Lista 5 Gabarito

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Departamento de Matema´tica e Estat´ıstica
Ca´lculo 3
Integral Tripla (1) - Gabarito
Prof. Leonardo Silvares
1. Calcule a integral iterada
? 3
0
? 1
0
? √1−z2
0
ze
y
dx dz dy.
Soluc¸a˜o: Temos:
?
3
0
?
1
0
?
√
1−z2
0
ze
y
dxdzdy =
?
3
0
?
1
0
ze
y
√
1− z2 dzdy =
?
3
0
e
y
?
1
0
?
1− z
2
?
1/2
z dzdy =
= −
1
2
?
3
0
e
y
?
1
0
?
1 − z
2
?
1/2
(−2z) dzdy = −
1
2
?
3
0
e
y 2
3
?
?
1− z
2
?
3/2
?
1
0
dy =
= −
1
3
?
3
0
e
y
(0− 1)dy =
1
3
?
e
y
?3
0
=
1
3
?
e
3
− 1
?
.
2. Calcule
???
W
e
x
2
dx dy dz, onde W e´ o conjunto 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ z ≤ 1.
Soluc¸a˜o: Temos
???
W
e
x2
dxdydz =
??
Dxy
e
x2
?
1
0
dzdxdy =
??
Dxy
e
x2
dxdy
onde Dxy :
?
0 ≤ x ≤ 1
0 ≤ y ≤ x
e´ a projec¸a˜o de W sobre o plano xy.
x
y
Dxy
1
1
Enta˜o:
???
W
e
x2
dxdydz =
?
1
0
e
x2
?
x
0
dydx =
?
1
0
e
x2
x dx =
1
2
?
1
0
e
x2
(2x) dx =
=
1
2
?
e
x2
?
1
0
=
1
2
(e1 − e0) =
1
2
(e − 1) .
3. Escreva as seis integrais triplas iteradas para o volume do so´lido W , no primeiro octante, limitado
pelos planos x+ z = 1, y = x, y = 0 e z = 0. Calcule uma das integrais.
Soluc¸a˜o:
Esboc¸o de W
Como W esta´ no primeiro octante, enta˜o x, y, z,≥ 0. Inicialmente trac¸amos no plano xz o segmento
de reta x + z = 1, x ≥ 0, z ≥ 0. Como esta equac¸a˜o na˜o depende da varia´vel y, enta˜o por pontos
do segmento trac¸amos paralelas ao eixo y. Em seguida trac¸amos a semirreta y = x, x ≥ 0. Como
esta equac¸a˜o na˜o depende de z, enta˜o por pontos dela trac¸amos paralelas ao eixo z, obtendo assim,
alguns pontos comuns como A = (0, 0, 1) e B = (1, 1, 0). Ligando-os, obtemos a intersec¸a˜o dos
dois planos.
x
y
z
A
B
1
1
1
x
y
z
W
1
1
Como W e´ tambe´m limitado pelos planos y = 0 e z = 0, temos o esboc¸o de W .
Para obter as seis integrais triplas iteradas devemos projetar W sobre os treˆs planos coordenados,
sendo que cada projec¸a˜o nos fornece duas integrais iteradas.
Projec¸a˜o de W no plano xy
Do esboc¸o de W vemos que a sua projec¸a˜o no plano xy esta´ representado na figura a seguir.
x
y
Dxy
entra em y = 0
sai em y = x
y = x
y = 0
x = 1
1 x
y
Dxy
entra em x = y
sai em x = 1
y = x
y = 0
x = 1
1
x
y
z
W
entra em z = 0
sai em z = 1− x
1
1
Considerando uma paralela ao eixo z por um ponto qualquer no interior de W , vemos que ela entra
em W em z = 0 e sai de W em z = 1− x. Logo, 0 ≤ z ≤ 1− x. Assim, temos
W = {(x, y, z) | (x, y) ∈ Dxy e 0 ≤ z ≤ 1− x}
onde Dxy :
?
0 ≤ x ≤ 1
0 ≤ y ≤ x
, como tipo I e Dxy :
?
0 ≤ y ≤ 1
y ≤ x ≤ 1
como tipo II. Enta˜o:
V (W ) =
???
W
dV =
??
Dxy
?
1−x
0
dzdxdy =
?
1
0
?
x
0
?
1−x
0
dzdydx =
=
?
1
0
?
1
y
?
1−x
0
dzdxdy .
