AV RESOLVIDA 3

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PROVA 1 
2018 - USP 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÕES OBJETIVAS 
 
QUESTÃO 1 
Considere a seguinte função f: ℝ→ℝ dada por: 
 
 
Os valores reais de e c que tornam f contínua em são:=b / 0 x = 1  
 
a. e /2b = − 1 c = 2  
b. e /3b = − 1 c = 2  
c. e /2b = − 1 c = 1  
d. e /4b = − 1 c = 2  
e. e /4b = − 1 c = 1  
 
Resolução 
Para resolver essa questão, precisamos ter em mente o que é uma função 
contínua. Basicamente, uma função contínua é aquela que não possui saltos 
bruscos em seu gráfico. 
 
Ou seja, para que a nossa função seja contínua, os limites abaixo devem ser 
iguais​. Isto é feito para que no ponto ​x = 1​ não haja saltos. 
 
 
 
Para descobrirmos os valores de ​b​ e ​c​, vamos ter que começar calculando o limite 
que da função que está escrita em azul acima. Isso é feito abaixo. 
 
 
 
 
 
Agora vamos fazer uma manipulação, vamos chamar ​x - 1​ de ​u​. Perceba que 
quando ​x​ tende a ​1​, ​u​ tende a zero, pois ​u = x - 1 = 1 - 1 = 0​. 
 
 
 
Agora, vamos multiplicar em cima e embaixo por ​(u+2)​. 
 
 
 
Você já entendeu o porquê de termos multiplicado em cima e embaixo por 
(u+2)​? Fizemos isso para que o limite trigonométrico fundamental aparecesse. 
Veja: 
 
 
 
 
 
Com isso, sabemos que quando ​x = 1​, todos limites que foram mostrados no início 
da resolução têm que tender a ​2​. Vamos calcular isso abaixo. 
 
 
 
 
Ou seja, a resposta é ​LETRA D​. 
 
 
 
QUESTÃO 2 
Seja f uma função derivável num intervalo aberto I que contém 1 e tal que: 
 
 
para todo . A equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (1, f(1)) é:x∈ I  
 
a. inexistente. 
b. .y = x + 2  
c. .y = − 2
x + 2
3  
d. .y = 2
x − 2
3  
e. .y = 2
x − 1  
 
 
 
 
 
Resolução 
Vamos começar esse exercício substituindo ​x = 1​ na relação que foi dada. 
 
 
 
Para que a igualdade acima seja respeitada, devemos ter ​f(1) = 1​.  
 
A equação da reta tangente a uma função ​f(x)​ no ponto ​(x​0​, f(x​0​))​ é dada pela 
seguinte equação: 
 
Agora vamos substituir os dados do nosso problema: 
 
 
Para conseguir trabalhar com a equação acima, precisamos saber quanto vale 
f’(1)​. Bem, pra saber isso, vamos calcular a derivada de ​f(x)​ e depois aplicar em ​x=1​. 
Isso é feito da seguinte forma: pega-se a relação que foi dada no enunciado e se 
deriva em relação a ​x ​os dois lados da igualdade. Vai ser necessário usar a regra 
da cadeia e do produto. Veja: 
 
 
 
 
 
Agora sim, podemos determinar a equação da reta tangente ao ponto ​(1, f(1))​: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 3 
Seja f: ℝ→ℝ satisfazendo a seguinte propriedade: 
 
Então podemos afirmar que: 
a. Existe tal que, para todo , vale .m > 0 x < − m (x)f > 0  
b. está definida para todo 1/f )(x)( .x < 0  
c. (x) lim
x→+∞
f = 1  
d. Existe , tal que para todo , temos .M > 0 x∈ ℝ f (x)| | < M  
e. Existe 0 tal que, para todo , vale .m > x < − m (x)f < 1  
 
 
Resolução 
Vamos resolver essa questão entendendo cada uma das alternativas. Mas antes, 
vamos tentar enxergar que tipos de função que atendem à propriedade que está 
sendo abordada. Um função que tende a ​1​ quando ​x​ tende a ​-∞​ é uma função 
que possui uma assíntota horizontal em ​y = 1​. Alguns exemplos estão mostrados 
abaixo. 
 
 
 
a. VERDADEIRO​. Essa alternativa basicamente nos diz que existe um valor 
negativo, a partir do qual​ f(x)​ é sempre maior que ​0​. Isso é verdadeiro 
porque se nós temos uma assíntota horizontal em ​y = 1​ isso significa que, a 
partir de um dado valor, ​f(x)​ sempre será maior que zero, tendendo a ​1​. 
Veja exemplos abaixo. 
 
