01 Revisão de Inequações

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PARTE 1
REVISA˜O DE INEQUAC¸O˜ES
1.1 Noc¸o˜es Ba´sicas
Vamos comec¸ar revendo algumas propriedades das desigualdades.
PROPRIEDADES 1.1.1: Sejam a, b e k nu´meros reais.
(i) a < b ⇔ a+ k < b+ k. Da mesma forma, a ≤ b ⇔ a+ k ≤ b+ k. (Monotonicidade
da Adic¸a˜o)
(ii) Se k > 0, enta˜o a < b ⇔ ak < bk e a ≤ b ⇔ ak ≤ bk. (Monotonicidade da
Multiplicac¸a˜o)
(iii) Se k < 0, enta˜o a < b ⇔ ak > bk e a ≤ b ⇔ ak ≥ bk. (Monotonicidade da
Multiplicac¸a˜o)
(iv) Se a, b ≥ 0, enta˜o a < b ⇔ a2 < b2. Da mesma forma, se a, b ≥ 0, enta˜o a ≤ b ⇔
a2 ≤ b2.
Observac¸o˜es 1.1.1:
1) Note que as propriedades acima tambe´m sa˜o va´lidas no caso de igualdade apenas.
Isto e´, a = b ⇔ a + k = b + k; se k 6= 0, enta˜o a = b ⇔ ak = bk e, se a, b ≥ 0, enta˜o
a = b ⇔ a2 = b2.
2) Para, a partir das propriedades com sinal de <, chegar a`s propriedades com sinal
de ≤, utilizamos simplesmente as conhecidas propriedades de igualdade: a = b ⇔
a+ k = b+ k; se k 6= 0, a = b ⇔ ak < bk e, se a, b ≥ 0, enta˜o a = b ⇔ a2 = b2.
3) Na Propriedade 1.1.1(i) vemos que quando somamos uma mesma quantidade a am-
bos os lados de uma desigualdade, o sentido da desigualdade e´ mantido. Entretanto,
nas Propriedade 1.1.1(ii) e 1.1.1(iii) vemos que no caso do produto na˜o e´ ta˜o simples as-
sim. Sendo produto, e´ necessa´rio verificar com atenc¸a˜o se o nu´mero a ser multiplicado
e´ positivo ou negativo. A multiplicac¸a˜o por um nu´mero positivo mante´m o sentido
da desigualdade, mas a multiplicac¸a˜o por um nu´mero negativo inverte o sentido da
desigualdade. Observe isto fazendo exemplos simples como: a = 2, b = 4 e k1 = 3 e
k2 = −3.
4) A Propriedade 1.1.1(iv) e´ interessante para simplificar a resoluc¸a˜o de algumas desi-
gualdades envolvendo mo´dulo. Observe que se retirarmos a condic¸a˜o a, b ≥ 0, a < b;
a2 < b2 e a2 < b2 ; a < b. Por exemplo, para verificar que se a e b na˜o forem ambos
positivos, enta˜o a < b ; a2 < b2, fac¸a a = −3 e b = 2. E, para verificar que se a e b
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Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o)- Prof a Denise 2015-1 2
na˜o forem ambos positivos, enta˜o a2 < b2 ; a < b, fac¸a a = 2 e b = −3.
Antes de comec¸armos a resolver alguns exemplos, vamos fazer uma brev´ıssima re-
cordac¸a˜o sobre intervalos da reta real.
Tipos de Intervalos Notac¸a˜o de intervalo Notac¸a˜o de conjuntos
Intervalo aberto (a, b) {x ∈ R | a < x < b}
Intervalo fechado [a, b] {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
Intervalo semi-aberto [a, b) {x ∈ R | a ≤ x < b}
Intervalo semi-aberto (a, b] {x ∈ R | a < x ≤ b}
Intervalo infinito aberto (−∞, b) {x ∈ R | x < b}
Intervalo infinito fechado (−∞, b] {x ∈ R | x ≤ b}
Intervalo infinito aberto (a,∞) {x ∈ R | x > a}
Intervalo infinito fechado [a,∞) {x ∈ R | x ≥ a}
Exemplo 1.1.1: Resolva as inequac¸o˜es abaixo.
