Notas de Aula de Transferência de Calor para P1

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Notas de Aula de
Transferência de Calor
Disciplinas:
Transmissão de Calor (TGM)
Transferência de Calor por Condução (PGMEC)
Transferência de Calor por Convecção (PGMEC)
Transferência de Calor por Radiação (PGMEC)
Prof. L. A. Sphaier
Laboratório de Mecânica Teórica e Aplicada (LMTA)
Laboratório de Termociências (LATERMO)
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica
Departamento de Engenharia Mecânica
Universidade Federal Fluminense
Tel.: 21-2629-5576
email: lasphaier@id.uff.br
online: www.sphaier.com
Versão 0.3.5
Agosto de 2011
Sumário
1 Introdução à Transmissão de Calor 1
2 Energia e as Leis da Termodinâmica 13
3 Derivação da equação geral da condução de calor 23
4 Condução unidimensional em regime permanente 35
5 Resistências térmicas: definições 47
6 Resistências térmicas: aplicações 56
7 Transferência de calor em aletas 61
8 Condução transiente: análise por parâmetros concentrados 72
9 Problemas em mais de uma variável: introdução ao método de separação de
variáveis (avançado) 82
10 Condução unidimensional transiente (avançado) 84
11 Condução bidimensional permanente (avançado) 86
12 Introdução à transferência de calor por convecção 88
13 Derivação das equações de transporte (avançado) 102
14 Interpretação das equações de transporte 115
15 Equações de camada limite laminar 124
16 Análise de escalas em camada limite laminar 140
17 Grupos adimensionais em convecção forçada 147
18 Soluções integrais para camada limite laminar (avançado) 153
i
SUMÁRIO ii
19 Camda limite: solução por similaridade 164
20 Efeitos da turbulência 178
21 Correlações em convecção forçada em escoamentos externos 181
22 Camada Limite: efeito do gradiente de pressão (avançado) 188
23 Escoamento laminar em dutos e canais 189
24 Introdução à transferência de calor no escoamento laminar em dutos e canais 201
25 Transferência de calor no escoamento em desenvolvimento (avançado) 223
26 Correlações em convecção forçada no escoamento em dutos e canais 226
27 Introdução a trocadores de calor 230
28 Convecção natural: equações de camada limite 243
29 Convecção natural em placa plana vertical: análise de escalas 252
30 Convecção natural em placa plana vertical: solução integral (avançado) 258
31 Convecção natural laminar: solução por similaridade (avançado) 259
32 Correlações em convecção natural externa 264
33 Convecção natural interna 267
34 Introdução à transferência de calor por radiação 268
35 Propriedades radiativas de uma superfície real 279
36 Radiação em superfícies isotérmicas com fator de forma unitário 288
A Respostas para exercícios 293
Referências Bibliográficas 299
Versão Preliminar 0.3.5 Prof. L. A. Sphaier
Notas de Aula #1:
Introdução à Transmissão de Calor
Versão 0.3.5 — 12/08/11
1.1 Conceitos iniciais
1.1.1 Comparação entre termodinâmica e transmissão de calor
Em Termodinâmica aprende-se que energia é transferida entre um sistema e sua vizi-
nhança (na forma de calor e trabalho). Todavia, trabalha-se com estados de equilíbrio
(normalmente calcula-se a energia trocada entre um estado inicial e final), desconside-
rando a existência de gradientes de temperatura. Com isto não é possível obter-se in-
formações sobre a velocidade ou o tempo percorrido durante a transferência de energia.
Ou seja, a termodinâmica por si só é capaz de fornecer uma visão macroscópica (ou glo-
bal), contento portanto um nível menor de informação sobre o processo em questão. Na
termodinâmica não preocupa-se com os mecanismos que proporcionam a transferência
de energia/calor.
Já em Transferência de Calor1, não consideram-se apenas estados de equilíbrio, po-
dendo haver gradientes de temperatura. Utiliza-se uma abordagem mais elaborada
para o mecanismo de transmissão de energia, sendo portanto possível obter um maior
nível de informação, como por exemplo a velocidade e o tempo associados à transfe-
rência de energia (quantifica-se a taxa com que a transferência de calor ocorre). Pode-se
então dizer que a o estudo da transferência de calor permite uma análise microscópica
(ou local), fornecendo portanto informações mais detalhadas sobre o processo conside-
rado. No entanto o conteúdo de termodinâmica é base para o estudo da transmissão de
calor, sendo portanto imprescindível um bom entendimento deste.
1.1.2 Diferentes escalas
Ao calcular ou medir a densidade2 de um gás considerando o volume de uma esfera
de raio r centrada em um ponto fixo, diferentes resultados serão obtidos dependendo
do tamanho de r (chamado de raio de amostragem), como está ilustrado na figura 1.1.
1ou Transmissão de Calor
2neste texto o termo densidade também é utilizado com o significado de massa específica.
1
1. Introdução à Transmissão de Calor 2
Aumentando r continuamente desde zero, existirá uma faixa inicial de r onde apenas
uma molécula deste gás estará incluída no volume considerado. Nesta faixa a densi-
dade tende a cair (após a molécula ter sido incluída no volume), até que o raio r en-
contre outras moléculas. No momento em que outras moléculas são incluídas no raio
de amostragem, a densidade dá um salto, devido a massa adicional incluída no volume
considerado. Seguindo este raciocínio, percebe-se que a medida que varia-se o raio, a
densidade medida (ou calculada) oscila notavelmente. Todavia, após um número signi-
ficativo de moléculas serem incluídos no raio de amostragem, o valor da densidade fica
estável (constante). Se r continua sendo aumentado, após certo valor, o valor da den-
sidade começará a variar novamente. Entretanto esta variação deve-se ao fato do valor
do raio ser suficientemente grande para começar a incorporar variações macroscópicas
na média.
Figura 1.1: Variação da densidade com o raio de amostragem
Cada uma destas regiões (distinguidas pelos valores de r ) podem ser classificadas
em diferentes escalas, de acordo com o que é observado na densidade medida/calculada:
• Macro-escala (macroscópica): pode ocorrer uma variação devido à distribuição
espacial em nível macroscópico.
• Micro-escala (microscópica): a densidade permanece constante.
• Molecular: Ocorrem flutuações moleculares devido à distribuição das moléculas.
Ainda, deve-se mencionar uma escala conhecida com nano-escala. Ela pode ser in-
terpretada como uma escala de “interface” entre o limite do contínuo e a escala molecu-
lar.
Versão Preliminar 0.3.5 Prof. L. A. Sphaier
1. Introdução à Transmissão de Calor 3
Apesar da análise da variação da densidade anteriormente apresentada ter sido feita
para um gás, o mesmo pode ser feito para líquidos e sólidos. Em gases, as moléculas
estão bastante espaçadas, e existe vácuo entre estas; por isso fica mais fácil de racio-
cinar inicialmente com este estado. Em sólidos e líquidos o espaçamento molecular é
mínimo; entretanto lembrando que a distribuição de massa em átomos é bastante não-
uniforme (a massa é concentrada perto dos núcleos), fica claro que ao medir ou calcular
a densidade da forma anterior um resultado similar será obtido.
1.1.3 Perguntas e respostas
Abaixo são respondidas, de maneira sucinta, três perguntas relevantes à introdução do
tema transmissão de calor:
O que é calor? Calor é a energia em trânsito devido à uma diferença de temperatura.
Basta que haja uma diferença de temperatura, para que haja transferência de calor.
Como calor é transmitido? Novamente, basta que haja uma diferença de temperatura
(um gradiente de temperatura) para que haja transmissão. Há três modos de
transmissão de calor: Condução, Convecção e Radiação. Na realidade os três mo-
dos ocorrem de forma combinada (simultânea)3. Difusão está ligada à transmissão
de energia por contato. A difusão adicionada ao movimento do meio resulta na
convecção (sem movimento tem-se condução apenas). A radiação ocorre indepen-
dente do meio (material).
Qual a relevância
do estudo de Transmissão de Calor? A grande maioria dos proces-
sos industriais dependem do estudo do tema. Em especial pode-se mencionar pro-
cessos que envolvam geração e conversão de energia. O conhecimento de trans-
missão de calor é de extrema importância para o projeto e operação de motores,
turbinas, condensadores, evaporadores, caldeiras, recuperadores, regeneradores,
e uma diversidade de equipamentos. Além destas aplicações, o estudo deste tema
é importantíssimo para problemas relacionados ao meio ambiente, à área biomé-
dica, em alimentos, em culinária entre diversas outras áreas.
1.1.4 Modos de Transferência de Calor
Como engenheiros é importante entender os mecanismos físicos por trás dos modos de
transmissão de calor, para que se possa quantificar corretamente as taxas de transferên-
cia de energia. Abaixo listam-se os três diferentes modos, e são incluídas características
que diferenciam cada um:
• Condução: Transferência de energia por difusão, no nível molecular, devido ape-
nas à agitação molecular.
3Na verdade, a radiação ocorre em paralelo com a condução ou convecção, uma vez que convecção é uma
combinação da condução com o transporte adicional devido ao movimento macroscópico do meio.
Versão Preliminar 0.3.5 Prof. L. A. Sphaier
1. Introdução à Transmissão de Calor 4
• Convecção: Existe um movimento do meio como um todo (como ocorre em um
fluido em movimento), além do nível molecular, perceptível macroscopicamente.4.
Este modo inclui a difusão de calor com taxas adicionais de transferência energé-
tica devido ao movimento do meio. Enquanto não houver movimento do fluido,
só ocorre transferência de calor por condução.
• Radiação: É um fenômeno de natureza eletromagnética (ondas eletromagnéticas),
similar à luz. Neste modo o calor não necessita de um meio (matéria) para ser
transmitido, se propagando no vácuo (na verdade a radiação se propaga melhor
no vácuo do que em um meio). Qualquer substância com temperatura finita (T > 0
Kelvin) emite radiação térmica.
Deve-se ressaltar que alguns autores apenas consideram dois modos de transmissão
de calor, a condução e a radiação. A justificativa para tal é que a convecção envolve o
mesmo mecanismo que a condução (difusão térmica), porém permite que haja movi-
mento no meio. Neste texto os três modos acima serão considerados, a fim de facilitar o
aprendizado dos conteúdos.
1.1.5 Quantificação
Para começar a quantificar a transferência de calor, definem-se as seguintes quantida-
des, seguidas de suas unidades:
• Q – Calor trocado (ou energia transferida), [J].
• Q˙ – Taxa de transferência de calor (ou vazão de calor), [W].
• q˙ ′′ – Fluxo de calor, [W/m2].
O calor total trocado entre dois instantes ti e t f pode ser relacionado com a taxa de
transferência de calor através de:
Q|t fti =
∫ t f
ti
Q˙ dt (1.1)
A taxa de transferência de calor que passa por uma determinada superfície de área
As pode ser calculada fazendo:
Q˙n =
∫
As
q˙ ′′n dAs (1.2)
onde q˙ ′′n representa o fluxo de calor normal a cada ponto da superfície considerada.
