Lista 4 Modelo de RLS

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UFF - Universidade Federal Fluminense
4a Lista de Exerc´ıcios de Estat´ıstica Aplicada para Engenharia
Modelo de Regressa˜o Linear Simples
Professora: Rebecca de Oliveira Souza Novembro de 2017
1. Um estudo deseja avaliar o efeito de determinado treinamento no tempo de reac¸a˜o
de atletas submetidos a um certo est´ımulo, O treinamento consiste na repetic¸a˜o de
um movimento e foi utilizada uma amostra de 37 atletas. Para cada atleta um
determinado nu´mero de repetic¸o˜es foi atribu´ıdo (X) e, enta˜o, foi medido o tempo
de reac¸a˜o (Y) em milisegundos. Um modelo de RLS foi ajustado aos dados, sendo
representado pela equac¸a˜o a seguir:
Yˆi = 80, 5 − 0, 90Xi i = 1, 2, ..., 27.
Interprete as estimativas dos paraˆmetros do modelo no contexto do problema.
2. Os dados do banco abaixo representam as medidas em mil´ımetros (mm) de ossos do
brac¸o (u´mero) e da perna (feˆmur) de fo´sseis.
Fo´ssil U´mero (X) Feˆmur (Y)
1 312 430
2 335 458
3 286 407
4 312 440
5 305 422
(a) Construa o gra´fico de dispersa˜o entre X e Y, e analise-o no contexto do
problema.
(b) Obtenha as estimativas de MQ dos paraˆmetros β0 e β1 do modelo, e escreva
a equac¸a˜o do modelo ajustado. Interprete as estimativas no contexto do
problema.
1
3. Uma reac¸a˜o qu´ımica e´ executada n vezes, a temperatura (x) em oC e a produc¸a˜o (Y)
em percentagem de um valor ma´ximo teo´rico sa˜o registradas para cada execuc¸a˜o.
As seguintes medidas estat´ıstica sa˜o registradas:
X¯ = 65 Y¯ = 29, 05
12∑
i=1
(Xi − X¯)2 =
12∑
i=1
X2i − 12 · X¯2 = 6032
12∑
i=1
(Yi − Y¯ )2 =
12∑
i=1
Y 2i − 12 · Y¯ 2 = 835, 42
12∑
i=1
(Xi − X¯)(Yi − Y¯ ) =
12∑
i=1
XiYi − 12 · X¯Y¯ = 1988, 4
(a) Obtenha as estimativas de MQ dos paraˆmetros β0 e β1 do modelo, e escreva
a equac¸a˜o do modelo ajustado. Interprete as estimativas no contexto do
problema.
(b) Interprete as estimativas obtidas no contexto do problema.
(c) Calcule a estimativa da variaˆncia do erro aleato´rio do modelo.
(d) Determine as intervalos de confianc¸a de 95% para os paraˆmetros β0 e β1.
(e) Existe relac¸a˜o estatisticamente significante entre a temperatura e a produc¸a˜o,
considerando um n´ıvel de significaˆncia de 5%.
(f) Determine um intervalo de confianc¸a de 95% para a produc¸a˜o me´dia a uma
temperatura de 40oC.
(g) Determine um intervalo de previsa˜o para a produc¸a˜o de uma determinada
reac¸a˜o a uma temperatura de 40oC.
4. Considere a seguinte afirmac¸a˜o: “Pessoas que usam adoc¸ante artificial tendem a ser
mais pesadas do que aquelas que utilizam ac¸u´car”. Isto significa que os adoc¸antes
artificiais podem causar aumento de peso? Pense sobre tal afirmac¸a˜o e nas varia´veis
envolvidas nesta relac¸a˜o, e fornec¸a uma explicac¸a˜o plaus´ıvel sobre tal relac¸a˜o.
5. Seja Y a despesa de viagem (em reais) e X a durac¸a˜o da viagem (em dias) para uma
amostra de tamanho 102 pessoas. Com base nos dados fornecidos abaixo, pede-se:
n∑
i=1
Xi = 510
n∑
i=1
Yi = 7140
n∑
i=1
X2i = 4150
n∑
i=1
Y 2i = 740200
n∑
i=1
XiYi = 54900
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(a) Determine a despesa me´dia de viagem e a durac¸a˜o me´dia de viagem.
(b) Ajuste um modelo RLS para representar a realac¸a˜o existente entre X e Y, e
interprete as estimativas dos paraˆmetros do modelo.
(c) Calcule os coeficientes de determinac¸a˜o e de correlac¸a˜o linear de Pearson,
interprete os resultados.
6. Na tabela a seguir sa˜o fornecidas informac¸o˜es sobre o nu´mero de me´dicos po´s-
graduados (X) e a taxa de mortalidade por tuberculose (Y) (por 1.000.000
habitantes) para o per´ıodo de 1959 a 1969.
(a) Construa do diagrama de dispersa˜o entre X e Y.
(b) Ajuste um modelo de RLS para representar a relac¸a˜o existente entre X e Y, e
interprete as estimativas dos paraˆmetros do modelo.