a) 2x− 5 < 7
b) x2 ≥ 25
c) x2 < 20
d) 2x ≤ x2
e) x2 − 2x+ 3 ≤ 0
f) −x2 + 3x− 7 ≤ 0
g)
(−x2 + 2x− 3)(1− 2x)
1− x ≥ 0
h)
(x2 − 3x+ 2)(−x+ 3)
x(x+ 1)
≥ 0
i)
x(x2 + 2x− 3)
−x2 + 6x− 18 ≤ 0
j)
(x2 − 25)(x2 − 6x+ 9)
(x2 + x− 2)(4x− x2 − 8) ≥ 0
k)
2x− 1
x
≥ 1
l)
x
2x+ 2
≥ 1
m) 4x+ 4 ≤ (x+ 1)(x2 − 12)
n)
1− 4x
2x3 − x2 − 8x− 5 ≤ 0
Soluc¸a˜o:
a)
2x− 5 < 7 P1.1.1i⇐⇒ 2x− 5 + 5 < 7 + 5⇔ 2x < 12 P1.1.1ii⇐⇒ 2x.
(
1
2
)
< 12.
(
1
2
)
⇐⇒ x < 6.
b)
x2 ≥ 25 P1.1.1i⇐⇒ x2 − 25 ≥ 25− 25⇔ x2 − 25 ≥ 0⇔ (x− 5)(x+ 5) ≥ 0
Vamos utilizar a tabela abaixo para resolver esta desigualdade.
-5 5• •x− 5 - - o +
x+ 5 - o + +
x2 − 25 + - +
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De acordo com a tabela, encontramos que
x2 ≥ 25⇔ (x− 5)(x+ 5) ≥ 0⇔ x ≤ −5 ou x ≥ 5
Uma outra forma de resolver a desigualdade x2 ≥ 25,
ou sua equivalente, x2 − 25 ≥ 0, e´ observar pelo esboc¸o
da para´bola y = x2 − 25, dado ao lado, que, para x <
−5 ou x > 5, a para´bola y = x2− 25 esta´ acima do eixo
x, i.e. y = x2 − 25 > 0, para x < −5 ou x > 5. Ale´m
disso, para −5 < x < 5, a para´bola y = x2 − 25 esta´
baixo do eixo x, i.e. y = x2 − 25 < 0, para −5 < x < 5.
Portanto, a soluc¸a˜o da desigualdade x2 − 25 ≥ 0 e´ x ∈
(−∞,−5] ∪ [5,∞).
Mais tarde resolveremos esta mesma desigualdade por mo´dulo.
e) Como x2 − 2x + 3 = 0 na˜o possui ra´ızes reais e o coeficiente do termo x2 e´ po-
sitivo, a para´bola y = x2 − 2x + 3 esta´ sempre acima do eixo x, desta forma, temos
que y = x2 − 2x+ 3 > 0, ∀x ∈ R. Portanto, a soluc¸a˜o da inequac¸a˜o x2 − 2x+ 3 ≤ 0 e´
x ∈ ∅.
f) Como −x2+3x−7 = 0 na˜o possui ra´ızes reais e o coeficiente do termo x2 e´ negativo,
a para´bola y = −x2 + 3x − 7 esta´ sempre abaixo do eixo x, desta forma, temos que
y = −x2 + 3x− 7 < 0, ∀x ∈ R. Portanto, a soluc¸a˜o da inequac¸a˜o −x2 + 3x− 7 ≤ 0 e´
x ∈ R.
g) Vamos utilizar a tabela abaixo para resolver a desigualdade
(−x2 + 2x− 3)(1− 2x)
1− x ≥
0.
1/2 1• ◦−x2 + 2x− 3 - - -
1− 2x + o - -
1− x + + o -
(−x2 + 2x− 3)(1− 2x)
1− x - + -
De acordo com a tabela, encontramos que
(−x2 + 2x− 3)(1− 2x)
1− x ≥ 0⇔
1
2
≤ x < 1.
k) Vamos resolver esta desigualdade de duas formas diferentes.
Primeira soluc¸a˜o:
Vamos transformar a inequac¸a˜o
2x− 1
x
≥ 1 em um quociente de expresso˜es maior
ou igual a zero.
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2x− 1
x
≥ 1 P1.1.1i⇐⇒ 2x− 1
x
− 1 ≥ 0
⇔ 2x− 1
x
− x
x
≥ 0⇔ 2x− 1− x
x
≥ 0
⇔ x− 1
x
≥ 0
Vamos agora utilizar a tabela abaixo para resolver esta desigualdade.