 
 
 
 
b. FALSO​. Isso pode ser provado com um exemplo. Veja a função abaixo. 
 
 
 
c. FALSO​. Isso pode até acontecer, mas não é uma regra. Podemos provar 
isso se olharmos para a função abaixo, por exemplo. 
 
 
 
 
 
Claramente notamos que quando ​x​ tende a ​+∞​, a função não tende a​ 1​. 
 
d. FALSO​. Isso pode ser provado se olharmos para o exemplo abaixo. 
 
 
Você percebe que a função acima tende a ​+∞​ quando ​x​ tende a ​+∞​? Isso significa 
que não podemos dizer que todos valores da função serão menores que um valor 
positivo M. 
 
e. FALSO​. Isso pode até acontecer, mas não é uma regra. Para provar isso, 
vamos olhar para a mesma função que olhamos nas últimas duas 
alternativas. 
 
 
 
 
 
Você percebe que nesse caso não conseguimos achar nenhum ponto para dizer 
que a partir dele todos os valores de ​f​ são menores que ​1​? A função acima sequer 
assume algum valor menor que ​1​. 
 
QUESTÃO 4 
Sejam tais que ., ]0, [f g : ℝ → + ∞ lim
x→+∞
f (x)
g(x) = + ∞  
 
Então: 
a. Teremos sempre que .(x)lim
x→+∞
f = + ∞  
b. Teremos sempre que (x)g(x)lim
x→+∞
f = + ∞  
c. Podemos ter .(x)g(x) 0lim
x→+∞
f =  
d. Teremos sempre que (x) (x)lim
x→+∞
f = lim
x→+∞
g = + ∞  
e. Podemos ter: (x)g(x)lim
x→+∞
f = − ∞  
 
 
Resolução 
Pelas propriedades dos limites, temos o seguinte: 
 
 
 
Para que o limite acima vá para ​+∞​, temos três possibilidades, basicamente, veja: 
 
 
 
 
 
Onde ​a>0​. Ainda existiriam algumas outras possibilidades para que isso se 
verifique, mas esses três casos serão suficientes para resolver a questão. 
 
Vamos analisar as alternativas. Para facilitar o entendimento, lembre que o limite 
do produto de duas funções é igual ao produto dos limites dessas funções. 
 
a. FALSO​. Como vimos acima, no 3ª caso, o limite de ​f(x)​ quando ​x​ tende a ​+∞ 
pode ser igual a uma constante positiva, desde que o limite de ​g(x)​ quando 
x​ tende a ​+∞​ seja igual a ​0​. 
b. FALSO​. Olhe para o 3º caso novamente. Se multiplicarmos uma constante 
positiva por zero, o limite tenderá a zero! 
c. VERDADEIRO​. A explicação da alternativa ​b​, que vimos acima, 
automaticamente torna a alternativa ​c​ verdadeira. 
d. FALSO​. Em nenhum dos três casos que estamos estudando o limite de 
g(x)​, quando ​x​ tende a ​+∞​, é igual a ​+∞​. No entanto, isso pode acontecer 
quando ​f(x)​ e ​g(x)​ forem polinômios, sendo​ f(x)​ de maior grau.  
e. FALSO​. Veja os nossos três casos: em nenhum deles, se multiplicarmos o 
numerador pelo denominador, teremos ​-∞​. 
 
Sugestão​: faça ​f(x) = x​ e ​g(x) = 1/x​ para provar a falsidade das alternativas ​a​, ​b​ e ​d​. 
 
 
 
QUESTÃO 5 
Dada a seguinte função:  
 
 
 
Então: 
a. f é contínua em 0 e é derivável em 0. 
b. Nenhuma das outras afirmações é verdadeira. 
c. f não é contínua em 0 e não é derivável em 0. 
d. f não é contínua em 0 e é derivável em 0. 
e. f é contínua em 0 e não é derivável em 0. 
 
 
 
 
 
Resolução 
Para que uma função seja derivável em um ponto ​x​0​, o seguinte limite deve 
existir: 
 
 
 
Como essa função está definida por intervalos, o limite deve existir em torno de 
x​0​=0​, o limite acima deve existir para as duas funções. Para a função ​f(x) = 0​, é 
bem simples de ver que o limite existe e é igual a zero. Veja: 
 
 
 
Agora vamos calcular o limite para a outra função. Veja: 
 
 
 
 
 
Quando substituímos ​x​0 ​= 0​ na equação acima, percebemos que teremos uma 
divisão de ​0 ​por ​0​ no termo circulado abaixo. 
 
 
Isso torna o limite indefinido e portanto a ​derivada não existe nesse ponto​. 
Agora vamos conferir se a função é contínua em ​x = 0​. Para saber isso, devemos 
calcular os limites abaixo e verificar se eles são iguais. 
 