Projec¸a˜o de W no plano xz
Do esboc¸o de W , vemos que a sua projec¸a˜o no plano xz e´:
x
z
Dxz
entra em z = 0
sai em z = 1− x
x+ z = 1
1
1 x
z
Dxz
entra em x = 0
sai em x = 1− z
1
1
x
y
z
W
entra em y = 0
sai em y = x
1
1
Considerando uma paralela ao eixo y, por um ponto qualquer no interior de W , vemos que ela entra
em W em y = 0 e sai de W em y = x. Logo, 0 ≤ y ≤ x. Assim, temos
W = {(x, y, z) | (x, z) ∈ Dxz , 0 ≤ y ≤ x}
1
onde Dxz :
?
0 ≤ x ≤ 1
0 ≤ z ≤ 1− x
como tipo I e Dxz :
?
0 ≤ z ≤ 1
0 ≤ x ≤ 1− z
como tipo II. Enta˜o:
V (W ) =
???
W
dV =
??
Dxz
?
x
0
dydxdz =
?
1
0
?
1−x
0
?
x
0
dydzdx =
=
?
1
0
?
1−z
0
?
x
0
dydxdz .
Projec¸a˜o de W no plano yz
Do esboc¸o de W , vemos que a sua projec¸a˜o no plano yz esta´ representado na figura que se segue.
y
z
Dyz
entra em z = 0
sai em z = 1− y
y + z = 1
1
1 y
z
Dyz
entra em y = 0
sai em y = 1− z
1
1
x
y
z
W
entra em x = 0
sai em x = 1− z
1
1
Considerando uma paralela ao eixo x, por um ponto qualquer no interior de W , vemos que ela entra
em W em x = 0 e sai de W em x = 1− z. Logo, 0 ≤ x ≤ 1− z. Assim, temos
W = {(x, y, z) | (y, z) ∈ Dyz , 0 ≤ x ≤ 1− z}
onde Dyz :
?
0 ≤ y ≤ 1
0 ≤ z ≤ 1− y
como tipo I e Dyz :
?
0 ≤ z ≤ 1
0 ≤ y ≤ 1− z
como tipo II. Enta˜o:
V (W ) =
???
W
dV =
??
Dyz
?
1−z
0
dxdydz =
?
1
0
?
1−y
0
?
1−z
0
dxdzdy =
=
?
1
0
?
1−z
0
?
1−z
0
dxdydz .
Calculemos o volume de W , usando que
V (W ) =
?
1
0
?
x
0
?
1−x
0
dzdydx .
Enta˜o:
V (W ) =
?
1
0
?
x
0
(1− x) dydx =
?
1
0
(1− x) x dx =
?
1
0
?
x− x
2
?
dx =
=
?
x
2
2
−
x
3
3
?1
0
=
1
6
u.v.
Soluc¸a˜o:
Temos:
I =
???
W
dxdydz
onde W = {(x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ Dxy , 0 ≤ z ≤ 1− y
2} e Dxy :
?
0 ≤ x ≤ 1
√
x ≤ y ≤ 1
e´ a projec¸a˜o
de W sobre o plano xy.
x
y
Dxy
x = 0 y =
√
x
y = 1
1
1
De 0 ≤ z ≤ 1 − y2 vemos que W e´ limitado superiormente pelo cilindro parabo´lico z = 1 − y2 e
inferiormente pelo plano z = 0. Assim o esboc¸o de W esta´ representado na figura que se segue.
x
y
z
W
Dxy
cilindro y =
√
x
cilindro parabo´lico z = 1− y2
plano x = 0
plano z = 0
1
1
Para expressar a integral I na ordem dxdydz, devemos projetar W sobre o plano yz. Temos que
Dyz :
?
0 ≤ z ≤ 1
0 ≤ y ≤
√
1− z
.
4. Esboce o so´lido W cujo volume e´ dado pela integral iterada
? 1
0
? 1
√
x
? 1−y2
0
dz dy dx. e reescreva na
ordem dx dy dz.
x
y
z
W
Dyz
(y, z)
entra em x = 0
sai em x = y2
1
1
y
z
Dyz
z = 1− y2
entra em y = 0 sai em y =
√
1− z
1
1
Ale´m disso, a reta que passa por (y, z) ∈ Dyz e e´ paralela ao eixo x, entra em W em x = 0 e sai de
W em x = y2. Logo, 0 ≤ x ≤ y2. Enta˜o:
I =
??
D
?
y2
0
dxdydz =
?
1
0
?
√
1−z
0
?
y2
0
dxdydz .
