Alguns modelos probabilisticos para v.a.'s discretas

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Estat´ıstica
Campus Universita´rio Darcy Ribeiro, Pre´dio de Cieˆncia da Computac¸a˜o e Estat´ıstica - CIC/EST, CEP:70910-900 - Bras´ılia/DF
Probabilidade e Estat´ıstica
Roberto Vila
06/09/2017
1 Alguns modelos probabil´ısticos para v.a.’s discretas (conti-
nuac¸a˜o)
1.1 Distribuic¸a˜o Geome´trica.
Considere a repetic¸a˜o de ensaios de Bernoulli independentes e todos com a mesma probabilidade de
sucesso p ∈ (0, 1). Uma v.a. X ≈ nu´mero de fracassos necessa´rios para obter o primeiro sucesso
∈ {0, 1, 2, . . .} tem distribuic¸a˜o geome´trica (notac¸a˜o, X ∼ Geo(p)) de paraˆmetro p ∈ (0, 1) se sua
func¸a˜o de probabilidade e´ dada por
pX(x) =
{
p(1− p)x, se x ∈ {0, 1, 2, . . .}
0, caso contra´rio.
(1)
Uma definic¸a˜o alternativa de distribuic¸a˜o geome´trica e´ a seguinte: uma v.a. X ≈ nu´mero
de provas necessa´rias para obter o primeiro sucesso ∈ {1, 2, 3, . . .} tem distribuic¸a˜o geome´trica
(notac¸a˜o, X ∼ Geo(p)) de paraˆmetro p ∈ (0, 1) se sua func¸a˜o de probabilidade e´
pX(x) =
{
p(1− p)x−1, se x ∈ {1, 2, 3, . . .}
0, caso contra´rio.
(2)
Em conclusa˜o, uma v.a. X ∼ Geo(p) se relaciona a uma sequeˆncia de provas de Bernoulli, exceto
pelo fato de que o nu´mero de provas na˜o e´ fixo.
Proposic¸a˜o 1.1. Se X ∼ Geo(p) e q = 1− p, segundo a definic¸a˜o (1), enta˜o
E(X) =
q
p
e var(X) =
q
p2
.
Observac¸a˜o 1.2. Quando X ∼ Geo(p) e q = 1− p, segundo a definic¸a˜o (2), temos que
E(X) =
1
p
e var(X) =
q
p2
.
Logo, as caracter´ısticas descritivas de uma v.a. X ∼ Geo(p) depende do tipo de definic¸o˜es (1) ou (2)
que se esteja considerando.
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Exemplo 1.3. Suponha que uma linha de produc¸a˜o e´ interrompida toda vez que uma pec¸a defeituosa
e´ observada. Assumindo que p e´ a probabilidade da pec¸a ser defeituosa, determine a probabilidade
de que exatamente k pec¸as boas sejam produzidas antes da 1a pec¸a defeituosa aparecer. Rpta. =
p(1− p)k, k = 0, 1, 2, . . . .
1.2 Distribuic¸a˜o Hipergeome´trica
A distribuic¸a˜o Hipergeome´trica descreve o nu´mero de sucessos em uma sequeˆncia de n amostras
de uma populac¸a˜o finita sem reposic¸a˜o.
Dada uma populac¸a˜o de N itens, selecione uma amostra de tamanho n, sem reposic¸a˜o, e considere
o conjunto Q = {itens que pertencem a uma classe de interesse} onde D = #Q(6 N) denota sua
respectiva cardinalidade. Suponha que dentre os N itens existam D itens em Q. Estamos interessados
em estudar a distribuic¸a˜o da seguinte v.a.:
X ≈ nu´mero de itens (na amostra) que pertencem a Q. (3)
Pelo Principio da Multiplicac¸a˜o (P.M.), a distribuic¸a˜o de X e´:
pX(x) =

(
D
x
)(
N −D
n− x
)
(
N
n
) , se x ∈ {0, 1, 2, . . . ,min{n,D}}
0, caso contra´rio.
(4)
A v.a. X definida em (3) tem Distribuic¸a˜o Hipergeome´trica (notac¸a˜o, X ∼ hip(N,D, n)) se ela
possui f.p. pX definida por (4).