Aqui vale a pena enfatizar a notação utilizada. O ponto (como em Q˙) significa uma
quantidade por unidade de tempo, ou seja, é uma medida de taxa de variação. As
duas linhas em q˙ ′′ indicam uma quantidade por unidade de área. De maneira similar,
4Em inglês utiliza-se o termo “bulk motion”, referindo-se a um movimento com características macroscópi-
cas.
Versão Preliminar 0.3.5 Prof. L. A. Sphaier
1. Introdução à Transmissão de Calor 5
uma única linha indicaria uma quantidade por unidade de comprimento (ou altura,
ou profundidade) e três linhas indicariam uma quantidade por unidade de volume.
Seguindo esta regra de notação, fica claro que q˙ ′′ é uma quantidade por unidade de
tempo e por unidade de área. Em geral, fluxos são unidades que têm esta característica:
são taxas de variação temporal (ou vazões) por unidade de área.
1.2 Transferência de Calor por Condução
Este modo de transferência de calor está ligado à atividade molecular. Em condução (ou
difusão térmica) ocorre movimento apenas na escala molecular (cinética molecular). A
energia é transferida no meio considerado através da interação entre as moléculas (mo-
vimento aleatório), e este fenômeno é chamado de difusão. Portanto, não há movimento
nos níveis micro- e macroscópicos, ou seja só há movimento no nível molecular. A pro-
priedade termo-física que mede a capacidade que um material tem de conduzir calor é
a condutividade térmica. A figura 1.2 mostra diferentes valores de condutividade térmica
encontrados para diferentes materiais.
Vale ressaltar, também, que à medida que a temperatura de um gás é aumentada,
a interação molecular também aumenta, e isto faz com que o meio consiga transferir
energia por difusão com maior intensidade. A tabela 1.1 apresenta a condutividade tér-
mica para diferentes gases, mostrando como esta aumenta a medida que a temperatura
é aumentada.
Tabela 1.1: Condutividade térmica de gases (mW/m·K)
100 K 200 K 300 K 400 K 500 K 600 K
Metano 9.9026 21.802 34.479 50.076 68.524 88.889
Etano 3.4561 10.488 21.126 35.953 53.783 73.350
Propano 2.4171 8.9969 18.492 30.902 46.277 64.467
Butano – 8.5006 16.749 28.204 42.867 60.737
Amônia – 19.670 24.988 37.130 53.052 68.551
Argônio 6.3522 12.427 17.683 22.332 26.527 30.372
Hélio 73.632 117.90 155.90 190.29 222.23 252.33
Hidrogênio 68.059 132.27 185.63 233.94 280.40 327.99
Nitrogênio 9.9841 18.623 25.828 32.181 38.123 43.901
Oxigênio 9.2232 18.367 26.635 34.673 42.738 50.729
Água – – 18.571 26.148 35.559 46.230
Dióxido de Carbono – – 16.747 25.110 33.465 41.533
Monóxido de Carbono 10.021 19.199 26.545 32.833 38.431 43.562
Situações similares podem ser observadas em líquidos, sendo que nestes casos as
moléculas estão bem mais próximas, e portanto há maior interação. Por isso, líquidos
apresentam, normalmente, maiores condutividades térmicas quando comparados a ga-
ses. A tabela 1.2 apresenta condutividades térmicas para diferentes líquidos saturados.
Como pode-se observar, a condutividade térmica em líquidos tem uma tendência de
Versão Preliminar 0.3.5 Prof. L. A. Sphaier
1. Introdução à Transmissão de Calor 6
Figura 1.2: Faixas de condutividade térmica para diferentes materiais.
diminuir com a temperatura.
Tabela 1.2: Condutividade térmica de líquidos saturados (mW/m·K)
200 K 300 K 400 K 500 K 600 K
água – 610.28 683.64 644.05 495.46
amônia 803.14 480.25 216.00 – –
butano 149.19 103.94 70.526 – –
hexano 154.97 125.48 96.301 70.105 –
heptano 153.82 130.74 106.32 81.714 –
Em sólidos algo semelhante ocorre, todavia, as moléculas estão “amarradas” umas
às outras, podendo “vibrar”. Esta vibração no nível molecular é difundida de molécula
para molécula. Na teoria molecular, a difusão de calor se dá por “ondas” induzidas pelo
movimento molecular. Em materiais metálicos (ou bons condutores em geral) existe
uma difusão adicional devido à presença de elétrons livres (os mesmos que aumentam
Versão Preliminar 0.3.5 Prof. L. A. Sphaier
1. Introdução à Transmissão de Calor 7
a condutividade elétrica). Já em materiais isolantes (ou maus condutores em geral) não
há elétrons livres e portanto o transporte térmico é só devido às vibrações moleculares
(movimento de ondas vibratórias). A tabela 1.3 apresenta condutividades térmicas para
diferentes sólidos metálicos.
Tabela 1.3: Condutividade térmica de sólidos metálicos (W/m·K)
200 K 400 K 600 K 800 K 1000 K
alumínio 237 240 231 218 –
ouro 323 311 298 284 270
ferro 94 69.5 54.7 43.3 32.3
cobre 413 393 379 366 352
chumbo 36.7 34.0 31.4 – –
níquel 107 80.2 65.6 67.6 71.8
platina 72.6 71.8 73.2 75.6 78.7
prata 430 425 412 396 379
titânio 24.5 20.4 19.4 19.7 20.7
A tabela 1.4 apresenta condutividades térmicas de materiais sólidos5 não metálicos,
medidas à 300 K (com exceção de neve e gelo, onde as medidas são à 273 K). Com-
parando
as condutividades desta tabela com as dos sólidos metálicos, observa-se cla-
ramente uma diferença nos valores. Vale observar também que em materiais não são
isotrópicos como madeira (carvalho, na tabela), apresentam diferentes propriedades em
diferentes direções.
Tabela 1.4: Condutividade térmica de sólidos não-metálicos (W/m·K)
material condutividade
algodão 0.06
areia 0.27
asfalto 0.062
borracha (macia) 0.13
borracha (rígida) 0.16
carvalho (radial) 0.19
carvalho (transversal) 0.17
concreto 1.4
gelo 1.88
granito 2.79
neve 0.049
papel 0.180
teflon 0.35
vidro 1.4
A figura 1.3 ilustra o efeito da variação da temperatura sobre a condutividade tér-
5Alguns materiais desta tabela podem não ser considerados como sólidos; todavia, sem haver deformação
do material, para a transmissão de calor estes podem ser considerados sólidos.
Versão Preliminar 0.3.5 Prof. L. A. Sphaier
1. Introdução à Transmissão de Calor 8
mica de diferentes materiais. Como pode-se observar, em gases, a condutividade tér-
mica aumenta com a temperatura.
Figura 1.3: Efeito da variação da temperatura sobre a condutividade térmica de diferen-
tes materiais.
Os dados das tabelas aqui apresentadas foram retirados de Bejan e Krauss [1], com
exceção da última, que foram retirados de Incropera e De Witt [2]. Vale observar aqui,
que com exceção das últimas tabela (para sólidos) a condutividade térmica é apresen-
tada em mili-Watts por metro por Kelvin. As figuras foram retiradas de Özis¸ik [3] e de
Batchelor [4].
Versão Preliminar 0.3.5 Prof. L. A. Sphaier
1. Introdução à Transmissão de Calor 9
1.2.1 Lei de Fourier (1822)
Em experimentos, Fourier6 observou a seguinte proporcionalidade entre o gradiente de
temperatura e o fluxo de calor:
q˙ ′′∝ ∆T
L
(1.3)
Onde a constante de proporcionalidade, k é a anteriormente mencionada condutividade
térmica. Como o gradiente de temperatura pode variar com x, a Lei de Fourier é então
escrita na forma diferencial (ou seja, localmente):
q˙ ′′x ≡ −k
dT
dx
(1.4)
Naturalmente, para distribuições lineares de T (x) pode-se escrever:
q˙ ′′x = −k
T2−T1
L
(1.5)
onde L = x2 − x1. Neste casos (considerando k constante), o fluxo de calor não varia
com x.
1.3 Transferência de Calor por Convecção
Neste modo de transmissão de calor, além do mecanismo de difusão molecular, a ener-
gia também é transferida pelo movimento macroscópico/microscópico (na escala do
contínuo).
A transferência de calor por convecção é classificada de acordo com o mecanismo
motriz do escoamento, podendo ser forçada ou livre. Em convecção forçada, o movi-
mento é gerado por algum agente externo. Em convecção livre (ou natural) o próprio
campo de temperaturas gera diferenças em densidades que levam ao movimento do
meio. Na realidade sempre irá existir uma mistura das duas (convecção mista).
1.3.1 Lei de Resfriamento de Newton
Independente do tipo de convecção pode-se utilizar a relação conhecida como a Lei de
Resfriamento de Newton7 para quantificar as trocas térmicas por convecção:
q˙ ′′s→ f = h (Ts −T f ) (1.6)
onde h é chamado de coeficiente de transferência de calor por convecção [W/m2·K].
O transporte térmico por convecção é um mecanismo mais complicado que a con-
dução de calor devido ao movimento adicional do meio. A simplicidade da Lei de
6em homenagem ao pesquisador Jean Baptiste Joseph Fourier.
7em homenagem ao pesquisador Isaac Newton.
Versão Preliminar 0.3.5 Prof. L. A. Sphaier
1. Introdução à Transmissão de Calor 10
Resfriamento de Newton não esconde isto, pois toda a complexidade associada a con-
vecção está embutida na determinação do coeficiente h. Deve-se ressaltar também que a
temperatura T f é uma temperatura associada ao fluido. Como o campo de temperatura
no fluido, na realidade, varia desde a temperatura do sólido (na interface sólido-fluido)
até outro valor (longe da parede), diferentes métodos para se escolher T f existem. Esta
escolha irá depender do tipo de escoamento. A tabela 1.5 apresenta valores típicos para
o coeficiente de transferência de calor por convecção:
Tipo de escoamento h, W/(m2·◦C)
Convecção Natural com ∆T = 25◦C
placa vertical de 25 cm imersa em ar 5
placa vertical de 25 cm imersa em óleo de motor 37
placa vertical de 25 cm imersa em água 440
Convecção Forçada
Ar a 25◦C e 10 m/s sobre uma placa plana de 10 cm 40
Ar em escoamento cruzado em torno de um cilindro (diâmetro 1 cm) 85
Óleo em escoamento cruzado em torno de um cilindro (diâmetro 1 cm) 1800
Água (vazão de 1 kg/s) dentro de um tubo com 2.5 cm de diâmetro 10500
Ebulição de água a uma atmosfera
Ebulição em piscina normal 3000
Ebulição em piscina no fluxo de calor crítico 35000
Ebulição em filme 300
Condensação de vapor d’água a uma atmosfera
Condensação em filme em tubos horizontais 9000–25000
Condensação em filme em superfícies verticais 4000–11000
Condensação em gotas 60000–120000
Tabela 1.5: Valores de h para diferentes situações.