Soluc¸a˜o:
a) Esboc¸ando o cilindro x = y2 e o plano x + z = 1, vemos que A = (1,−1, 0), B = (0, 0, 1) e
C = (1, 1, 0) sa˜o comuns. Ligando-os temos a curva intersec¸a˜o. Considerando que W e´ tambe´m
limitado pelo plano z = 0, temos o esboc¸o de W e sua projec¸a˜o D sobre o plano xy esta´ representado
na figura que se segue.
x
y
z
W
A
B
C
(x, y)
plano x+ z = 1
cilindro x = y2
entra em z = 0
sai em z = 1− x
1
1
x
y
D
entra em x = y2
sai em x = 1
1
1
−1
Temos W = {(x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ D e 0 ≤ z ≤ 1− x} e Dxy :
?
−1 ≤ y ≤ 1
y
2 ≤ x ≤ 1
. Portanto
temos:
V (W ) =
???
W
dV =
??
Dxy
?
1−x
0
dzdxdy =
??
Dxy
(1− x) dxdy =
=
?
1
−1
?
1
y2
(1− x) dxdy =
?
1
−1
?
x−
x
2
2
?1
y2
dy =
?
1
−1
??
1−
1
2
?
−
?
y
2
−
y
4
2
??
dy =
=
?
1
−1
?
1
2
− y
2
+
y
4
2
?
dy =
?
1
2
y −
y
3
3
+
y
5
10
?1
−1
= 2
?
1
2
−
1
3
+
1
10
?
=
= 2 ·
15− 10 + 3
30
=
8
15
u.v.
b) O esboc¸o do so´lido W esta´ representado na figura que se segue.
5. Use a integral tripla para encontrar o volume do so´lido W dado por
(a) W limitado pela superf´ıciex = y2 e os planos z = 0 e x+ z = 1.
(b) W limitado pelos planos z + y = 8, z − y = 8, x = 0, x = 4 e z = 0.
x
y
z
W
D
plano z − y = 8
plano z + y = 8
8
8
−8
4
x
z
D
8
4
Projetando W sobre o plano xz temos o retaˆngulo Dxz :
?
0 ≤ x ≤ 4
0 ≤ z ≤ 8
. A reta que passa por
(x, z) ∈ D e e´ paralela ao eixo y entra em W em y = z − 8 e sai de W em y = 8 − z. Enta˜o
z − 8 ≤ y ≤ 8− z. Portanto temos:
V (W ) =
???
W
dV =
??
Dxz
?
8−z
z−8
dydxdz =
??
Dxz
(8− z − z + 8) dxdz =
= 2
??
Dxz
(8− z) dxdz = 2
?
4
0
?
8
0
(8− z) dzdx = 2
?
4
0
?
8z −
z
2
2
?8
0
dx =
= 2
?
4
0
(64− 32) dx = 2 · 32
?
4
0
dx = 64 · 4 = 256 u.v.
6. Calcule a massa do so´lido W no primeiro octante, limitado por y = x2, y = 9, z = 0, x = 0 e
y + z = 9, sendo a densidade dada por δ(x, y, z) = x.
Soluc¸a˜o: Esboc¸ando o cilindro y = x2 e o plano y + z = 9 vemos que A = (3, 9, 0) e B = (0, 0, 9)
sa˜o pontos comuns. Ligando-os temos a curva intersec¸a˜o. Considerando que W e´ limitado pelos
planos x = 0 e z = 0, temos o esboc¸o de W e a sua projec¸a˜o D sobre o plano xy na figura que se
segue.
x
y
z
W
Dplano z = 0
plano y + z = 9
cilindro y = x2
entra em z = 0
sai em z = 9− y
3
9
9
x
y
D
entra em y = x2
sai em y = 9
3
9
A reta que passa por (x, y) ∈ D e e´ paralela ao eixo z entra em W em z = 0 e sai de W em
z = 9− y. Enta˜o, 0 ≤ z ≤ 9− y. Logo, W = {(x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ D e 0 ≤ z ≤ 9− y} onde
Dxy :
?
0 ≤ x ≤ 3
x
2 ≤ y ≤ 9
. A massa de W e´ dada por
M =
???
W
δ(x, y, z) dV =
???
W
x dV =
??
D
?
9−y
0
x dzdxdy =
=
??
D
x(9− y) dxdy =
?
3
0
x
?
9
x2
(9− y) dydx =
?
3
0
x
?
9y −
y
2
2
?9
x2
dx =
=
?
3
0
x
??
81−
81
2
?
−
?
9x
2
−
x
4
2
??
dx =
?
3
0
x
?
81
2
− 9x
2
+
x
4
2
?
dx =
=
?
3
0
?
81x
2
− 9x
3
+
x
5
2
?
dx =
?
81x2
4
−
9x4
4
+
x
6
12
?3
0
=
=
81 · 9
4
−
9 · 81
4
+
36
12
=
35
4
=
243
4
u.m.