Teorema 1.4. Se X ∼ hip(N,D, n), enta˜o
E(X) = D(
n
N
) e var(X) = D(
n
N
)(1− D
N
)(
N − n
N − 1 ) = E(X) · (1−
D
N
)(
N − n
N − 1 ).
Exemplo 1.5. Suponha que em um lote de N = 100 pec¸as, D = 10 sejam defeituosas. Aleatoriamente
escolhemos 5 pec¸as sem reposic¸a˜o, qual e´ a probabilidade de obter pelo menos uma pec¸a defeituosa?
Rpta. = 0, 426.
Observac¸a˜o 1.6. Seja a v.a. X definida em (3). Se a amostragem aleato´ria fosse com reposic¸a˜o,
note que X ∼ bin(n,D/N).
1.3 Distribuic¸a˜o de Poisson
A Distribuic¸a˜o de Poisson e´ utilizada quando se quer contar o nu´mero de eventos de certo tipo
que ocorrem em um intervalo de tempo. Por exemplo:
a) nu´mero de chamadas telefoˆnicas recebidas durante 10 minutos;
b) nu´mero de falhas de um computador em 3 dias de operac¸a˜o;
c) nu´mero de acidentes relatados a uma companhia de seguros durante um meˆs.
A Distribuic¸a˜o de Poisson e´ uma das distribuic¸o˜es discretas mais u´teis.
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Definic¸a˜o 1.7 (Distribuic¸a˜o de Poisson). Uma v.a. X ∈ {0, 1, 2, . . .} tem Distribuic¸a˜o de Poisson
com paraˆmetro λ > 0 (notac¸a˜o, X ∼ Poisson(λ)), se sua f.p. e´ dada por
pX(x) =
{
e−λλx
x!
, x ∈ {0, 1, 2, . . .}
0, caso contra´rio,
onde λ e´ a taxa de ocorreˆncia.
Teorema 1.8. Se X ∼ Poisson(λ), enta˜o E(X) = λ = var(X).
Exemplo 1.9. Um telefone recebe, em me´dia, 5 chamadas por minuto.
1. Obter a probabilidade de que o telefone na˜o receba chamadas durante um intervalo de 1 minuto.
Rpta. = 0, 0067.
2. Obter a probabilidade de obter no ma´ximo 2 chamadas em 4 minutos. Rpta. = 221e−20 ≈ 0.
2 Desenvolvimento da Distribuic¸a˜o de Poisson a partir da Bi-
nomial
Ideia principal : Poisson(np) ≈ bin(n, p), quando n→∞, p ∈ (0, 1).
lim
n→∞(1−
λ
n
)n = e−λ, λ > 0. (5)
λ = np⇒ p = λ/n e 1− p = 1− λ/n = (n− λ)/n. (6)
Suponha que X ∼ bin(n, p), enta˜o
lim
n→∞ pX(k) = limn→∞
n!
k!(n− k)!p
k(1− p)n−k
(6)
= lim
n→∞
n(n− 1)(n− 2) · · · (n− k + 1)
k!
(
λ
n
)k(
n− λ
n
)n−k
= lim
n→∞
λk
k!
· n(n− 1)(n− 2) · · · (n− k + 1)
nk
(
n− λ
n
)n(
n− λ
n
)−k
=
λk
k!
· lim
n→∞
{
(1)(1− 1
n
)(1− 2
n
) · · · (1− (k − 1)
n
)
}
(1− λ
n
)n(1− λ
n
)−k
=
λk
k!
· lim
n→∞
{
(1)(1− 1
n
)(1− 2
n
) · · · (1− (k − 1)
n
)
}
lim
n→∞(1−
λ
n
)n lim
n→∞(1−
λ
n
)−k
(5)
=
e−λλk
k!
= pY (k), onde Y ∼ Poisson(np).
A rigor, no limite acima, se esta´ fazendo n → ∞ e p → 0 (em geral, p < 1/10), de tal modo que
np = λ permanec¸a fixo.
Observac¸a˜o 2.1. Quanto menor o valor de p e maior o valor de n, melhor a aproximac¸a˜o.
Exemplo 2.2. Em um lote de n = 4000 pec¸as, a probabilidade de que uma pec¸a particular seja
defeituosa e´ p = 1/1000. Qual e´ a probabilidade de selecionar na˜o mais de 6 pec¸as defeituosas?
Rpta. = 889/1000.
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