Barras Carregadas Axialmente

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Barras Carregadas Axialmente
Cargas Externas:
• Axiais
Cargas Internas:
• Esforço Solicitante Normal → Tensões Normais em
Barras Axiais
Prof. Helio F. Vieira
Barras Carregadas Axialmente
Tensões Normais e Deformações
Seja a barra com seção transversal constante e comprimento L,
submetida à força axial P que produz tração, mostrada abaixo:
P
L
O diagrama de esforços solicitantes normais (N) ao logo do comprimento da
barra é constante e igual a P, ou seja, N = P.
A tensão σx (sigma), uniformemente distribuída na seção transversal da barra,
devida à ação da força P, é dada por:
→
A
N
x =σ A
P
x =σ
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� Caso uma barra esteja submetida a ação de várias cargas axiais,
em pontos diferentes do vão (figura), teremos o diagrama de solicitantes
normais não constante.
Os esforços solicitantes normais (N) serão diferentes entre pontos de
aplicação destas cargas externas. Sendo assim, as tensões também
serão diferentes e consequentemente deformações diferentes.
Estas tensões poderão variarem ao longo do vão, podendo ser de traçãoEstas tensões poderão variarem ao longo do vão, podendo ser de tração
(+σx) ou compressão (- σx), tudo vai depender da análise do N.
*Pode a barra ser constituída também de seções diferentes, onde irão
variar também as tensões, ou até mesmo materiais diferentes.
A
N
x ±=σ
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A deformação real longitudinal da barra é designada pela
letra δ (delta):
N → é o esforço solicitante normal obtido entre os pontos de aplicação das
AE
LN
.
.±=δ
N → é o esforço solicitante normal obtido entre os pontos de aplicação das
cargas axiais externas atuantes.
L → comprimento do vão entre pontos de aplicação das cargas externas ou
entre descontinuidades de seção e/ou material.
E → módulo de elasticidade do material, obtida do diagrama tensão-
deformação do material (relacionado a rigidez do material – propriedade
física do material), relacionado a rigidez do material.
A → área da seção transversal entre pontos de aplicação das cargas ou
descontinuidades de seção e/ou material.
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Relembrando:
• A barra, possuindo descontinuidades seja de “carga”, “seção” ou
“material”, deverá ser analisada parcialmente entre os vãos de
descontinuidade, ou seja, entre cada descontinuidade, seja ela qual for.
• A tensão normal calculada em cada vão (entre descontinuidades) será
a tensão atuante ao longo desse vão.a tensão atuante ao longo desse vão.
• A deformação δ também deve ser calculada entre cada vão
(deformação parcial do vão) e posteriormente devem ser somadas
algebricamente (considerando o sinal) estas deformações parciais para
obter a deformação total da barra.
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Exemplo de esforço normal em barra axial, caso fosse considerado 
o peso próprio, porém o estudo de barras axiais o desconsidera:
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Exemplo desconsiderando o peso próprio:
cmA 20=
cmA 40=
MPa
m
KN
AB 2388,0)2,0(
30
2 == pi
σ
MPa
m
KN
BC 0200,0)4,0(
10
2 −== pi
σ
mx
GPa
mKN
AB
6
2 108,1)2,0(.200
50,1.30
−
==
pi
δ
mx
GPa
mKN
BC
7
2 109,1)4,0(.105
00,1.10
−
−==
pi
δ
mxxxBCABTotal
676 106,1)109,1(108,1 −−− =−+=+= δδδ
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Deformação Unitária ou Específica (ε)
A deformação unitária ou deformação específica é a deformação real
por unidade de comprimento (cm/cm; mm/mm).
Sendo δ a deformação real longitudinal e L o comprimento inicial da
barra, por definição a deformação unitária será:
L
δ
ε =
• É uma grandeza métrica dividida por outra. Portanto torna-se um
adimensional.