7. Seja W um so´lido limitado pelo cilindro x2 + y2 = 1, com z ≤ 0 e pelos planos y = z e z = 0, com
func¸a˜o densidade δ(x, y, z) = y. Calcule a massa de W .
Soluc¸a˜o: Esboc¸ando o cilindro x2+ y2 = 1, com z ≥ 0 e o plano y = z vemos que A = (1, 0, 0),
B = (0, 1, 1) e C = (−1, 0, 0) sa˜o comuns a`s superf´ıcies. Ligando-os temos a curva intersec¸a˜o.
Considerando que W e´ limitado pelo plano z = 0, temos o so´lido W e a sua projec¸a˜o D sobre o
plano xy representado na figura que se segue.
x
y
z
W
A
B
C
D (x, y)
entra em z = 0
sai em z = y
1
1
1
x
y
D
−1 1
1
A reta que passa por (x, y) ∈ D e e´ paralela ao eixo z entra em W em z = 0 e sai de W em z = y.
Logo, 0 ≤ z ≤ y. Assim, W = {(x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ D : x2 + y2 ≤ 1 , y ≥ 0 e 0 ≤ z ≤ y}.
Enta˜o:
M =
???
W
δ(x, y, z) dV =
???
W
y dV =
??
D
?
y
0
y dzdxdy =
=
??
D
y · y dxdy =
??
D
y
2
dxdy .
Pasando para coordenadas polares temos y = r sen θ, dxdy = rdrdθ e Drθ :
?
0 ≤ r ≤ 1
0 ≤ θ ≤ π
. Enta˜o:
M =
??
Drθ
r
2
sen
2
θr drdθ =
??
Drθ
r
3
sen
2
θ drdθ =
=
?
1
0
r
3
?
π
0
sen
2
θ dθdr =
1
2
?
θ −
sen 2θ
2
?π
0
?
1
0
r
3
dr =
=
π
2
?
r
4
4
?1
0
=
π
8
u.m.
8. Seja a integral iterada
I =
? 1
0
? 0
−1
? y2
0
dz dy dx
(a) Esboce o so´lido W cujo volume e´ dado pela integral I .
(b) Escreva pelo menos outras duas integrais iteradas que sejam iguais a` integral I .
Soluc¸a˜o:
a) Temos que
I =
???
W
dxdydz
com
W =
?
(x, y, z) ∈ R3; (x, y) ∈ Dxy e 0 ≤ z ≤ y2
?
onde
Dxy =
?
(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ 1 e − 1 ≤ y ≤ 0
?
.
O esboc¸o de Dxy, que representa a projec¸a˜o do so´lido W no plano xy esta´ representado na figura
que se segue.
x
y
Dxy
−1
1
x
y
z
Dxy
−1
1
Consideremos a porc¸a˜o da superf´ıcie z = y2, dita cilindro parabo´lico, que se projeta em Dxy. Consi-
derando que z varia de 0 a y2, obtemos o esboc¸o de W na figura que se segue.
x
y
z
W
−1
1
b) Como Dxy e´ um retaˆngulo enta˜o
I =
? 0
−1
? 1
0
? y2
0
dzdxdy .
Projetando W sobre o plano yz, encontramos Dyz que e´ esboc¸ado na figura que se segue.
y
z
Dyz
Sai em z = y2
Entra em z = 0
−1
z
y
Dyz
Sai em y = √z
Entra em y = −1
−1
Temos
Dyz =
?
(y, z); −1 ≤ y ≤ 0 , 0 ≤ z ≤ y2
?
ou
Dyz =
?
(y, z); 0 ≤ z ≤ 1 ,−1 ≤ y ≤
√
z
?
.
Considerando um ponto P = (x, y, z) no interior de W e uma reta paralela ao eixo x, passando por
P , orientada no sentido do crescimento de x, vemos que ela entra em W em x = 0 e sai de W em
x = 1. Enta˜o 0 ≤ x ≤ 1. Assim,
W =
?
(x, y, z) ∈ R3; (y, z) ∈ Dyz e 0 ≤ x ≤ 1
?
.
Logo
I =
??
Dyz
? 1
0
dxdydz .
portanto
I =
? 0
−1
? y2
0
? 1
0
dxdzdy
ou
I =
? 1
0
?
√z
−1
? 1
0
dxdydz .
Finalmente, projetando W sobre o plano xz encontramos o quadrado Dxz na figura que se segue.
x
z
Dxz
1
1
Considerando um ponto P = (x, y, z) no interior deW e por P uma reta paralela ao eixo y, orientada
no sentido do crescimento de y, vemos que ela entra em W em y = −1 e sai de W em y = √z .