 
Agora, vamos calcular os dois limites, individualmente. Começamos pelo mais 
fácil: 
 
Certo, isso significa que, para que a função seja contínua em ​x = 0​, o outro limite 
também deverá ser igual a zero. Vamos calcular:: 
 
Para calcular esse limite, vamos aplicar o ​Teorema do Confronto​. Sabemos que: 
 
Multiplicando todos os termos por ​x²​ e dividindo por ​sen(x)​, ficamos com o 
seguinte: 
 
 
 
Agora, aplicamos o limite em todos os termos: 
 
Para resolver o primeiro limite, vamos usar o seguinte truque: tiramos a derivada 
em relação a ​x​ tanto do numerador quanto do denominador e avaliamos o limite. 
Essa é a conhecida técnica de L’Hôpital. Veja como isso funciona: 
 
 
Percebaque o terceiro limite é calculado de forma análoga ao primeiro e 
também será igual a zero. No fim das contas, teremos o seguinte: 
 
Portanto o nosso limite deu igual a zero e, então, ​a função é contínua em x = 0​. A 
resposta é ​LETRA E​. 
   
 
 
QUESTÕES DISSERTATIVAS 
 
QUESTÃO 1 
Calcule, caso existam, os seguintes limites: 
a. ;lim
x→+∞
x3
3x2 −
x2
3x+2  
b. ;lim
x→0 x
3
tan(x) − sin(x)  
c. ;lim
x→2−
sin(x −4)2
√x −5x +8x−43 2
 
 
Resolução 
a) 
 
A primeira coisa que faremos para resolver esse limite é reescrever a subtração 
das frações como uma fração só. Veja: 
 
 
 
Calculando os produtos, temos o seguinte: 
 
 
 
Agora, vamos colocar o ​x³​ em evidência, tanto no numerador quanto no 
denominador. 
 
 
 
 
 
Finalmente, podemos avaliar o limite quando ​x​ tende a ​+∞​. 
 
 
 
 
b) 
Se você simplesmente substituir x = 0 nessa expressão, chegará em 0/0. Ou seja, 
algumas manipulações são necessárias. 
 
Primeiramente, vamos lembrar que tan ​(x) = sen (x) / cos (x)​. Substituindo isso na 
função, temos o seguinte: 
 
 
 
Fazendo algumas manipulações algébricas simples, ficamos com: 
 
 
 
Agora, vamos multiplicar o numerador e o denominador por ​(1 - cos(x))​. 
Lembrando da relação trigonométrica fundamental ​cos²(x) + sen²(x) = 1​, 
podemos fazer a seguinte mudança: 
 
 
 
 
 
Todas essas manipulações que fizemos até agora vão nos permitir usar o nosso 
conhecido limite trigonométrico fundamental. Veja: 
 
 
 
 
 
c) 
Se você sair substituindo ​x = 2​ nessa expressão, chegará em​ 0/0​. Ou seja, vamos 
ter que manipular essa expressão. 
 
Quando temos um polinômio no limite, muitas vezes é interessante deixar ele na 
sua forma fatorada. Assim, vamos começar esse exercício deixando o polinômio 
dentro da raiz em sua forma fatorada. 
 
 
 
 
 
Certo, agora perceba que temos o ​sen(x²-4) ​no numerador. Qual a melhor 
maneira de resolver limites com seno? Forçando o aparecimento do limite 
trigonométrico fundamental! Como fazer isso? Multiplicando o numerador e o 
denominador por ​(x²-4)​. 
 
 
 
Ok, agora perceba que o​ (x-2)²​ pode sair de dentro da raiz como​ |x-2|​. ​Não 
esqueça o módulo! ​Além disso, vamos escrever o ​(x²-4)​ em sua forma fatorada. 
 
 
 
Perceba que para valores menores ou iguais a 2, temos a seguinte igualdade: 
-(x-2) = |x-2|​. E como estamos querendo saber o limite dessa função quando x 
tende a 2 pela esquerda, os valores maiores que 2 não vão nos interessar. Então 
podemos fazer a seguinte simplificação: 
 
 
 
Agora é só calcular os limites: 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 2 
Uma mangueira está enchendo um tanque com água. O tanque tem o formato 
de um prisma de comprimento 8m cuja base é um triângulo equilátero (ver 
figura abaixo). Sabendo que a vazão é constante e igual a 5m³/min, determine a 
taxa de variação da altura da água, h(t), no instante em ela é 2/3m. 
 
