P2 MM1 gabarito

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Gabarito prova 2
Exercı´cio 1. Sejam a, b > 0 fixados e λ ∈ R um paraˆmetro. Se considere o problema de Sturm-
Liouville
∆u + λu = 0
no retaˆngulo (0, a) × (0, b), com condic¸o˜es de contorno
u(0, y) = u(a, y) = 0, ∂yu(x, 0) = ∂yu(x, b) = 0.
Se determinem os valores de λ para os quais existe uma soluc¸a˜o ao problema, e explicitar a soluc¸a˜o.
Demonstrac¸a˜o. Procedemos por separac¸a˜p de varia´veis. Escrevemos u(x, y) = X(x)Y(y). Enta˜o a
EDP da´
X′′Y + XY′′ + λXY = 0,
seja
X′′
X
+
Y′′
Y
+ λ = 0,
enta˜o existe uma constante σ tal que
X′′
X
= −Y
′′
Y
− λ = σ.
A primeira EDO X′′ − σX = 0, tem condic¸o˜es de contorno
X(0) = X(a) = 0.
Enta˜o para ter soluc¸o˜es na˜o triviais e´ preciso σ = −(pia m)2, com m inteiro, e nestes casos, a soluc¸a˜o e´
X(x) = A sin(
pi
a
mx), por algum A ∈ R.
Uma vez determinado σ, podemos olhar a segunda EDO Y′′ − (λ + σ)Y. Ela tem condic¸o˜es de
contorno
Y′(0) = Y′(b) = 0,
enta˜o para ter soluc¸o˜es e´ preciso λ + σ = −(pib n)2 com n inteiro. Nestes casos, a soluc¸a˜o e´
Y(y) = B cos(
pi
b
ny), por algum B ∈ R.
A forma de σ determinada em precedeˆncia implica que
λ = (
pi
a
m)2 − (pi
b
n)2. (1)
Poderia acontecer que duplas distintas (m,n) da˜o o mesmo valor de λ pela formula (1). Seja Dλ
este conjunto de duplas, enta˜o a soluc¸a˜o da EDP e´
u(x, y) =
∑
(m,n)∈Dλ
Am,n sin(
pi
a
mx) cos(
pi
b
ny).
�
1
Exercı´cio 2. Se resolva o problema de Laplace no disco de raio 1 com condic¸a˜o ao contorno
u(1, θ) = pi2 − θ2, com θ ∈ (−pi, pi).
Demonstrac¸a˜o. A soluc¸a˜o geral do problema de Laplace no disco e´:
u(r, θ) =
∞∑
m=1
rm(am cos(mθ) + bm sin(mθ)) +
1
2
a0.
Os coeficientes am e bm se determinam olhando a condic¸a˜o ao contorno. Imediatamente podemos
afirmar que os bm sa˜o todos nulos, pois u(1, θ) e´ par. Os am sa˜o dados pelos coeficientes de Fourier
am =
2
pi
∫ pi
0
(pi2 − θ2) cos(mθ)dθ.
Por m = 0, a0 = 43pi
2. Por m ≥ 1, am = − 4pim2 (−1)m. Enta˜o a soluc¸a˜o do problema e´:
u(r, θ) = − 4
pi
∞∑
m=1
(−1)m
m2
rm cos(mθ) +
2
3
pi2.
�
Exercı´cio 3. Se resolva o problema da membrana vibrante com condic¸o˜es de Dirichlet e condic¸o˜es
iniciais u(r, θ, 0) = 0 e ∂tu(r, θ, 0) = J0(λ0,kr).
Demonstrac¸a˜o. As condic¸o˜es iniciais na˜o dependem de θ, enta˜o a soluc¸ao geral do problema e´
u(r, t) =
∑
n∈N
(an cos(λ0,nt) + bn sin(λ0,nt))J0(λ0,nr).
As condic¸o˜es iniciais, juntas a`s relac¸o˜es de ortogonalidade para as func¸o˜es J0(λr), implicam que
an = 0 e bn e´ na˜o nulo so´ quando n = k, no qual caso bk = 1λ0,k . Enta˜o a soluc¸a˜o do problema e´:
u(r, t) =
1
λ0,k
sin(λ0,kt)J0(λ0,kr).
�
Exercı´cio 4. Se resolva o problema de Laplace na bola de raio 1, con condic¸a˜o de contorno u(1, θ, φ) =
cos3 θ + cos2 θ.
Demonstrac¸a˜o. As condic¸o˜es iniciais na˜o dependem de φ, enta˜o a soluc¸ao geral do problema e´
u(r, θ) =
∑
n∈N
anrnPn(cosθ).
O polinoˆmio x3 se escreve com respeito a base ortonormal de polinoˆmios de Legendre:
x3 =
2
5
P3(x) +
3
5
P1(x).
2
O polinoˆmio x2:
x2 =
2
3
P2(x) +
1
3
P0(x).
Enta˜o a soluc¸a˜o do problema e´:
u(r, θ) =
1
3
P0(cosθ) +
3
5
rP1(cosθ) +
2
3
r2P2(cosθ) +
2
5
r3P3(cosθ).
�
Exercı´cio 5. Escrever a func¸a˜o f (x) = 1 em se´rie de Fourier-Bessel com respeito as func¸o˜es J0(λx).
Deduzir
∑ 1
λ =
1
4 .
Demonstrac¸a˜o. A se´rie de Fourier-Bessel e´ ∑
AλJ0(λx),
aonde o somato´rio e´ feito sobre as raı´zes λ da func¸a˜o de Bessel J0, e os coeficientes sa˜o:
Aλ =
2
J1(λ)2
∫ 1
0
J0(λx)xdx.
Apo`s a mudanc¸a de varia´vel y = λx, dy = λdx, o integral e´
Aλ =
2
λ2J1(λ)2
∫ λ
0
J0(y)ydy.
Utilizando a relac¸a˜o xJ0(x) = (xJ1(x))′, deduzimos que
Aλ =
2
λ2J1(λ)2
J1(λ)λ =
2
λJ1(λ)
.
Enta˜o a se´rie de Fourier-Bessel de f (x) = 1 e´∑ 2
λJ1(λ)
J0(λx).
Agora, utilizamos a identidade de Parseval:
‖ f ‖2 =
∫ 1
0
xdx =
∑
A2λ‖J0(λx)‖2 =
∑( 2
λJ1(λ)
)2 J1(λ)2
2
.
Logo,
1
2
=
∑ 2
λ2
.
�
3