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Elementos e Mecânica dos Fluídos Paulo Vinicius Rodrigues de Lima paulo.vini2004@gmail.com Exemplo – No tubo da figura, determinar a vazão em volume e a velocidade na seção ( 2 ), sabendo – se que o fluído é água. Nota: Como o fluido é incompressível, (líquido) então a Equação da Continuidade nos dá: A vazão será: 1 1 1 1 21 10mQ v A Q s cm= × ⇒ = × 2 4 2 1 10 m cm × 3 31 2 2 2 2 2 10 2 5 Q m s ou mQ v A Q s cm −⇒ = = × ⇒ = × 2 4 2 1 10 m cm × 3 32 10Q m s−⇒ = Portanto: 3 3 10Q m−= 3 1000 1 L s m × 1Q L s⇒ = 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 21 10 Q Q Q v A v A v A v A m sv v cm A = = × × = × × ×= ⇒ = 25 cm 2 2v m s⇒ = Elementos e Mecânica dos Fluídos Paulo Vinicius Rodrigues de Lima paulo.vini2004@gmail.com Exemplo resolvido 4.1 – Ar escoa num tubo convergente. A área de maior seção do tubo é 220cm e a menor 210cm . A massa específica do ar na seção (1) é 30,12utm m , enquanto na seção (2) é 30,09utm m . Sendo a velocidade na seção (1) 10m s , determinar a velocidade na seção (2) e a vazão em massa. Nota: Trata-se de fluído compressível, 1 2ρ ≠ ρ e a Equação da Continuidade nos dá 1 2m mQ Q= . 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 0,12 m m m ut Q Q Q v A v A v A v Av v A m = = ρ× × ρ × × = ρ × × ρ × ×= ⇒ =ρ × 3m 210 20m s cm× × 0,09 utm 3m 210 cm× 2 1 1 31 26,67 0,12m m v m s utmQ v A m Q ⇒ = = ρ × × ⇒ = 10 m× 220 s cm× 21m× 4 210 cm 2 2 3 3 2 2,4 10 0,09 m m m Q utm s ou utmQ A m v Q −⇒ = × = ρ × × ⇒ = 26,67 m× 210 s cm× 21m× 4 210 cm 32,4 10mQ utm s −⇒ = × Elementos e Mecânica dos Fluídos Paulo Vinicius Rodrigues de Lima paulo.vini2004@gmail.com Exemplo resolvido 4.2 – Um tubo admite água ( )3100utm mρ = , num reservatório com uma vazão de 20L s . No mesmo reservatório é trazido óleo ( )380utm mρ = por outro tubo com a vazão de 10L s . A mistura homogênea formada é descarregada por um tubo cuja seção tem uma área de 230cm . Determinar a massa específica da mistura no tubo de descarga e a velocidade da mesma. Pela Equação da Continuidade: 1 2 3 1 1 2 2 3 3 m m m mQ Q Q Q Q Q Q Q + = = ρ× ρ × + ρ × = ρ × Como os fluídos admitidos são incompressíveis, além de ser válida a Equação da Continuidade, vale a relação: 3 1 2 3 320 10 30 L LQ Q Q Q Q L s s s = + ⇒ = + ⇒ = Logo: 3 3 1 1 2 2 1 1 2 2 3 3 3 3 3 33 3 3 3 100 20 80 10 30 28002000 800 30 utm L utm L Q Q m s m sQ Q Q LQ s utmutm L utm L mm s m L s L s × + ×ρ × + ρ ×ρ × + ρ × = ρ × ⇒ ρ = ⇒ ρ = ⇒ ×× + × ρ = ⇒ ρ = s 30 L s 3 3 3 3 3 3 93,3 30 utm m Qv v L A ⇒ ρ = = ⇒ = 31 s m× 1 1000L 230 cm 21m× 4 210 cm 3 10v m s⇒ = Elementos e Mecânica dos Fluídos Paulo Vinicius Rodrigues de Lima paulo.vini2004@gmail.com Exemplo resolvido 4.5 – No dispositivo da figura, o pistão desloca-se 0,5m e o trabalho realizado nesse deslocamento é 50kgf m× . Supõe-se que não haja perda de pressão entre a saída da bomba e a face do pistão. Determinar: a) A potência fornecida ao fluído pela bomba; b) A vazão em L s ; c) A pressão na face do pistão. 50 0,5 0,5 W kgf m S m t s = × = = ? ? ? N Q P = = = 2 50 100 0,5 50 pd W kgf mN N N kg c f m s t s A SVQ Q Q t t m ×= ⇒ = ⇒ = × ×= ⇒ = ⇒ = 2 4 2 1 10 m cm × 0,5× 0,5 m 3 35 10 100 Q m s s N kgfN P Q P P m Q −⇒ = × ×= × ⇒ = ⇒ = s 3 35 10 m−× 1 s 2 2 20.000 2kgf kgfP ou P m cm ⇒ = = Elementos e Mecânica dos Fluídos Paulo Vinicius Rodrigues de Lima paulo.vini2004@gmail.com 4.1 – Ar escoa por um tubo de seção constante de diâmetro 5cm . Numa seção (1) a massa específica é 30,12utm m e a sua velocidade é de 20m s . Sabendo-se que o regime é permanente e que o escoamento é isotérmico, determinar: a) A velocidade do gás na seção (2), sabendo que a pressão na seção (1) é 21kgf cm (abs) e na seção (2) é 20,8kgf cm (abs); b) A vazão em massa; c) A vazão em volume em (1) e (2). Nota: O fluído é gás, portanto, não pode ser caculada a vazão em volume. 