. Sabendo-se que (0, 2,−2, 1) e (2, 1,−2, 3) são autovetores associ-
ados ao autovalor λ1 = 2 e que (−2, 0, 1, 2) e (−3,−2,−1, 2) são autovetores associados a λ2 = 4
determine, se posśıvel, uma matriz P e uma matriz diagonal D tal que A = PDP>.
28. Seja T : R2 → R2 uma transformação linear que dobra o comprimento do vetor (1, 1) e triplica
o comprimento do vetor (−1, 1), sem alterar as direções nem inverter os sentidos. Calcule:
(a) Uma base ortonormal B de R2, formada por autovetores de T .
(b) A matriz do operador T na base B de autovetores.
(c) A matriz mudança de base da base de autovetores para a base canônica.
(d) A matriz do operador T na base canônica.
3
Respostas
2.
a) T (αv) = αT (v) = α(λv) = λ(αv).
b) Tal conjunto pode ser expresso por Sλ = {v ∈ V;T (v) = λv}. Temos 0̄ ∈ Sλ uma vez que
T (0̄) = 0̄ = λ0̄. Além disso, se v e u ∈ Sλ, então para qualquer α ∈ R temos
T (v + αu) = T (v) + αT (u) = λv + α(λu) = λ(v + αu), donde v + αu ∈ Sλ.
3.
a) λ1 = 2, v1 = (1, 1), λ2 = 0, v2 = (−1, 1)
b) λ1 = 3, v1 = (−1, 2), λ2 = 2, v2 = (−1, 1)
c) λ = 0, v = (1, 0, 0)
d) λ1 = 3, v1 = (0, 5, 2), λ2 = −2, v2 = (0, 0, 1) e λ3 = 1, v3 = (6, 3, 8)
16.T (v) = (8, 11)
17.T (x, y) = (−3x− 5y, 2y)
18.T (x, y) = (x, 2x+ 3y)
20. Como T não é invert́ıvel, temos que λ = 0 é autovalor. Além disso, T (1, 2) = (2, 4) = 2(1, 2),
donde λ = 2 também é autovalor. Logo T possui 2 autovalores distintos, portanto é diagonalizável.
23. a) (2, 10) b)T (x, y) = 1
3
(5x+ 2y,−2x+ 10y) c)
[
2 0
0 3
]
28.
a) B =
{(
1√
2
, 1√
2
)
,
(
− 1√
2
, 1√
2
)}
b) D =
[
2 0
0 3
]
c) P =
[
1√
2
1√
2
− 1√
2
1√
2
]
d) Como P é uma matriz ortogonal, logo P−1 = P> e [T ]CC = P.D.P
> = 1
2
[
5 −1
1 5
]
4