Lista3

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Universidade Federal de Juiz de Fora
Instituto de Cieˆncias Exatas
Departamento de Matema´tica
Disciplina: A´lgebra Linear - MAT 158 - Turma B - 2014/3
Prof.: Lae´rcio Jose´ dos Santos
Lista 3 - 12/09 - Justifique cada resposta dada
1. Explique a ideia que motiva a definic¸a˜o de produto interno num espac¸o vetorial.
2. Consideremos as aplicac¸o˜es 〈·, ·〉 e (·|·) definidas, respectivamente, por
〈(x, y), (z, w)〉 = xz + yw e (X|Y ) = XPY t,
sendo P =
(
3 −1
−1 3
)
∈ M(2,R), X = (x y) e Y = (z w) ∈ M(1, 2,R).
(a) Mostre que 〈·, ·〉 e (·|·) definem produtos internos em R2.
(b) Calcule a distaˆncia e a medida do aˆngulo entre u = (1, 0) e v = (1,−1), em relac¸a˜o
a cada produto interno acima.
3. Consideremos as aplicac¸o˜es 〈·, ·〉 e (·|·) definidas, respectivamente, por
〈(x1, x2, x3), (y1, y2, y3)〉 = x1y1 + x2y2 + x3y3
e
((x1, x2, x3)|(y1, y2, y3)) = x1y1 + 2x2y2 + x2y3 + x3y2 + 3x3y3.
(a) Mostre que 〈·, ·〉 e (·|·) definem produtos internos em R3.
(b) Calcule a distaˆncia e medida do aˆngulo entre u = (1, 1, 0) e v = (1, 2,−1), em
relac¸a˜o a cada produto interno acima.
4. Consideremos a aplicac¸a˜o 〈·, ·〉, definida por
〈(x1, x2, x3), (y1, y2, y3)〉 = 2x1y1 + 5x2y2 + 3x3y3.
(a) Mostre que 〈·, ·〉 define um produto interno em C3.
(b) Calcule as normas de u e de v e a distaˆncia entre u e v, sendo u = (1, i, 0) e
v = (1, 2i,−i), em relac¸a˜o ao produto interno acima.
5. Seja V = M(2,R) com o produto interno 〈·, ·〉 definido por 〈A,B〉 = traco(BtA).
Calcule a distaˆncia e a medida do aˆngulo entre A0 e B0, sendo A0 =
(
1 −2
0 3
)
e
B0 =
(
1 0
−3 −1
)
.
6. Seja V = P2(R) com o produto interno 〈·, ·〉 definido por
〈a0 + a1t+ a2t2 , b0 + b1t+ b2t2〉 = a0b0 + a1b1 + a2b2.
Calcule a distaˆncia e a medida do aˆngulo entre p e q, sendo p = 1 + t2 e q = t− t2.
7. Seja V = C([0, 1],R) com o produto interno 〈·, ·〉 definido por 〈f, g〉 = ∫ 1
0
f(t)g(t)dt.
Calcule a distaˆncia e a medida do aˆngulo entre f e g, sendo f(t) = 1+ t2 e g(t) = t− t2.
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