3 1 1 0,12 20 utm m v m s ρ = = ( ) ( ) 2 2 1 2 2 ) v ? 1 0,8 a P kgf cm abs P kgf cm abs = = = 1 1 2 2 2 1P vv v g P k f×= ⇒ = 2cm 20 0,8 m s kgf × 2cm 2 25v m s⇒ = 1 1 1 1 1 3 ) 0,12 m m b Q Q v A utQ m m = ρ × = ρ × × = 20 m× 0,05m s π×× ( )2 34,71 10 4 m Q utm s−⇒ = × ( ) ( ) 1 2 3 3 1 1 1 1 1 2 3 3 2 2 2 1 1 ) ? 0,05 20 39,27 10 4 0,05 25 49,09 10 4 c Q mmQ v A Q Q m s s mmQ v A Q Q m s s − − = π×= × ⇒ = × ⇒ = × π×= × ⇒ = × ⇒ = × 1 2 1 2 A A t t ⇒ = ⇒ = 1 1 2 2 1 1 2 2 P v P v P vv P × = × ×= 1 1 2 2 Escoamento isotérmico Pv cte p v p v ⇒ = ∴ = 2 1 11 ) ?d Av ρ = ρ × × 2 22 v A= ρ × × 3 1 1 2 2 2 0,12 20utm v m v m×ρ ×⇒ ρ = ⇒ ρ = s 25 m s 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 0,096 4,71 10m m utm m ou Q utmQ v A v A s− ⇒ ρ = ×= ρ × × ⇒ ρ = ⇒ ρ =× 25m s ( ) 3 22 0,0960,05 4 utm m m ⇒ ρ =π×× Elementos e Mecânica dos Fluídos Paulo Vinicius Rodrigues de Lima paulo.vini2004@gmail.com 4.2 – Os reservatórios I e II da figura são cúbicos e enchidos pelos tubos respectivamente em 100 e 500 s. Determinar a velocidade da água na seção “A” indicada, sabendo – se que o diâmetro é 1 m. 3 10 10 10 1000 II II V m m m V m = × × = 3 5 5 5 125 I I V m m m V m = × × = entrada saída 3 3 3 3 3 125 1000 100 500 1,25 2 3,25 A I II I II A I II A A A Q Q Q Q Q V VQ t t m mQ s s m mQ s s Q m s = = + = +Δ Δ = + = + = 33,25A A Qv v A m= ⇒ = 20,7853m s 4,13v m s= ( )22 2 1 4 4 0,7853 A A A mDA A A m π×π×= ⇒ = = Elementos e Mecânica dos Fluídos Paulo Vinicius Rodrigues de Lima paulo.vini2004@gmail.com 4.4 – Um propulsor a jato queima 0,1utm s de combustível quando o avião voa a velocidade de 200m s . Sendo dados: 30,12ar utm mρ = ; 30,05m utm mρ = , na seção (2); 2 1 0,3A m= e 22 0,2A m= . Determinar a velocidade dos gases queimados ( )mv na seção de saída. ( ) ( ) 1 3 2 1 1 3 3 2 2 1 1 1 2 2 20,1 200 m m mQ Q Q Q Q Q utmv A v A m s + = ×ρ + ×ρ = ×ρ × ×ρ + = × ×ρ 20,3 s m× 23 20,12 0,1 0,2mutm vsm utm⎛ ⎞× + = ×⎜ ⎟⎝ ⎠ 3 0,05 utm m × 1 2 2 7,2 0,1 0,01 7,3 utm utm utmv s s m v utm ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ + = × = 0,01 s utm 2 730 m v m s= Elementos e Mecânica dos Fluídos Paulo Vinicius Rodrigues de Lima paulo.vini2004@gmail.com 4.7 – O tanque da figura pode ser enchido pela água que entra pela válvula A em 5h., pela que entra por B em 3h. e pode ser esvaziado (quando totalmente cheio) pela válvula C em 4h. (supondo vazão constante).Abrindo todas as válvulas (A,B,C,D) ao mesmo tempo o tanque matem-se totalmente cheio. Determinar a área da seção de D se o jato de água deve atingir o ponto O da figura. Dado: 210g m s= . 0 0 0 3 3 3 3 Lembrar: Pela equação da continuidade: 30 30 30 5 3 4 8,5 A B C D D D Q v A Q Q Q Q m m m Q h h h Q m h = × + + = + + = + = }0 0 0 0 movimento da gota: na horizantal: MRU na vertical: MRUV (queda livre) = ⇒ = + × ⇒ = + × D t D X x v t Y y v t 2 2 0 1 2 10 5 0 10 1 2 em "X": 10 0 1 10 − × = + − × ⇒ = = + × = + × = D f D D g t t t s X x v t v v m s 3 Assim: 8,5 D D D D D D D Q v A QA A m v = × = = 2 h 1h× 3600 s 10 m s 4 2 2 2,361 10 2,361 D D A m ou A cm −= × = Elementos e Mecânica dos Fluídos Paulo Vinicius Rodrigues de Lima paulo.vini2004@gmail.com 4.8 – Sabendo-se que num conduto de seção circular o diagrama de velocidade é parabólico dado pela equação 2 máx 1 rv v R ⎡ ⎤⎛ ⎞= = −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ , onde v é uma velocidade genérica, máxv é a velocidade no eixo do conduto, r é um raio genérico e R é o raio do conduto. Calcular a velocidade média na seção (escoamento laminar). Sabe-se que: m 1v v dA A = × ∫ . ( ) 2 máx2 máx 1 1 1 2 2 r A A rv v dA v v r dr A R R vv ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞= × ⇒ = × − × π× × ⇒⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟π× ⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ = π ⎦⎩ ⎭ × ∫ ∫ π ( ) 2 2 máx 22 0 3 3máx máx 2 2 2 2 0 0 0 2 4 máx 2 2 0 0 21 1 2 2 1 2 2 4 R A R R R R R vr rr dr v r dr R R RR v vr drv r dr v r dr r dr R R R R v r rv R R ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞× − × × ⇒ = × − × ⇒⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟× ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞×= × × − ⇒ = × × − × × ⇒⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= × −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 má á 2 x 2 m x 2 2 4 2 R R v R v Rv v ⎛ ⎞⇒ = × − ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠ = 2R× máx 4 2 vv⇒ = Elementos e Mecânica dos Fluídos Paulo Vinicius Rodrigues de Lima paulo.vini2004@gmail.com 4.9 – Sabe-se que num conduto de seção circular o diagrama de velocidade é exponencial dado pela equação: 1 7 max 1 rv v R ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠ , onde v é a velocidade genérica, maxv é a velocidade no eixo do conduto, r é um raio genérico, R é o raio do conduto. Calcular a velocidade média na seção (escoamento turbulento). Sabe-se que: 1 mv v dAA = ×∫ . 2 2 (ver exercício 4.8) (ver exercício 4.8) dA r dr A R = π× × = π× 1 7 max2 0 21 1 1 2 R rv v dA v v r dr v A R R ⎛ ⎞= × ⇒ = − × π× × ⇒ =⎜⎝ ⎠ π⎟π×∫ ∫ maxv×π ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 7 2 0 1 7 1 7max max 2 1 7 15 7 0 0 1 7max max 15 7 15 7 0 1 7 8 7 8 7 1 7 8 7 1 7 0 0 0 0 1 2 2 note: 2 2 7 R R R R R R R R R r r dr RR v vv R r r dr v R r r dr R R R R r t r R t dr dt v vv t R t dt v I R R I Rt t dt I t Rt dt I t dt R t dt tI −⎛ ⎞× × × ⇒⎜ ⎟× ⎝ ⎠ = × − × × ⇒ = × − × ×× − = = − = − = × × − × − ⇒ = × = − × − ⇒ = − × ⇒ = − ⇒ = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( )15 7 8 75 7 8 7 0 0 0 0 15 7 8 7 15 7 15 7 15 7 15 7 15 7 15 7 7 7 15 8 15 8 8 157 0 0 7 7 15 8 15 8 120 7 497 120 R RR R R r R rtR I R R R R R R RI R I I R RI I ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⇒ = × − ⇒⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− += × − − − ⇒ = × − + ⇒ = × ⇒⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎡ ⎤= × ⇒ =⎢ ⎥⎣ ⎦ max 15 7 1 2 20 2vv I v R ⇒ = × ⇒ = 1 max 15 7 v R 15 749R× 120 max 60 49 60 vv⇒ = Elementos e Mecânica dos Fluídos Paulo Vinicius Rodrigues de Lima paulo.vini2004@gmail.com 4.10 – No sistema da figura, sabe-se que na seção (1) de área 30 cm2 (circular), o escoamento é laminar. As velocidades dos pistões são indicadas na figura. Qual a vazão em kg/s no retorno, se 310.000N mγ = ? Dado: 210g m s= . max 1 1 1 1 1 2 2 6 30 2 vQ v A A cm sQ m = × ⇒ × = × 2 4 2 1 10 m cm × 3 3 1 1 9 10 9 Q m s ou Q l s −= × = 2 2 2 2 23 10 Q v A Q m s cm = × = × 2 4 2 1 10 m cm × 3 3 2 2 3 10 3 Q m s ou Q l s −= × = 3 3 3 3 22 20 Q v A Q m s cm = × = × 2 4 2 1 10 m cm × 3 3 3 3 4 10 4 Q m s ou Q l s −= × = 4 4 4 4 21 30 Q v A Q m s cm = × = × 2 4 2 1 10 m cm × 3 3 4 4 3 10 3 Q m s ou Q l s −= × = 310.000 MR R MR R MR Q Q Q Q NQ m g = ρ× γ= × = 210m s 1 3 35 10 m−× × s 5 5MR MR N s kgQ Q m m× ×= ⇒ = 2s 1 s× m 5MRQ kg s= entrada saída 1 2 3 4 3 3 9 3 4 3 5 5 10 R Q Q R R R Q Q Q Q Q Q Q l s ou Q m s− + = + + ∑ ∑ + = + + = = × 123 1442443 entrada saída 1 2 3 4 R Q Q Q Q Q Q Q+ = + + ∑ ∑ 123 1442443 Elementos e Mecânica dos Fluídos Paulo Vinicius Rodrigues de Lima paulo.vini2004@gmail.com 4.11 – No circuito hidráulico abaixo, que opera com óleo de peso específico 38000N m , há um vazamento. Determinar a despesa diária do óleo vazado, sabendo – se que seu custo é US$ 0,10/ kg. Dados: 2,5Av m s= ; 240AA cm= ; 2,1Bv m s= ; 245BA cm= ; 210g m s= . ( )1 . 1 1 49 turbulento 60 49 6 60 4,9 máxv v v m s v m s = × = × = 3 2 8000 10 8000 N m m mg g s kg γγ = ρ× ⇒ ρ = ⇒ ρ = × ρ = 23m s× 10 m 2s 3800kg m⇒ ρ = ( ) ( ) ( ) 1 . 