Lista Semanas 15 e 16 Aplicação

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Aplicac¸a˜o – Semana 15-16
Temas abordados : Lista extra: Frac¸o˜es parciais; Comprimento de arco e a´rea
Sec¸o˜es do livro: 8.1; 6.1; 6.2
1) E´ poss´ıvel usar a substituic¸a˜o x = cos t para calcular a integral
∫ 2
0
(1− x2)1/3 dx?
2) Indicar uma substituic¸a˜o do tipo x = α t+β tal que os limites de integrac¸a˜o de
∫ b
a
f(x) dx
passam a ser 0 e 1 quando a varia´vel de integrac¸a˜o e´ t.
3) Calcule as integrais:∫ 3
1
dx
x
√
x2+5x+1
;
∫ 1
−1
dx
(1+x2)2
;
∫ a
0
√
a x− x2 dx;
∫ 2pi
0
dx
5−3 cosx .
4) Demonstre que
∫ 1
0
dx
arccosx
=
∫ pi/2
0
senx
x
dx.
5) Demonstre que
∫ pi/2
0
f(senx) dx =
∫ pi/2
0
f(cosx) dx.
6) Mostre que
2
3
≤
∫ 1
0
dx
2 + x− x2 ≤
1√
2
.
7) Integrando por partes, mostre que 0 <
∫ 200pi
100pi
cosx
x
dx ≤ 1
100 pi
.
8) Calcule o comprimento de arco da catena´ria y = a cosh
x
a
entre os pontos (0, a) e (b, h).
9) Calcule o comprimento de arco da para´bola y = 2
√
x para x ∈ [0, 1].
10) Calcule o comprimento de arco da curva y = ex entre os pontos (0, 1) e (1, e).
11) Calcule o comprimento de arco da curva y = lnx para x ∈ [√3,√8].
12) Calcule o comprimento de arco da curva dada pelas equac¸o˜es parame´tricas
x = a cos t
y = asent,
com t ∈ [0, 2pi].
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 15-16 - Pa´gina 1 de 3
13) Calcule o comprimento de arco da ciclo´ide
x = a(t− sent)
y = a(1− cos t),
com t ∈ [0, 2pi].
14) Seja a curva dada pelas equac¸o˜es parame´tricas
x = r(θ) cos θ
y = r(θ)senθ,
com θ ∈ [θ0, θ1]. Mostre que o seu comprimento de arco e´ dado por
l =
∫ θ1
θ0
√
r′2 + r2dθ.
15) Use o exerc´ıcio anterior para encontrar o comprimento de arco da espiral de Arquimedes
dada pro r(θ) = aθ para θ ∈ [0, 2pi].
16) A a´rea de uma superf´ıcie de revoluc¸a˜o, gerada pela rotac¸a˜o de uma curva y = f(x),
x ∈ [a, b], em totrno do eixo ox e´ dada por
Aox =
∫ b
a
2pi y
√
1 + (
dy
dx
)2 dx.
Se considerarmos a rotsac¸a˜o da curva em torno de oy, temos
Aoy =
∫ b
a
2pi x
√
1 + (
dy
dx
)2 dx.
Calcule a a´rea da superf´ıcie formada pela rotac¸a˜o, em torno de ox, da curva y = tanx,
para x ∈ [0, pi
4
].
17) Determinar a a´rea da superf´ıcie formada pela rotac¸a˜o da elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1,
para a > b > 0, em torno: a) do eixo ox; b) em torno do eixo oy.
18) Calcule as integrais seguintes:
a)
∫ dx
(x+ a)(x+ b)
; b)
∫ x2 − 5x+ 9
x2 − 5x+ 6dx;
c)
∫ dx
(x− 1)(x+ 2)(x+ 3); d)
∫ 2x2 + 41x− 91
(x− 1)(x+ 3)(x− 4)dx;
e)
∫ dx
x(x+ 1)2
; f)
∫ x3 − 1
4x3 − xdx;
g)
∫ x3 + x+ 1
x(x2 + 1)
dx; h)
∫ dx
x3 + 1
.
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 15-16 - Pa´gina 2 de 3
19) Calcule as integrais seguintes:
a)
∫ dx
3 + 5 cosx
; b)
∫ dx
senx+ cosx
;
c)
∫ cosx
1 + cos x
dx; d)
∫ senx
1− senxdx.
20) Calcule as integrais seguintes:
a)
∫ √
3− 2x− x2 dx; b) ∫ √2 + x2 dx;
c)
∫ √
x2 − 2x+ 2 dx; d) ∫ x2√
9 + x2
dx;
e)
∫ √
x2 − 4 dx; f) ∫ √x2 + xdx;
g)
∫ dx
(1 + x2)
√
1− x2 ; h)
∫
(x2 + x+ 1)3/2dx.
21) As coordenadas (xG, yG) do centro de gravidade de um arco de curva (homogeˆneo) sa˜o
dadas por
xG =
∫
x ds
s
yG =
∫
y ds
s
,
em que s =
∫
ds e´ o copmprimento do arco. Calcule as coordenadas do centro de
gravidade dos arcos abaixo:
a) Semicircunfereˆncia y =
√
a2 − x2 para x ∈ [−a, a];
b) Arco da catena´ria y = a cosh
x
a
para x ∈ [−a, a];
c) Arco de circunfereˆncia de raio a que subtendo o aˆngulo 2α;
d) Arco que compo˜e a fronteira da regia˜o delimitada pela elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1, o eixo ox
e o eixo oy para x ≥ 0, y ≥ 0;
e) Arco que compo˜e a fronteira da regia˜o delimitada pelas curvas y = x2 e y =
√
x;
f) Arco que compo˜e a fronteira da regia˜o delimitada pelo eixo ox e o arco de ciclo´ide
x = a(t− sent, y = a(1− cos t) para t ∈ [0, 2pi].
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 15-16 - Pa´gina 3 de 3