• É uma grandeza que independe do comprimento de uma barra
solicitada por uma carga axial, pois se aumentarmos seu comprimento,
consequentemente aumentaremos sua deformação real longitudinal na
mesma proporção.
L
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Coeficiente de Poisson (µ)
Sabemos que para toda deformação real longitudinal δL surgirá uma
deformação real transversal δT de sinal contrário como consequência,
ou seja, se longitudinalmente alonga (+), transversalmente encurta (-).
O Coeficiente de Poisson µ (Mi) é uma grandeza empírica que relaciona
a deformação unitária transversal εT (desconhecida) com a
deformação unitária longitudinal εL (conhecida).
L
T
ε
εµ =
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µ
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Sendo assim, para que se possa obter a deformação transversal
(unitária ou real) de uma barra, como consequência de uma deformação
longitudinal, somente conhecendo o µ do material.
LT εµε .=
Material Coeficiente de Poisson (µ)
O Coeficiente de Poisson é uma característica de um material, ou seja, 
cada material possui o seu “µ”.
Cobre 0,31 - 0,34
Alumínio 0,34
Latão 0,32 – 0,35
Concreto 0,10 – 0,18
Ferro Fundido 0,25 – 0,27
Aço 0,27 – 0,30
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Vamos imaginar que se queira determinar qual a a redução de 
diâmetro de uma barra de comprimento “L”, seção circular de diâmetro 
“Di” e que esteja solicitada por uma carga axial trativa “P”, cujo material 
da barra possua um módulo de elasticidade “E” e um “µ”. 
Procedimento:
• Primeiro passo: determinar a δL (P; A; E e L)• Primeiro passo: determinar a δL (P; A; E e L)
• Segundo passo: determinar εL (δL; L)
• Terceiro passo: determinar εT (εL; µ)
• Quarto passo: determinar δT (εT; Di) →
• Quinto passo: determinar Df →
*Caso a carga axial fosse compressiva o diâmetro final seria: → 
i
T
T D
δ
ε =
Tif DD δ−=
Tif DD δ+=
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Ensaio de Tração
O ensaio de tração é de muita importância para análise estrutural, pois é 
através dele que são efetuadas considerações relevantes.
Consiste em colocar um corpo de prova metálico (dúctil) num
equipamento, submetendo-o a uma solicitação de tração.
Preferencialmente, é escolhido um material dúctil visto que este temPreferencialmente, é escolhido um material dúctil visto que este tem
como característica apresentar todas as regiões possíveis no diagrama
obtido do ensaio de tração.
O equipamento, para o desenvolvimento do ensaio, está conectado a um
PC e um monitor onde todo o ensaio é gerenciado por um Software e a
medida que se processa o ensaio:
• vai sendo construído gradativamente o diagrama na tela do monitor;
• aparecendo a evolução da grandeza das tensões e deformações
correspondentes numa “janela”.
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Diagrama tensão - deformação
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(σlp) – Tensão de proporcionalidade: Representa o valor máximo da tensão, abaixo do
qual o material obedece a lei de Hooke.
(σe) – Tensão de escoamento: A partir deste ponto aumentam as deformações sem que
se altere, praticamente, o valor da tensão. Quando se atinge o limite de escoamento,
diz-se que o material passa a escoar-se.
(σr) – Tensão limite de resistência: A tensão correspondente a este ponto recebe o
nome de limite de resistência ou resistência a tração, pois corresponde a máxima
tensão atingida no ensaio de tração.
nome de limite de resistência ou resistência a tração, pois corresponde a máxima
tensão atingida no ensaio de tração.
(σrup) – Tensão de ruptura: A tensão correspondente a este ponto recebe o nome de
limite de ruptura; é a que corresponde a ruptura do corpo de prova.
(εe) – Deformação Elástica: O trecho da curva tensão - deformação, compreendido
entre a origem e o limite de proporcionalidade, recebe o nome de região elástica.