1 1 . 1 1 1 . 4 2 4 2 4 2 .3 3 3 . 4,9 40 10 800 2,5 40 10 800 2,1 45 10 800 15,68 8 7,56 m mA mB m vaz A A B B m vaz A A A B B B m vaz m vaz m vaz Q Q Q Q Q Q Q Q v A v A v A Q m kg m kg m kgm m m Q s m s m s m kg kg kg Q s s s Q − − − = + + ×ρ = ×ρ + ×ρ + × ×ρ = × ×ρ + × ×ρ + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞× × × = × × × + × × × +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = + + . 0,12 Despesa 0,12 m vaz kg g s k = = s $0,10US kg × 3600 s× 1h 24 h× dia Despesa 1036,8 $ diaUS= Elementos e Mecânica dos Fluídos Paulo Vinicius Rodrigues de Lima paulo.vini2004@gmail.com 4.12 – Determinar o tipo de escoamento na seção (3). Dados: 1Re 5714= ; 2Re 8929= ; 5 28,4 10 m sυ −= × . Obs: Re HD vυ ×= e 4 4H H AD R p= × = . Onde: raio hidráulico seção transversal molhada perímetro da seção em contato com o fluído HR A p = = = ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 SEÇÃO RETANGULAR 0,2 0 2 ,3 1 0,2 0,3 1 Re 4 4 2 2 2 200 300 200 300 0,12 H H H m m H m m H v D A a bD p a b ab D a b mm mm D mm m D m m υ ×= ×= × = × × + ×= + ⎛ ⎞⎜ ⎟× ×⎜ ⎟⎝ ⎠= + = 1442443 64748 64748 64748 64748 1 0,5m 1 1 1 1 1 1 2 1 5 1 0,24 ReRe 5714 8,4 10 H H H D m v D v D v m υ υ − = × ×= ⇒ = × ×= 1 0,24 s m 1 1 1 1 1 0,2 0,3 1 1 3 1 1 3 1 1,99 2,0 1,99 200 300 1,19 10 1,2 10 m m v m s v m s Q v A mQ mm mm s Q m s Q m s − − = ⇒ ≅ = × ⎛ ⎞⎜ ⎟= × ×⎜ ⎟⎝ ⎠ = × ≅ × 64748 64748 ( ) 2 2 2 21 2 1 2 2 Re 4 4 4 4 H H H vD DAD p D D υ ×= π×= × = × π× = × π 2D× ( )2 4 1× π 2D× 2 2 SEÇÃO CIRCULAR 2 2 2 2 2 2 2 5 2 2 250 0,25 Re Re 8929 8,4 10 H H H H H D D D mm D m v D v D v m υ υ − = = = ×= ×= × ×= 14243 1 0,25 s m ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 2 3,00 3,00 4 0,25 3,00 4 1,47 10 v m s Q v A DmQ s mmQ s Q m s− = = × π×= × π×= × ≅ × ( ) 3 1 2 3 1 3 1 3 3 3 3 3 3 1 3 3 3 3 0,55 0,55 1 3 3 Equação da continuidade (fluído incompressível) 1,2 1,47 10 2,67 10 Re ? Re 2,67 10 550 550 2,67 10 H m m Q Q Q mQ s Q m s D v Q m sv A mm m mm v υ − − − − = + = + × = × = ×= ×= = × ×= 14243 14243 1 20,3025m s 3 3 3 3 0,883 44H v m s AD p = = × = x× l l 4 × l 3 SEÇÃO QUADRADA 3 3 3 3 3 0,55 Re 0,55Re H H H D D m D v m υ = = ×= = l14243 0,883 m× s 5 28,4 10 m−× s 3Re 5781,6 turbulento = ∴ Elementos e Mecânica dos Fluídos Paulo Vinicius Rodrigues de Lima paulo.vini2004@gmail.com 4.13 – Com o registro “R” inicialmente fechado, o nível do reservatório apresenta uma variação 10h cmΔ = num intervalo de tempo de 10s . A partir deste instante, o registro é aberto, permanecendo constante o nível do reservatório. Pede-se: a) O diâmetro da seção transversal do tubo que abastece o tanque, sabendo-se que na mesma a velocidade máxima é 4m s e o escoamento é turbulento; b) Após o nível constante, qual o alcance “X” do jato; c) Regime de escoamento no tubo de saída dado 6 210 m sυ −= ; d) Diâmetro do tubo se o regime for laminar. 2 2 ) ? 4 4 4 t t t a Dt Q v A DQ v Q v D QD v = = × π×= × = × π× = × π ( ) 1 2 3 7 3 1 49 turbulento 60 49 4 60 3,267 0,10 0,641 10 0,00641 4 4 0,00641 m máx m máx m m tq t t rv v R v v v m s m s h AVQ t t m mQ s Q m m s QD v D ν ⎛ ⎞= − ∴⎜ ⎟⎝ ⎠ = × = × = Δ ×= = ×= = = × π ×= 2 s 3,267 m s 0,05 5t tD m ou D cm × π ≅ ≅ ( ) 2 3 3 2 ) ? 4 0,00641 0,00641 0,025 4 Q Qb X Q v A v v A D m sv v m m = = × ⇒ = ⇒ = π× = ⇒ =π× 1 4 24,909 10 m s −× 2 0 13,058 na vertical: 1 2 0 1,25 v m s Y y t g t m t ν ν ⇒ = = + × − × = + ×{ 0 2 2 0 2 1 10 2 0 1,25 5 1,25 t m t s t mt = − × × = − = 5 m 2 0,5t s s ⇒ = 0 na horizontal: 0 13,058 X x t mX s ν= + × = + 0,5 s× 6,529X m= 6 2 ) Regime ? 