Secao 11 2 - Series

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LISTA DE CÁLCULO III – SÊQUENCIAS E SÉRIES
Seção 11.2 - Séries
1. (a) Qual a diferença entre uma sequência e uma série?
(b) O que é uma série convergente? O que e uma série divergente?
2. Explique o significado de se dizer que
∞∑
n=1
an = 5?
3. Seja an = 2n/(3n+ 1)
(a) Determine se {an} é convergente.
(b) Determine se
∞∑
n=1
an é convergente.
11–20 Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente,calcule a soma.
11. {3 + 2 + 43 +
8
9 + . . . }
12. {18 −
1
4 +
1
2 − 1 + . . . }
13. {3− 4 + 163 +
64
9 + . . . }
14. {1 + 0.4 + 0.16 + 0.064 + . . . }
15.
∞∑
n=1
6(0, 9)n−1
16.
∞∑
n=1
10n
(−9)n−1
17.
∞∑
n=1
(−3)n−1
4n
18.
∞∑
n=1
1
(
√
2)n
19.
∞∑
n=1
πn
3n+1
20.
∞∑
n=1
en
3n−1
21–34 Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule a sua
soma.
21.
∞∑
n=1
1
2n
22.
∞∑
n=1
n+ 1
2n− 3
23.
∞∑
n=1
n
n+ 5
24.
∞∑
k=1
k(k + 2)
(k + 3)2
25.
∞∑
n=1
3n + 2n
6n
26.
∞∑
n=1
1 + 3n
2n
27.
∞∑
n=1
n
√
2
28.
∞∑
n=1
[2(0, 1)n + (0, 2)n]
29.
∞∑
n=1
ln
(
n2 + 1
2n2 + 1
)
30.
∞∑
n=1
(cos 1)n
31.
∞∑
n=1
arctann
32.
∞∑
n=1
ln
(
3
5n
+
2
n
)
33.
∞∑
n=1
(
1
en
+
1
n(n+ 1)
)
34.
∞∑
n=1
en
n2
1
35–40 Determine se a série é convergente ou divergente expressando Sn como uma soma
telescópica (como no exemplo 6). Se for convergente, encontre a sua soma.
35.
∞∑
n=1
2
n2 − 1
36.
∞∑
n=1
2
n2 + 4n+ 3
37.
∞∑
n=1
2
n(n+ 3)
38.
∞∑
n=1
n
n+ 1
39.
∞∑
n=1
(
e1/n − e1/(n+1)
)
40.
∞∑
n=1
(
cos
1
n2
− cos 1
(n+ 1)2
)
41–46 Expresse o número como uma razão de inteiros.
41. 0, 2 = 0, 2222 . . .
42. 0, 73 = 0, 73737373 . . .
43. 3, 417 = 3, 417417 . . .
44. 6, 254 = 6, 25454 . . .
45. 0, 123456
46. 7, 12345
47–51 Encontre os valores de x para os quais a série converge. Calcule a soma da série para
esses valores de x.
47.
∞∑
n=1
xn
3n
48.
∞∑
n=1
(x− 4)n 49.
∞∑
n=1
4nxn 50.
∞∑
n=1
(x+ 3)n
2n
51.
∞∑
n=1
cosn x
2n
RESPOSTAS – SEÇÃO 11.2 – SÉRIES
3. (a) Converge (b) Diverge
11. 9
12. D
13. D
14. 5/3
15. 60
16. D
17. 1/7
18.
√
2√
2− 1
19. D
20.
3e
3− e
21. D
22. D
23. D
24. D
25. 3/2
26. 1
27. D
28. 17/36
29. D
30.
cos 1
1− cos 1
31. π/2
32. D
33.
2e− 1
e− 1
34. D
35. 3/2
36. 5/6
37. 11/9
38. D
39. e− 1
40. cos 1− 1
41. 2/9
42. 73/99
43.
1138
333
44.
344
55
45.
41111
333000
46.
712338
99999
47. −3 < x < 3, Sn =
x
(3− x)
48. 3 < x < 5, Sn =
(x− 4)
(5− x)
49. −1/4 < x < 1/4, Sn =
1
(1− 4x)
50. −5 < x < −1, Sn =
−2
(x+ 1)
51. −∞ < x <∞, Sn =
2
(2− cosx)
2