1.4 Transferência de Calor por Radiação
Abaixo são listadas algumas características do modo de transferência de calor por radi-
ação:
• Calor na forma de radiação térmica é emitido por qualquer corpo que esteja a uma
temperatura maior que zero Kelvin.
• Todos materiais emitem; todavia, neste curso apenas sólidos serão considerados.
• A energia é transportada na forma de ondas eletromagnéticas (fótons), da mesma
maneira que a luz.
• Não é necessária a presença de um meio para a sua propagação (na verdade a
radiação térmica se propaga melhor no vácuo).
Versão Preliminar 0.3.5 Prof. L. A. Sphaier
1. Introdução à Transmissão de Calor 11
1.4.1 Lei de Stefan-Boltzmann
O fluxo de calor associado à radiação emitida por um Corpo Negro8 (emissor perfeito)
pode é calculado pela Lei de Stefan-Boltzmann9:
q˙ ′′e,cn = σT 4s (1.7)
onde σ é a constante de Stefan-Bolztmann (σ= 5.6697 W/(m2·K4)). Para um corpo real,
a radiação emitida é escrita em termos da radiação máxima emitida à mesma tempera-
tura, ou seja:
q˙ ′′e = ε q˙ ′′e,cn = εσT 4s (1.8)
onde ε é a propriedade radiativa conhecida como emissividade.
Se uma superfície à Ts está totalmente envolta por uma vizinhança à Tvi z a radiação
incidente desta vizinhança é igual a radiação de corpo negro à Tvi z , ou seja:
q˙ ′′i = σT 4vi z (1.9)
todavia, apenas parte da radiação incidente sobre a superfície é absorvida, de acordo
com a absortividade da superfície, α:
q˙ ′′abs = α q˙ ′′i = ασT 4vi z (1.10)
Contabilizando a energia que é perdida e absorvida pela superfície, pode-se calcular
o fluxo líquido de calor ganho pela superfície:
q˙ ′′vi z→s = q˙ ′′abs − q˙ ′′e = σ
(
αT 4vi z −εT 4s
)
(1.11)
Para casos mais simples, a Lei de Kirchoff 10 resulta em ε=α:
q˙ ′′vi z→s = σε
(
T 4vi z −T 4s
)
(1.12)
a relação acima pode ser reescrita na forma da lei de resfriamento de Newton, com um
coeficiente de transmissão de calor por radiação, hr :
q˙ ′′vi z→s = hr (Tvi z −Ts) (1.13)
onde hr é então dada por
hr = σε (Tvi z +Ts)
(
T 2vi z +T 2s
)
(1.14)
8o termo Corpo Negro será mais explicado nas notas de aula da parte de Radiação Térmica.
9em homenagem aos pesquisadores Joz˘ef Stefan e Ludwig Eduard Boltzmann.
10em homenagem ao pesquisador Gustav Robert Kirchoff.
Versão Preliminar 0.3.5 Prof. L. A. Sphaier
1. Introdução à Transmissão de Calor 12
Para casos com |Tvi z −Ts | ¿ Ts (pode-se aproximar Tvi z ≈ Ts), o coeficiente pode ser
simplificado para:
hr ≈ 4σεT 3s (1.15)
Exercícios
1.1. Em no máximo uma página, escreva sobre a importância do estudo de Transmis-
são de Calor, citando exemplos (desde de processos industriais até coisas simples
do dia a dia) que envolvem mecanismos de Transmissão de Calor.
1.2. Faça um resumo do conteúdo do apresentado nestas notas de aula, respondendo
as questões “o que é calor?”, “como ele é transmitido?”, e “qual as diferenças
e
semelhanças entre Termodinâmica e Transmissão de Calor?”.
1.3. Explique a relação do modos de transferência de calor e processo de difusão tér-
mica.
1.4. Em um meio com grandes deformações quais modos de transmissão de calor po-
dem ocorrer? justifique.
1.5. É necessário que um corpo esteja em repouso para que ocorra transferência de
calor apenas por condução? justifique.
1.6. Explique porque materiais metálicos possuem condutividade térmica em geral
maior que materias não metálicos. Quais as diferenças e semelhanças encontradas
em metais sólidos líquidos?
1.7. É correto afirmar que a condutividade térmica em gases (a pressão constante),
em geral, aumenta com a temperatura? Por quê? O mesmo ocorreria a volume
constante? Por quê? Compare o comportamento de gases com líquidos.
1.8. Pode-se afirmar que a condição de contorno com o coeficiente de transferência
de calor por convecção muito pequeno tende a condição de isolamento térmico?
Justifique.
Versão Preliminar 0.3.5 Prof. L. A. Sphaier
Notas de Aula #2:
Energia e as Leis da Termodinâmica
Versão 0.3.5 — 12/08/11
2.1 Lei Zero da Termodinâmica
A lei zero da termodinâmica, que recebeu esta numeração pois foi postulada após a
primeira e segunda leis, diz que se os corpos A e B estiverem em equilíbrio térmico, e
os corpos B e C também estiverem em equilíbrio térmico, então A e C também estarão
em equilíbrio térmico.
2.2 Energia em diferentes formas
A energia total (i.e. em todas as possíveis formas) associada à um dado volume pode
ser escrita dividida nas seguintes parcelas:
Etot =U + K + Φ + Eoutras (2.1)
onde U corresponde a energia interna térmica, e K e Φ correspondem às energias ciné-
ticas e potenciais mecânicas. Como as energias de maior interesse em ciências mecâ-
nica são as térmicas e mecânicas, as demais formas de energia são agrupadas no termo
Eoutras. Este termo conteria por exemplo as seguintes formas:
Eoutras = Equi + Enuc + Eelet + ·· · (2.2)
Define-se então a energia termo-mecânica como as parcelas térmicas e mecânicas:
E = Etot − Eoutras =U + K + Φ (2.3)
Desta forma, uma variação na energia E estará relacionada com variações nas suas par-
celas:
∆E = ∆Etot − ∆Eoutras = ∆U + ∆K + ∆Φ (2.4)
13
2. Energia e as Leis da Termodinâmica 14
e também, a taxa de variação de E será então dada por:
dE
dt
= dEtot
dt
− dEoutras
dt
(2.5)
2.3 Geração e energia termo-mecânica
O último termo da equação (2.5), representa a conversão de energia proveniente de
outras formas em energia termo-mecânica. Como o foco principal em transmissão de
calor não são estas demais formas de energia, comumente chama-se o último termo de
energia gerada:
E˙g ,V = −
dEoutras
dt
(2.6)
onde o sinal negativo indica que para haver um aumento das parcelas térmica e mecâ-
nicas, deve haver uma redução nas outras formas de energia. O subscrito V é incluído
para indicar que a geração de energia na forma acima deve-se a transformações energé-
ticas dentro do volume considerado. Isto permite que a equação (2.5) seja escrita como:
dE
dt
= dEtot
dt
+ E˙g ,V (2.7)
2.4 Variação da energia total
Para que as formas de energia anteriormente descritas sejam não nulas é necessário
associá-las à um dado volume finito de matéria. Uma vez que isto seja feito, observa-se
que para haver variação da energia total Etot é necessário que haja alguma interação com
agentes externos a este volume escolhido. O volume considerado pode ser escolhido de
diferentes formas, mas independente desta escolha, a taxa de variação da energia total
associada a este volume é dada por:
dEtot
dt
= E˙tot,e − E˙tot,s (2.8)
onde E˙tot,e e E˙tot,s representam as taxas líquidas de energia – em todas as possíveis for-
mas – entrando e saindo do volume considerado. Então, a taxa variação da energia total
é igual à taxa líquida de energia que entra no volume.
2.5 Balanço de energia
Utilizando as equações (2.5) e (2.8) um balanço geral de energia pode ser escrito como:
dE
dt
= E˙tot,e − E˙tot,s + E˙g ,V, (2.9)
Versão Preliminar 0.3.5 Prof. L. A. Sphaier
2. Energia e as Leis da Termodinâmica 15
fornecendo uma expressão para avaliar-se a taxa de variação da energia termo-mecânica.
As interações E˙tot,e e E˙tot,s são fenômenos superficiais pois representam a interação
do volume considerado com os agentes externos, e este contato naturalmente se dá na
fronteira do volume considerado. Os demais termos na equação de balanço são volu-
métricos, pois ocorrem dentro do volume considerado.
Separando E˙tot,e e E˙tot,s em uma parcela relativa a energia térmica e mecânica e outra
relacionada à outras formas de energia tem-se:
E˙tot,e = E˙e + E˙outras,e (2.10a)
E˙tot,s = E˙s + E˙outras,s (2.10b)
pode-definir um termo de geração de energia, i.e. conversão de outras formas de energia
em térmica e mecânica, que inclui efeitos volumétricos e superficiais:
E˙g = E˙g ,V + E˙outras,e − E˙outras,s = −
dEoutras
dt
+ E˙outras,e − E˙outras,s (2.11)
Consequentemente o balanço geral de energia pode ser reescrito na forma:
dE
dt
= E˙e − E˙s + E˙g . (2.12)
2.6 Sistema e volume de controle
Um sistema1 é definido como sendo um conjunto de matéria fixa e definida. Ou seja, em
um sistema, considera-se sempre o mesmo conjunto de matéria. Desta forma a massa
de um sistema não pode variar: (
dm
dt
)
sist
= 0. (2.13)
Um volume de controle (abreviado v.c.) é definido como um volume arbitrário através
do qual matéria pode se movimentar. Portanto, na fronteira de um volume de controle
(denominada superfície de controle) pode haver passagem de massa, o que permite que a
massa de um volume de controle varie de acordo com:(
dm
dt
)
v.c.
= m˙e − m˙s . (2.14)
onde m˙e e m˙s representam as vazões em massa entrando e saindo do volume de con-
trole.
No estudo de termodinâmica os termos sistema aberto e sistema fechado são comu-
mente utilizados, sendo diretamente associados com volumes de controle e sistemas,
respectivamente. Todavia, neste texto, os termos sistema e volume de controle serão
1Outro termo frequentemente utilizado para se referir a um sistema é volume material ou corpo material.
Versão Preliminar 0.3.5 Prof. L. A. Sphaier
2. Energia e as Leis da Termodinâmica 16
utilizados.
2.7 Regimes permanente e transiente
O balanço de energia descrito pela equação (2.12) envolve a derivada no tempo (dE/dt).
Quando está derivada é nula o balanço representa a transferência de energia em regime
permanente ou estacionário. Para os casos onde a derivada é não-nula, o regime é dito
transiente. O mesmo se aplica para a derivada dm/dt na equação (2.14). Ou seja, para
regime permanente, pode-se escrever:
m˙e − m˙s = 0, (2.15)
E˙e − E˙s + E˙g = 0. (2.16)
2.8 Primeira Lei da Termodinâmica
A Primeira Lei da Termodinâmica quantifica as transferências de energia na forma de
calor e trabalho. Devido a diferença fundamental entre sistemas e volumes de controle,
diferentes formulações são obtidas para cada caso.
