Lista cálculo de Exercícios 1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE – FURG 
INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E FÍSICA – IMEF 
1ª LISTA DE EXERCÍCIOS CÁLCULO III 
 
1. Determine a fórmula do termo geral das seguintes sequências, começando com 
1=n e verifique se a seqüência é convergente ou divergente. Caso a seqüência 
seja convergente, determine qual é o valor do seu limite. 
 
a) 





K,
27
1
,
9
1
,
3
1
,1 , R: 
13
1
−
=
nn
a , convergente e 0lim =
+∞→ nn
a 
 
b) 





K,
7
5
,
6
4
,
5
3
,
4
2
,
3
1
, R: 
2+
=
n
n
an , convergente, 1lim =+∞→ nn
a 
 
c) ( )K,2,0,2,0,2,0 , R: ( )nna 11 −+= , divergente 
 
d) 




 −
−
− K,
126
250
,
65
128
,
28
54
,
9
16
,1 , R: ( )
1
2
1
3
3
+
−=
n
n
a
n
n , divergente 
 
e) 































K,
11
9
,
9
7
,
7
5
,
5
3
,
3
1
5432
, R: 
n
n
n
n
a 





+
−
=
12
12
, convergente, 
e
an
n
1
lim =
+∞→
 
 
2. Verifique se as seguintes séries convergem ou divergem e determine o valor da 
soma daquelas que convergem; 
 
a) ( )∑
+∞
=
−
−−
1
1
1
6
7
1
n
n
n
 , R: converge, 6=S 
 
 b) ∑
+∞
= −3 2
1
n n
, R: diverge 
 
 c) ∑
+∞
= −+1
2 239
1
n nn
, R: converge , 
6
1
=S 
 
 d) ∑
+∞
=
−
−−





 −
1
1
11
6
23
n
n
nn
, R: converge, 
2
1
=S 
 
 f)∑
+∞
= +1 52n n
n
 , R: diverge 
 
3. Expresse as seguintes dízimas periódicas como frações: 
 
a) K234234234,1 , R: 
111
137
 
b) K27272727,0 , R:
99
27
 
c) K045454545,2 , R:
198
405
 
d) K534653465346,0 , R: 
101
47
 
 
4. Estudar a convergência das seguintes séries: 
 
a) ∑
∞
= +1
2 1n n
n
, R: Converge 
 
b) ∑
∞
= +1 23
3
n
n
n
, R: Diverge 
 
c) ∑
∞
=2
4 ln
1
n nn
, R: Diverge 
 
d) 
( )∑
∞
= +1
2
!1n n
n
 , R: Converge 
 
e) ∑
∞
= +1
2 35n n
n
, R: Diverge 
 
f) ∑
∞
= +1
2 1n n
arctgn
, R: Converge 
 
g) 
( )
∑
∞
= −1 12
5
n
n
n
, R: Diverge 
 
h) 
( )∑
∞
= +1 125.3
!
n n
n
K
, R: Converge 
i) 
( )∑
∞
= +1 1
1
n
n
n
, R: Converge 
 
j) ∑
+∞
= −1 3 2 38
1
n nn
, R: Diverge 
 
k) ∑
+∞
=1 5n
n
n
, Converge 
 
l) 
( )∑
+∞
= −+
+
1
3
11
2
n n
n
, R: Converge 
 
m) 
( )∑
+∞
=
+
1 4!!4
!4
n
n
n
n
, R: Converge 
 
n) ∑
+∞
=
−+1 24
1
n
n
, R: Diverge 
 
5. Classifique as séries como absolutamente convergente, condicionalmente 
convergente ou divergente: 
 
a) ( )∑
∞
=
−
1 !
2
1
n
n
n
n
, R: Absolutamente convergente 
b) ( ) ( )∑
∞
=
−
−
1 3
!12
1
n
n
n n
, R: Divergente 
c) 
( )∑
∞
=
−
2 ln
1
n
n
n
, R: Condicionalmente convergente 
d) ( )
( )∑
∞
=
+
+
+
−
1
1
3
2
1
n
n
nn
n
 R: Condicionalmente convergente 
e) ( )
( )∑
∞
=
+
−
−
1
1
!12
!
1
n
n
n
n
, R: Absolutamente convergente 
f) ( )∑
∞
= +
+
−
1
3
2
2
1
1
n
n
n
n
 , R: Condicionalmente convergente 
g) 
( )∑
∞
=1
cos
n n
nπ
, R: Condicionalmente convergente 
h) ∑
∞
=






1 2n
n
sen
π
, R: Divergente 
j) ( )∑
∞
=
+
+
+
−
1
1
1
1
1
n
n
n
n
, R: Divergente