0 1
◦ •
x− 1 - - o +
x - o + +
x− 1
x
+ - +
De acordo com a tabela, encontramos que
2x− 1
x
≥ 1⇔ x− 1
x
≥ 0⇔ x < 0 ou x ≥ 1.
Segunda soluc¸a˜o:
Vamos multiplicar por x os dois lados da inequac¸a˜o. Desta forma, precisamos divi-
dir em dois casos: quando x > 0 e quando x < 0.
Caso 1: x > 0
Neste caso, temos que
2x− 1
x
≥ 1 e x > 0 P1.1.1ii⇐⇒ 2x− 1 ≥ x e x > 0
⇔ 2x− x ≥ 1 e x > 0⇔ x ≥ 1 e x > 0
⇔ x ≥ 1.
Caso 2: x < 0
Neste caso, temos que
2x− 1
x
≥ 1 e x < 0 P1.1.1iii⇐⇒ 2x− 1 ≤ x e x < 0
⇔ 2x− x ≤ 1 e x < 0⇔ x ≤ 1 e x < 0
⇔ x < 0.
Juntando enta˜o as soluc¸o˜es obtidas nos dois casos, temos que
2x− 1
x
≥ 1 ⇔ x < 0 ou x ≥ 1.
m) Vamos resolver a desigualdade 4x+4 ≤ (x+1)(x2− 12) de duas formas diferentes.
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Primeira soluc¸a˜o:
Vamos transformar a inequac¸a˜o em um produto de expresso˜es menor ou igual a zero.
4x+ 4 ≤ (x+ 1)(x2 − 12) ⇔ 4(x+ 1) ≤ (x+ 1)(x2 − 12)
P1.1.1i⇐⇒ 4(x+ 1)− (x+ 1)(x2 − 12) ≤ 0
⇔ (x+ 1)(4− (x2 − 12)) ≤ 0
⇔ (x+ 1)(16− x2) ≤ 0⇔ (x+ 1)(4− x)(4 + x) ≤ 0
Vamos agora utilizar a tabela abaixo para resolver esta desigualdade.
-4 -1 4
• • •
x+ 1 - - o + +
4− x + + + o -
4 + x - o + + +
(x+ 1)(4− x)(4 + x) + - + -
De acordo com a tabela, encontramos que
4x+ 4 ≤ (x+ 1)(x2 − 12)⇔ (x+ 1)(4− x)(4 + x) ≤ 0⇔ −4 ≤ x ≤ −1 ou x ≥ 4
Segunda soluc¸a˜o:
Queremos dividir por x + 1 os dois lados da inequac¸a˜o. Desta forma, em primeiro
lugar, precisamos verificar se x = −1 e´ soluc¸a˜o da inequac¸a˜o. Para isto, vamos substi-
tuir x = −1 na inequac¸a˜o e verificar se temos uma sentenc¸a verdadeira. De fato,
0 = 4(−1) + 4 ≤ (−1 + 1)((−1)2 − 12) = 0 ⇔ 0 ≤ 0,
e´ uma sentenc¸a verdadeira. Isto significa que x = −1 e´ soluc¸a˜o da inequac¸a˜o. Vamos
enta˜o guardar esta soluc¸a˜o e separar em dois casos (quando x + 1 > 0 ⇔ x > −1
e quando x + 1 < 0 ⇔ x < −1), para, atrave´s da divisa˜o da inequac¸a˜o por x − 1,
descobrir as outras soluc¸o˜es.