(εp)– Deformação Plástica: O trecho compreendido entre o limite de proporcionalidade
e o ponto correspondente a ruptura do material.
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Considerações Importantes
• Sabe-se que todos os corpos são constituídos por pequenas partículas
que se atraem (força de atração molecular) para formar o corpo.
• Quando sobre este corpo é aplicada uma carga externa, por exemplo,
de tração, este corpo tende a se deformar, ou seja, há uma tendência
de afastamento relativo entre as pequenas partículas que o constituem.
• Porém, devido a força de atração molecular há uma resistência a esse• Porém, devido a força de atração molecular há uma resistência a esse
afastamento relativo (surgem as tensões), ou seja, há um equilíbrio
entre os esforços externos e os internos (tensões).
• Porém, ocorre o afastamento relativo das partículas só que
acompanhado de um acúmulo de energia potencial, sempre que existir
o equilíbrio entre os esforços internos e externos.
• Essa energia potencial acumulada durante o processo de deformação
será reaproveitada quando cessar de atuar a carga externa, fazendo
com que o corpo volte a sua condição inicial.
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Análise do Diagrama Tensão-Deformação
Região de Elasticidade ou Proporcionalidade
Está região apresenta características muito importantes e é nesta região
que se fundamenta toda a análise estrutural, entre suas características:
• As tensões são sempre proporcionais as deformações desenvolvidas
que fundamenta a Lei de Hooke.
xx E εσ .=
• O corpo, quando cessadas as cargas externas, volta integralmente a
sua condição inicial, sem nenhum tipo de deformação permanente.
• Não há nenhum tipo de perda de energia durante o processo nessa
região, ou seja, a energia acumulada durante o processo de
deformação permanece íntegra.
• A energia acumulada durante o processo de deformação é totalmente
reaproveitada, fazendo com que o corpo volte a sua condição inicial.
xx E εσ .=
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Região de Escoamento
As principais características dessa região são:
• As tensões são praticamente constantes e as deformações são
crescentes.
• A partir do limite de escoamento (tensão de escoamento), ou seja,
quando a grandeza das tensões internas produzidas pelas carga
externas ultrapassar a grandeza da tensão de escoamento, o corpo não
voltará mais sua condição inicial – deformação permanente.
externas ultrapassar a grandeza da tensão de escoamento, o corpo não
voltará mais sua condição inicial – deformação permanente.
• Ultrapassado o limite de escoamento a energia potencial acumulada
durante o processo de deformação começa a se transformar em outra
forma de energia (energia térmica, principalmente).
• A tensão de escoamento (limite de escoamento) é uma grandeza muito
próxima da grandeza da tensão de proporcionalidade (limite de
proporcionalidade), sendo assim, para efeito de análise se considera
como sendo a mesma grandeza.
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• É a partir da região de escoamento que começa o fenômeno da
estricçã.
• Este fenômeno ocorre somente em materiais dúcteis.
• Constitui-se de um estreitamento da seção transversal da barra quando
submetida a um ensaio de tração e é ultrapassado o limite de
elasticidade do material (figura).elasticidade do material (figura).
• O fenômeno da estricção vai ser efetivamente visível na região de
encruamento, próximo da região de ruptura.
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Região de Encruamento
As principais características dessa região são:
• As tensões voltam a aumentar com as deformações, como se houvesse
um revigoramento do material, porém, de uma forma desproporcional.
• É nessa região onde se alcança a maior magnitude de tensão, Tensão
Limite de Resistência (σr).
• A partir dessa grandeza de tensão (σ ), as tensões passam a decrescer• A partir dessa grandeza de tensão (σr), as tensões passam a decrescer
até o ponto de ruptura da barra, onde é atingida a Tensão de Ruptura
(σrup).
• Nessa região o fenômeno da estricção é mais visível.
• Logo após cessado o ensaio, em contato com o material ensaiado,
observa-se que este está quente, fato que comprova a dissipação da
energia potencial acumulada durante o processo de deformação em
energia térmica, caracterizando de forma mais contundente a DP.