0,025 13,06Re 10 Re 32.6500 Re 4000 regime turbulento c D D m m s m s ν ν υ − = × ×ρ × ×= = =μ = ∴ > ⇒ ( ) ( )2 2 2 2 2 ) Regime laminar Re 2000 ReRe .1 Laminar Re 2000 4 .2 4 Substituindo 2 em 1: Re Re Re44 4 d D v D eq v D QQ v A Q D v v eq D DD D QQ Q D υ υ υ υ υ ≤ × ×= ⇒ = ≤ π×= × ⇒ = × ⇒ = π× × × × π× × × π×= ⇒ = ⇒ = π× 1 D 34 4 0,00641 Re mQD υ ×= =× π× 1 s 262000 10 m−× π× s 4,08D m⇒ = Elementos e Mecânica dos Fluídos Paulo Vinicius Rodrigues de Lima paulo.vini2004@gmail.com 4.14 – Dados: fluídos ideais. Seção (1): 21 10A cm= ; 31 10kN mγ = Seção (2): 22 20A cm= ; 2 0,25v m s= ; 2 ? (S.I.)ρ = Seção (3): 23 30A cm= ; 33 9,5kN mγ = ; 3 ? (S.I.)mQ = . ( ) 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 2 1 3 3 1 2 2 2 4 2 2 3 3 2 3 1 2 3 3 3 Equação da continuidade (fluído ideal) Q escoamento laminar 2 2 1 2 1 10 10 1,0 10 0,25 20 10 0,5 10 1 10 0,5 10 máx Q Q Q v A vv m sv v m s Q v A mQ m s Q m s Q v A mQ m s Q m s Q Q Q mQ s − − − − − + = = × = = ⇒ = = × = × × = × = × = × × = × = + = × + × 3 3 3 3 3 1,5 10 m s Q m s − −= × 3 3 3 3 3 3 2 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 9,5 10 9500 10 950 1,5 10 m m g g kN m m s N m m s kg Q Q m m Q − γ = ρ × γρ = ρ = ρ = ρ = = ×ρ = × 3 950 kg s m × 3 1 1 3 1 3 1 2 3 1 2 3 1 1,425 10 10 10.000 10 1000 mQ kg s g g kN m m s N m m s kg m = γ = ρ × γρ = ρ = ρ = ρ = 1 2 3 1 1 3 3 1 1 1,0 10 m m m m m Q Q Q Q Q mQ − + = = ×ρ = × 3 1000 kg s m × 1 3 3 2 2 3 2 3 1 3 3 2 2 1,0 0,5 10 1,425 0,5 10 1,425 1,0 0,425 m m m m m m Q kg s mQ s Q kg s Q Q Q m kg kg s s s k sg − − = = × ×ρ = = − × ×ρ = − ρ = 3 30,5 10 sm−× 3 2 850kg mρ = Elementos e Mecânica dos Fluídos Paulo Vinicius Rodrigues de Lima paulo.vini2004@gmail.com 4.15 – O tanque maior da figura abaixo permanece a nível constante. O escoamento na calha tem uma seção constante transversal quadrada e é bidimensional obedecendo a equação 23v y= . Sabendo que o tanque “B” tem 31m e é totalmente preenchido em 5 segundos e o conduto circular tem 30 cm de diâmetro, pede-se: a) Qual a velocidade média na calha quadrada? b) Qual a vazão no conduto circular de 30 cm de diâmetro? c) Qual a velocidade máxima na seção do conduto circular de 30 cm de diâmetro? d) Qual o tipo de escoamento no conduto circular de 30 cm de diâmetro? ( ) ( ) 2 2 13 0 3 3 ) da calha quadrada 1 1 3 1 1 1 3 1 3 3 3 1 3 0 3 3 1 média calha calha calha calha calha calha a v v v dA A v y dy v y dy yv v v m s = × = ×× = × = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = ∫ ∫ ∫ 30 30 3 3 2 3 30 30 3 3 30 30 ) ? Equação da continuidade (fluído incompressível) Q 1 5 0,2 1 1 1 Q Q Q 1 0,2 Q 0,8 cm calha cm B B B B B calha calha calha calha calha calha cm B cm calha B cm cm b Q Q Q V mQ t s Q m s Q v A mQ m s Q m s Q Q Q Q m m s s m φ φ φ φ φ φ = = + = = = = × = × = = + = − = − = 3 s ( ) 30 30 30 30 30 30 3 30 2 2 30 3 3 30 ) no conduto 30 0,3 15 0,15 Q Q 0,8 0,8 0,15 0,8 média cm cm cm cm cm cm cm cm cm c v cm m r cm m v A v A m sv r m m sv m v φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ = = = = = × = = π× = π× = 1 20,0225 s mπ× 30 11,32cmv m sφ = ) Tipo de escoamento 0,30 Re d D m v υ ×= = 11,32 m× s 2610 m− s 6 3,396Re Re 3.396.000 10 Re 4000 turbulento −= ⇒ = ∴ > ⇒ Elementos e Mecânica dos Fluídos Paulo Vinicius Rodrigues de Lima paulo.vini2004@gmail.com 4.16 – No sistema da figura a água é descarregada do cilindro e percorre uma distância 19,8a m= , caindo de uma altura 20,5b m= . Durante o processo que dura 6,0min. , no tanque A que tem 20,5m de base, o nível de água sofre um desvio de ( )27cm hΔ . Calcular: a) Velocidade da água na saída do cilindro 3v ; b) Velocidade do pistão vp e o sentido do seu movimento. Dados: 330 ; 1Dp cm D cm= = . 2 4 30,27 0,5 3,75 10 360 baseh AV m mQ Q m s t t s −Δ × ×= = = ⇒= × 3 2 0 ) ? Queda Livre na vertical: 1 2 0 20,5 a v b b v t g t v t = = + × − × = + ×{ 0 2 0 2 1 10 2 0 20,5 5 20,5 2,024 5 t t t t t s = − × × = − = ⇒ = 2 27 0,27 0,5 h cm m base m Δ = = = 3 30 0,3 1 0,01 Dp cm m D cm m = = = = 6,0min 360s= 0 3 na horizontal 19,8 0 2,02 19,8 2,024 9,78 a a v t v v v v m s = + × = + × = = = ( )2 3 3 3 3 4 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 3 4 3 ) ? 