Caso 1: x > −1
Neste caso, temos que
4x+ 4 ≤ (x+ 1)(x2 − 12) e x > −1 ⇔ 4(x+ 1) ≤ (x+ 1)(x2 − 12) e x > −1
P1.1.1ii⇔ 4 ≤ x2 − 12 e x > −1
⇔ 0 ≤ x2 − 16 e x > −1⇔ x2 − 16 ≥ 0 e x > −1
⇔ x ≤ −4 ou x ≥ 4 e x > −1
⇔ x ≥ 4
Caso 2: x < −1
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Neste caso, temos que
4x+ 4 ≤ (x+ 1)(x2 − 12) e x < −1 ⇔ 4(x+ 1) ≤ (x+ 1)(x2 − 12) e x < −1
P1.1.1iii⇔ 4 ≥ x2 − 12 e x < −1
⇔ 0 ≥ x2 −16 e x < −1⇔ x2 − 16 ≤ 0 e x < −1
⇔ −4 ≤ x ≤ 4 e x < −1
⇔ −4 ≤ x < −1
Juntando enta˜o a soluc¸a˜o obtida nos dois casos em separado, com a soluc¸a˜o x = −1
(verificada em separado), encontramos que
4x+ 4 ≤ (x+ 1)(x2 − 12) ⇔ −4 ≤ x ≤ −1 ou x ≥ 4
♥
Sugesta˜o: Para resolver o Exemplo 1.1.1(k) acima, observe que −1 e´ raiz do polinoˆmio
2x3 − x2 − 8x− 5, de modo que 2x3 − x2 − 8x− 5 = (x+ 1)(ax2 + bx+ c).
Vamos agora fazer uma ra´pida revisa˜o de mo´dulo.
1.2 Mo´dulo
DEFINIC¸A˜O 1.2.1: Seja x ∈ R. O mo´dulo ou valor absoluto de x e´ o real na˜o-
negativo definido por
|x| =
{
x, se x ≥ 0
−x, se x < 0 .
Exemplos 1.2.1:
a) |2| = 2
b) | − 3| = 3
c) |0| = 0
d) |pi − 2| = pi − 2
e) |1−√3| = √3− 1
f) |3− 2x| =

3− 2x, se 3− 2x ≥ 0⇔ x ≤ 3
2
−3 + 2x, se 3− 2x < 0⇔ x > 3
2
f) |x2 − 4| =
{
x2 − 4, se x2 − 4 ≥ 0⇔ x ≤ −2 ou x ≥ 2
−x2 + 4, se x2 − 4 < 0⇔ −2 < x < 2
g) |11√2− 9√3| = 9√3− 11√2
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Para verificar que 11
√
2− 9√3 e´ menor do que zero, suponha que esta diferenc¸a
e´ maior ou menor, tanto faz, e utilize a Propriedade 1.1.1 (iv). Neste caso, como
11
√
2 > 0 e 9
√
3 > 0, pela Propriedade 1.1.1 (iv), temos que
11
√
2 > 9
√
3 ⇔ (11
√
2)2 > (9
√
3)2 ⇔ 242 > 243.
Desta forma, como de fato 242 < 243, descobrimos que 11
√
2 < 9
√
3.
Observac¸a˜o 1.2.1: Note que pela definic¸a˜o de raiz quadrada, temos que
√
x2 = |x|,
uma vez que a raiz quadrada de um nu´mero positivo ou nulo, P , e´ o nu´mero positivo ou nulo
p, tal que p2 = P .
Vejamos agora algumas propriedades do mo´dulo.
PROPRIEDADES 1.2.1: Sejam x e y nu´meros reais.
(i) |x| ≥ 0 para todo x ∈ R. Ale´m disso, |x| = 0 ⇔ x = 0.
(ii) | − x| = |x|, para todo x ∈ R.
(iii) |x− y| = |y − x|, para todo x, y ∈ R.
(iv) |xy| = |x||y|, para todo x, y ∈ R.
(v)
∣∣∣∣xy
∣∣∣∣ = |x||y| , para todo x, y ∈ R, y 6= 0.
(vi) |x2| = |x|2 = x2.
(vii) x2 = y2 ⇔ |x| = |y| ⇔ x = y ou x = −y.
(viii) x2 < y2 ⇔ |x| < |y|.
(ix) x2 ≤ y2 ⇔ |x| ≤ |y|.
(x) ||x| − |y|| ≤ |x+ y| ≤ |x|+ |y|, para todo x, y ∈ R. (Desigualdade Triangular).
Observac¸a˜o 1.2.2: Observe que as propriedades (vii) e (viii) juntas geram a proprie-
dade (ix) x2 ≤ y2 ⇔ |x| ≤ |y|.
Vamos dar um destaque especial a`s propriedades abaixo por serem important´ıssimas
na soluc¸a˜o de desigualdades envolvendo mo´dulo.