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Módulo de Elasticidade
Pode-se observar do diagrama que a declividade da reta da região de
elasticidade representa, na verdade, o Módulo de Elasticidade.
ETg
x
x
==
ε
σ
αxx E εσ .=
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Materiais Dúcteis e Materiais Frágeis
É importante dividir os materiais em duas importantes categorias, que
são:
Materiais dúcteis
• Os materiais dúcteis, como o aço, cobre, alumínio e outros materiais
metálicos, são caracterizados por apresentarem região de escoamento.
• Apresentam o fenômeno da estricção quando submetidos ao ensaio de
tração.
• Possuem grandes deformações antes de romper (fenômeno estricção).
• A sua principal característica é de resistirem tão bem a tração quanto a
compressão e serem pouco resistentes ao cisalhamento.
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Materiais frágeis.
• Os materiais frágeis, como o concreto, cerâmicas, vidro, ferro fundido
e outros, são caracterizados por não apresentarem região de
escoamento.
• Possuem pequenas deformações antes de romper.
• Não apresentam o fenômeno da estricção quando submetidos ao• Não apresentam o fenômeno da estricção quando submetidos ao
ensaio de tração, ultrapassado o limite de elasticidade o corpo logo
rompe.
• A sua principal característica dos materiais frágeis é de resistirem
muito bem a compressão e serem pouco resistentes a tração.
• Na construção civil o concreto, sendo um material frágil, necessita
que seja suprida a sua deficiência de resistir a tração e isso é feito com
aço em regiões da peça que estão submetidos a tração.
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Diagrama tensão – deformação para um material frágil
Tem como característica não apresentar região de escoamento e pouca
deformação antes da ruptura.
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Tensão Admissível (σadm)
No projeto de um elemento estrutural ou componente de máquina,
deve-se considerar que a capacidade limite do material (σe) não seja atingida,
para tanto, quando dimensiona-se ou verifica-se um elemento supões que sua
capacidade limite seja inferior ao que efetivamente ele resiste.
Para isso, utiliza-se como referência, tanto para dimensionamento ou
verificação do elemento, a Tensão Admissível ou de Trabalho (σadm).
Materiais Frágeis → σadm= σR / Sg
Materiais Dúteis → σadm= σe / Sg
*Sg > 1→ coeficiente de segurança
A tensão admissível é a tensão ideal de trabalho para o material nas
circunstâncias apresentadas. Geralmente, esta tensão deverá ser mantida na
região de deformação elástica do material. Prof. Helio F. Vieira
Materiais Massa
Específ.
(ton/m3)
Módulo
Elast.Long.
(GPa)
Módulo
El.Transv.
(GPa)
σσσσ
(Tração)
(MPa)
σσσσ
Compres
(MPa)
ττττ
Cisalh.
(MPa)
σσσσ
(Tração)
(MPa)
σσσσ
Compres
(MPa)
ττττ
Cisalh.
(MPa)
Elong.
Percent
(%)
Coef.
Dil.Tér.
(10-6C-1)
Aço Estrutural 7,87 200 76 250 250 150 450 450 270 28 11,7
Aço 1020 (temp) 7,87 210 80 230 230 138 620 620 370 22 11,7
Aço 1040(lamn) 7,87 210 80 360 360 215 580 580 350 29 11,7
AçoInox (recoz) 7,92 190 78 510 510 305 1300 1300 780 12 11,7
ρ GE Tensão Limite Escoamento Tensão Limite Ruptura ε α
AçoInox (recoz) 7,92 190 78 510 510 305 1300 1300 780 12 11,7
Ferro Fundido 7,37 165 69 - - - 210 800 - 4 12,1
Alumínio trab. 2,77 70 28 300 300 215 410 410 240 20 23,6
Latão 8,75 105 39 100 100 60 270 270 130 50 17,6
Bronze 8,86 100 45 140 140 85 340 340 200 50 16,9
Concreto 2,41 24 - - - - - 25 - - 10
Vidro 2,50 75 27 - - - 5 10 - - 950
Madeira(Pinho) 0,55 13 - - - -- 51 7,6 - -
Carvalho 0,69 12 - - - - - 48 13 - -
Polietileno 0,91 3 - - - - 48 90 55 - -
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Aplicação
A barra da Figura abaixo tem largura constante de 35 mm e espessura
de 10 mm. Determinar a tensão normal máxima da barra quando submetida ao
carregamento mostrado.
