8_Resumindo e Descrevendo Variáveis

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3 - 1
UnB - IE
Departamento
de
Estatística
Estatística Descritiva
Resumindo e Descrevendo Variáveis
Quantitativas
parte 1
Estatística Aplicada
MTLC - 2006
3 - 2
UnB - IE
Departamento
de
Estatística
Objetivos
Q Explicar propriedades de dados
quantitativos
Q Descrever medidas resumo
O Posição
O Variação
O Forma
Q Analisar dados quantitativos usando
medidas resumo
3 - 3
UnB - IE
Departamento
de
Estatística
Propriedades de Dados
Quantitativos
Tendência Central
(Posição)
Variação
(Dispersão)
Forma
3 - 4
UnB - IE
Departamento
de
Estatística
Medidas Resumo
Média
Mediana
Moda
Média das Juntas
Tendência Central
Quartis
Decis
Percentis
Separatrizes
Posição
Amplitude Total
Desvio Médio
Desvio Padrão
Variância
Coef. de Variação
Amp. Interquartílica
Dispersão
Assimetria
Curtose
Forma
Medidas resumo
3 - 5
UnB - IE
Departamento
de
Estatística
Medidas de Posição
3 - 6
UnB - IE
Departamento
de
Estatística
Média
Q Medida de tendência central
Q Medida mais comum
Q Funciona como um “ponto de equilíbrio”
Q Afetada por valores extremos (‘outliers’)
3 - 7
UnB - IE
Departamento
de
Estatística
Média
X - variável quantitativa em estudo
 - valor da variável X para o i-ésimo elemento
observado da população ou da amostra
ix
Média populacional:
Em uma população de
tamanho N, a média é dada
por:
N
x
N
i
i∑
== 1µ
Média da Amostra:
 Em uma amostra de
tamanho n, a média é dada
por:
n
x
n
i
i
x
∑
== 1
3 - 8
UnB - IE
Departamento
de
Estatística
Exemplo
Dados Brutos: 10,3 4,9 8,9 11,7 6,3 7,7
3,8
6
8,49
6
7,73,67,119,89,43,10
6
1 ==+++++==
=
∑
=
n
x
x
n
n
i
i
3 - 9
UnB - IE
Departamento
de
Estatística
Mediana
Q Medida de tendência central
Q Valor central em uma seqüência ordenada
O Se n ímpar, valor central da seqüência
O Se n par, média dos 2 valores centrais
Q Não é afetada por valores extremos


 +


−
+−
1
22
:
2
1:
nenposiçõesas
ocupamquevaloresdosmédiaaéMedianaparn
nposiçãoaocupaquevaloréMedianaímparn
3 - 10
UnB - IE
Departamento
de
Estatística
Mediana
 Exemplo - “n” ímpar
Dados Brutos: 24,1 22,6 21,5 23,7 22,6
Ordenados: 21,5 22,6 22,6 23,7 24,1
Posição: 1 2 3 4 5
6,22
3
2
15
2
1
=
=+=+=
Md
nPosição
3 - 11
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Departamento
de
Estatística
Mediana
Exemplo - “n” par
Dados Brutos: 10,3 4,9 8,9 11,7 6,3 7,7
Ordenados: 4,9 6,3 7,7 8,9 10,3 11,7
Posição: 1 2 3 4 5 6
3,8
2
9,87,7
41
2
61
2
3
2
6
2
:
=+=
=+=+==
Md
nenPosições
3 - 12
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Departamento
de
Estatística
Moda
Q Medida de tendência central
Q Valor que ocorre mais freqüentemente
Q Não é afetado por valores extremos
Q Pode não existir moda como pode existir
várias modas
Q Pode ser usada para dados quantitativos e
qualitativos
3 - 13
UnB - IE
Departamento
de
Estatística
Exemplos
Q Dados Brutos: 24,1 22,6 21,5 23,7 22,6