PROPRIEDADES 1.2.2: Sejam x, a ∈ R. Temos enta˜o que
(i) Se a ≥ 0, enta˜o |x| = a ⇔ x = a ou x = −a; se a < 0, enta˜o x ∈ ∅.
(ii) |x| < a ⇔ −a < x < a .
(iii) |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a .
(iv) |x| > a ⇔ x < −a ou x > a.
(v) |x| ≥ a ⇔ x ≤ −a ou x ≤ a.
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Observac¸a˜o 1.2.3: Observe que se a < 0, enta˜o, naturalmente, as soluc¸o˜es das desi-
gualdades |x| < a e |x| ≤ a sera˜o: x ∈ ∅, enquanto que a soluc¸a˜o das desigualdades
|x| > a e |x| ≥ a sera˜o: x ∈ R. Ja´ se a = 0, enta˜o, naturalmente, a soluc¸a˜o da desi-
gualdade |x| < 0 sera´ x ∈ ∅, a soluc¸a˜o da desigualdade |x| ≤ 0 sera´ x = 0, a soluc¸a˜o
da desigualdade |x| > 0 sera´ x ∈ R\{0} e a soluc¸a˜o da desigualdade |x| ≥ 0 sera´
x ∈ R. Desta forma, observe que se aplicarmos as propriedades de 1.2.2(ii) a 1.2.2(v)
sem verificarmos o sinal de a, na˜o havera´ problema, pois a resposta correta aparecera´
naturalmente (cf. Exemplo 1.2.3i).
Observac¸a˜o 1.2.4: Dados x, y ∈ R, a distaˆncia entre x e y e´ definida por d(x, y) =
|x− y|. Desta forma, temos que |x| e´ a distaˆncia de x a` origem. Aproveite para inter-
pretar as propriedades acima utilizando o conceito de distaˆncia.
Exemplo 1.2.2: Resolva os Exemplos 1.1.1(b) e 1.1.1(c) utilizando as Propriedades
1.2.1(ix) e (viii) e as Propriedades 1.2.2(v) e (ii) acima.
Soluc¸a˜o:
Exemplo 1.1.1(b):
x2 ≥ 25 P1.2.1ix⇐⇒ |x| ≥ 5 P1.2.2v⇐⇒ x ≤ −5 ou x ≥ 5.
Exemplo 1.1.1(c):
x2 < 20
P1.2.1ix⇐⇒ |x| <
√
20
P1.2.2ii⇐⇒ −
√
20 < x <
√
20.
♥
Exemplo 1.2.3: Resolva as equac¸o˜es e inequac¸o˜es abaixo.
a) |4x− 2| = 6
b) |x| = 6−√2
c) |x| = 1−√2
d) |3x| = x− 2
e) |3x+ 1| = |2x− 2|
f) |2x| ≤ 4pi
g) |x| > √3
h) |x− 2| < 10
i) |x− 1| ≤ 1− pi
j) |2x− 3| ≥ 1
k) |4− x| < 3 + 2x
l) |4− x| > 3 + 2x
m) |4− x| < |3 + 2x|
n) |x− 4| − 2|x| < 3
o) |x− 1|+ |x− 2| > 1
p) |2x− 3| − |3x+ 2| < 1
Soluc¸a˜o:
a) Como 6 > 0, temos que
|4x− 2| = 6 P1.2.2i⇐⇒ 4x− 2 = 6 ou 4x− 2 = −6⇐⇒ x = 2 ou x = −1.
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b) Como 6−√2 > 0, temos que
|x| = 6−
√
2
P1.2.2i⇐⇒ x = 6−
√
2 ou x = −6 +
√
2.
c) Como mo´dulo de um nu´mero e´ um nu´mero positivo ou nulo e 1−√2 e´ um nu´mero ne-
gativo, a igualdade |x| = 1−√2 na˜o possui soluc¸a˜o, i.e. |x| = 1−√2⇔ x ∈ ∅ (P1.2.2i).
d) Observe que se x < 2, a inequac¸a˜o na˜o possui soluc¸a˜o, pois mo´dulo de um nu´mero
e´ um nu´mero positivo ou nulo. Sendo assim, vamos apenas estudar a equac¸a˜o para
x ≥ 2.
|3x| = x− 2 e x ≥ 2 P1.2.2i⇐⇒ 3x = x− 2 ou 3x = −x+ 2 e x ≥ 2
⇔ x = −1 ou x = 1
2
e x ≥ 2
⇔ x ∈ ∅.