ABN ABN
BCN
CDN
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Aplicação
Uma haste circular de aço de comprimento L e diâmetro d=4mm é
pendurada em um poço e segura um balde de minério de pesoW na
sua extremidade inferior. Determine o peso máximo que a haste poderá
suportar, levando em conta o peso próprio da haste. Sabe-se que L=40 m, Peso
específico do aço = 77,0 kN/m3 e a tensão admissível do aço σadm= 200MPa.
R: W = 2,5 kN
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Aplicações
Uma haste de aço (γ = 76,5 KN/m3, E = 207 GPa) com as
características mostradas. O diâmetro da haste circular é 6 mm.
Considerando o peso da barra, determine os valores máximos da tensão normal
e da deformação.
Resp: σmax = 31,4MPa δL = 4,94mm
Uma barra de latão de seção circular de diâmetro 3cm está tracionada com uma
força axial de 50kN. Determinar a diminuição de seu diâmetro. São dados do
material o módulo de elasticidade longitudinal de 1,08.104kN/cm2 e o seu
Coeficiente de Poisson 0,3.
Resp: δT = -5,89 . 10-4 cm
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Aplicação
Uma barra de aço e outra de alumínio tem as dimensões indicadas na figura.
Determine a carga "P" que provocará um encurtamento total de 0,25 mm no
comprimento do sistema. Admitimos que as barras são impedidas de flambar
lateralmente, e despreza-se o peso próprio das barras. Dados:
Eaço = 2.104 kN/cm2; Ealu = 0,7.104 kN/cm2.
OBS : medidas em “cm”.
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Aplicações
Aplica-se à extremidade C da barra de aço ABC uma carga de 66,7kN.
Sabe-se que Eaço é de 2,1.104kN/cm2. Determinar o diâmetro "d" da parte BC
para a qual o deslocamento do ponto C seja de 1,3mm.
Usando o desenho acima, suponha as duas partes da barra de alumínio com
módulo de elasticidade longitudinal de 0,7.104 kN/cm2. O diâmetro da parte
BC é de 28mm. Determinar a máxima força que pode ser aplicada na
extremidade C sabendo-se que o seu deslocamento não pode ultrapassar
3,8mm. Sabe-se que a tensão admissível para o alumínio é de 16,5kN/cm2.
R: P = 84 kN Prof. Helio F. Vieira
Aplicação
Determine para a barra abaixo a deformação total e as tensões
normais que se desenvolvem em cada trecho entre as descontinuidades, sabendo
que E= 200GPa
Respostas:
m00275,0=δ
MPaAB 67,666=σ
MPaBC 67,166−=σ
MPaCD 1000=σ
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Exercício resolvido
A barra rígida BDE é suportada por duas barras AB e CD. A barra
AB é de alumínio (E= 70GPa) e tem uma seção transversal de 500mm2.
A barra CD é de aço (E= 200GPa) e tem uma seção transversal de 600mm2.
Para a força de 30kN mostrada, determine a tensão normal e a deflexão em:
a) AB; b) CD.
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Exercício resolvido (cont.)
MPa
m
KN
AB 12010.500
60
26 −=−= −σ
MPa
m
KN
CD 15010.600
90
26 == −σ
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Exercício resolvido
MPa
m
KN
AB 67,2605,0.03,0
40
2 −=−=σ
MPa
m
KN
CB 24,159
4
02,0.