6,22=Mo
Q Dados Brutos: 10,3 4,9 8,9 11,7 6,3 7,7
.ModatemNão
3 - 14
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de
Estatística
Quartis
Q Medida de tendência não central
Q Divide os dados ordenados em 4 quartos
Q Posição do i-ésimo quartil
25% 25% 25% 25%
Q1 Q2 Q3
4
inQdePosição i ×=
3 - 15
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de
Estatística
Quartil - (Q1) Exemplo
Dados Brutos: 10,3 4,9 8,9 11,7 6,3 7,7
Ordenados: 4,9 6,3 7,7 8,9 10,3 11,7
Posição: 1 2 3 4 5 6
3,6
25,1
4
16
4
1
1
1
=
≅=×=×=
Q
nQdePosição
3 - 16
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Departamento
de
Estatística
Quartil - (Q2) Exemplo
Dados Brutos: 10,3 4,9 8,9 11,7 6,3 7,7
Ordenados: 4,9 6,3 7,7 8,9 10,3 11,7
Posição: 1 2 3 4 5 6
3,8
2
9,87,7
3
4
26
4
2
2
2
=+=
=×=×=
Q
nQdePosição
MdQ
queObserve
=2
:
3 - 17
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Departamento
de
Estatística
Quartil - (Q3) Exemplo
Dados Brutos: 10,3 4,9 8,9 11,7 6,3 7,7
Ordenados: 4,9 6,3 7,7 8,9 10,3 11,7
Posição: 1 2 3 4 5 6
3,10
55,4
4
36
4
3:
3
3
=
≅=×=×=
Q
nQdePosição
3 - 18
UnB - IE
Departamento
de
Estatística
Medidas de
Variação ou Dispersão
3 - 19
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Departamento
de
Estatística
Amplitude Total
Q Medida de dispersão
Q Diferença entre o maior e o menor valor
observado
Q Não considera a distribuição dos dados
mínmáx xxTotalAmplitude −=
7 8 9 10 7 8 9 107 8 9 10 7 8 9 10
3 - 20
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Departamento
de
Estatística
Desvio Médio
Q Medidas de dispersão
Q Considera como os dados estão distribuídos
Q Mostra a variação em torno da média
Desvio:
xxi −
4 6 8 10 124 6 8 10 12
3,8=x
4,3−
6,0−
6,0+
0,2−
0,2+
4,3+
3 - 21
UnB - IE
Departamento
de
Estatística
Desvio Médio
Desvio Médio
populacional:
Em uma população de
tamanho N:
N
x
N
i
i
DM
∑
=
−
= 1
µ
Desvio Médio da
Amostra:
 Em uma amostra de
tamanho n:
n
xx
n
i
i
DM
∑
=
−
= 1
3 - 22
UnB - IE
Departamento
de
Estatística
Exemplo
Dados Brutos: 10,3 4,9 8,9 11,7 6,3 7,7
0,2
6
0,12
6
6,00,24,36,04,30,2
6
3,87,73,83,63,87,113,89,83,89,43,83,101
==−+−+++++−+=
=−+−+−+−+−+−=
−
=
∑
=
n
xx
DM
n
i
i
3,86 == xn
)( xxi −Desvios : +2,0 -3,4 +0,6 +3,4 -2,0 -0,6
3 - 23
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Departamento
de
Estatística
Variância e Desvio Padrão
Q Medidas de dispersão
Q Mais comum das medidas
Q Considera como os dados estão distribuídos
Q Mostra a variação em torno da média
4 6 8 10 124 6 8 10 12
3,8=x
4,3−
6,0−
6,0+
0,2−
0,2+
4,3+ 3 - 24
UnB - IE
Departamento
de
Estatística
Variância
Variância
 da Amostra:
 Em uma amostra de
tamanho n:
Variância
 populacional:
Em uma população de
tamanho N:
( )
21
2
1
22
1
2
2
2
µ
µ
µ
σ
σ
−=
−
=
−
=
∑∑
∑
==
=
N
x
N
Nx
ou
N
x
N
i
i
N
i
i
N
i
i ( )
1
1
1
22
1
2
2
2
−
−
=
−
−
=
∑
∑
=
=
n
xnx
ou
n
xx
n
i
i
n
i
i
S
S
Atenção!!!