e)
|3x+ 1| = |2x− 2| P1.2.1vii⇐⇒ 3x+ 1 = 2x− 2 ou 3x+ 1 = 2− 2x⇔ x = −3 ou x = 1
5
.
f)
|2x| ≤ 4pi P1.2.2iii⇐⇒ −4pi ≤ 2x ≤ 4pi P1.1.1ii⇐⇒ −2pi ≤ x ≤ 2pi.
g)
|x| >
√
3
P1.2.2iv⇐⇒ x < −
√
3 ou x >
√
3.
h)
|x− 2| < 10 P1.2.2ii⇐⇒ −10 < x− 2 < 10⇔ −8 < x < 12.
i) Como mo´dulo de um nu´mero e´ um nu´mero positivo ou nulo, se observarmos que
1−pi e´ um nu´mero negativo, vemos a igualdade |x− 1| = 1−pi na˜o possui soluc¸a˜o, i.e.
|x− 1| ≤ 1− pi ⇔ x ∈ ∅ (Observac¸a˜o 1.2.3). Entretanto, na˜o observando o sinal de a e
utilizando diretamente a Propriedade 1.2.2(iii), tambe´m chegamos a` resposta correta,
uma vez que
|x− 1| ≤ 1− pi P1.2.2iii⇐⇒ −1 + pi < x− 1 < 1− pi ⇔ pi < x < 2− pi ∗⇔ x ∈ ∅.
(*) pois x na˜o pode ser ao mesmo tempo menor do que um nu´mero negativo (1− pi) e
maior do que um nu´mero positivo (−1 + pi).
j)
|2x− 3| ≥ 1 P1.2.2v⇐⇒ 2x− 3 ≤ −1 ou 2x− 3 ≥ 1⇔ x ≤ 1 ou x ≥ 2.
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k)
|4− x| < 3 + 2x P1.2.2ii⇐⇒ −3− 2x < 4− x < 3 + 2x (a = 3 + 2x)
⇐⇒ −3− 2x < 4− x e 4− x < 3 + 2x
⇐⇒ −2x+ x < 4 + 3 e − x− 2x < 3− 4
⇐⇒ −x < 7 e − 3x < −1
⇐⇒ x > −7 e x > 1
3
⇐⇒ x > 1
3
.
l) Sem reparar que do item anterior (item (k)) ja´ sabemos que |4−x| < 3+2x⇔ x > 1
3
,
procedemos naturalmente da seguinte forma:
|4− x| > 3 + 2x P1.2.2iv⇐⇒ 4− x < −3− 2x ou 4− x > 3 + 2x (a = 3 + 2x)
⇔ 2x− x < −4− 3 ou − x− 2x > 3− 4
⇔ x < −7 ou − 3x > −1
⇔ x < −7 ou x < 1
3
⇔ x < 1
3
.
Soluc¸a˜o alternativa: Supondo agora conhecido o resultado obtido em (k), i.e. sabendo-
se que |4− x| < 3 + 2x⇔ x > 1
3
, temos imediatamente que
|4− x| > 3 + 2x ⇔ |4− x| 6≤ 3 + 2x⇔ |4− x| 6< 3 + 2x e |4− x| 6= 3 + 2x
⇔ x 6> 1
3
(item k) e |4− x| 6= 3 + 2x
⇔ x ≤ 1
3
e |4− x| 6= 3 + 2x.
Observe que
|4− x| = 3 + 2x e 3 + 2x ≥ 0 P1.2.2i⇐⇒ (−x = −3− 2x ou 4− x = 3 + 2x) e (x ≥ −3/2)
⇔ (x = −7 ou x = 1
3
) e (x ≥ −3/2)
⇔ x = 1
3
.
Desta forma, temos que
|4− x| > 3 + 2x ⇔ |4− x| 6≤ 3 + 2x⇔ x ≤ 1
3
e |4− x| 6= 3 + 2x
⇔ x ≤ 1
3
e x 6= 1
3
⇔ x < 1
3
.
