Espaço Vetorial e Espaço Quociente

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Notas de Aula de MME I
Este é um conjunto de notas para auxiliar no aprendizado da disciplina MME I. Este material é dinâmico
e, de nenhuma forma, está em fase �nal de elaboração. No que segue utilizaremos a notação F = R,C.
Com,entários são necessários e bem-vindos.
1 Introdução
Vários resultados em matemática são obtidos generalizando construções mais simples para cenários mais
complexos. Neste contexto, lembramos que ao generalizar a equação
ax+ b = 0
obtemos, por um lado, a necessidade de introduzir números complexos no caso não linear
x2 + 1 = 0
e, por outro lado, a necessidade de analisar sistemas envolvendo várias equações no caso multi-linear
Ax = b
onde A = (ai,j)m×n, x = (x1, . . . , xn)
T e b = (b1, . . . , bm)
T . Neste contexto, podemos escrever
Ax = x1.a1 + · · ·+ xn.an
de�nindo
x.a = (xa1, . . . , xan)
T
e
a+ b = (a1 + b1, . . . , an + bn)
T
.
Como vamos ver os elementos x munidos destas operações compreendem um exemplo particular de Espaço
Vetorial (EV).
Qual a vantagem de escrever a equação como Ax = b? Já podemos apresentar uma vantagem neste
momento lembrando da propriedade básica dos determinantes
det (AB) = det (A) det (B)
que chamaremos de (D). De fato, se Xk = (e1, . . . , ek−1,x, ek+1, . . . , en) onde ei = (0i−1, 1,0n−i)
T com
0k = (0, . . . , 0) ∈ Fk, nós temos
det (Xk) = det
(
A−1AXk
)
=
(D)
det (AXk) / det (A)
= det (Ae1, . . . ,Aek−1,Ax,Aek+1, . . . , en) /det (A)
= det (Ae1, . . . ,Aek−1, b,Aek+1, . . . , en) / det (A) .
Vamos ver outras vantagens depois de introduzir a ideia formal de EV.
A junção das duas generalizações de uma única equação linear nos leva ao estudo de sistemas de equações
polinomiais que será objeto de estudo em MME II e fundamenta uma área muito importante em matemática
chamada de geometria algébrica. Nós agora estamos preparados para introduzir o conceito de Espaço Vetorial
(EV) e conceitos importantes relacionados.
1
Notação:
Usaremos aqui [n] = {1, . . . , n}, vetores são representados por letras romanas minúsculas em negrito como
a, b, etc. Matrizes são representadas por letras romanas maiúsculas em negrito como A, B, etc. O conjunto
das matrizes m × n com entradas em F é denotado por Fm×n e escrevemos A = (ai,j)m×n. Escalares, i.e.,
elementos de F = R,C são representados por letras romanas minúsculas a, b, etc. As letras i, j, k, l,m, n são
reservadas para elementos de N. Letras gregas são utilizadas para designar funções.
2 Espaço Vetorial (EV):
De�nição: Um Espaço Vetorial (EV) é um conjunto V munido de duas operações fechadas + e ., i.e., ao
executarmos ambas operações obtemos sempre um elemento de V , que satisfazem
(+1) x+ y = y + x, ∀ x,y ∈ V .
(+2) (x+ y) + z = x+ (y + z), ∀ x,y, z ∈ V
(+3) ∀ x ∈ V ∃ 0V ∈ V tal que x+ 0V = x. 0V é chamado de elemento neutro de V .
(+4) Para cada x ∈ V ∃ y tal que x + y = 0V . Denotaremos y por −x (chamado de inverso de x) e
podemos escrever x+ (−x) = 0V .
(.1) a. (x+ y) = a.x+ a.y, ∀ x,y ∈ V e ∀ a ∈ F.
(.2) (a+ b) .x = a.x+ b.x, ∀ x ∈ V e ∀ a, b ∈ F.
(.3) a. (b.x) = (ab) .x, ∀ x,y ∈ V e ∀ a, b ∈ F.
(.4) 1.x = x, ∀ x ∈ V .
