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GET00178 – Estat´ıstica Aplicada para Engenharia
Exerc´ıcios de Revisa˜o - Infereˆncia para Uma Populac¸a˜o
Profa. Ana Maria Farias - 2014-2
1. Uma companhia de lavagem a seco deve se submeter a muitas regulamentac¸o˜es do governo
nos Estados Unidos. Algumas regulamentac¸o˜es se baseiam na capacidade de armazena-
mento acima do solo de solventes derivados de petro´leo. Obteve-se uma amostra aleato´ria
de companhias de lavagem a seco em Tacoma, Washington. A capacidade de armazena-
mento de solventes derivados de petro´leo para cada uma delas e´ dada a seguir. Ache um
intervalo de confianc¸a de 98% para a verdadeira capacidade me´dia de armazenamento de
solventes derivados de petro´leo, supondo que a distribuic¸a˜o subjacente seja normal com
desvio-padra˜o σ = 96, 5 galo˜es. Certifique-se de indicar claramente a margem de erro.
770 875 850 1000 830 980
800 950 940 1125 925 1100
Soluc¸a˜o:
x =
11145
12
= 928, 75 n = 12 σ = 96, 5
1− α = 0, 98⇒ z0,01 = 2, 33
� = 2, 33× 96, 5√
12
= 64, 9072
IC : (928, 75− 64, 9072; 928, 7564, 9072) = (863, 8428; 993, 6572)
2. Um estudo com 25 proprieta´rios de automo´vel de uma determinada cidade revelou que
cada automo´vel roda, em me´dia, 22.000 km por ano, com um desvio padra˜o de 3800
km. Supondo que a rodagem possa ser aproximadamente descrita por uma distribuic¸a˜o
normal, construa um intervalo de confianc¸a com n´ıvel de confianc¸a de 98% para a rodagem
anual me´dia dos carros desta cidade.
Soluc¸a˜o:
Tem-se a informac¸a˜o de que a populac¸a˜o e´ aproximadamente normal e sa˜o dadas a me´dia
e o desvio padra˜o amostrais: x = 22000, s = 3800. Isso significa que na˜o conhecemos a
variaˆncia populacional. Assim, temos que usar a distribuic¸a˜o t− Student!
n = 25 1− α = 98%
Temos que olhar na tabela da t de Student, na linha de 24 gl e coluna correspondendo a`
a´rea de 1% na cauda superior. Isso resulta em k = 2, 492.
� = 2.492× 3800√
25
= 1893, 9
O intervalo de confianc¸a e´
[22000− 1893.9; 22000 + 1893.9] = [20106, 1; 23893, 9]
3. O airbag e´ um dispositivo de seguranc¸a planejado para explodir para fora do painel frontal
ou de um painel lateral na porta no caso de colisa˜o do automo´vel. Um airbag protege o
motorista e o passageiro do impacto com o pa´ra-brisa, coluna e painel. Os airbags mais
novos abrem a uma velocidade proporcional a` velocidade do impacto. Os modelos mais
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antigos abrem a uma velocidade constante, de ate´ 300 km/h. Obteve-se uma amostra
aleato´ria de airbags de modelos antigos, que foram testados. Essa amostra acusou uma
velocidade me´dia de abertura de 259,8 km/h. Suponha que σ = 19 km/h.
Ha´ alguma evideˆncia que sugira que a velocidade me´dia de abertura populacional em
modelos mais antigos de airbags seja superior a 250 km/h? Use α = 0, 01. Certifique-se
de especificar claramente
(a) as hipo´teses nula e alternativa;
(b) a estat´ıstica de teste e a regia˜o cr´ıtica;
(c) a conclusa˜o;
(d) o valor P ;
(e) o resultado utilizado para resolver a questa˜o.
Soluc¸a˜o:
σ = 19 α = 0, 01 n = 40 grande!
(a)
H0 : µ = 250
H1 : µ > 250
(b) Z0 =
√
40
X − 250
19
RC : Z0 > 2, 33
(c) z0 =
√
40
259, 8− 250
19
= 3, 26 > 2, 33
Rejeita-se H0, ou seja, ha´ evideˆncias de que a velocidade me´dia de abertura popula-
cional em modelos mais antigos de airbags seja superior a 250 km/h.
(d) P = P(Z ≥ 3, 26) = 0, 5− tab(3, 26) = 0, 5− 0, 4996 = 0, 0004
(e) Como n e´ grande, usou-se o Teorema Limite Central.
