Lista de Exercicios

Prévia do material em texto

Centro Federal de Educac¸a˜o Tecnolo´gica de Minas Gerais
Departamento de Engenharia Ele´trica
Curso de Engenharia Ele´trica
Disciplina: Controle de Processos
Prof. Eduardo Nunes Gonc¸alves
1a Lista de Exerc´ıcios
1. Considere um sistema com dois po´los complexos dominantes. Desenhe a regia˜o no plano-se para
que os po´los atendam a`s seguintes especificac¸o˜es:
a) tempo de pico no intervalo
pi
4
s ≤ tp ≤ pi
2
s e tempo de acomodac¸a˜o (crite´rio 2%) no intervalo.
2s ≤ ts ≤ 4s. Quais sa˜o o valor ma´ximo de tempo de subida, tr, e a faixa de variac¸a˜o do sobresinal
(valor de ultrapassagem) ma´ximo na regia˜o resultante?
b) sobresinal ma´ximo Mp ≤ 0, 30 e tempo de pico tp ≤ 0,24s. Qual o tempo de acomodac¸a˜o, ts,
mı´nimo na regia˜o resultante?
2. Considere o sistema de controle apresentado no diagrama de blocos a seguir.
R(s) (s+a) C(s)
+
-
G(s)
1
(s+2)(s+6)
G (s)c
2
s
Kc
a) Considerando o controlador como sendo proporcional puro, Gc(s) = Kc, determine o valor de Kc
para que o sistema possua os seguintes po´los a malha fechada: s1 = −4± j4 (ζ = 0,707).
b) Considerando a resposta ao degrau apresentada na sequ¨eˆncia, projete o controlador PID uti-
lizando as regras de sintonia de Ziegler-Nichols, determinando os valores de a e Kc.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
Step Response
Time (sec)
Am
pl
itu
de
T+L=0,95 L=0,0675 
K=1/12 
c) Atrave´s dos lugares das ra´ızes, projete o controlador PID, com os dois zeros iguais (como no
me´todo de Ziegler-Nichols), determinando os valores de a e Kc, de modo que os po´los em malha
fechada dominantes sejam s1 = −6± j6 (ζ = 0,707).
O gra´fico a seguir apresenta as respostas ao degrau a malha fechada para os treˆs projetos.
Controle de Processos - 1a. Lista de Exerc´ıcios - Prof. Eduardo Nunes Gonc¸alves 2
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
Step Response
Time (sec)
Am
pl
itu
de
Ziegler−Nichols 
LR − PID
LR − P 
3. Considere o sistema de controle baseado em compensac¸a˜o por avanc¸o de fase cujo diagrama de
blocos e´ apresentado na sequ¨eˆncia.
R(s)
Ts+1 C(s)
+
-
G(s)
1
s(s+10)
G (s)c
αΤs+1K αc
a) Considerando o controlador como sendo proporcional puro, G(s) = Kc, determine o valor de Kc
para que o sistema possua os seguintes po´los a malha fechada: s1 = −5±j6,67 (ζ = 0,6). Determine
o valor do coeficiente de erro esta´tico de velocidade, Kv, resultante.
b) Projete o compensador por avanc¸o de fase (calcular Kc, α, T ), pelo me´todo dos lugares das
ra´ızes, de modo que os po´los a malha fechada dominantes sejam s1 = −10 ± j13.33 (ζ = 0,6). O
compensador deve resultar no maior coeficiente de erro esta´tico de velocidade Kv. Determine o
valor de Kv resultante.
c) Projete o compensador por avanc¸o de fase, pelo me´todo dos lugares das ra´ızes, cancelando o po´lo
em s = −10 com o zero do compensador, para obter os mesmos po´los da letra (b). Determine o
valor de Kv resultante.
4. (Ogata) Considere o diagrama de blocos a seguir. Projetar um compensador tal que a constante
de erro esta´tico de velocidade seja Kv = 20s
−1 sem alterar significativamente a posic¸a˜o original de
um par de po´los complexo conjugados, a malha-fechada, em s = −2± j2√3.
R(s) C(s)
+
-
16
s(s+4)
G (s)c
5. Quais as faixas de valores indicadas para as seguintes especificac¸o˜es de resposta de frequ¨eˆncia?
a) Margem de ganho, Kg.
b) Margem de fase, γ.
c) Pico de ressonaˆncia da resposta de frequ¨eˆncia a malha fechada, Mr.