2.8.1 Primeira Lei para sistemas
Para sistemas não há massa cruzando a superfície do volume considerado. Portanto, as
interações de energia na fronteira do sistema (entrando e saindo) são escritas na forma
de taxas de transferência de calor e taxas de realização de trabalho:
E˙e = Q˙e +W˙e , E˙s = Q˙s +W˙s , (2.17)
e desta forma, a taxa líquida de entrada de energia no sistema é dada por:
E˙e − E˙s = (Q˙e −Q˙s)+ (W˙e −W˙s), (2.18)
Definindo a taxa líquida de calor fornecida ao sistema e a taxa líquida de realização de
trabalho sobre o sistema pelas expressões abaixo:
Q˙ = (Q˙e −Q˙s), W˙ = (W˙s −W˙e ), (2.19)
o balanço de energia é então escrito na seguinte forma:(
dE
dt
)
sist
= Q˙+W˙ + E˙g (2.20)
A definição de taxa de realização de trabalho é diferentes do que encontrado em
alguns livros de termodinâmica, pois nestes textos,
assume-se a convenção que o tra-
Versão Preliminar 0.3.5 Prof. L. A. Sphaier
2. Energia e as Leis da Termodinâmica 17
balho é positivo quando realizado pelo sistema. Na definição anterior, naturalmente,
assume-se que o trabalho é positivo quando realizado sobre ou sistema, ou seja, o tra-
balho positivo corresponde a uma energia fornecida ao sistema.
2.8.2 Primeira Lei para volumes de controle
Para volumes de controle, existe a possibilidade de massa cruzar as superfícies do vo-
lume em questão. Portanto, a taxa de transferência de energia nas fronteiras de um
volume de controle não será devida apenas à calor e trabalho. Contabilizando as par-
celas de energia transferida devido a transferência de massa na superfície de controle,
escreve-se:2
E˙e = Q˙e + W˙e + U˙e + K˙e + Φ˙e , (2.21a)
E˙s = Q˙s + W˙s + U˙s + K˙s + Φ˙s , (2.21b)
desta forma, o balanço de energia para volumes de controle é escrito na seguinte forma:(
dE
dt
)
v.c.
= Q˙ + W˙ + U˙ + K˙ + Φ˙ + E˙g , (2.22)
onde as taxas líquidas de transferência de energia interna, cinética e potencial, devido à
transferência de massa na superfície de controle são dadas por:
U˙ = (U˙e −U˙s), K˙ = (K˙e − K˙s), Φ˙ = (Φ˙e − Φ˙s). (2.23)
Os termos U˙ , K˙ e Φ˙ representam as taxas liquidas de transferência de energia para
dentro do volume de controle associadas à transferência de massa através do volume de
controle (m˙e e m˙s). Taxas de transferência associadas ao movimento de matéria através
da superfície do volume de controle são denominadas taxas advectivas, ou seja, U˙ , K˙ e Φ˙
representam taxas de advecção de energia3 líquidas para dentro do volume de controle.
2.9 Forças conservativas e não-conservativas
Qualquer força f pode ser separada em um parcela conservativa e outra não-conservativa:
f = f c + f nc. (2.24)
Da mesma maneira, a taxa de realização de trabalho pode ser escrita em termos de
2Deve-se ressaltar que nestas expressões, por simplicidade, não foram consideradas as vazões de outras
formas de energia para dentro do volume deo controle. Estas devem ser consideradas em problemas onde
sejam relevantes.
3Comumente chamadas de energia advectada.
Versão Preliminar 0.3.5 Prof. L. A. Sphaier
2. Energia e as Leis da Termodinâmica 18
parcelas conservativas e não-conservativas:
W˙ = W˙c + W˙nc, (2.25)
representando a taxa de realização de trabalho das forças conservativas, e a taxa de
realização de trabalho das forças não-conservativas, respectivamente.
Neste momento, deve-se recapitular alguns princípios de conservação de energia
mecânica. Um destes é que a variação da energia potencial é igual ao oposto (ou seja,
com o sinal trocado) do trabalho das forças conservativas4:
dΦ
dt
= −W˙c (2.26)
Isto mostra que ao considerar a variação da energia de um corpo sob ação de traba-
lhos de forças, deve-se tomar cuidado ao contabilizar as interações de forças conserva-
tivas e variações de energia potencial.
Considerando um sistema isotérmico, isobárico, e adiabático, o balanço de ener-
gia reduz-se apenas ao simples balanço de energia mecânica. Estando de acordo com
a equação (2.26), o balanço de energia mecânica diz que o trabalho das forças não-
conservativas é igual à variação da energia mecânica total, ou seja:
dK
dt
+ dΦ
dt
= W˙nc (2.27)
Apesar da equação não envolver as interações térmicas, ela mostra que a taxa de tra-
balho utilizada na equação (2.20) deve apenas conter o trabalho das forças não-conservativas,
visto que o trabalho das forças conservativas já é contabilizado na variação da energia
potencial, de acordo com a equação (2.26). Ou seja, o princípio de conservação da ener-
gia termo-mecânica, para sistemas, deve ser escrito na forma:(
dE
dt
)
sist
=
(
dU
dt
+ dK
dt
+ dΦ
dt
)
sist
= Q˙+W˙nc+ E˙g (2.28)
ou na seguinte forma: (
dU
dt
+ dK
dt
)
sist
= Q˙+W˙nc+W˙c+ E˙g (2.29)
e o mesmo racioncínio deve ser extendido para volumes de controle.
2.10 Relação entre quantidades globais e locais
A relação entre quantidades globais e locais está ligada a propriedades intensivas e
extensivas, as quais são descritas abaixo.
4considerando que as forças conservativas são relacionadas ao tipo de energia potencial considerada, por
exemplo, força conservativa gravitacional e energia potência gravitacional
Versão Preliminar 0.3.5 Prof. L. A. Sphaier
2. Energia e as Leis da Termodinâmica 19
2.10.1 Propriedades extensivas e intensivas
Propriedades extensivas são quantidades que dependem da quantidade de matéria, ou
seja, que variam com a quantidade de massa considerada. Exemplos de grandezas ex-
tensivas são energia, quantidade de movimento, e inclusive a própria massa.
Propriedades intensivas são quantidades que independem da quantidade de maté-
ria. Exemplos são temperatura, velocidade, e massa específica. Para toda propriedade
extensiva existirá uma propriedade intensiva (como foi o caso da massa específica, an-
teriormente citada). Estas propriedades recebem o nome de propriedades específicas.
Um exemplo tradicional de propriedades intensivas “derivadas” de propriedades ex-
tensivas é energia, nas diferentes formas. Como as propriedades podem variar espa-
cialmente, a relação entre as formas intensivas e extensivas é estabelecida para uma
quantidade de massa diferencial:
dU = udm, dK = eK dm, dΦ = eΦdm, (2.30)
onde a própria massa para uma quantidade diferencial é escrita em função da massa
específica associada ao volume diferencial considerado:
dm = ρdV. (2.31)
Duas outras propriedades termodinâmicas que aparecem em formas intensivas e
extensivas são a entalpia5 e entropia:
dI = i dm, dS = sdm. (2.32)
2.10.2 Relações integrais volumétricas
A relação entre quantidades diferenciais (locais) e quantidades no volume todo (globais)
são dadas por relações integrais envolvendo o volume V considerado:
U =
∫
V
u dm =
∫
V
uρdV, (2.33a)
K =
∫
V
eK dm =
∫
V
eK ρdV, (2.33b)
Φ =
∫
V
eΦ dm =
∫
V
eΦρdV, (2.33c)
I =
∫
V
i dm =
∫
V
i ρdV, (2.33d)
S =
∫
V
s dm =
∫
V
sρdV. (2.33e)
A geração de energia (convertida de outras formas de energia) é também um termo
5Em transferência de calor, o símbolo utilizado para entalpia é I , ao invés de H (utilizado em termodinâ-
mica).
Versão Preliminar 0.3.5 Prof. L. A. Sphaier
2. Energia e as Leis da Termodinâmica 20
volumétrico, sendo definido em termos da geração local por unidade de volume g˙ ′′′:
E˙g =
∫
V
g˙ ′′′dV. (2.34)
Outras quantidades que aparecem em formas locais e globais são forças e assim
como o trabalho destas forças. A relação entre a força resultante atuando sobre um
volume V, assim como a taxa de realização de trabalho sobre o volume são dadas por:
f v =
∫
V
d f v =
∫
V
f ′′′v dV (2.35)
W˙v =
∫
V
dW˙v =
∫
V
v ·d f v =
∫
V
v · f ′′′v dV (2.36)
onde f ′′′v representa a força por unidade de volume atuando sobre cada elemento dife-
rencial dV, e v representa a velocidade de cada um destes elementos. Os subscritos v
utilizados nas equações anteriores se referem a forças e trabalhos volumétricos. Forças
volumétricas, também conhecidas como forças de corpo ou forças de massa, são forças
de ação a distância. Naturalmente a taxa de trabalho W˙v representa o trabalho realizado
por estas forças.
2.10.3 Relações integrais superficiais
As quantidades associadas a interações na fronteira do volume considerado também
existirão em formas globais e locais. Globalmente, estas quantidades representam a taxa
de transferência líquida total através da fronteira do sistema. Localmente, considera-se
a taxa de transferência associada a uma área diferencial da fronteira do volume consi-
derado. A taxa de transferência de massa (ou vazão mássica) global é relacionada com
a local através de:
m˙ = m˙e − m˙s =
∫
S
dm˙ =
∫
S
m˙′′ dA (2.37)
onde o termo
m˙′′ representa a vazão em massa por unidade de área para dentro do
volume V.
A taxa de transferência de calor global líquida (para dentro de V) é relacionada com
a taxa local através de:
Q˙ = Q˙e − Q˙s =
∫
S
dQ˙ =
∫
S
Q˙ ′′ dA (2.38)
onde Q˙ ′′ representa a taxa de transferência de calor por unidade de área6 para dentro
de V.
6Naturalmente este termo representa o componente do fluxo de calor, definido em outras notas de aula,
para dentro do volume considerado.
Versão Preliminar 0.3.5 Prof. L. A. Sphaier
2. Energia e as Leis da Termodinâmica 21
2.11 Segunda Lei da Termodinâmica
A segunda lei da termodinâmica para um sistema pode ser escrita na seguinte forma:(
dS
dt
)
sist
≥
∫
Ssist
1
T
dQ˙ (2.39)
onde a temperatura deve ser obrigatoriamente dada em unidades absolutas (Kelvin ou
Rankine).