Note que (V,+) é um grupo abeliano. Os elementos do EV são chamados de vetores e os elementos de F
escalares. Note que (+2) nos permite analisar uma expressão envolvendo o símbolo + agrupando quaisquer
dois vetores adjacentes por vez. Note ainda que (.3) e (.4) são análogas a (+2) e (+4), respectivamente.
A mente prática tenta associar conceitos matemáticos com a experiência do dia a dia. Este é um passo
importante para internalizar conceitos matemáticos. Podemos associar o conjunto das pessoas a um EV de
várias formas. De fato, basta atribuirmos valores numéricos a cada pessoa p. Por exemplo, suponha que
p = (t, d, T ) onde t é o tempo que uma pessoa gasta no whatsapp por dia ou mês ou ano. d é a d istância
percorrida por uma pessoa em um dia ou mês ou ano. T é a variação de Temperatura na localidade que p
reside em dia ou mês ou ano. Neste contexto, o que signi�caria −t ou −d? Por exemplo, suponha que tm é
o tempo médio gasto por uma pessoa no whatsapp por dia. Então, podemos tomar
t→ t− tm.
Assim, se tm = 4 e t = 2 segue que t− tm = −2.
Dada a de�nição de EV podemos tirar dela informações adicionais como, e.g., mostrar que a.0V = 0V e
− (−v) = v.
Vamos primeiro mostrar que 0V é único. De fato, suponha que exista outro elemento neutro 0′V ∈ V .
Assim, temos
0V =
(+3)
0V + 0
′
V =
(+3)
0′V
Temos
a.0V =
(+3)
a. (0V + 0V ) =
(.1)
a.0V + a.0V
⇒ a.0V + (−a.0V )︸ ︷︷ ︸
=
(+3)
0V
= (a.0V + a.0V ) + (−a.0V ) =
(+2)
a.0V + (a.0V + (−a.0V ))︸ ︷︷ ︸
=
(+4)
a.0V +0V =
(+3)
a.0V
2
logo, como 0V é único, temos que a.0V ≡ 0V . De forma similar, podemos mostrar que 0.v = 0V .
Vamos agora mostrar que − (−v) = v. Para isso vamos mostrar primeiro que o inverso aditivo de v é
único. De fato, dado v suponha que exista v′ além de (−v) t.q.
v + v′ = 0V =
(+1)
v′ + v.
Temos que
v′ + v = 0V ⇒ (v′ + v) + (−v) = 0V + (−v)⇒ v′ + (v + (−v))︸ ︷︷ ︸
=
(+3)
v′+0V =v′
= −v
Vamos mostrar agora que (−1) .v = −v. De fato, temos
(−1) .v + v =
(.4)
(−1) .v + 1.v =
(.2)
((−1) + 1) .v = 0.v = 0V .
Assim o resultado segue, pois fazendo a substituição v → −v em (−1) .v = −v temos
(−1) . (−v) = − (−v)⇒ (−1) . ((−1) .v) =
(.3)
((−1) (−1)) .v︸ ︷︷ ︸
=1.v =
(.4)
v
= − (−v) .
É comum nos referirmos ao EV (V,+, .) somente usando V , mas lembrando que EV não compreende
somente o conjunto V mas as operações de soma de vetores e multiplicação por um escalar.
3 Exemplos
Nos exemplos que seguem temos um abuso de notação. Mais precisamente, a soma que aparece no lado
direito da de�nição das operações é a soma e multiplicação por um escalar do EV que, de um modo geral,
difere da soma e multiplicação no lado direito que é a usual soma e multiplicação por um escalar. Os exemplos
também mostram o que havíamos falado na introdução, i.e., as operações no EV são de�nidas partindo de
estruturas mais simples envolvendo operações elemntares com números complexos. Para outros exemplos
consulte Carchidi, M. A. (1998). Generating exotic-looking vector spaces. The College Mathematics Journal,
29(4), 304-308.
3.1 Exemplo 1:
Note que V = {0V } munido das operações
0V + 0V︸ ︷︷ ︸
+ em V
= 0V e a.0V︸ ︷︷ ︸
. em V
= 0V
é um EV.