50
2
2 == pi
σ
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Análise de Barras Axiais Hiperestáticas
Método da Sobreposição de Efeitos
Utilizando Análise das Deformações
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Procedimento de Análise:
• Substituem-se os vínculos por esforços reativos correspondentes e
aplica-se a única equação de equilíbrio estático possível para o caso
(∑F=0), caracterizando como barra hiperestática;
• Escolhe-se uma das reações como redundante;
• Montam-se dois sistemas, um constituído pela barra com as cargas
ativas e sem a reação redundante, outro sem as cargas ativas e somente
com a reação redundante;com a reação redundante;
• Determinam-se as deformações em ambos os sistemas, sendo que o
sistema em que consta a reação redundante, obviamente, terá esta
reação de forma literal;
• Como sempre os dois sistemas terão solicitações diferentes, ou seja, se
um comprime o outro traciona, a soma (sobreposição) destas
deformações terá que ser zero, já que por se tratar de um conjunto
rígido ele não se deforma;
• Obtém-se, dessa forma, a segunda equação que tornará possível a
resolução do problema.
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Aplicação
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Aplicação
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Cont. Aplicação
1N 2N 3N 4N
1N 2N
iN
iN
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Tensões Térmicas
Barras que Sofrem Variação Térmica
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Procedimento de Análise:
• Substituem-se os vínculos por esforços reativos correspondentes e
aplica-se a única equação de equilíbrio estático possível para o caso
(∑F=0), caracterizando como barra hiperestática;
• Escolhe-se uma das reações como redundante;
• Montam-se dois sistemas, um constituído pela barra livre a se deformar
pela variação térmica e sem a reação redundante, outro sem a variação
térmica e somente com a reação redundante;térmica e somente com a reação redundante;
• Determinam-se as deformações em ambos os sistemas, sendo que o
sistema em que consta a reação redundante, obviamente, terá esta
reação de forma literal;
• Como os dois sistemas sempre terão solicitações diferentes, ou seja, se
um comprime o outro traciona, a soma (sobreposição) destas
deformações terá que ser zero, já que por se tratar de um conjunto
rígido ele não se deforma;
• Obtém-se, dessa forma, a segunda equação que tornará possível a
resolução do problema.
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pp
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Aplicação
Para a barra que é constituída de dois materiais diferentes e
rigidamente engastada entre dois anteparos fixos quando a temperatura
era de 10oC. Verificar sua estabilidade, sabendo-se que a sua temperatura final
atingiu 90º, sendo dada as características dos materiais:
2,4m 1,8m
Aço Bronze
E = 210GPa E = 100GPaE = 210GPa E = 100GPa
α = 11,7.10-6/oC α = 16,9.10-6/oC
A = 6400mm2 A = 3600mm2
σadm = 230MPa σadm = 140MPa
Resp. Instável no bronze N = 690KN σaço= - 108 MPa σbro= - 192 MPa
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Aplicação
O parafuso de Latão (E = 105GPa e α = 20.10-6 ºC-1) é colocado
dentro de um tubo de alumínio (E = 70GPa e α = 24.10-6 ºC-1) com
as dimensões assinaladas e montado sem tensões prévias. Calcule as tensões
normais despertadas no parafuso e no tubo considerando que se dê um
acréscimo de 160ºC na temperatura do conjunto. Resp.:
Dica: MPatubo 35,22−=σ
MPaparaf 25,40=σ
tuboMectuboTermparafMecparafTerm .... δδδδ −=+
NRT 2878=
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Aplicação
As barras da figura estão distanciadas de 0,5mm quando a
temperatura é de 20oC. Determinar a que temperatura a tensão normal
na barra de aço inoxidável atinge o valor de σ = -150MPa.
Dica: Resposta: a) T = 103,2oC( ) ( ) mTR 0005,0=+− δδ
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