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m)
|4− x| < |3 + 2x| P1.2.1vii⇐⇒ |4− x|2 < |3 + 2x|2 P1.2.1vi⇐⇒ (4− x)2 < (3 + 2x)2
⇐⇒ x2 − 8x+ 16 < 4x2 + 12x+ 9⇐⇒ −3x2 − 20x+ 7 < 0
⇐⇒ −3(x+ 7)
(
x+
1
3
)
< 0
⇐⇒ x < −7 ou x > 1
3
.
Soluc¸a˜o alternativa: aqui vamos utilizar as Propriedades 1.2.2. Veja como fica mais
complexo.
|4− x| < |3 + 2x| P1.2.2ii⇐⇒ −|3 + 2x| < 4− x < |3 + 2x| (a = |3 + 2x|)
⇔ −|3 + 2x| < 4− x e 4− x < |3 + 2x|
⇔ |3 + 2x| > x− 4 e |3 + 2x| > 4− x
P1.2.2iv⇐⇒ (3 + 2x < −(x− 4) ou 3 + 2x > x− 4) (a = x− 4)
e (3 + 2x < −(4− x) ou 3 + 2x > 4− x) (a = 4− x)
⇐⇒ (2x+ x < 4− 3 ou 2x− x > −4− 3)
e (2x− x < −4− 3 ou 2x+ x > 4− 3)
⇐⇒ (x < 1/3 ou x > −7)e (x < −7 ou x > 1/3)
⇐⇒ (x ∈ R) e (x < −7 ou x < 1/3)
⇐⇒ x < −7 ou x < 1/3.
n) Neste exemplo, na˜o temos o aux´ılio de uma propriedade que nos ajude a resolver
a inequac¸a˜o de forma simplificada. Em casos como este, vamos optar por aplicar a
definic¸a˜o de mo´dulo e dividir a reta em intervalos onde possamos traduzir os mo´dulos
para cada um dos diferentes intervalos. Em relac¸a˜o a` desigualdade |x− 4| − 2|x| < 3,
precisamos encontrar |x− 4| e |x|. Aplicando a definic¸a˜o, temos que
|x− 4| =
{
x− 4, se x− 4 ≥ 0⇔ x ≥ 4
4− x, se x− 4 < 0⇔ x < 4 .
e
|x| =
{
x, se x ≥ 0
−x, se x < 0 .
Vamos enta˜o dividir a reta real em uma unia˜o finita de intervalos que sejam relevantes
para trabalharmos com |x− 4| e com |x|. De acordo com as definic¸a˜o de |x− 4| e com
|x|, temos que os intervalos importantes sa˜o: (−∞, 0), [0, 4) e [4,∞). Desta forma,
segue que R = (−∞, 0) ∪ [0, 4) ∪ [4,∞). Desta forma, para x ∈ (−∞, 0), temos que
|x − 4| = 4 − x e |x| = −x, de modo que a inequac¸a˜o |x − 4| − 2|x| < 3 pode ser
escrita como 4 − x + 2x < 3; para x ∈ [0, 4), temos que |x − 4| = 4 − x e |x| = x,
de modo que a inequac¸a˜o |x − 4| − 2|x| < 3 pode ser escrita como 4 − x − 2x < 3
e, finalmente, para x ∈ [4,∞), temos que |x − 4| = x − 4 e |x| = x, de modo que a
inequac¸a˜o |x−4|−2|x| < 3 pode ser escrita como x−4−2x < 3. Vamos enta˜o colocar
estas informac¸o˜es na tabela a seguir.
Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o)- Prof a Denise 2015-1 12
(−∞, 0) [0, 4) [4,∞)
|x− 4| 4− x 4− x o x− 4
|x| −x o x x
|x− 4| − 2|x| < 3 4− x− 2(−x) < 3 4− x− 2(x) < 3 x− 4− 2(x) < 3
De acordo com a subdivisa˜o da reta real, vemos que resolver a inequac¸a˜o |x−4|−2|x| <
3 equivale a resolver treˆs diferentes inequac¸o˜es dependendo do intervalo. Vamos por-
tanto dividir em casos.
Caso 1: se x < 0, resolver a inequac¸a˜o |x−4|−2|x| < 3 equivale a resolver a inequac¸a˜o
4− x− 2(−x) < 3;
Caso 2: se 0 ≤ x < 4 resolver a inequac¸a˜o |x − 4| − 2|x| < 3 equivale a resolver a
inequac¸a˜o 4− x− 2(x) < 3;
Caso 3: se x ≥ 4, resolver a inequac¸a˜o |x−4|−2|x| < 3 equivale a resolver a inequac¸a˜o
x− 4− 2(x) < 3.