3.2 Exemplo 2:
O conjunto V = R munido das operações
x+ y︸ ︷︷ ︸
+ em V
=
(
x3 + y3
)1/3︸ ︷︷ ︸
+ e ∧ em R
e a.x︸︷︷︸
. em V
= a1/3x︸ ︷︷ ︸
× e ∧ em R
é um EV. Neste curso, ∧ representa potenciação de números.
3
3.3 Exemplo 3:
O conjunto V = (−1, 1) munido das operações
x+ y︸ ︷︷ ︸
+ em V
=
x+ y
1 + xy︸ ︷︷ ︸
+, × e ÷ em R
e a.x︸︷︷︸
. em V
=
(1 + x)
a − (1− x)a
(1 + x)
a
+ (1− x)a︸ ︷︷ ︸
+, −, × e ÷ em R
é um EV.
3.4 Exemplo 4:
O conjunto V = Rm×n =
{
(xi,j)m×n : ai,j ∈ R
}
munido das operações
(xi,j) + (yi,j)︸ ︷︷ ︸
+ em V
=
xi,j + yi,j︸ ︷︷ ︸
+ em R
 e a. (xi,j)︸ ︷︷ ︸
. em V
=
 axi,j︸︷︷︸
× em R

é um EV.
3.5 Exemplo 5:
O conjunto V = R [x] = {a0 + a1x+ · · ·+ anxn : ai ∈ R} munido das operações
(p+ q)︸ ︷︷ ︸
+ em V
(x) =
a0 + b0︸ ︷︷ ︸
+ em R
+ · · ·+
an + bn︸ ︷︷ ︸
+ em R
xn e (a.p)︸ ︷︷ ︸
. em V
(x) =
 aa0︸︷︷︸
× em R
+ · · ·+
 aan︸︷︷︸
× em R
xn
onde p (x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn e q (x) = b0 + b1x+ · · ·+ bnxn é um EV.
3.6 Exemplo 6:
Dada uma coleção qualquer de elementos, e.g., {♥,♦,♣,♠} podemos construir um EV. De fato, se
x = x1♥+ x2♦+ x3♣+ x4♠ e y = y1♥+ y2♦+ y3♣+ y4♠
podemos de�nir
x + y︸ ︷︷ ︸
+ em V
=
x1 + y1︸ ︷︷ ︸
+ em R
♥+
x2 + y2︸ ︷︷ ︸
+ em R
♦+
x3 + y3︸ ︷︷ ︸
+ em R
♣+
x4 + y4︸ ︷︷ ︸
+ em R
♠
e
a.x︸︷︷︸
. em V
=
 ax1︸︷︷︸
× em R
♥+
 ax2︸︷︷︸
× em R
♦+
 ax3︸︷︷︸
× em R
♣+
 ax4︸︷︷︸
× em R
♠.
EV's construídos partindo de um conjunto de elementos como acima são chamados de EV's Livres. Como
veremos mais para frente EV's Livres (EVL's) desempenham um papel fundamental na construção de um
EV muito importante cujos elementos são conhecidos como tensores. Nós iremos escrever F {♥,♦,♣,♠}
para designar o EVL da coleção {♥,♦,♣,♠}.
4
4Base de um EV:
O conjunto S = {v1, . . . ,vn} é uma base de V se as propriedades a seguir são satisfeitas
(B1) S é um conjunto Linearmente Independente (LI), i.e.,
n∑
i=1
ai.vi = 0V ⇒ ai = 0, ∀ i ∈ [n] .
Caso contrário, dizemos que S é Linearmente Dependente (LD).
(B2) S gera V , i.e., qualquer elemento v ∈ V pode ser escrito como
v =
n∑
i=1
ai.vi
chamada de combinação linear dos elementos de S.
Neste caso dizemos que dim (V ) = n. Por que as de�nições acima? Se S é base devemos term um número
mínimo de elementos a partir dos quais abrangemos V tomando a combinação linear dos elementos de S.