0,01 9,78 4 7,681 10 : 3,75 10 7,681 10 3,931 10 pistão descendo vp 3,931 10 p p p p p p p p p b vp mmQ v A Q s Q m s Logo Q Q Q Q Q Q Q Q Q m mQ s s Q m s Q Q A vp m A vp − − − − − = π×= × ⇒ = × = × = + ⇒ = − = − = × − × = − × ⇒ = × ⇒ = − ×= 1 0,3 s mπ× ( )2 0,00556 4 vp m s⇒ = − Elementos e Mecânica dos Fluídos Paulo Vinicius Rodrigues de Lima paulo.vini2004@gmail.com 4.17 – Dois gases de massas específicas diferentes 31,2A kg mρ = e 30,95B kg mρ = encontram-se em um cilindro onde formam uma mistura homogênea. O pistão de diâmetro 18,5PD cm= se movimenta para baixo com velocidade de 1,6cm s e a mistura resultante sai do cilindro com velocidade 12,5Cv m s= . Calcular: a) Velocidade Bv ; b) Massa específica da mistura de gases. Dados: 25Av m s= ; 1,5AD cm= ; 16,5mBQ kg h= ; 2,5BD cm= ; 2,0CD cm= ( ) ( ) ( ) ( )2 3 Equação da continuidade (fluído compresível) 1,2 25 16,5 4 mA mB mP mC A A A mB P P P C C C A Q Q Q Q v A Q v A v A Dk m h g kg m s + + = ρ × × + + ρ × × = ρ × × ⎛ ⎞π×⎜ ⎟× × +⎜ ⎟⎝ ⎠ 1h× ( ) ( ) 2 2 2 0,016 12,5 3600 4 4 30 P C C C D Dm m s s s kg m ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ π× π×⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ρ × × = ρ × ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0,015 s mπ××× ( ) ( ) ( )2 2 23 3 3 3 3 4 3 3 3 0,185 0,02 4,58 10 0,016 12,5 4 4 4 5,30 10 4,58 10 4,30 10 3,93 10 3,93 10 4,30 C C C C C C m mkg m m s s s kg kg m m s s s s m s − − − − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞π× π×⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ × + ρ × × = ρ × ×⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞× + × + ρ × × = ρ × ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ρ × × − ρ × ×⎜ ⎟⎝ ⎠ 3 4 3 3 3 3 3 10 9,88 10 3,5 10 9,88 10 9,88 10 C C m kg s s m kg s s kg s − − − − − ⎛ ⎞ = ×⎜ ⎟⎝ ⎠ ρ × × = × ×ρ = 3 33,5 10 sm−× 32,82C kg m⇒ ρ = ) ? 16,5 B B B B mB B B mB B B B a v Q v A Q Q QQ k Q g = = × = ×ρ = ρ = 0,95 h kg 3 3 3 3 17,37 4,82 10 B B m Q m h ou Q m s− = = × ( ) ( ) 3 3 2 3 3 2 4,82 10 4 4,82 10 0,025 4 9,82 B B B B m sv D m sv m v m s − − ×= π× ×= π× = Elementos e Mecânica dos Fluídos Paulo Vinicius Rodrigues de Lima paulo.vini2004@gmail.com 4.18 – Sabendo –se que a seção transversal (I) é quadrada e que 20Iv m s= , determinar o valor do lado dessa seção, assim como o tipo de escoamento na mesma, considerando 210g m s= e 6 210 m sυ −= . O jato que sai da seção circular (II), de diâmetro 10cm , chega ao ponto “O” marcado na figura e o jato que sai da tubulação (III) enche o reservatório de dimensões conhecidas em 100 segundos. Dados: 0 45y m= ; ( )0 6x m= π ; 20,15BaseA m= ; 2H m= . ( ) ( ) 2 3 3 3 2 2 0 0,15 2 0,3 0,3 100 0,003 4 0,1 4 na horizontal 6 0 6 III III III III Base III III III III II II II II II II II II II VQ t V A H V m m V m mQ s Q m s Q v A D A m A x x v t v t v t = = × = × = = = = × π×= π×= = + × π = + × π= 2 0 0 0 na vertical 1 2 45 0 II II y y v t gt m v t = + × + = + × 0 0 2 2 1 2 1 2 4545 2 9 3 6 6 3 2 2 t II II II gt mgt m t g t t s v t s v m s Q = + ×= ⇒ = = ⇒ = π π= = = π π= 678 m s × π ( ) 2 3 3 0,1 4 0,005 Equação da continuidade (fluído incompressível) 0,005 0,003 0,008 II I II III I I m Q m s Q Q Q Q Q m s × = = + = + = 30,008 I I I I I I Q v A QA v m = × = = 2 s 20 m s 2 2 2 3 3 0,0004 0,0004 0, 4 02 Re 4 I I I H I H H A m A A m m D v AD p D υ = = ⇒ = = = ×= = × = l l l l x× l l 4 × l seção quadrada 0,02Re H m D = = l123 20 m× s 2610 m− s Re 400.000 escoamento turbulento = ∴ Elementos e Mecânica dos Fluídos Paulo Vinicius Rodrigues de Lima paulo.vini2004@gmail.com 4.19 – O escoamento na seção A é turbulento. Após a seção A o fluído abastece 3 reservatórios como é mostrado