n-1 no
 denominador
Fórmulas Operacionais
3 - 25
UnB - IE
Departamento
de
Estatística
Exemplo
Dados Brutos: 10,3 4,9 8,9 11,7 6,3 7,7
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
368,6
5
84,31
16
)3,8(618,445
1
18,4457,73,67,119,89,43,10
:
368,6
5
84,31
5
6,00,24,36,04,30,2
16
3,87,73,83,63,87,113,89,83,89,43,83,10
1
2
2
1
2
2
222222
1
2
222222
222222
1
2
2
==−
×−=−
−
=
=+++++=
==−+−+++−+=
=−
−+−+−+−+−+−=−
−
=
∑
∑
∑
=
=
=
n
xnx
s
x
loperacionafórmulapelaou
n
xx
s
n
i
i
n
i
i
n
i
i
3,86 == xn
3 - 26
UnB - IE
Departamento
de
Estatística
Desvio Padrão
Desvio Padrão
 da Amostra:
Desvio Padrão
 populacional:
2σσ += 2SS +=
Exemplo
Dados Brutos: 10,3 4,9 8,9 11,7 6,3 7,7
368,63,8 2 == sx 52,2368,6 =+=s
3 - 27
UnB - IE
Departamento
de
Estatística
Grupo A:
Grupo B: 10200
1040
==
==
SeX
SeX
Exemplo
Qual grupo é mais homogêneo?
80800
1030
==
==
SeX
SeXTurma A:
TurmaB:
3 - 28
UnB - IE
Departamento
de
Estatística
Coeficiente de Variação
Q Medida de dispersão relativa
Q Pode ser expresso como uma %
Q Mostra a variação relativa a média
Q Usado para comparar 2 ou mais grupos
Q Fórmula
O População:
O Amostra:
100×==
X
Scvou
X
Scv
100×== µ
σ
µ
σ cvoucv
3 - 29
UnB - IE
Departamento
de
Estatística
Exemplos
Qual grupo é mais homogêneo?
Dados Brutos: 10,3 4,9 8,9 11,7 6,3 7,7
52,23,8 == sx %4,30304,03,8
52,2 →==cv
10200
1040
==
==
SeX
SeXGrupo A:
Grupo B:
Turma A:
Turma B: 80800
1030
==
==
SeX
SeX
050
250
,cv
,cv
=
=
100
330
,cv
,cv
=
=
3 - 30
UnB - IE
Departamento
de
Estatística
Amplitude Interquartílica
ou
 Desvio Interquartil
Q Medida de dispersão
Q Também chamada dispersão central
Q Dispersão dos 50% centrais
Q Não afetado por valores extremos
13 QQdq −=
3 - 31
UnB - IE
Departamento
de
Estatística
Forma
3 - 32
UnB - IE
Departamento
de
Estatística
Forma
Q Descreve como os dados estão
distribuídos
Q Medidas de Forma
O Assimetria / Simetria
O Curtose ou Achatamento
 Assimetria / Simetria
 Achatamento ou Curtose
3 - 33
UnB - IE
Departamento
de
Estatística
Assimetria
Assimétrica
à Direita
Assimétrica
à esquerda SimétricaMedia = Mediana = ModaMédia Mediana Moda Moda Mediana Media
3 - 34
UnB - IE
Departamento
de
Estatística
Medida de Assimetria
Q Coeficiente de Assimetria de Pearson
s
MoxAsouMoAs −=−= σ
µ



→>
→=
→<
direitaàaassimétricãodistribuiç
simétricaãodistribuiç
esquerdaàaassimétricãodistribuiç
AsSe
0
0
0