Prova 3 Humberto Bortolossi

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GMA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA
GMA
SEGUNDA VERIFICAC¸A˜O DE APRENDIZAGEM
Ca´lculo I –A–
Humberto Jose´ Bortolossi
http://www.professores.uff.br/hjbortol/
Nome leg´ıvel:
Assinatura:
[01] (1.5) Calcule a derivada da func¸a˜o
y = f(x) =
2cos
2(
√
x)
arctg(2 x + 1)
.
Na˜o e´ preciso simplificar a sua resposta!
Soluc¸a˜o. Temos que
f ′(x) =
2cos
2(
√
x) ln(2) 2 cos(
√
x) (− sen(√x)) 1
2
√
x
arctg(2 x + 1)− 2cos2(
√
x) 1
1 + (2 x + 1)2
2
arctg2(2 x + 1)
[02] Considere a f(x) =
⎧⎨
⎩
x2 sen
(
1
x
)
, se x �= 0,
0 se x = 0.
(a) (1.0) Existe f ′(x) para x �= 0? Em caso afirmativo, calcule f ′(x).
Justifique a sua resposta!
Soluc¸a˜o. Sim, pois para x �= 0, vale que f(x) = x2 sen (1/x). Logo, f e´ deriva´vel
em x �= 0 como multiplicac¸a˜o, divisa˜o e composic¸a˜o de func¸o˜es deriva´veis em x �=
0. Usando as regras de derivac¸a˜o, obtemos que
f ′(x) = 2 x sen
(
1
x
)
+ x2 cos
(
1
x
)(
− 1
x2
)
= 2 x sen
(
1
x
)
− cos
(
1
x
)
.
(b) (1.0) Existe f ′(0)? Em caso afirmativo, calcule f ′(0). Justifique a
sua resposta!
Soluc¸a˜o. Existe f ′(0), pois
lim
h→0
f(0 + h)− f(0)
h
= lim
h→0
h2 sen
(
1
h
)
− 0
h
= lim
h→0
[
h sen
(
1
h
)]
= 0
onde, na u´ltima igualdade, usamos o teorema do anulamento: limh→0 h = 0 e
y = sen(1/x) e´ uma func¸a˜o limitada.
1
(c) (1.0) A func¸a˜o f e´ de classe C0? Ela e´ de classe C1? Justifique a
sua resposta!
Soluc¸a˜o. Como f e´ deriva´vel, segue-se que f e´ cont´ınua e, portanto, de classe C0.
A func¸a˜o f na˜o e´ de classe C1, pois a derivada f ′ na˜o e´ cont´ınua em x = 0, uma
vez que na˜o existe o limite
lim
x→0
f ′(x) = lim
x→0
[
2 x sen
(
1
x
)
− cos
(
1
x
)]
.
[03] (1.5) Se f e g sa˜o func¸o˜es de classe C∞, sabemos pela regra da cadeia
que
d(f ◦ g)
dx
(x) =
df
dx
(g(x)) · dg
dx
(x).
Mostre que
d2(f ◦ g)
dx2
(x) =
d2f
dx2
(g(x)) ·
(
dg
dx
(x)
)2
+
df
dx
(g(x)) · d
2g
dx2
(x).
Justifique cuidadosamente cada passo de seu argumento e na˜o use abu-
sos de notac¸a˜o!
Soluc¸a˜o. Temos que
d2(f ◦ g)
dx2
(x) =
d
dx
[
d(f ◦ g)
dx
(x)
]
=
d
dx
[
df
dx
(g(x)) · dg
dx
(x)
]
(1)
=
d
dx
[
df
dx
(g(x))
]
· dg
dx
(x) +
df
dx
(g(x)) · d
2g
dx2
(x)
(2)
=
[
d2f
dx2
(g(x)) · dg
dx
(x)
]
· dg
dx
(x) +
df
dx
(g(x)) · d
2g
dx2
(x)
=
d2f
dx2
(g(x)) ·
(
dg
dx
(x)
)2
+
df
dx
(g(x)) · d
2g
dx2
(x),
onde, em (1) usamos a regra do produto e, em (2), usamos a regra da cadeia.
[04] (1.5) Calcule o polinoˆmio de Taylor de ordem 7 da func¸a˜o f(x) =
1
x + 1
no ponto p = 0.
Soluc¸a˜o. Temos que
f(x) = (x + 1)−1, f ′(x) = −(x + 1)−2, f ′′(x) = 2 · (x + 1)−3,
f (3)(x) = −3 · 2 · (x + 1)−4 = −3! · (x + 1)−4,
f (4)(x) = 4 · 3! · (x + 1)−5 = 4! · (x + 1)−5,
f (5)(x) = −5 · 4! · (x + 1)−6 = −5! · (x + 1)−6,
f (6)(x) = 6 · 5! · (x + 1)−7 = 6! · (x + 1)−7,
f (7)(x) = −7 · 6! · (x + 1)−8 = −7! · (x + 1)−8.
2
Consequ¨entemente, f(0) = 1 = 0!, f ′(0) = −1 = −1!, f ′′(0) = 2 = 2!, f (3)(0) = −3!,
f (4)(0) = 4!, f (5)(0) = −5!, f (6)(0) = 6! e f (7)(0) = −7!. Portanto, o polinoˆmio de
Taylor de ordem 7 da func¸a˜o y = f(x) = 1/(x + 1) no ponto p = 0 e´ dado por
y = p7(x) =
7∑
i=0
f (i)(0)
i!
(x− 0)i = 1− x + x2 − x3 + x4 − x5 + x6 − x7.
[05] (1.0) Use o teorema da func¸a˜o inversa para, a partir da derivada de
y = f(x) = ln(x), calcular a derivada de sua inversa f−1. Justifique
cuidadosamente a sua resposta!
Soluc¸a˜o. Se f(x) = ln(x), sabemos que f ′(x) = 1/x e f−1(x) = ex. Usando o teorema
da func¸a˜o inversa, temos que
(f−1)′(x) =
1
f ′(f−1(x))
=
1
f ′(ex)
=
1
1
ex
= ex.
[06] (1.5) Cafe´ esta´ sendo coado de um filtro na forma de um cone circular
reto para um recipiente na forma de um cilindro circular reto a uma
taxa constante de 164 cm3/min (veja a figura abaixo).
15 cm
15 cm
15 cm
O quão rapidamente
este nível 
está aumentando?
O qua˜o rapidamente esta´ aumentando o n´ıvel do recipiente cil´ındrico
quando o n´ıvel de cafe´ no filtro e´ igual a 13 cm?
3
Soluc¸a˜o. Se V (t) representa o volume de cafe´ no recipiente e h(t) representa o n´ıvel
de cafe´ do recipiente no tempo t, enta˜o
V (t) = π ·
(
15
2
)2
· h(t) = π · 225
4
· h(t)
Derivando, obtemos que
dV
dt
(t) =
π · 225
4
· dh
dt
(t), isto e´,
dh
dt
(t) =
4
π · 225 ·
dV
dt
(t).
Como, em mo´dulo, a taxa de variac¸a˜o do volume do filtro e´ igual a taxa de variac¸a˜o
do volume no recipiente, conclu´ımos que (dV/dt)(t) = 164 cm3/min. Portanto,
dh
dt
(t) =
4
π · 225 · 164 =
656
π · 225 = 0.92 . . . cm/min.
Texto composto em LATEX2e, HJB, 22/05/2008.
4