Logo, −1 ≤ y ≤ √z . Enta˜o,
W =
?
(x, y, z) ∈ R3; (x, z) ∈ Dxz e − 1 ≤ y ≤
√
z
?
.
Logo
I =
??
Dxz
?
√z
−1
dydxdz .
portanto
I =
? 1
0
? 1
0
?
√z
−1
dydxdz
ou
I =
? 1
0
? 1
0
?
√z
−1
dydzdx .
9. Seja o so´lido W limitado pelas superf´ıcies x2 + y2 = 1, z + y = 2 e z = 0.
(a) Esboce W .
(b) Calcule a masssa de W , supondo que a densidade em (x, y, z) e´ dada por δ(x, y, z) = z.
Soluc¸a˜o:
a) Inicialmente, trac¸amos o cilindro x2+y2 = 1. Em seguida, trac¸amos no plano yz, a reta y+z = 2,
que intercepta o cilindro em A e B. Pelo ponto C = (0, 0, 2) da reta, trac¸amos uma paralela ao eixo
x, que intercepta o cilindro em D e E. Ligando os pontos A, B, D e E, obtemos a curva intersec¸a˜o
do cilindro com o plano. Assim, temos o so´lido W .
x y
z
W A
B
CD
E
Dxy
z = 0
z = 2− y
−1
11 2
2
b) Temos
W =
?
(x, y, z); (x, y) ∈ Dxy , 0 ≤ z ≤ 2 − y
?
ondeD xy e´ dado por Dxy : x2 + y2 ≤ 1. Temos,
M =
???
W
δ(x, y, z) dV =
???
W
z dV =
??
Dxy
?
? 2− y
0
z dz
?
dxdy =
=
??
Dxy
?z2
2
?2−y
0
dxdy = 12
??
Dxy
(4− 4y + y2) dy .
Aplicando coordenadas polares, temos,



x = r cos θ
y = r sen θ
dxdy = rdrdθ
e Drθ :
?
0 ≤ r ≤ 1
0 ≤ θ ≤ 2π . Enta˜o,
M = 12
??
Drθ
(4− 4r sen θ + r2 sen2 θ) r drdθ =
= 12
? 2π
0
? 1
0
(4r − 4r2 sen θ + r3 sen2 θ) drdθ =
= 12
? 2π
0
?
2r2 − 4r
3
3 sen θ +
r4
4 sen
2 θ
?1
0
dθ =
= 12
? 2π
0
?
2− 43 sen θ +
1
4 sen
2 θ
?
dθ =
= 12
?
2θ + 43 cos θ +
1
4 ·
1
2
?
θ − sen 2θ2
??2π
0
=
= 12
?
4π + π4
?
= 17π8 u.m.
10. Calcule a massa do so´lido W limitado pelos planos x = 0, y = 0, z = 0, y+ z = 1 e x+ z = 1, sendo
a densidade δ(x, y, z) = z.
Soluc¸a˜o:
Esboc¸o do so´lido W
Para esboc¸ar o plano y + z = 1, trac¸amos inicialmente a reta y + z = 1 no plano yz. Como
a equac¸a˜o na˜o depende da varia´vel x enta˜o por pontos da reta trac¸amos retas paralelas ao eixo x.
Analogamente, esboc¸amos o plano x+z =1. Observemos que os pontos A = (0, 0, 1) e B = (1, 1, 0)
sa˜o comuns aos dois planos. Ligando-os por uma reta, obtemos a curva intersec¸a˜o. Considerando
que W e´ limitado pelos planos coordenados, temos assim o esboc¸o na figura que se segue.
x
y
z
W
Dxz
A
B
sai em y = 1− z
entra em y = 0
1
1
1
x
z
Dxz
sai em z = 1− x
entra em z = 0
1
1
Devemos projetar W no plano xz ou no plano yz, pois para projetar W no plano xy devemos dividir
W em duas partes, usando o plano y = x. Enta˜o, projetemos W no plano xz. Imaginando atrave´s
de W uma reta paralela ao eixo y, orientada como o eixo y, vemos que ela entra em W em y = 0 e
sai de W em y = 1− z. Portanto:
W :
?
(x, y, z) ∈ R3; (x, z) ∈ Dxz e 0 ≤ y≤ 1− z
?
com Dxz :
?
0 ≤ x ≤ 1
0 ≤ z ≤ 1− x . A massa M do so´lido W e´:
M =
???
W
δ(x, y, z) dV =
???
W
z dV =
??
Dxz
z
? 1−z
0
dydxdz =
=
??
Dxz
z(1 − z) dxdz =
??