2.12 Balanço de energia em uma superfície
Uma superfície é uma região que possui área mas não possui volume. Logo esta não
possui massa e portanto, não pode haver taxa de variação de grandezas associadas a
quantidade de matéria de uma superfície. Conseqüentemente, o balanço de energia em
uma superfície é simplesmente obtido da equação (2.12), zerando os termos de taxa de
variação volumétricas:
0 = E˙e − E˙s + E˙g , (2.40)
onde o termo de geração E˙g naturalmente não incluiria a parcela volumétrica:
E˙g = E˙outras,e − E˙outras,s . (2.41)
Ou seja, como era de se esperar, a taxa de energia que entra em uma superfície deve
se igualar a taxa que sai. Se não há massa cruzando a superfície, a Primeira Lei da
Termodinâmica para esta superfície é dada por:
Q˙e − Q˙s + W˙e − W˙s = 0. (2.42)
Se massa pode cruzar esta superfície o balanço de massa é dado por:
0 = m˙e − m˙s , (2.43)
e a Primeira Lei da Termodinâmica é dada por:
Q˙e + W˙e + U˙e + K˙e + Φ˙e + E˙g = Q˙s + W˙s + U˙s + K˙s + Φ˙s (2.44)
Exercícios
2.1. Partindo de um enunciado geral de conservação de energia, encontre a variação
da energia interna (U ) de um sistema fechado, sem geração interna de energia,
onde a única troca de energia com o exterior é uma taxa transferência de calor
fornecida constante (Q˙0).
Versão Preliminar 0.3.5 Prof. L. A. Sphaier
2. Energia e as Leis da Termodinâmica 22
2.2. Partindo de um enunciado geral de conservação de energia, encontre a variação
da energia interna (U ) de um sistema fechado, sem geração interna de energia,
onde o sistema perde calor para as redondezas a uma taxa igual a sua energia
interna.
2.3. Calcule a taxa de variação da energia interna de um corpo em queda livre onde a
taxa de realização de trabalho da resistência do ar é igual a c v , onde v é a veloci-
dade do corpo.
Versão Preliminar 0.3.5 Prof. L. A. Sphaier
Notas de Aula #3:
Derivação da equação geral da condução de calor
Versão 0.3.9 — 12/08/11
3.1 Balanço de energia
Para a derivação da equação da condução de calor, parte-se de um balanço de ener-
gia. Devido ao modo de transferência de calor considerado, o meio por onde o calor
se propaga não pode exibir movimento relativo entre pontos interiores. Desta maneira
pode-se tanto utilizar a abordagem de sistema ou de volume de controle1. Como discu-
tido nas notas de aula 2, a taxa de variação da energia termo-mecânica para um sistema
pode ser escrita na forma:
dE
dt
= dU
dt
+ dK
dt
+ dΦ
dt
= Q˙+W˙nc+ E˙g (3.1)
ou utilizando a forma alternativa:
dU
dt
+ dK
dt
= Q˙+W˙nc+W˙c+ E˙g (3.2)
onde E˙g só inclui efeitos volumétricos pois não há massa cruzando a superfície do sis-
tema.
Para sistemas estáticos, naturalmente, a variação da energia cinética e potencial, as-
sim como a taxa de trabalho de qualquer força, são sempre nulos pois não há movimento
algum. Para estes casos é fácil verificar que o balanço de energia escrito anteriormente
reduz-se a:
dU
dt
= Q˙ + E˙g (3.3)
A equação anterior foi derivada para casos estáticos. Todavia, devido ao fato da condu-
ção de calor estar relacionada à meios sem movimento relativo, os volumes considera-
dos, se não estiverem parados, estarão em movimento de corpo rígido. Devido a este
tipo de movimento, pode-se mostrar mesmo para os casos fora de repouso, a equação
1este preferencialmente estando fixo ao meio, de forma que não haja massa cruzando as fronteiras do
volume de controle.
23
3. Derivação da equação geral da condução de calor 24
de balanço (3.3) é novamente obtida. A seguir, apresenta-se esta demonstração para
casos em movimento de translação.
3.1.1 Sistemas com movimento de translação
Utilizando um balanço de forças para um volume em movimento de corpo rígido (ou
seja, sem taxas de deformações) é escrito na forma da segunda lei de Newton:
m
dv
dt
= f c + f nc (3.4)
Tomando o produto escalar de (3.4) com a velocidade v :
m v ·
(
dv
dt
)
= v · f c + v · f nc (3.5)
a qual pode ser reescrita na forma:
m
d
dt
(v ·v
2
)
= v · f c + v · f nc (3.6)
Os termos na equação anterior são, respectivamente, a taxa de variação da energia
cinética, e as taxa de realização de trabalho (sobre o volume considerado) das forças de
conservativas e não-conservativas, respectivamente:
m
d
dt
(v ·v
2
)
= dK
dt
(3.7a)
v · f c = W˙c (3.7b)
v · f nc = W˙nc (3.7c)
Isto mostra que a taxa de trabalho das forças atuando sobre o sistema é igual à taxa de
variação da energia cinética:
dK
dt
= W˙c + W˙nc (3.8)
Finalmente, subtraindo (3.8) de (3.2), chega-se a expressão obtida para o meio em re-
pouso:
dU
dt
= Q˙ + E˙g (3.3)
Para casos com rotação uma análise similar pode ser feita, levando novamente à
equação (3.3).
Versão Preliminar 0.3.5 Prof. L. A. Sphaier
3. Derivação da equação geral da condução de calor 25
3.2 Relação entre quantidades locais e globais
Os termos volumétricos, calculados para um sistema com volume V são dados por:
U =
∫
V
u dm =
∫
V
uρdV (3.9)
E˙g =
∫
V
g˙ ′′′dV (3.10)
Os termos de superfície são escritos em termos da superfície do sistema S e do vetor
fluxo de calor:
Q˙ =
∫
S
−q˙ ′′n dA =
∫
S
−(q˙ ′′·nˆ) dA (3.11)
3.2.1 Equação integral da energia
Partindo do balanço de energia dado pela equação (3.3), e substituindo os termos pelas
integrais da seção anterior, obtém-se:
d
dt
∫
V
uρdV=−
∫
S
(q˙ ′′·nˆ) dA+
∫
V
g˙ ′′′dV (3.12)
A equação obtida representa uma formulação integral para a transferência de calor por
condução.
3.3 Equação diferencial da condução de calor
Partindo da formulação integral obtida anteriormente e reconhecendo que não há vari-
ação no volume do sistema, pode-se escrever:∫
V
∂
∂t
(uρ) dV=−
∫
S
(q˙ ′′·nˆ) dA+
∫
V
g˙ ′′′dV (3.13)
O próximo passo é combinar as integrais. Para tal será necessário transformar a
integral de superfície em uma integral no volume.
3.3.1 Transformação da integrais de superfície
O teorema da divergência (ou teorema de Gauss2) para um vetor f qualquer, em um
volume V delimitado por uma superfície S orientada por um vetor normal nˆ é escrito
como: ∫
S
f ·nˆ dA=
∫
V
∇· f dV (3.14)
2em homenagem ao pesquisador Johann Carl Friedrich Gauss.
Versão Preliminar 0.3.5 Prof. L. A. Sphaier
3. Derivação da equação geral da condução de calor 26
Desta forma, pode-se escrever o termo da taxa de transferência de calor em termos
do volume do sistema: ∫
S
q˙ ′′·nˆ dA=
∫
V
∇·q˙ ′′ dV (3.15)
3.3.2 Equação em termos do fluxo de calor e energia interna
Aplicando o teorema da divergência na equação de balanço energético, obtém-se:∫
V
∂
∂t
(uρ) dV=−
∫
V
∇·q˙ ′′ dV+
∫
V
g˙ ′′′dV, (3.16)
a qual pode ser rearrumada, fornecendo:∫
V
(
∂
∂t
(uρ)+∇·q˙ ′′− g˙ ′′′
)
dV= 0 (3.17)
Para que a equação acima seja válida para um volume arbitrário (um corpo qual-
quer, com qualquer tamanho ou geometria), é necessário que o integrando seja zero,
levando
a:
∂
∂t
(uρ)=−∇·q˙ ′′+ g˙ ′′′ (3.18)
Aplicando a regra da derivada do produto no lado esquerdo, obtém-se:
ρ
∂u
∂t
+ u ∂ρ
∂t
= −∇·q˙ ′′ + g˙ ′′′ (3.19)
Para meios sem movimento relativo (sem deformação), a conservação da massa re-
quer que:
∂ρ
∂t
= 0 (3.20)
fazendo com que a conservação de energia seja escrita na seguinte forma:
ρ
∂u
∂t
= −∇·q˙ ′′ + g˙ ′′′. (3.21)
3.3.3 Relação entre energia interna e temperatura
Introduzindo o calor específico, para substâncias incompressíveis e gases ideais, uma
variação infinitesimal na energia interna pode ser escrita em termos de uma variação de
temperatura:
du = cv dT = c dT, então ∂u
∂t
= c ∂T
∂t
, (3.22)
isto faz com que a equação para a transferência de energia possa ser escrita em termos
Versão Preliminar 0.3.5 Prof. L. A. Sphaier
3. Derivação da equação geral da condução de calor 27
da temperatura.
ρ c
∂T
∂t
= −∇·q˙ ′′ + g˙ ′′′. (3.23)
Naturalmente para materiais incompressíveis (líquidos e sólidos), o calor específico
a pressão constante e a volume constante podem ser igualados e portando um único
símbolo c é utilizado (cp = cv = c):
ρ c
∂T
∂t
=−∇·q˙ ′′+ g˙ ′′′. (3.24)
3.3.4 Lei de Fourier
A equação obtida anteriormente ainda não permite que a distribuição de temperatura
seja calculada, uma vez que não se tem uma relação entre o fluxo de calor e a distribuição
de temperatura.
A Lei de Fourier, baseada nas observações experimentais de Jean Baptiste Joseph
Fourier publicadas em 1822, relaciona o fluxo de calor com o gradiente de temperatura
de um meio através do coeficiente de proporcionalidade k, denominado condutividade
térmica:
q˙ ′′ = −k gradT = −k∇T (3.25)
A equação acima é válida para materiais isotrópicos, ou seja, materiais cujas pro-
priedades independem da direção. Para casos mais gerais como meios anisotrópicos, a
condutividade térmica (até então um escalar) é substituída por um tensor (de segunda
ordem) de condutividade térmica.
3.3.5 Equação geral da condução de calor
Após substituir as relações para o fluxo de calor e energia interna, chega-se a seguinte
equação:
ρ c
∂T
∂t
=∇·(k∇T )+ g˙ ′′′ (3.26)
Quando a condutividade térmica for constante a equação pode ser simplificada:
ρ c
∂T
∂t
= k∇2T + g˙ ′′′, (3.27)
e reescrita na seguinte forma
1
α
∂T
∂t
=∇2T + g˙
′′′
k
. (3.28)
Onde α é a difusividade térmica, definida por α= k/(ρ cp ).
Versão Preliminar 0.3.5 Prof. L. A. Sphaier
3. Derivação da equação geral da condução de calor 28
3.3.6 Sistemas de coordenadas cartesiano, cilíndrico e esférico
Em cada sistema de coordenadas, a equação da condução de calor é escrita de forma
diferente, como mostrado abaixo.