Controle de Processos - 1a. Lista de Exerc´ıcios - Prof. Eduardo Nunes Gonc¸alves 3
6. Considere o sistema de controle com retroac¸a˜o unita´ria e func¸a˜o de transfereˆncia a malha aberta
dada por
G(s) =
K
s(s+ 1)(0,25s + 1)
O diagrama de Nichols deste sistema e´ apresentado na sequ¨eˆncia. Cada ponto corresponde a um
valor de frequ¨eˆncia variando de 0,2 rad/s a 2,4 rad/s em passo de 0,2 rad/s.
a) Determine os valores das frequ¨eˆncias de cruzamento de ganho, ωc e fase ω180.
b) Determine os valores aproximados das margens de ganho, Kg, e de fase, γ (indique no diagrama).
c) Este sistema e´ esta´vel? Justifique.
d) Determine o valor do pico de ressonaˆncia, Mr, e da frequ¨eˆncia de ressonaˆncia, ωr, da resposta
de frequ¨eˆncia a malha fechada.
−180 −135 −90
−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
 6 dB
 3 dB
 1 dB
Nichols Chart
Open−Loop Phase (deg)
O
pe
n−
Lo
op
 G
ai
n 
(dB
)
7. Considere o sistema de controle com retroac¸a˜o unita´ria cuja func¸a˜o de transfereˆncia da planta e´
dada por
G(s) =
1
s(0,1s + 1)(2s + 1)
a) Determine o ganho do compensador por atraso (ou avanc¸o) de fase K = Kcβ (ou K = Kcα) para
obter a constante de erro esta´tico de velocidade Kv = 15s
−1.
b) A resposta de frequ¨eˆncia do sistema a malha aberta na˜o compensado mas incluindo o ganho
K = Kcβ (ou K = Kcα) e´ apresentada na figura e na tabela a seguir.
−100
−50
0
50
100
M
ag
ni
tu
de
 (d
B)
10−2 10−1 100 101 102 103
−270
−225
−180
−135
−90
Ph
as
e 
(de
g)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Controle de Processos - 1a. Lista de Exerc´ıcios - Prof. Eduardo Nunes Gonc¸alves 4
ω (rad/s) 0,1 0,459 2,24 2,67 4,3 10
|KG(jω)| (dB) 43,2 27,6 3,1 0 -8,61 -25,6
∠KG(jω) (◦) -102 -135 -180 -184,3 -197 -222
Qual a margem de ganho e a margem de fase do sistema resultante. O sistema e´ esta´vel?
c) Projete um controlador por atraso de fase para obter γ ≈ 40◦ e Kg ≥ 6dB adotando 1/T =
ωc/10, sendo ωc a frequ¨eˆncia de cruzamento de ganho do sistema compensado. Considere que o
compensador contribuira´ com um atraso de 5◦ nesta frequ¨eˆncia.
d) Projete um controlador por avanc¸o de fase para atender as especificac¸o˜es. Compare o ganho Kc
deste controlador com o obtido na letra (b).
8. Discuta a relac¸a˜o entre as ac¸o˜es de controle PI e PD e os compensadores por atraso ou avanc¸o
de fase e a influeˆncia dos mesmos sobre as respostas transito´rias e o erro de regime estaciona´rio.
9. Considere o sistema de controle com retroac¸a˜o unita´ria cuja func¸a˜o de transfereˆncia da planta e´
dada por
G(s) =
1000
s(s+ 10)2
e um controlador PI:
Gc(s) = Kp
(
1 +
1
Tis
)
a) Projete o controlador utilizando as regras de sintonia de Ziegler-Nichols.
b) Projeto o controlador PI baseado na resposta em frequeˆncia para que o sistema possua constante
de erro esta´tico de velocidade infinita, Kv = ∞, margem de fase γ = 50o e margem de ganho
Kg ≥ 10db. Procedimento: defina a frequeˆncia de cruzamento de ganho, wc, no ponto onde a fase
do sistema e´ 45o mais 6o para compensar o atraso do controlador e defina a frequeˆncia de corte do
controlador, 1
Ti
, uma de´cada abaixo de wc.
Obs.: ∠G(jω1) = 129
o, |G(jω1)| = 8,0dB, ω1 = 3,5rad/s.
c) Identifique na figura abaixo a resposta ao degrau do sistema a malha-fechada de cada projeto.
0 1 2 3 4 5 6
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Step Response
Time (sec)
Am
pl
itu
de