Dxz
?
z − z2
?
dxdz =
? 1
0
? 1−x
0
?
z − z2
?
dz =
=
? 1
0
?z2
2 −
z3
3
?1−x
0
dx =
? 1
0
? (1 − x)2
2 −
(1− x)3
3
?
dx .
Fazendo u = 1− x temos dx = −du. Para x = 0 temos u = 1 e para x = 1 temos u = 0. Enta˜o,
M =
? 0
1
?u2
2 −
u3
3
?
(−du) = −
? 0
1
?u2
2 −
u3
3
?
du =
? 1
0
?u2
2 −
u3
3
?
du =
=
?u3
6 −
u4
12
?1
0
= 16 −
1
12 =
1
12 u.m.
11. Use uma integral tripla para encontrar o volume do so´lido no primeiro octante, limitado pelos gra´ficos
das equac¸o˜es y2 + z2 = 4, x+ y = 2, z = 0, y = 0 e x = 0.
Soluc¸a˜o:
Esboc¸o da superf´ıcie y2 + z2 = 4 (cilindro circular) com x, y, z ≥ 0
No plano yz trac¸amos o arco da circunfereˆncia y2 + z2 = 4 com y ≥ 0 e z ≥ 0. Como esta equac¸a˜o
na˜o depende da varia´vel x, enta˜o por pontos do arco tracemos semirretas paralelas ao eixo x, com
x ≥ 0.
x
y
z
2
2
Esboc¸o da superf´ıcie x+ y = 2 (plano) com x, y, z ≥ 0
No plano xy trac¸amos a reta x + y = 2 com x ≥ 0 e y ≥ 0. Como esta equac¸a˜o na˜o depende da
varia´vel z, enta˜o por pontos dos segmentos da reta tracemos paralelas ao eixo z, com z ≥ 0.
x
y
z
2
2
Esboc¸o do so´lido W
Observemos que o ponto A = (2, 0, 2) e B = (0, 2, 0) sa˜o comuns a`s duas superf´ıcies. Ligando-os
por uma curva temos a intersec¸a˜o. Considerando que o so´lido e´ tambe´m limitado pelos planos x = 0,
y = 0 e z = 0, temos o esboc¸o de W na figura que se segue.
x
y
z
sai em x = 2− y
entra em x = 0
2
2
2
W
A
B
Temos que:
V (W ) =
???
W
dV .
Para calcular a integral, vamos projetar o so´lido no plano yz.
y
z
y2 + z2 = 4
Dyz
2
2
Imaginemos uma reta paralela ao eixo x atrave´s de W , orientada como o eixo x. Vemos que ela
entra em W em x = 0 e sai de W em x = 2− y. Enta˜o temos:
W :
?
(x, y, z) ∈ R3; (y, z) ∈ Dyz e 0 ≤ x ≤ 2− y
?
.
Assim,
V (W ) =
??
Dyz
? 2−y
0
dxdydz =
??
Dyz
(2− y)dydz .
Calculemos a integral utilizando coordenadas polares.







y = r cosθ
z = r sen θ
dydz = r drdθ
y2 + z2 = r2
e Drθ :
?
0 ≤ r ≤ 2
0 ≤ θ ≤ π/2 . Enta˜o,
V (W ) =
??
Drθ
(2− r cos θ) r drdθ =
? π/2
0
? 2
0
?
2r − r2 cos θ
?
drdθ =
=
? π/2
0
?
r2 − r
3
3 cos θ
?2
0
dθ =
? π/2
0
?
4− 83 cos θ
?
dθ =
=
?
4θ − 83 sen θ
?π/2
0
=
?
2π − 83
?
u.v.
Soluc¸a˜o: Primeiramente, esboc¸amos o cilindro parabo´lico y = x2 − 1. Em seguida, desenhamos
o plano bissetor z = −y, destacando alguns pontos comuns: A = (0,−1, 1), B = (1, 0, 0) e
C = (−1, 0, 0). Ligamos esses pontos por uma curva que representa a intersec¸a˜o das duas superf´ıcies.
Considerando que o so´lido e´ limitado pelo plano z = 0, temos o so´lido W representado na figura que
se segue.
x
y
z
W
z = −y
z = 0
A
B
C
−1 −1
1
1
x
y
y = 0
y = x2 − 1
Dxy
−1
−1 1
12. Calcule o volume do so´lido W limitado pelas superf´ıcies z =−y, y = x2 − 1 e z = 0.
Projetando W sobre o plano xy, encontramos a regia˜o Dxy :
?