• Coordenadas cartesianas:
ρ c
∂T
∂t
= ∂
∂x
(
k
∂T
∂x
)
+ ∂
∂y
(
k
∂T
∂y
)
+ ∂
∂z
(
k
∂T
∂z
)
+ g˙ ′′′ (3.29)
• Coordenadas polares-cilíndricas:
ρ c
∂T
∂t
= 1
r
∂
∂r
(
r k
∂T
∂r
)
+ 1
r 2
∂
∂θ
(
k
∂T
∂θ
)
+ ∂
∂z
(
k
∂T
∂z
)
+ g˙ ′′′ (3.30)
• Coordenadas polares-esféricas:
ρ c
∂T
∂t
= 1
r 2
∂
∂r
(
r 2k
∂T
∂r
)
+
+ 1
r 2 sen(φ)
∂
∂φ
(
sen(φ)k
∂T
∂φ
)
+ 1
r 2 sen2(φ)
∂
∂θ
(
k
∂T
∂θ
)
+ g˙ ′′′ (3.31)
A equação da condução de calor representa o mecanismo de transporte térmico den-
tro de qualquer corpo. Todavia, para poder calcular a distribuição de temperatura no
corpo (assim como qualquer outra quantidade relacionada) é necessário especificar con-
dições de contorno na superfície do corpo e uma condição inicial. A especificação da
condição inicial é feita sem a menor dificuldade, bastando conhecer a distribuição ini-
cial de temperatura no domínio analisado (i.e. V). As condições de contorno podem
requerer um pouco mais de esforço.
3.4 Condições de contorno
3.4.1 Condições de contorno reais
Ao especificar condições de contorno na superfície da região analisada deve-se des-
crever os fenômenos que ocorrem na superfície. Do lado do meio onde há condução
apenas, um fluxo de calor normal a superfície deixa (ou chega) o meio. Do outro lado,
na prática, pode haver uma mistura de condução (ou convecção) e radiação. Diferentes
situações são descritas abaixo, com diferentes tipos de regiões em contato com o meio
que troca calor por condução.
Versão Preliminar 0.3.5 Prof. L. A. Sphaier
3. Derivação da equação geral da condução de calor 29
Vácuo
Se o meio onde há condução está em contato com uma região onde há vácuo, o calor
trocado na superfície só pode ser por radiação, e portando escreve-se:
q˙ ′′n = q˙ ′′r ad = ²σ (T 4s −T 4vi z ) (3.32)
onde a segunda igualdade corresponde à um caso idealizado onde a vizinhança pode
ser tratada como um corpo negro.
Fluido em escoamento – Lei de Resfriamento de Newton
Se a região adjacente ao meio analisado for um fluido opaco, só há transferência de calor
por convecção deixando a superfície. Portanto, escreve-se:
q˙ ′′n = q˙ ′′conv = h (Ts −T f ) (3.33)
onde Ts corresponde a temperatura da superfície sólida e T f à temperatura do fluido. O
parâmetro e h é denominado o coeficiente de transferência de calor por convecção e expressão
acima é denominada a Lei de Resfriamento de Newton. No caso mais geral, ambos h e T f
podem variar com a posição no contorno e com o tempo.
Para casos onde a convecção é dominante (radiação desprezível) a equação acima
pode também ser aplicada.
Meio opaco parado em relação ao meio original
Se do outro lado da superfície do meio analisado há um outro, opaco, meio parado (em
relação ao original) só pode haver condução. Desta forma escreve-se:
q˙ ′′n = q˙ ′′cond ,B (3.34)
onde q˙ ′′cond ,B representa o fluxo de calor por condução (na direção normal da superfí-
cie) para dentro do meio externo ao meio original, denominado B . Utilizando a Lei de
Fourier, a equação anterior pode ser reescrita na forma:
−(k∇T )·nˆ = −(kB ∇TB )·nˆ (3.35)
onde nˆ é orientado para fora do meio original (para dentro de B), e kB e TB são a con-
dutividade térmica e temperatura do meio B .
Para completar este tipo de condição de contorno é necessário uma outra equação.
Dentro desta classe existem duas possibilidades. A primeira envolve contato térmico
perfeito entre as regiões. Isto ocorreria quando pelo menos uma das regiões for um
fluido, ou entre dois sólidos perfeitamente “encaixados” (superfícies paralelas e per-
feitamente polidas). Todavia, no contato entre duas superfícies sólidas, em geral, não
Versão Preliminar 0.3.5 Prof. L. A. Sphaier
3. Derivação da equação geral da condução de calor 30
haverá contato térmico perfeito devido às irregularidades nas superfícies.
Havendo contato perfeito existirá continuidade de temperatura e T = TB na interface
entre os dois meios. Quando o contato térmico for imperfeito, haverá uma discontinui-
dade de temperatura na interface e um coeficiente de transferência de calor através do
contato (hc ) é utilizado. Para os dois casos, na interface, escreve-se:
T = TB , para contato perfeito (3.36)
q˙ ′′n = hc (T −TB ), para contato imperfeito (3.37)
Vale a pena ressaltar que este caso pode ser aplicado em situações onde a condução
é dominante em relação a radiação.
Fluido transparente (em movimento)
Neste caso pode haver transferência de calor por radiação e convecção. O fato do fluido
ser (perfeitamente) transparente implica que este não participa na radiação, de forma
que a convecção e radiação ocorrem de maneira independente. Desta forma, o fluxo de
calor que deixa a superfície do meio original pode ser escrito na forma:
q˙ ′′n = q˙ ′′r ad + q˙ ′′conv = ²σ (T 4s −T 4vi z ) + h (Ts −T f ) (3.38)
onde, novamente, a segunda igualdade corresponde à um caso idealizado onde a vizi-
nhança pode ser tratada como um corpo negro.
Meio transparente parado em relação ao meio
original
Neste caso pode haver transferência de calor por radiação e condução, onde a hipótese
de um meio totalmente transparente implica que estes processos ocorram de maneira
independente. Assim sendo, o fluxo por condução que deixa o meio original (onde
hipoteticamente só há condução) é dado por:
q˙ ′′n = q˙ ′′r ad + q˙ ′′cond ,B , (3.39)
e como em um caso anterior, ambos os casos com contato térmico perfeito e imperfeito
podem ocorrer.
3.4.2 Condições de contorno lineares
Para facilitar o cálculo da transferência de calor, assim como para ter um bom entendi-
mento inicial sobre o assunto, é comum utilizar versões lineares de condições de con-
torno. Estas condições de contorno lineares aparecem em três tipos: Dirichlet (primeiro
tipo), Neumman (segundo tipo) e Robin (terceiro tipo), descritas abaixo.
Versão Preliminar 0.3.5 Prof. L. A. Sphaier
3. Derivação da equação geral da condução de calor 31
Condição de Dirichlet
A condição de Dirichlet3 é a mais simples, e, como uma condição inicial, consiste em
especificar a temperatura no contorno:
T (x , t ) = Ts , para x ∈ S (3.40)
Onde x é o vetor posição. Naturalmente, a temperatura no contorno do corpo deve ser
conhecida, podendo esta também variar com o tempo e posição no contorno. Na prática
a condição de contorno de Dirichlet é atingida para troca térmica por convecção com
h→∞, como ocorre em situações onde o fluido está mudando de fase (e.g. ebulição).
Condição de Neumman
A condição de Neumman4 implica que o fluxo de calor fornecido q˙ ′′0 no contorno deve
ser conhecido:
−q˙ ′′·nˆ = q˙ ′′0 , para x ∈ S (3.41)
lembrando, que o mesmo pode variar com a posição e tempo.
Condição de Robin
A condição de Robin5 aplica-se a casos onde a superfície do corpo troca calo com um
fluido e também é formulada especificando o fluxo de calor no contorno. Entretanto o
fluxo no contorno é escrito em função de uma diferença de temperatura:
q˙ ′′·nˆ = h (T −T f ), para x ∈ S (3.42)
onde T f é a temperatura do fluido e h é o coeficiente de transferência de calor por
convecção.
Exercícios
3.1. Partindo das expressões para o gradiente e divergente, escreva a equação geral
da condução nos diferentes sistemas de coordenadas (cartesiano, polar-cilíndrico
e polar esférico).
3.2. Derive a equação geral da condução considerando um corpo rígido em movi-
mento arbitrário (com translação e rotação).
3em homenagem ao matemático alemão Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet.
4em homenagem ao matemático alemão Carl Gottfried Neumann.
5em homenagem ao matemático francês Victor Gustave Robin.
Versão Preliminar 0.3.5 Prof. L. A. Sphaier
3. Derivação da equação geral da condução de calor 32
3.3. Para valores do coeficiente de transferência de calor por convecção (h) muito
grande, pode-se afirmar que a condição de contorno tende a condição de tem-
peratura prescrita? O que ocorreria para valores muito pequenos de h? Justifique
as respostas.
3.4. Em materiais isotrópicos pode-se afirmar que o vetor fluxo de calor ocorre no
mesmo sentido e direção do gradiente de temperatura? O mesmo ocorreria em
materiais anisotrópicos? Justifique as respostas.
3.5. Indique as respectivas unidades no S.I.: 1. vazão ou taxa de transferência de calor;
2. fluxo de calor; 3. divergente do fluxo de calor; 4. taxa de transferência de calor;
5. condutividade térmica; 6. difusividade térmica; 7. calor específico.
3.6. Em relação ao contato térmico imperfeito entre duas superfícies sólidas é pode-
se afirmar que há diferença entre a temperatura observada nas duas superfícies?
Há diferença entre o fluxo de calor observado nas duas superfícies? Justifique as
respostas.
3.7. Lembrando que o mecanismo de condução de calor é regido pela seguinte equação
geral:
ρ c
∂T
∂t
=∇· (k∇T )+ g˙ ′′′
Discuta o significado da equação acima, fornecendo uma interpretação para cada
termo. Mencione leis e hipóteses simplificadoras que resultam na forma apresen-
tada acima.
3.8. Simplifique a equação da condução para casos em regime permanente, sem gera-
ção interna de energia, considerando também que a condutividade térmica pode
ser tratada como constante, e discuta o balanço energético resultante.
3.9. Considere a condução de calor sem geração de energia em uma viga de perfil
retangular L×W , feita de um material isotrópico. A viga é longa de tal forma que
a transferência de calor pode ser considerada apenas nas direções x e y . Sabe-se
que as superfícies laterais da viga (x = 0 e x = L) são mantidas, respectivamente a
temperaturas T0 e TL , que há um fluxo de calor q˙ ′′0 fornecido à superfície inferior
(y = 0), e que a superfície superior troca calor por convecção com um fluido (h e T f
conhecidos). Forneça a formulação matemática para o problema considerando que
no instante inicial a distribuição de temperatura é T = f (x, y).
3.10. Na análise da condução de calor em uma barra longa onde as extremidades po-
dem ser tratadas como adiabáticas, a transferência de calor na direção z pode ser
desprezada e o problema é reduzido a uma formulação bidimensional. Responda
as seguintes questões:
(a) Forneça a formulação matemática em regime permanente, para casos com
condutividade térmica uniforme, sem geração de energia interna. Considere
Versão Preliminar 0.3.5 Prof. L. A. Sphaier
3. Derivação da equação geral da condução de calor 33
que há isolamento térmico em x = L e um fluxo de calor uniforme q˙ ′′0 em x = 0.