4. O gerente de uma rede se supermercados afirma que o carta˜o de membro economizara´
ao cliente, atrave´s de descontos automa´ticos, no mı´nimo 45,00 reais por semana. Para
verificar essa afirmac¸a˜o, obteve-se uma amostra aleato´ria de 11 clientes com carta˜o de
membro e foram examinadas suas contas de compras nos supermercados da rede. A
me´dia amostral da economia foi de 43,05 reais e o desvio-padra˜o amostral de 2,25 reais.
Suponha que a distribuic¸a˜o populacional da economia seja normal.
(a) Ha´ alguma evideˆncia para se refutar a afirmativa do gerente? Justifique sua res-
posta, realizando um teste de hipo´tese apropriado com n´ıvel de significaˆncia de 2,5%.
Certifique-se de especificar claramente as hipo´teses nula e alternativa, a estat´ıstica
de teste e a regia˜o cr´ıtica, bem como a sua conclusa˜o em linguagem na˜o te´cnica.
(b) Ache limites para o valor P associado a esse teste de hipo´tese.
(c) Ache um intervalo de confianc¸a de 95% para o verdadeiro desconto me´dio me´dio
semanal de clientes com carta˜o de membro dessa rede de supermercados.
Soluc¸a˜o:
(a)
H0 : µ = 45
H1 : µ < 45
T0 =
√
11× X − 45
2, 25
RC : T0 < −2, 228
t0 =
√
11× 43, 05− 45
2, 25
= −2, 87
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Como t0 < −2, 228, rejeita-se H0, ou seja, ha´ evideˆncias de que o desconto me´dio
semanal dos clientes com carta˜o de membro e´ menor que 45 reais.
(b) Vamos utilizar a simetria da distribuic¸a˜o t. Na tabela, na linha correspondente a 10
graus de liberdade, vemos que o valor observado de −t0 = 2, 87 esta´ entre as abscissas
2,764 e 3,169, que correspondem a`s probabilidades 0,01 e 0,005, respectivamente.
Logo, 0, 005 < P < 0, 01. ( O valor exato e´ P = 0, 008334)
(c) IC:
(
43, 5− 2, 228× 2, 25√
11
; 43, 5 + 2, 228× 2, 25√
11
)
= (43, 05−1, 5115; 43, 05+1, 5115) =
(41, 9885; 44, 5615)
Note que o intervalo de confianc¸a esta´ totalmente abaixo do valor 45!!
5. O comprimento total (CT) de um barco e´ a distaˆncia ao longo da linha central, a partir
do exterior da frente do casco ate´ a traseira. Membros da Associac¸a˜o Comunita´ria da
cidade de Vermilion, a` beira de um lago, em Ohio, esta˜o preocupados com o fato de os
residentes estarem usando barcos maiores, contribuindo para mais poluic¸a˜o sonora e da
a´gua. Registros passados indicam que o CT me´dio para barcos permitidos no lago e´ de
35 pe´s (10,67 m). Obteve-se uma amostra aleato´ria de 41 barcos e cada CT foi medido
cuidadosamente. O CT me´dio amostral foi de 36,22 pe´s. Suponha σ2 = 5,7 pe´s2.
(a) Ha´ alguma evideˆncia que sugira que o CT me´dio tenha aumentado? Use α = 0, 01
(b) Sua resposta na parte mudaria se α = 0, 1? Por que sim ou por que na˜o?
Soluc¸a˜o:
(a)
H0 : µ = 35
Ha : µ > 35
n grande e σ conhecido – aproximac¸a˜o normal e estat´ıstica de teste e´
Z =
X − 35
5,7√
41
α = 0, 01 =⇒ RR : Z > 2, 33
Valor observado da estat´ıstica de teste e´ z0 =
36, 22− 35
5,7√
41
= 1, 3705.
Como o valor observado da estat´ıstica de teste na˜o cai na regia˜o cr´ıtica, na˜o ha´
evideˆncia suficiente para se afirmar que o comprimento me´dio dos barcos e´ maior que
35 pe´s.
(b)
P(Z ≥ 1, 37) = 0, 5− tab(1, 37) = 0, 0853
A hipo´tese nula sera´ rejeitada para qualquer n´ıvel de significaˆncia α ≥ 0, 0853, em
particular, para α = 0, 10.
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