na figura. A velocidade no eixo da seção A é conhecida. Os reservatórios I, II, e III são abastecidos respectivamente pelos tubos B, C e D. O reservatório I é abastecido em 100 segundos. O reservatório II é abastecido em 500 segundos, sendo o escoamento no tubo C laminar. O reservatório II é cúbico de aresta 4m. Determinar: a) A vazão em volume na seção A; b) A vazão em massa no tubo C; c) A velocidade do fluxo no eixo do tubo C; d) A vazão em volume no tubo D Dados: 39000N mγ = ; 210g m s= ; A 30 4,9eixov m s= ; ( )100 2AD cm= π ; 800CD cm= π . ) 49 60 49 A A A A máx A a Q v A v v v = × = × = 10 60 2 30× 1 4,9 ( ) ( )( ) 1 2 2 5 4 100 2 4 A A A A A m s v m s D A cm A A = π×= π× π = = π 410 2× × π( ) 2 2 4 5000A cm A cm= 2 4 2 1 10 m cm × 2 2 3 0,5 5 0,5 2,5 A A A A A A A m Q v A Q m s m Q m s = = × = × = 3 1,6 mC C mC C mC Q Q Q Q g Q m = ×ρ γ= × = 39000 s N m× 210m s ( ) ( )2 2 1440 ) ? laminar 2 2 4 800 4 mC máx máx c máx C C C C C C C C N s KgQ m s c v vv v v Qv A D A cm A A × ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ = = = × = π×= ⎛ ⎞π× ⎜ ⎟π⎝ ⎠= = π 464 10×× π 4 2 2 4 16 10C cm mA c= × 2 4 2 1 10 m cm × 216CA m=3 ) ? 4 8 25 500 1,6 mC mC C C C C C C b Q Q Q VQ t m m mQ s Q m s = = ×ρ = × ×= = 31,6 C C C C Qv A v m = = 1 216 s m 3 3 0,1 2 2 0,1 0,2 ) ? 4 4 5 100 0,8 2,5 0,8 1,6 0,1 C máx C máx máx D B B B B B A B C D D A B C D D v m s v v v m s v m s d Q VQ t m m mQ s Q m s Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q m s = = × = × = = = × ×= = = + + = − − = − − = Elementos e Mecânica dos Fluídos Paulo Vinicius Rodrigues de Lima paulo.vini2004@gmail.com 4.20 – No tanque 2 que fica cheio em 60min. , será feita uma diluição de suco concentrado, com água. Considerando que o tanque 1 tem nível constante, calcule a vazão de água no vazamento indicado na figura. Dados: tanque 2 12.000V litros= ; Suco: 1,5mSQ kg s= ; 31.200S kg mρ = Água: 38Q m h= ; 310BQ m h= ; 2 31.000H O kg mρ = 1,5 mS S mS mS S mS S Q Q Q kg Q Q = ×ρ = ρ = s 3600 s× 1 1.200 h kg 3 3 2 2 2 2 4,5 12.000 S Tq Tq Tq Tq m Q m h V Q t Q L = = = 31 1000 m L ×60min. 60 n 1 mi . h× 3 2 12TqQ m h= 2 2 2 2 Tq2 2 3 3 3 A A 3 3 3 Equação da continuidade (fluído incompressível) Q 12 4,5 7,5 para nível constante Q Q 10 8 2 H O S H O Tq S H O H O reciclo Bomba reciclo Bomba reciclo reciclo Q Q Q Q Q m mQ h h Q m h Q Q Q Q m mQ h h Q m h = + = − = − = + = = − = − = 2 2 3 3 3 3 3 3 Se 2 e 10 , então concluímos que: 8 se 8 e 7,5 concluímos que: vazamento vazamento 0,5 reciclo Bomba Bomba reciclo H O H O Q m h Q m h Q Q Q Q m h Q m h Q m h Q Q m h = = = − = = = = − = Elementos e Mecânica dos Fluídos Paulo Vinicius Rodrigues de Lima paulo.vini2004@gmail.com 4.21 – A figura apresenta dois tubos concêntricos de raios 1 3R cm= e 2 4R cm= , dentro dos quais passa óleo em sentidos contrários. O fluxo do tubo interno obedece a equação: 2 0 1 rv v R ⎡ ⎤⎛ ⎞= × −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ . Esse fluxo divide-se em 2Q , 3Q e no fluxo de retorno RQ , no tubo maior. O peso específico do óleo é 3800kgf m e a leitura da balança é 14,4kgf em 60 segundos. O pistão desloca-se com uma velocidade de 3,8cm s e tem uma área de 278,5cm . A velocidade no eixo do tubo de entrada é 0 2,3v m s= . Pede-se determinar: a) A vazão 1Q em litros por segundo, no tubo interno; b) A vazão RQ de retorno; c) A velocidade média no tubo de retorno. ( ) ( ) 1 2 1 1 1 1 1 3 1 3 1 2 Vazão em litros por segundo 1,15 1,15 0,03 3,25 10 a Q mQ v A Q R s s m mQ m Q − ⎡ ⎤= × ⇒ = × π×⎣ ⎦ ⎡ ⎤= × π×⎣ ⎦ = × 3 1000 1 L s m × 1 3,25 LQ s⇒ = Velocidade de retorno 2,65 R R R R R R R c QQ v A v v L A = × ⇒ = ⇒ = 31 s m× 1 1000L 3 22,199 10 m−× 1,205Rv m s⇒ ≅ 2 0 0 1 Escoamento Laminar 1 2 3 vrv v cR m v R ⎡ ⎤⎛ ⎞= × − ⇒ ∴ ⇒ =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ = 1 100 m m c × 1 2 0,03 4 R m R cm ⇒ = = 1 100 m m c × 2 0,04 3,8 p R m mv c ⇒ = = 1 100 m m s c × ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 0 óleo 1 1 2 22 2 1 2 2 3 2 0,038 2,3 800 2,3 1,15 2 0,04 0,03 2,199 10 R p R R R R v m s v m s kgf m m sv v m s A R A R R A A m− ⇒ = = γ = = ⇒ = ⎡ ⎤= π×Δ ⇒ = π× −⎣ ⎦ ⎡ ⎤= π× − ⇒ = ×⎣ ⎦ 2 2 2 2 2 2 2 Vazão de retorno 14,4 0,24 60 0,24 R G G G G b Q G kgfQ Q kgf s t s Q Q Q Q Q kgf = = ⇒ = = γ × ⇒ = ⇒ =γ s kgf800 3 2 3 0,0003 m Q m= 3 1000 1 L s m × 3 3 2 2 3 3 0,3 0,038 0,00785 0,0003 p p Q L s mQ v A Q m s Q m ⇒ = = × ⇒ = × ≅ 3 1000 1 L s m × 3 1 2 3 0,3 3,25 0,3 0,3 2,65 R R R Q L s Q Q Q Q Q Q L s ⇒ ≅ = + + = + + ⇒ = Elementos e Mecânica dos Fluídos Paulo Vinicius Rodrigues de Lima paulo.vini2004@gmail.com 4.22 – Na figura abaixo, determinar se o pistão sobe ou desce e com que velocidade? Dados: 1 8D cm= ; 1 3v m s= 2 20Q L s= ; 3 5v m s= 2 3 20A cm= ; 2. 50pistA cm= . entrada Equação da continuidade (fluído incompressível) Q saídaQ∑ = ∑ 3 3 3 3 2 3 2 3 3 5 2 10 1 10 Q v A mQ m s Q m s − − = × = × × = × 2 20Q L= 31 1000 m Ls × 2 3 2 2 10Q m s −= × ( ) ( ) 1 1 1 2 1 1 2 1 2 3 1 3 4 0,08 3 4 1,51 10 Q v A DmQ s mmQ s Q m s− = × π×= π×= × = × entrada 2 3 2 3 2 3 2 4 Note que Q , logo se a saída (1) + saída (3) 2,51 10 , e a entrada (2) 2 10 ,então conclui-se que: ,obrigatoriamente têm que ser 2,51 10 , portanto, o pistão está subindo saídaQ m s m s Q Q m s − − − ∑ = ∑ = × = × + = × . 2 4 1 3 4 1 3 2 3 3 3 2 2 2 4 2 3 4 1,51 10 1 10 2 10 0,51 10 Q Q Q Q Q Q Q Q m m mQ s s s Q m s − − − − + = + = + − = × + × − × = × 4 4 3 4 4 4 . 2 4 0,51 10 pist Q v A Qv m A v − = × = ×= 1 2450 10 m s −× 4 1,02v m s= Elementos e Mecânica dos Fluídos Paulo Vinicius Rodrigues de Lima paulo.vini2004@gmail.com Extra 1 – De acordo com a figura são dados: 1 2 150 ; 25 ; 1 ;mD mm D mm V m s= = = 2 3 2 6 21000 ; 10 ; 10H O kgf m g m s m sυ −γ = = = . Determinar: 2 ; ; ;m Gv Q Q mQ e qual o tipo de escoamento entre (1) e (2). 1 1 1 1 1 6 2 1 ) Regime ? 0,05 1Re 10 Re 50.000 Re 4000 Re regime turbulento m m e D D m m s m s ν ν υ − = × ×ρ × ×= = =μ = ∴ > = 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 Equação da Continuidade (fluído incompressível) ) ?m m m m m m m Q Q Q Q v A a v v v Av A v A v v A ⇒ = = = × = ××× = × ⇒ = ⇒ = π ( )21 4 D× π ( )22 4 D× ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 50 1 2500 25 m m m m v D v D m s mm m sv v mm mm ×⇒ = × ×= ⇒ = 2625mm 2 4mv m s⇒ = ( ) ( )2 21 3 3 1 1 1 ) ? 0,05 1 1,96 10 4 4 1,96 m m b Q D m Q v A Q v Q m s Q m s ou Q L s − = π× π×= × ⇒ = × ⇒ = × ⇒ = × = 3 ) ?G G G c Q kgfQ m Q Q = = γ × ⇒ =1000 3 3 1,96 10 m−× × 1,96GQ kgf ss ⇒ = ) ? 1,96 m G G m m m d Q Q kgfQ Q g Q Q s g = = × ⇒ = ⇒ = 210m s 1 0,196mQ kgf s m⇒ = × 2 2 2 2 2 6 2 2 2 0,025 4Re 10 Re 100.000 Re 4000 Re regime turbulento m mD D m m s m s ν ν υ − × ×ρ × ×= = =μ = ∴ > = Elementos e Mecânica dos Fluídos Paulo Vinicius Rodrigues de Lima paulo.vini2004@gmail.com Extra 2 - De acordo com a figura são dados: 2 21 2 120 ; 10 ; 75 ;mA cm A cm V m s= = = 3 3 1 21,2 ; 0,9kg m kg mρ = ρ = . Determinar: 2 1 2; ;mv Q Q e mQ . 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 Equação da Continuidade (fluído compressível) ) ? 1,2 m m m m m m m m m m Q Q Q Q Q Q Q v A v A a v v Av v A kg ⇒ = = = ρ× ρ × = ρ × ⇒ ρ × × = ρ × × = ρ × ×= ⇒ =ρ × 3m 275 20m s cm× × 0,9 kg 3m 210 cm× 2 200mv m s⇒ = 1 4 2 3 1 1 1 1 1 2 4 2 3 2 2 2 2 2 1 1 1 31 ) ? 75 20 10 0,15 ) ? 200 10 10 0,20 ) ? 1,2 m m m b Q mQ v A Q m Q m s s c Q mQ v A Q m Q m s s d Q kgQ Q Q m − − = = × ⇒ = × × ⇒ = = = × ⇒ = × × ⇒ = = = ρ × ⇒ = 3 0,15 m× 1 2 2 2 32 0,18 0,9 m m m Q kg s s ou kgQ Q Q m ⇒ = = ρ × ⇒ = 3 0,20 m× 2 1 2 0,18 0,18 m m m m Q kg s s Q Q Q kg s ⇒ = = = =
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