 
 
Resolução 
Imagine esse tanque sendo preenchido por água. Você percebe que, a cada 
instante, o volume dentro do tanque tem o formato de um prisma e que a base 
desse prisma é um triângulo isósceles? Veja: 
 
 
 
 
 
Quais são os ângulos internos desse triângulo? Veja a figura abaixo. O ângulo BÂC 
é 60º pois ele compõe o triângulo equilátero. Para completar 180º, faltam 120º. 
Sabendo que o triângulo é isósceles, esses dois ângulos que faltam devem ser 
iguais. Portanto, todos ângulos internos são 60º. 
 
 
Agora, vamos formular a base desse triângulo, que chamaremos de ​b(t)​, em 
função da altura ​h(t)​: 
 
 
 
 
 
Ok, agora vamos formular o volume de água no tanque, em função do tempo: 
 
 
 
Vamos agora derivar o volume em função do tempo, para encontrar a ​taxa de 
variação do volume​. 
 
 
 
 
 
O enunciado diz que, em um dado instante ​t​0​, temos altura ​h(t​0​) = 2/3 m​ e taxa 
de variação do volume ​V’(t​0​) = 5m³/min​. Vamos substituir isso na expressão acima 
para encontrar a taxa de variação da altura.. 
 
 
 
 
 
 
 
 
MAT-2453 - Calculo Diferencial e Integral I - EP-USP 
 
Primeira Prova - 09/04/2018 
 
Testes 
1. Considere a seguinte função f: ℝ→ℝ dada por: 
 
 
Os valores reais de e c que tornam f contínua em são:=b / 0 x = 1 
 
a. e /2b = − 1 c = 2 
b. e /3b = − 1 c = 2 
c. e /2b = − 1 c = 1 
d. e /4b = − 1 c = 2 
e. e /4b = − 1 c = 1 
 
 
 
2. Seja ​f ​uma função derivável num intervalo aberto I que contém 1 e tal que: 
 
 
para todo . A equação da reta tangente ao gráfico de​ f​ no ponto (1,​ f​(1)) é:x ∈ I 
 
a. inexistente. 
b. . y = x + 2 
c. .y = − x2 + 2
3 
d. .y = x2 − 2
3 
e. . y = x2 − 1 
 
3. Seja ​f:​ ℝ→ℝ satisfazendo a seguinte propriedade: 
 
Então podemos afirmar que: 
a. Existe tal que, para todo , vale .m > 0 x < − m (x)f > 0 
b. está definida para todo 1/f )(x)( .x < 0 
c. (x) lim
x→+∞
f = 1 
d. Existe , tal que para todo , temos .M > 0 x ∈ ℝ f (x)| | < M 
e. Existe 0 tal que, para todo , vale .m > x < − m (x)f < 1 
 
 
 
 
MAT-2453 - Calculo Diferencial e Integral I - EP-USP 
 
Primeira Prova - 09/04/2018 
 
 
 
4. Sejam tais que ., ]0, [ f g : ℝ → + ∞ lim
x→+∞
f (x)
g(x) = + ∞ 
Então: 
a. Teremos sempre que .(x)lim
x→+∞
f = + ∞ 
b. Teremos sempre que (x)g(x)lim
x→+∞
f = + ∞ 
c. Podemos ter .(x)g(x) 0lim
x→+∞
f = 
d. Teremos sempre que (x) (x)lim
x→+∞
f = lim
x→+∞
g = + ∞ 
e. Podemos ter: (x)g(x)lim
x→+∞
f = − ∞ 
 
 
 
 
 
5. Dada a seguinte função: 
 
Então: 
a. f​ é contínua em 0 e é derivável em 0. 
b. Nenhuma das outras afirmações é verdadeira. 
c. f ​não é contínua em 0 e não é derivável em 0. 
d. f ​não é contínua em 0 e é derivável em 0. 
e. f ​é contínua em 0 e não é derivável em 0. 
 
 
 
 
 
MAT-2453 - Calculo Diferencial e Integral I - EP-USP 
 
Primeira Prova - 09/04/2018 
 
 
Questões Dissertativas 
 
Questão 1. ​(Valor 3,0). Calcule, caso existam, os seguintes limites: 
a. ;lim
x→+∞
x3
3x2 −
x2
3x+2 
b. ;lim
x→0 x
3
tan(x) − sin(x) 
c. ;lim
x→2−
sin(x −4)2
√x −5x +8x−43 2
 
 
Questão 2. ​(Valor 2,0). Uma mangueira está enchendo um tanque com água. O tanque tem o 
formato de um prisma de comprimento 8m cuja base é um triângulo equilátero (ver figura 
abaixo). Sabendo que a vazão é constante e igual a 5m³/min, determine a taxa de variação da 
altura da água, ​h(t)​, no instante em ela é 2/3m.