−1 ≤ x ≤ 1
x2 − 1 ≤ y ≤ 0
. Por um ponto
(x, y, z) no interior de W , trac¸amos uma reta paralela ao eixo z. Essa reta intercepta a fronteira
inferior de W no plano xy onde z = 0 e intercepta a fronteira superior no plano z = −y. Logo,
0 ≤ z ≤ −y. Assim,
W = {(x, y, z); (x, y) ∈ Dxy , 0 ≤ z ≤ −y} .
Enta˜o,
V (W ) =
???
W
dV =
??
Dxy
?
−y
0
dzdxdy =
??
Dxy
(−y) dxdy =
= −
? 1
−1
? 0
x2−1
y dydx = −
? 1
−1
?y2
2
?0
x2−1
dx = 12
? 1
−1
?
x2 − 1
?2 dx =
= 12
? 1
−1
?
x4 − 2x2 + 1
?
dx = 12
?x5
5 −
2x3
3 + x
?1
−1
= 12
?2
5 −
4
3 + 2
?
= 815 u.v.
13. Calcule
???
W
24z dx dy dz, onde W e´ o so´lido limitado por x + y + z = 2, x = 0 , y = 0, z = 0 e
z = 1.
Soluc¸a˜o: Em primeiro lugar, trac¸amos o plano x+y+z = 2 e em seguida esboc¸amos o plano z = 1.
Considerando que W e´ limitado pelos planos x = 0 e y = 0, temos o esboc¸o de W na figura que se
segue.
x
y
z
W
y = 0
y = 2− x− z
1
2
2
2
x
z
Dxzx = 0
x+ z = 2
x = 2− z
1
1 2
2
Projetando W sobre o plano xz temos a regia˜o Dxz :
?
0 ≤ z ≤ 1
0 ≤ x ≤ 2− z
. Considerando uma paralela
ao eixo y por um ponto (x, y, z) no interior de W , vemos que essa paralela intercepta a fronteira
de W no plano xz onde y = 0 e depois no plano x + y + z = 2 onde y = 2 − x − z. Logo,
0 ≤ y ≤ 2− x− z. Assim,
W = {(x, y, z); (x, z) ∈ Dxz e 0 ≤ y ≤ 2− x − z} .
Enta˜o,
???
W
24z dV = 24
??
Dxz
? 2−x−z
0
z dydxdz = 24
??
Dxz
z(2 −x − z)dxdz =
= 24
? 1
0
? 2−z
0
?
2z − xz − z2
?
dxdz = 24
? 1
0
?
2zx− x
2z
2 − z
2x
?2−z
0
dz =
= 24
? 1
0
?
2z(2− z) − (2 − z)
2z
2 − z
2(2− z)
?
dz =
= 24
? 1
0
?
4z − 2z2 − 4z − 4z
2 + z3
2 − 2z
2 + z3
?
dz =
= 12
? 1
0
?
8z − 4z2 − 4z + 4z2 − z3 − 4z2 + 2z3
?
dz =
= 12
? 1
0
?
4z − 4z2 + z3
?
dz = 12
?
2z2 − 4z
3
3 +
z4
4
?1
0
=
= 12
?
2 − 43 +
1
4
?
= 11 .
14. Encontre a massa total do so´lido W limitado pelos gra´ficos das equac¸o˜es z = 4 − x, z = 0, y = 0,
x = 0 e y = 4, sendo a densidade δ(x, y, z) = kx, onde k > 0 e´ uma constante.
Soluc¸a˜o:
Esboc¸o do so´lido W
No plano xz esboc¸amos a reta x+ z = 4. Como esta equac¸a˜o na˜o depende da varia´vel y, enta˜o por
pontos da reta trac¸amos retas paralelas ao eixo y.
x
y
z
4
4
Considerando que W e´ tambe´m limitado pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e y = 4 temos o so´lido
W na figura que se segue.
x
y
z
sai em z = 4− x
entra em z = 0
4
4
4
W
A massa de W e´ dada por
M =
???
W
δ(x, y, z) dV = k
???
W
x dV .
Para calcular a integral, devemos projetar W sobre algum plano coordenado. Vamos projetar W no
plano xy. Encontramos o quadrado Dxy :
?
0 ≤ x ≤ 4
0 ≤ y ≤ 4 . Imaginando uma reta paralela ao eixo
z, atrave´s de W , orientada como o eixo z, vemos que ela entra em W em z = 0 e sai de W em
z = 4− x. Enta˜o,
W :
?
(x, y, z) ∈ R3; (x, y) ∈ Dxy e 0 ≤ z ≤ 4− x
?
.
Assim,
M = k
??
Dxy
? 4−x
0
x dzdxdy = k
??
Dxy
x(4− x) dxdy =
= k
? 4
0
? 4
0
?