Vamos enta˜o resolver cada uma das inequac¸o˜es encontradas dentro de seus respec-
tivos intervalos.
Caso 1: x < 0 (x ∈ (−∞, 0)).
Vamos resolver a inequac¸a˜o |x−4|−2|x| < 3 no intervalo (−∞, 0). Conforme verificado,
neste intervalo, a inequac¸a˜o |x− 4| − 2|x| < 3 equivale a inequac¸a˜o 4− x− 2(−x) < 3.
Vamos enta˜o resolver esta inequac¸a˜o.
4− x− 2(−x) < 3⇔ 4− x+ 2x < 3⇔ 4 + x < 3⇔ x < −1⇔ x ∈ (−∞, 0).
Observe agora que so´ devemos tomar os valores de x, soluc¸a˜o da inequac¸a˜o 4 − x −
2(−x) < 3, que estiverem no intervalo do caso considerado, que e´ o intervalo (−∞, 0).
Desta forma, devemos interceptar o intervalo (−∞, 0) com o intervalo (−∞,−1). Te-
mos assim, que a soluc¸a˜o do Caso 1 e´
x ∈ (−∞, 0) ∩ (−∞,−1) = (−∞,−1).
Caso 2: 0 ≤ x < 4 (x ∈ [0, 4)).
Vamos resolver a inequac¸a˜o |x− 4| − 2|x| < 3 no intervalo [0, 4). Conforme verificado,
neste intervalo, a inequac¸a˜o |x− 4| − 2|x| < 3 equivale a` inequac¸a˜o 4− x− 2(x) < 3.
Vamos enta˜o resolver esta inequac¸a˜o.
4− x− 2(x) < 3⇔ 4− 3x < 3⇔ −3x < −1⇔ x > 1
3
⇔ x ∈
(
1
3
,∞
)
.
Observe agora que so´ devemos tomar os valores de x, soluc¸a˜o da inequac¸a˜o 4−x−2(x) <
3, que estiverem no intervalo do caso considerado, que e´ o intervalo [0, 4). Desta forma,
devemos interceptar o intervalo [0, 4) com o intervalo
(
1
3
,∞
)
. Temos assim, que a
soluc¸a˜o do Caso 2 e´
x ∈ [0, 4) ∩
(
1
3
,∞
)
=
(
1
3
, 4
)
.
Ca´lculo 1A - Notas de Aula (em construc¸a˜o)- Prof a Denise 2015-1 13
Caso 3: x ≥ 4 (x ∈ [4,∞)).
Vamos resolver a inequac¸a˜o |x−4|−2|x| < 3 no intervalo [4,∞). Conforme verificado,
neste intervalo, a inequac¸a˜o |x− 4| − 2|x| < 3 equivale a` inequac¸a˜o x− 4− 2(x) < 3.
Vamos enta˜o resolver esta inequac¸a˜o.
x− 4− 2(x) < 3⇔ 4− x < 3⇔ −x < −1⇔ x > 1⇔ x ∈ (1,∞).
Observe agora que so´ devemos tomar os valores de x, soluc¸a˜o da inequac¸a˜o x−4−2(x) <
3, que estiverem no intervalo do caso considerado, que e´ o intervalo [4,∞). Desta
forma, devemos interceptar o intervalo [4,∞) com o intervalo (1,∞). Temos assim,
que a soluc¸a˜o do Caso 3 e´
x ∈ [4,∞) ∩ (1,∞, ) = [4,∞).
Unindo as treˆs respostas obtidas em cada um dos treˆs casos, temos que
|x− 4| − 2|x| < 3 ⇔ x ∈ (−∞,−1) ∪
(
1
3
, 4
)
∪ [4,∞)
⇔ x ∈ (−∞,−1) ∪
(
1
3
,∞
)
⇔ x < −1 ou 1
3
< x ≤ 4 ou x ≥ 4⇔ x < −1 ou x > 1
3
.
Observe que a resoluc¸a˜o deste exemplo utilizou apenas a definic¸a˜o de mo´dulo de uma
func¸a˜o. Desta forma, ela pode ser utilizada para resolver casos bastante gerais.
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