Considere também que a temperatura é mantida constante (T0) em y = 0 e que
a superfície y =W troca calor com um fluido à temperatura constante T f . O
coeficiente de transferência de calor por convecção h também é constante.
(b) Para as mesmas condições dadas no item anterior, qual será a distribuição de
temperatura T (x, y) para casos com q˙ ′′0 = 0 e h = 0?
3.11. Considere a condução de calor em regime permanente com propriedades constan-
tes em um cilindro sólido de comprimento L cuja seção transversal é meia circun-
ferência de raio R. Considere que há isolamento térmico em z =H , e que um fluxo
de calor uniforme q˙ ′′0 é fornecido em z = 0. Considere também que a temperatura
é mantida constante (TR ) em r = R, e que a superfície plana restante (y = 0) troca
calor com um fluido à temperatura constante T f . O coeficiente de transferência de
calor por convecção h também é constante.
(a) Partindo da equação geral da condução, obtenha a equação diferencial para
a variação de temperatura nos pontos internos do corpo considerado, utili-
zando o sistema de coordenadas cartesiano.
(b) Repita o item anterior para o sistema de coordenadas polar-cilíndrico.
(c) Utilizando o sistema cartesiano, complete a formulação matemática do pro-
blema fornecendo as condições de contorno, indicando as regiões em que
cada equação é válida, inclusive para a equação para os pontos internos (ob-
tida no ítem 1).
(d) Repita o item anterior para o sistema de coordenadas polar-cilíndrico.
3.12. Considere a condução de calor sem geração de energia em uma esfera de raio R
e condutividade térmica k (constante) flutuando em um reservatório d’água que
encontra-se à temperatura Tl . A densidade da esfera é tal que exatamente metade
dela fica imersa na água enquanto a outra metade está exposta ao ar ambiente
(temperatura Tg ) e recebe radiação solar à uma taxa uniforme Q˙r ad . Sabendo que
os coeficientes de transferência de calor por convecção com a água e o ar são dados
por hl e hg e que nenhuma radiação incide sobre a parte da esfera imersa na água,
forneça a formulação matemática para o problema em regime permanente e sem geração
de energia.
3.13. Considere a condução de calor sem geração de energia em regime permanente em
um tronco de cone de altura H possuindo condutividade térmica constante, k. A
base do cone tem diâmetro D e encontra-se sob uma superfície cuja a tempera-
tura é mantida à Tb , porém existe contato térmico
imperfeito com o coeficiente hc
sendo conhecido. O topo do tronco de cone têm diâmetro d e está isolado ter-
micamente. A superfície curva é mantida à temperatura constante TR . Forneça a
formulação matemática para o problema escolhendo o sistema de coordenadas mais
apropriado.
Versão Preliminar 0.3.5 Prof. L. A. Sphaier
3. Derivação da equação geral da condução de calor 34
3.14. Considere a condução de calor sem geração de energia em regime permanente em
um corpo composto de um oitavo de esfera de raio R possuindo condutividade
térmica constante. A base do corpo encontra-se sobre uma superfície cuja a tem-
peratura é mantida em um valor Tb , porém existe contato térmico imperfeito com
o coeficiente hc sendo conhecido. As duas superfícies verticais planas são aqueci-
das, recebendo, cada uma, uma potência de Q˙0. A superfície esférica troca calor
com o ar ambiente por convecção (Tar e har conhecidos). Forneça a formulação ma-
temática para o problema escolhendo o sistema de coordenadas mais apropriado.
3.15. Considere a condução de calor com geração de energia em regime permanente em
uma esfera oca com raios internos e externos dados, respectivamente por Ri e Re .
O corpo possui condutividade térmica constante. A superfície interna da esfera
recebe calor uniformemente a uma vazão conhecida Q˙i . A superfície externa troca
calor com um fluido a temperatura T f e coeficiente convectivo h, ambos cons-
tantes. Sabendo que a geração de energia varia com θ e φ, forneça a formulação
matemática para o problema escolhendo o sistema de coordenadas mais apropri-
ado. Em seguida, simplifique o problema para o caso sem geração de energia,
indicando onde ocorre a maior temperatura.
3.16. Considere a condução de calor sem geração de energia em regime permanente em
um sólido de revolução, composto basicamente de dois cilindros maciços concên-
tricos com diâmetros diferentes. A parte inferior tem diâmetro maior D e altura
L, enquanto a porção superior tem diâmetro d e altura l , totalizando uma altura
total de L+ l . Na base deste corpo uma vazão uniforme de calor Q˙0 é aplicada,
enquanto as superfícies restantes são resfriadas por convecção (com um escoa-
meneto à temperatura T f e coeficiente h). Forneça a formulação matemática para
o problema escolhendo o sistema de coordenadas mais apropriado. Em seguida
indique onde ocorrerá a maior temperatura e a menor temperatura deste corpo.
Qual o efeito do comprimento l +L sobre a temperatura superficial deste corpo
(aumenta ou diminui?). Justifique as respostas.
Versão Preliminar 0.3.5 Prof. L. A. Sphaier
Notas de Aula #4:
Condução unidimensional em regime
permanente
Versão 0.3.8 — 12/08/11
4.1 Introdução
A equação da condução de calor, na forma geral (vetorial), independente do sistema de
coordenadas é dada por:
ρ c
∂T
∂t
= ∇· (k∇T ) + g˙ ′′′ (4.1)
Utilizando coordenadas cartesianas a equação toma a forma:
ρ c
∂T
∂t
= ∂
∂x
(
k
∂T
∂x
)
+ ∂
∂y
(
k
∂T
∂y
)
+ ∂
∂z
(
k
∂T
∂z
)
+ g˙ ′′′ (4.2a)
Já em coordenadas polares-cilíndricas tem-se:
ρ c
∂T
∂t
= 1
r
∂
∂r
(
r k
∂T
∂r
)
+ 1
r 2
∂
∂θ
(
k
∂T
∂θ
)
+ ∂
∂z
(
k
∂T
∂z
)
+ g˙ ′′′ (4.2b)
e em coordenadas polares-esféricas chega-se a:
ρ c
∂T
∂t
= 1
r 2
∂
∂r
(
r 2k
∂T
∂r
)
+ 1
r 2 sen(φ)
∂
∂φ
(
sen(φ)k
∂T
∂φ
)
+ 1
r 2 sen2(φ)
∂
∂θ
(
k
∂T
∂θ
)
+ g˙ ′′′ (4.2c)
4.1.1 Hipóteses simplificadoras
Hipóteses fundamentais para condução unidimensional em regime permanente:
• Regime Permanente: não há variação temporal (∂/∂t = 0), e portanto não pode
haver acúmulo de energia no sistema.
• Condução unidimensional (1D): A transferência de calor ocorre predominante-
mente em uma direção preferencial, de modo que a taxa de transferência de calor
35
4. Condução unidimensional em regime permanente 36
nas demais direções pode ser desprezada. Com isto, só pode haver variação de
temperatura nesta direção preferencial.
Hipóteses adicionais:
• Condutividade térmica constante: por mais que a condutividade térmica de um
material possa variar com a temperatura, assume-se que um valor médio (por-
tanto constante) pode ser utilizado para facilitar a análise. Esta hipótese permite
que as equações diferenciais obtidas para os diferentes sistemas de coordenadas
permaneçam lineares e possam ser resolvidas da forma aqui apresentada.
• Geração interna de energia uniforme: Para os casos aqui considerados a geração
de energia não varia espacialmente, sendo portanto uma constante. Ou seja g˙ ′′′ =
g˙ ′′′0
4.1.2 Equações resultantes
Coordenadas cartesianas:
d
dx
(
k
dT
dx
)
+ g˙ ′′′0 = 0 (4.3a)
Coordenadas polares-cilíndricas:
1
r
d
dr
(
r k
dT
dr
)
+ g˙ ′′′0 = 0 (4.3b)
Coordenadas polares-esféricas:
1
r 2
d
dr
(
r 2k
dT
dr
)
+ g˙ ′′′0 = 0 (4.3c)
4.2 Condições de contorno
As soluções anteriores foram calculadas assumindo-se a existência de temperaturas co-
nhecidas nas duas superfícies que limitam a camada de material onde a transferência de
calor está sendo analisada. Todavia, outras condições de contorno podem ser prescritas,
e um estudo das diferentes condições de contorno encontra-se a seguir.
4.2.1 Condição de contorno de Dirichlet (1o¯ tipo)
Como condições de contorno de Dirichlet envolvem apenas a especificação da tempe-
ratura no contorno, a dificuldade é mínima, especialmente em casos unidimensionais.
Para coordenadas cartesianas a temperatura T (x) no contorno de um corpo delimitado
por x1 ≤ x ≤ x2 é dada por:
T (x1) = T1, T (x2) = T2, (4.4)
Versão Preliminar 0.3.5 Prof. L. A. Sphaier
4. Condução unidimensional em regime permanente 37
e para coordenadas polares (cilíndricas ou esféricas), T (r ) no contorno (em um corpo
delimitado por r1 ≤ r ≤ r2) é dada por:
T (r1) = T1, T (r2) = T2 (4.5)
Todavia, em sistemas de coordenadas com curvatura (cilíndrico e esférico), casos envol-
vendo r = 0 devem ser tratados separadamente, como é discutido na Seção 4.4.
4.2.2 Fluxo de calor em uma superfície
Para condições de contorno de Neumann e Robin (segundo e terceiro tipo) é necessário
especificar do fluxo de calor na direção normal em uma superfície. Portanto, discute-se
agora o cálculo do fluxo de calor em superfícies para problemas unidimensionais.
O vetor fluxo de calor, nos sistemas de coordenadas cartesiano, polar-cilíndrico e
polar-esférico é respectivamente dado por:
q˙ ′′ = q˙ ′′x ex + q˙ ′′y e y + q˙ ′′z ez = −k
∂T
∂x
ex −k ∂T
∂y
e y −k ∂T
∂z
ez , (4.6a)
q˙ ′′ = q˙ ′′r er + q˙ ′′θ eθ + q˙ ′′z ez = −k
∂T
∂r
er − k
r
∂T
∂θ
eθ−k
∂T
∂z
ez , (4.6b)
q˙ ′′ = q˙ ′′r er + q˙ ′′φ eφ + q˙ ′′θ eθ = −k
∂T
∂r
er − k
r
∂T
∂φ
eφ− k
r sen(φ)
∂T
∂θ
eθ, (4.6c)
onde os vetores unitários nas direções radiais dos sistemas cilíndricos e esféricos não
correspondem a mesma direção.
