Lista 09

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Nona Lista de Exerc´ıcios
Assuntos: Conceitos ba´sicos de infereˆncia Estat´ıstica,
me´dia e variaˆncia da distribuic¸a˜o amostral da me´dia,
Teorema Central do Limite, distribuic¸a˜o da me´dia amostral,
distribuic¸a˜o da proporc¸a˜o amostral.
1. (Apostila 5 - parecido com o ex.1.1) Considere a seguinte populac¸a˜o {3, 5, 7}.
(a) Calcule a me´dia populacional (µ) e a variaˆncia populacional (σ2).
(b) Considere o seguinte processo de amostragem: amostragem aleato´ria simples
com reposic¸a˜o de tamanho 2 retirada da populac¸a˜o acima. Existem 3 ∗ 3 = 9
amostras poss´ıveis. A me´dia amostral e´ um estimador para a me´dia popula-
cional. Existem 2 poss´ıveis estimadores para a variaˆncia populacional. O esti-
mador na˜o viesado e´ o s2 =
∑n
i=1 (xi − x¯)2
n− 1 , onde n e´ o tamanho da amostra.
E o estimador viesado e´ o σˆ2 =
∑n
i=1 (xi − x¯)2
n
. Calcule x¯, σˆ2 e s2 para cada
amostra poss´ıvel. As amostras poss´ıveis sa˜o:
Amostra 1: {3,3} Amostra 2: {3,5} Amostra 3: {3,7}
Amostra 4: {5,3} Amostra 5: {5,5} Amostra 6: {5,7}
Amostra 7: {7,3} Amostra 8: {7,5} Amostra 9: {7,7}
(c) Obtenha a func¸a˜o de distribuic¸a˜o de probabilidade para cada um dos esti-
madores.
(d) Calcule a esperanc¸a e a variaˆncia da me´dia amostral. O valor esperado co-
incidiu com a me´dia populacional? E a variaˆncia coincidiu com a variaˆncia
populacional dividido pelo tamanho da amostra?
(e) Calcule a esperanc¸a do estimador viesado para a variaˆncia populacional. Fac¸o
o mesmo para o estimador na˜o viesado. O valor esperado do estimador viesado
coincidiu com a variaˆncia populacional? E o valor esperado do estimador na˜o
viesado coincidiu com a variaˆncia populacional?
2. Considere uma populac¸a˜o X ∼ N(10, 4). Seja {X1, . . . , X4} uma amostra aleato´ria
1
simples desta populac¸a˜o.
(a) Seja Y = X1 +X2 +X3 +X4. Qual e´ a distribuic¸a˜o de Y ?
(b) Calcule P (Y < 37).
(c) Seja Z = Y/4. Note que Z e´ a me´dia amostral da populac¸a˜o X. Qual e´
distribuic¸a˜o de Z?
(d) Calcule P (Z > 9, 5).
3. (Apostila 5 - exemplo 2.2) A capacidade ma´xima de um elevador e´ de 500 kg. Se
a distribuic¸a˜o dos pesos dos usua´rios e´ N(70, 100), qual e´ a probabilidade de que 7
pessoas ultrapassem este limite? E de 6 pessoas?
4. (Apostila 5 - ex.2.1) Os comprimentos das pec¸as produzidas por determinada
ma´quina teˆm distribuic¸a˜o normal com uma me´dia de 172 mm e desvio padra˜o
de 5 mm. Calcule a probabilidade de uma amostra aleato´ria simples de 16 pec¸as
ter comprimento me´dio
(a) entre 169 mm e 175 mm;
(b) maior que 178 mm;
(c) menor que 165 mm.
5. (Apostila 5 - ex.2.2) Qual devera´ ser o tamanho de uma amostra aleato´ria simples
a ser retirada de uma populac¸a˜o N(150, 132) para que Pr(|X¯ − µ| < 6, 5) = 0, 95?
6. (Apostila 5 - ex.2.4.1) O fabricante de uma laˆmpada especial afirma que o seu
produto tem vida me´dia de 1600 horas, com desvio padra˜o de 250 horas. O dono
de uma empresa compra 100 laˆmpadas desse fabricante. Qual e´ a probabilidade de
que a vida me´dia dessas laˆmpadas ultrapasse 1650 horas?
7. (Apostila 5 - ex.3.4.1) Use a aproximac¸a˜o normal para calcular as probabilidades
pedidas, tendo o cuidado de verificar se as condic¸o˜es para essa aproximac¸a˜o sa˜o
realmente satisfeitas.
(a) Pr(X > 18) se X ∼ Bin(50; 0, 3)
2
(b) Pr(9 < X < 11) se X ∼ Bin(80; 0, 1)
8. Seja X ∼ Bern(0, 4). Seja Y = X1 + . . .+X100.
(a) Qual a distribuic¸a˜o de Y ? Calcule a Pr(39 ≤ Y ≤ 41).
(b) Segundo o teorema central do limite, quando o tamanho amostral for grande,
a me´dia amostral tende a ter uma distribuic¸a˜o normal. Logo, a soma amostral
tambe´m tende a uma distribuic¸a˜o normal. Verifique se as condic¸o˜es para a
aproximac¸a˜o do teorema central do limite sa˜o satifeitas. Calcule a Pr(39 ≤
Y ≤ 41) usando o teorema central do limite e a correc¸a˜o de continuidade.
(c) Calcule a Pr(Y = 42) usando teorema central do limite e correc¸a˜o de con-
tinuidade.
9. (Apostila 5 - ex.3.4.3) Supondo que meninos e meninas sejam igualmente prova´veis,
qual e´ a probabilidade de nascerem 36 meninas em 64 partos? Em geral, um
resultado e´ considerado na˜o-usual se a sua probabilidade de ocorreˆncia e´ pequena,
digamos, menor que 0,05. E´ na˜o-usual nascerem 36 meninas em 64 partos?
10. (Apostila 5 - ex.3.4.4) Com base em dados histo´ricos, uma companhia ae´rea estima
em 15% a taxa de desisteˆncia entre seus clientes, isto e´, 15% dos passageiros com
reserva na˜o aparecem na hora do voˆo. Para otimizar a ocupac¸a˜o de suas aeronaves,
essa companhia decide aceitar 400 reservas para os voˆos em aeronaves que compor-
tam apenas 350 passageiros. Calcule a probabilidade de que essa companhia na˜o
tenha assentos suficientes em um desses voˆos. Essa probabilidade e´ alta o suficiente
para a companhia rever sua pol´ıtica de reserva?
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