4x− x2
?
dxdy = k
? 4
0
?
2x2 − x
3
3
?4
0
dy = 32k3
? 4
0
dy =
= 128k3 u.m.
15. Seja W um so´lido limitado pelas superf´ıcies z = y2, z = 2− y2, x = 0 e x+ z = 4.
(a) Esboce W .
(b) Calcule o volume de W .
Soluc¸a˜o:
a) Inicialmente, encontremos os pontos de intersec¸a˜o das duas para´bolas:
?
z = y2
z = 2 − y2 ⇔ y
2 = 2− y2 ⇔ 2y2 = 2 ⇔ y = ±1 .
Por pontosdas para´bolas trac¸amos paralelas ao eixo x (por exemplo, (0, 0, 2), (0, 0, 0), (0,−1, 1) e
(0, 1, 1)).
No plano xz, trac¸amos a reta x + z = 4, que intercepta as superf´ıcies anteriores em A e B. Por
(0, 0, 1), trac¸amos uma paralela ao eixo x, que intercepta a reta emC. Por C, trac¸amos uma paralela
ao eixo y, que intercepta as superf´ıcies anteriores em D e E. Ligando A, E, B e D por uma curva
fechada, obtemos o so´lido W .
x
y
z
x = 0
x = 4− z
A
B = (4, 0, 0)
CD
E
(0, 0, 2)
(0, 0, 1) W
4
b) Projetando W sobre o plano yz encontramos Dyz.
y
z
z = 2− y2
z = y2
1
2
Enta˜o descrevemos W por:
W =
?
(x, y, z); (y, z) ∈ Dyz e 0 ≤ x ≤ 4− z
?
.
Temos,
V (W ) =
???
W
dxdydz =
??
Dyz
?
? 4−z
0
dx
?
dydz =
??
Dyz
(4− z) dydz =
=
? 1
−1
? 2−y2
y2
(4− z) dzdy =
? 1
−1
?
4z − z
2
2
?2−y2
y2
dy = 12
? 1
−1
?
8z − z2
?2−y2
y2
dy =
= 12
? 1
−1
?
?
16− 8y2 − 4 + 4y2 − y4
?
−
?
8y2 − y4
?
?
dy =
= 12
? 1
−1
(12− 12y2) dy = 12
?
12y − 4y3
?1
−1
= 12 · 2(12− 4) = 8 u.v.
16. Seja W o so´lido limitado pelas super´ıcies z + x2 = 4, y + z = 4, y = 0 e z = 0.
(a) Esboce W
(b) Calcule, por integral tripla, o volume do so´lido W .
Soluc¸a˜o:
a) Para esboc¸ar a superf´ıcie z + x2 = 4 (dita cilindro parabo´lico), trac¸amos no plano y = 0, a
para´bola z = 4− x2. Como a equac¸a˜o na˜o conte´m a varia´vel y, enta˜o por pontos da para´bola (por
exemplo A = (0, 0, 4), (2, 0,0) e (−2, 0, 0)) trac¸amos paralelas ao eixo y.
No plano x = 0, trac¸amos a reta y + z = 4, que intercepta o cilindro em A = (0, 0, 4).
Para esboc¸ar o plano, devemos trac¸ar paralelas ao eixo x, por pontos da reta. Em particular, por
(0, 4, 0). Esta paralela intercepta o cilindro nos pontos B e C. A curva que passa por B, A e C
x
y
z
A = (0, 0, 4)
B
C(−2, 0, 0)
(2, 0, 0) (0, 4, 0)
W
y = 0
y = 4− z
representa a curva intersec¸a˜o do plano com o cilindro. Considerando os planos y = 0 e z = 0, temos
o esboc¸o de W .
b) Temos V (W ) =
???
W
dxdydz, onde W pode ser descrito por:
W =
?
(x, y, z); (x, z) ∈ Dxz e 0 ≤ y ≤ 4− z
?
onde
Dxz =
?
(x, z) ∈ R2; −2 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ z ≤ 4− x2
?
.
x
z
z = 0
z = 4− x2
−2 2
4
Enta˜o,
V (W ) =
??
Dxz
?
? 4−z
0
dy
?
dxdz =
??
Dxz
(4− z) dxdz =
=
? 2
−2
? 4−x2
0
(4− z) dzdx =
? 2
−2
?
4z − z
2
2
?4−x2
0
dx =
= 12
? 2
−2
?
32− 8x2 − 16 + 8x2 − x4
?
dx = 12
? 2
−2
?
16− x4
?
dx =
= 12
?
16x− x
5
5
?2
−2
= 12 · 2
?
32− 325
?
= 1285 u.v.