A expressão abaixo resulta no fluxo de calor para fora de um elemento de superfície:
q˙ ′′·nˆ = q˙ ′′n = q˙ ′′saindo (4.7)
pois o vetor normal aponta para fora. Para calcular o fluxo de calor para dentro de uma
superfície, deve-se inverter o sentido direção do vetor normal, o que corresponde a uma
mudança de sinal:
q˙ ′′entrando = q˙ ′′·(−nˆ) = −q˙ ′′·nˆ = −q˙ ′′n (4.8)
Na direção x e nas direções radiais dos sistemas de coordenadas cilíndrico e esférico
o vetor normal é dado por:
nˆx = nx ex , nˆr = nr er , (4.9)
onde, como o vetor normal é unitário, os valores de nx e nr só podem ser 1 ou −1. Desta
forma o fluxo de calor na direção x para dentro de uma superfície orientada por nˆ é
Versão Preliminar 0.3.5 Prof. L. A. Sphaier
4. Condução unidimensional em regime permanente 38
dado por:
q˙ ′′entrando,x = −q˙ ′′·nˆx = −q˙ ′′·(nx ex ) = −q˙ ′′x nx = k
∂T
∂x
nx (4.10a)
De maneira similar, na direção radial nos sistemas cilíndrico e esférico tem-se:
q˙ ′′entrando,r = −q˙ ′′·nˆr = −q˙ ′′·(nr er ) = −q˙ ′′r nr = k
∂T
∂r
nr (4.10b)
Para um corpo cujo o volume é descrito por x1 ≤ x ≤ x2 os fluxos entrando nas posi-
ções x = x1 e x = x2 é dado por:
q˙ ′′entrando|x=x1 =
(
k
∂T
∂x
nx
)
x=x1
=
(
k
∂T
∂x
(−1)
)
x=x1
= −
(
k
∂T
∂x
)
x=x1
(4.11a)
q˙ ′′entrando|x=x2 =
(
k
∂T
∂x
nx
)
x=x2
=
(
k
∂T
∂x
(+1)
)
x=x2
=
(
k
∂T
∂x
)
x=x2
(4.11b)
De maneira análoga, nos sistemas polares, para um corpo cujo o volume é descrito por
r1 ≤ r ≤ r2 têm-se:
q˙ ′′entrando|r=r1 =
(
k
∂T
∂r
nr
)
r=r1
=
(
k
∂T
∂r
(−1)
)
r=r1
= −
(
k
∂T
∂r
)
r=r1
(4.12a)
q˙ ′′entrando|r=r2 =
(
k
∂T
∂r
nr
)
r=r2
=
(
k
∂T
∂r
(+1)
)
r=r2
=
(
k
∂T
∂r
)
r=r2
(4.12b)
Neste momento vale a pena ressaltar que os componentes do fluxo de calor nas dire-
ções x (sistema cartesiano) e r (sistemas polares), representam o fluxo de calor na direção
e sentido do eixo considerado. Ou seja, se q˙ ′′x for positivo, isto indica que a transferência
de calor ocorre no sentido de x; caso este seja negativo a transferência de calor se dá no
sentido oposto. Naturalmente, o mesmo vale para q˙ ′′r nos sistemas polares.
4.2.3 Condição de contorno de Neumann (2o¯ tipo)
A condição de contorno de Neumann corresponde a especificar o fluxo de calor na su-
perfície do corpo. Para problemas unidimensionais, isto equivale a especificar o fluxo
de calor em duas posições x = x1 e x = x2 (para o sistema cartesiano), ou r = r1 e r = r2
(para os sistemas polares).
Conhecendo o fluxo de calor entrando em um corpo delimitado por x1 ≤ x ≤ x2 (no
sistema cartesiano), as condições de contorno são escritas na seguinte forma:
−
(
k
dT
dx
)
x=x1
= q˙ ′′entrando,1,
(
k
dT
dx
)
x=x2
= q˙ ′′entrando,2 (4.13a)
Nos sistemas cilíndrico e esférico uma situação análoga (para um corpo delimitado
Versão Preliminar 0.3.5 Prof. L. A. Sphaier
4. Condução unidimensional em regime permanente 39
por r1 ≤ r ≤ r2) é escrita na seguinte forma:
−
(
k
dT
dr
)
r=r1
= q˙ ′′entrando,1,
(
k
dT
dr
)
r=r2
= q˙ ′′entrando,2 (4.13b)
Um ponto que deve-se atentar em relação a condições de contorno de Neumann, é
que o balanço de energia deve ser sempre satisfeito. Para regimes transientes isto não
torna-se um grande problema, pois a energia interna do sistema (e portanto a tempera-
tura) pode variar com o tempo. Todavia, em regime permanente, o balanço energético
requer que a taxa de transferência de calor líquida para dentro do sistema mais a taxa de
geração interna se iguale a zero. Se o balanço energético não for satisfeito isto significa
que o problema não pode estar em regime permanente.
Para problemas unidimensionais, o calor entrando em um lado menos o calor saindo
do outro, mais a energia gerada tem que resultar em zero. Se a taxa de geração de
energia for nula, a taxa de ganho de calor em uma superfície, tem que ser igual a taxa
de perda de calor na outra superfície. Ou seja, para g˙ ′′′ = 0,
A1 q˙
′′
entrando,1 = −A2 q˙ ′′entrando,2 = A2 q˙ ′′saindo,2 = −A1 q˙ ′′saindo,1 (4.14)
onde as áreas A1 e A2 representam as áreas perpendiculares ao fluxo de calor nas fron-
teiras do corpo (x1 e x2 para o sistema cartesiano e r1 e r2 para os sistemas polares). Para
uma parede plana, a área é constante, resultando em:
q˙ ′′entrando,1 = q˙ ′′saindo,2 (4.15)
Para um parede cilíndrica em regime em permanente sem geração de energia deve-se
respeitar:
r1 q˙
′′
entrando,1 = r2 q˙ ′′saindo,2 (4.16)
enquanto para uma parede esférica nas mesmas condições deve-se respeitar:
r 21 q˙
′′
entrando,1 = r 22 q˙ ′′saindo,2 (4.17)
4.2.4 Condição de contorno de Robin (3o¯ tipo)
Condições de contorno de Robin também envolvem a especificação de fluxos de calor
no contorno, porém estes dependem da temperatura, através da Lei de Resfriamento de
Newton. Como o nome diz, a lei é de resfriamento, lembrando que esta fornece então o
calor perdido por uma superfície, de acordo com a fórmula:
q˙ ′′saindo = h (T −T f ), (4.18)
onde a temperatura T é a temperatura na superfície e T f é a temperatura do fluido. O
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4. Condução unidimensional em regime permanente 40
fator h é o coeficiente de transferência de calor por convecção (o qual é sempre positivo).
Observe portanto que para um fluido mais quente que a superfície, o valor de q˙ ′′saindo
torna-se negativo indicando que a superfície está recebendo calor do fluido.
Assim sendo, para um corpo delimitado por x1 ≤ x ≤ x2 (no sistema cartesiano) tro-
cando calor com fluidos 1 e 2 de ambos os lados, as condições de contorno são escritas
na seguinte forma:
−
(
k
dT
dx
)
x=x1
= q˙ ′′entrando,1 = −q˙ ′′saindo,1 = −h1(T (x1)−T f ,1), (4.19a)(
k
dT
dx
)
x=x2
= q˙ ′′entrando,2 = −q˙ ′′saindo,2 = −h2(T (x2)−T f ,2), (4.19b)
Nos sistemas cilíndrico e esférico uma situação análoga (para um corpo delimitado
por r1 ≤ r ≤ r2) é escrita na seguinte forma:
−
(
k
dT
dr
)
r=r1
= q˙ ′′entrando,1 = −q˙ ′′saindo,1 = −h1(T (r1)−T f ,1), (4.20a)(
k
dT
dr
)
r=r2
= q˙ ′′entrando,2 = −q˙ ′′saindo,2 = −h2(T (r2)−T f ,2), (4.20b)
4.3 Condução 1D permanente em paredes planas e corpos
ocos
4.3.1 Parede plana
A equação da condução unidimensional de calor em regime permanente (com k cons-
tante), no sistema de coordenadas cartesiano tem a seguinte solução geral:
T (x) = − g˙
′′′
0
2k
x2 + C1 x+C2 (4.21)
q˙ ′′x = −k
dT
dx
= g˙ ′′′0 x − kC1 (4.22)
Condições de Dirichlet
Com condições de contorno de Dirichlet, dadas por:
T (0) = T0 e T (L) = TL , (4.23)
a solução para a distribuição de temperatura resulta em
T (x) = − g˙
′′′
0
2k
x2 +
(
g˙ ′′′0 L
2k
+ TL −T0
L
)
x + T0, (4.24)
Versão Preliminar 0.3.5 Prof. L. A. Sphaier
4. Condução unidimensional em regime permanente 41
e o fluxo de calor é dado por:
q˙ ′′x = −k
dT
dx
= g˙ ′′′0 x −
(
g˙ ′′′0 L
2
+ k TL −T0
L
)
. (4.25)
4.3.2 Cilindro oco
A equação da condução unidimensional de calor em regime permanente (com k cons-
tante), no sistema de coordenadas cilíndrico tem a seguinte solução geral:
T (r ) = − g˙
′′′
0
4k
r 2 + C1 log(r )+C2 (4.26)
q˙ ′′r = −k
dT
dr
= g˙ ′′′0
r
2
− k
r
C1 (4.27)
Condições de Dirichlet
Com condições de contorno de Dirichlet, dadas por:
T (Ri ) = Ti e T (Re ) = Te , (4.28)
a solução para a distribuição de temperatura resulta em
T (r ) = − g˙
′′′
0
4k
r 2 +
(
(Te −Ti ) + g˙ ′′′0
R2e −R2i
4k
)
log(r )
log(Re/Ri )
+
+ Ti log(Re )−Te log(Ri )
log(Re/Ri )
+ g˙ ′′′0
R2i log(Re )−R2e log(Ri )
4k log(Re/Ri )
, (4.29)
e o fluxo de calor é dado por:
q˙ ′′r =
g˙ ′′′0
2
r − k
(
(Te −Ti ) + g˙ ′′′0
R2e −R2i
4k
)
1
r log(Re/Ri )
. (4.30)
4.3.3 Esfera oca
A equação da condução unidimensional de calor em regime permanente (com k cons-
tante), no sistema de coordenadas esférico tem a seguinte solução geral:
T (r ) = − g˙
′′′
0
6k
r 2 + C1
r
+ C2 (4.31)
q˙ ′′r = −k
dT
dr
= g˙ ′′′0
r
3
+ k
r 2
C1 (4.32)
Condições de Dirichlet
Com condições de contorno de Dirichlet, dadas por:
T (Ri ) = Ti e T (Re ) = Te , (4.33)
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4. Condução unidimensional em regime permanente 42
a solução para a distribuição de temperatura resulta em
T (r ) = − g˙
′′′
0
6k
r 2 −
(
Te −Ti
Re −Ri
+ g˙ ′′′0
Re +Ri
6k
)
Re Ri
r
+
+ Re Te −Ri Ti
Re −Ri
+ g˙ ′′′0
R2i +Re Ri +R2e
6k
, (4.34)
e o fluxo de calor é dado por
q˙ ′′r =
g˙ ′′′0
3
r − k