(c) Calcule o coeficiente de correlac¸a˜o linear de Pearson e interprete o resultado.
(d) Explique de forma resumida por que esta relac¸a˜o na˜o e´ um achado
cientificamente importante.
Ano No de po´s-graduados Taxa de nortalidade
1959 277 83
1960 318 74
1961 382 71
1962 441 65
1963 486 62
1964 597 52
1965 750 47
1966 738 48
1967 849 42
1968 932 43
1969 976 38
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7. Para verificar o efeito da varia´vel X (horas de estudo) sobre a varia´vel Y (notas da
VS em Estat´ıstica) foi realizado um estudo com 11 alunos que forneceu os seguintes
pares (Xi, Yi):
(3; 1, 3) (7; 2, 4) (5; 1, 6) (2; 1, 3) (9; 3, 0) (7; 3, 0) (3; 1, 5) (5; 2, 3)
(8; 3, 3) (2; 1, 2) (1; 0, 5)
(a) Construa um gra´fico de dispersa˜o entre X e Y e avalie se tem sentido ajustar um
modelo de regressa˜o linear normal aos dados. Nessa avaliac¸a˜o utilize tambe´m
o coeficiente de correlac¸a˜o linear de Pearson.
(b) Ajuste um modelo de regressa˜o linear normal e represente-o no gra´fico de
dispersa˜o constru´ı na letra (a).
(c) Interprete as estimativas dos paraˆmetros do modelo no contexto do problema.
(d) Verifique se existe associac¸a˜o estatisticamente significante entre as “horas de
estudo” e o “desempenho na VS”. Defina as hipo´teses a serem testadas, a
estat´ıstica de teste, a regia˜o cr´ıtica e a tomada de decisa˜o, inclusive no contexto
do problema.
(e) Construa um IC de 95% para o efeito do tempo de estudo no desempenho do
aluno na disciplina. Interprete-o.
(f) Construa um IC de 95% para o intercepto (β0) do modelo.
(g) Calcule o coeficiente de determinac¸a˜o do modelo e interprete-o.
8. Usando as notas de Estat´ıtica descritiva (escala de 0 a 100), o professor ajustou um
modelo de RLS para explicar a nota da 2a verificac¸a˜o a partir da nota obtida na
1a verificac¸a˜o da referida disciplina. Analise e interprete os resultados do ajuste do
modelo e fac¸a a ana´lise gra´fica (gra´ficos nas u´ltimas pa´ginas) para verificar se as
hipo´teses ba´sicas do modelo sa˜o bem atendidas.
βˆ0 = 18, 383 βˆ1 = 0, 774
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Algumas Respostas
1. Por conta do aluno!
2. a) Existe um relac¸a˜o linear positiva (ou crescente) entre X e Y, ou seja...
b)Yˆi = βˆ0 + βˆ1Xi = 101, 805 + 1, 063Xi i = 1, ..., 5.
3. a)Yˆi = βˆ0 + βˆ1Xi = 7, 6233 + 0, 32964Xi i = 1, ..., 12. Interprete!
b) Por conta do aluno!
c)17,996
d) ICβ0,95% = (−0, 744; 15, 991) e ICβ1,95% = (0, 208; 0, 451)
e) Rejeita-se H0.
f) ICE(Y |X=40),95% = (16, 722; 24, 896)
g) ICYnovo|X=40,95% = (10, 512; 31, 106)
4. Na˜o, pois...
5. a) X¯ = 5 e Y¯ = 70
b) Yˆi = βˆ0 + βˆ1Xi = 10 + 12Xi i = 1, ..., 102. Interprete!
c) R = 0, 98 e R2 = 0, 9604. Interprete!
6. a) Por conta do aluno!
b) Yˆi = βˆ0 + βˆ1Xi = 92, 572 − 0, 058Xi i = 1, ..., 11. Interprete!
c) R = −0, 973. Avalie o sentido e a forc¸a da relac¸a˜o linear entre X e Y.
d) A relac¸a˜o e´ espu´ria!!
7. a)Sim, com base na observac¸a˜o do gra´fico de dispersa˜o, e´ poss´ıvel dizer que tem
sentido ajustar um modelo linear para os dados em questa˜o. R = 0, 951
b) Yˆi = βˆ0 + βˆ1Xi = 0, 452 + 0, 316Xi i = 1, ..., 11
c) βˆ0 = 0, 452 e´ a nota estimada em Estat´ıstica no caso do aluno na˜o ter estudado
para a VS. βˆ1 = 0, 316 e´ o quanto aumenta a nota estimada em Estat´ıstica ao
aumentar o tempo de estudo em 1 hora.
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d) Rejeita-se H0 ao n´ıvel de significaˆncia de 5%, ou seja, existe relac¸a˜o
estatisticamente significante entre o tempo de estudo (X) e a nota da VS (Y) de
Estat´ıstica.
e) ICβ1,95% = (0, 238; 0, 393)
f) ICβ0,95% = (0, 034; 0, 870)
g) R2 = 90, 4%. Interprete!
8. Por conta do aluno!
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