A condição (B1) descreve a minimalidade e (B2) descreve a abrangência. (B1) descreve a minimalidade,
pois qualquer conjunto com a quantidade de elementos > |S| é necessariamente LD. De fato, se S é base e
v ∈ V , então temos
v =
n∑
i=1
ai.vi ⇒ (−1) .v +
n∑
i=1
ai.vi = 0V
com os coe�cientes não todos nulos da combinação linear de {v} ∪ S resultando no vetor 0V . Em outras
palavras, {v} ∪ S é LD.
5 Subespaço Vetorial
Seja V um EV. Dizemos que W ⊆ V é um subespaço vetorial de V se W é um EV. Para mostrarmos que
W é um subespaço de V basta mostrarmos que 0V ∈ W , a.w1 + w2 ∈ W com w1,w2 ∈ W . Em outras
palavras, quando executamos as operações de EV com elementos de W não escapamos de W , i.e., obtemos
um elemento que ainda pertence ao subespaço.
6 Espaço Quociente (EQ):
Seja V um EV e W um subespaço de V . De�nimos o conjunto
V/W = {[x]W : x ∈ V }
chamado de EQ de V por W . Os elementos de V/W são de�nidos por
[x]W = x+W = {x+w : w ∈W}
Note que se de�nirmos
a. [x]W + [y]W︸ ︷︷ ︸
+ e . em V/W
=
 a.x+ y︸ ︷︷ ︸
+ e . em V

W
temos que (V/W,+, .) é um EV. De fato, a estrutura de EV de V/W é herdada da estrutura de EV de V ,
pois as operações em V/W são de�nidas partindo das operações em V . Em V/W o elemento neutro é
0V/W = [0V ]W = W.
5
Observe que se W = {0V }, então obtemos um EV que pode ser identi�cado com V via a correspondência
[x]0V → x.
Note que cada elemento de V/W de�ne uma classe de equivalência. Por exemplo, se W = {(x, x) : x ∈ R} e
V = R2, então todos os vetores com extremidade nas retas paralelas à reta y = x pertencem à mesma classe
de equivalência. Em outras, palavras elementos de [x]W podem ser identi�cados com retas no plano com a
equação y = x+ a.
Proposição: Seja W subespaço de V com u,v ∈ V . Então as seguintes a�rmações são equivalentes
(a) u− v ∈W
(b) [u]W = [v]W
(c) [u]W ∩ [v]W = ∅.
Prova: Vamos mostrar que
(a)⇒ (b)⇒ (c)⇒ (a).
Esta cadeia de implicações é cíclica, i.e., partindo de (x) chegamos a (y) com (x), (y) ∈ {(a), (b), (c)}. Desta
forma, podemos tomar como ponto de partida qualquer uma das a�rmações acima para obter a outra.
[(a)⇒ (b)] : Neste caso vamos usar uma estratégia muito comum para mostrar a igualdade de dois
conjuntos A e B. Mais precisamente, se mostrarmos que A ⊆ B e B ⊆ A, temos que A = B. Para
mostrarmos que A ⊆ B basta tomarmos cada elemento a ∈ A e mostrar que a ∈ B. No nosso caso, se
u− v ∈W , então
u+w = v︸︷︷︸
∈V
+
 ∈W︷ ︸︸ ︷(u− v)︸ ︷︷ ︸
∈W
+ w︸︷︷︸
∈W

︸ ︷︷ ︸
=w′
⇒ u+w′ ∈ [v]W
onde w′ ∈ W . Segue que [u]W ⊆ [v]W . Da mesma forma, podemos mostrar que [u]W ⊆ [v]W fazendo a
troca u→ v e observando que v − u ∈W já que W é subespaço. Desta forma, (b) segue.
[(b)⇒ (c)] : Como (b) vale, então todos os elementos de um estão em outro. Estes conjuntos contém
pelo menos um elemento e, então, a interseção é não-nula.
[(c)⇒ (a)] : Como (c) vale, então existem w1,w2 ∈W tais que
u+w1 = v +w2 ⇒ u− v = w2 −w1 ∈W.
Agora vamos apresentar uma base para o EQ.
Proposição: Suponha que {vi}mi=1 ∪ {wj}
n
j=1 é uma base para V com {wj}
n
j=1 uma base para W . Então,
{[vi]W }
m
i=1
é uma base para V/W .
Prova: Vamos mostrar que {[vi]W }
m
i=1
satisfaz (B1) e (B2) com V → V/W .
Primeiro vamos mostrar que {[vi]W }
m
i=1
é LI. De fato, temos
m∑
i=1
ai. [vi]W =
[
m∑
i=1
ai.vi
]
W
= 0V/W = [0V ]W
Pela proposição anterior referente ao caso [(b)⇒ (a)] temos
m∑
i=1
ai.vi − 0V =
m∑
i=1
ai.vi ∈W.
Assim, temos
m∑
i=1
ai.vi =
n∑
j=1
bj .wj ,
6
pois {wj}nj=1 é base de W . Segue então que
m∑
i=1
ai.vi −
n∑
j=1
bj .wj = 0V ⇒ ai = 0 = bj ,
pois {wj}nj=1 ∪ {vi}
m
i=1 é base para V .
Vamos agora mostrar (B2). Para tanto tomemos um elemento arbitrário de v ∈ V , então, podemos
escrever
v =
m∑
i=1
ai.vi +
n∑
j=1
bj .wj ⇒ [v]W =
 m∑
i=1
ai.vi +
n∑
j=1
bj .wj

W
⇒ [v]W =
[
m∑
i=1
ai.vi
]
W
+

n∑
j=1
bj .wj︸ ︷︷ ︸
∈W

W︸ ︷︷ ︸
=W=0V/W
⇒ [v]W =
[
m∑
i=1
ai.vi
]
W
=
[
m∑
i=1
ai.vi
]
W
,
logo {[vi]W }
n
i=1 gera V/W já que v é um elemento arbitrário de V e, consequentemente, [v]W é um elemento
arbitrário de V/W .
Note que, em particular, temos
dim (V/W )︸ ︷︷ ︸
=n
= dim (V )︸ ︷︷ ︸
=m+n
−dim (W )︸ ︷︷ ︸
=m
.
7
MMEI/LISTA 1:
Data de Entrega: 01/02/2021
Enviar a lista resolvida para o e-mail antonio.neto@ufop.edu.br
Seja a1a2.b.c1c2c3c4 seu número de matrícula. Por exemplo, se seu número de matrícula é 12.3.4567, então
a1 = 1, a2 = 2, b = 3, c1 = 4, c2 = 5, c3 = 6 e c4 = 7.
Questão 1: Neste exercício usamos a notação R>0 = {x ∈ R : x > 0}. Mostre duas propriedades da soma
e duas propriedades da multiplicação por um escalar de sua escolha quando V = R>0 × R, x = (x1, x2),
y = (y1, y2),
x+ y =
(
exp
((
(lnx1)
1/3
+ (ln y1)
1/3
)3)
, x2 + y2 + 1
)
e
a.x =
(
ea
3 ln x1 , ax2 + a− 1
)
.
Questão 2: Mostre que se V = R [x] com dim (V ) ≥ 3 é o conjunto dos polinômios na variável x com
coe�cientes em R, então W = {p ∈ V : p′ = −p′′} é subespaço de V onde p′ signi�ca derivada em relação à
variável x.
Questão 3: (a) Mostre que 0.v = 0V onde v é um elemento qualquer do EV V . (b) Mostre que n.v =
v + · · ·+ v︸ ︷︷ ︸
n×v
com n ∈ N = {1, 2, . . .}.
Questão 4: (a) Mostre que W é um subespaço vetorial de V = Rb+c2+c3+c4 quando
W = {v = (x1, x2, . . . , xb+c2+c3+c4) ∈ V : x1 − xc2+c3 + 2xb+c2+c3+c4 = 0}
com as usuais operações de divisão e multiplicação por um escalar. (b) Determine dim (V/W ).
Questão 5: (a) Construa um EQ com dimensão c3+3c4 em Rb+c3+3c4 . (b) Mostre uma base para este EQ.
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