RELATÓRIO III CRÉDITO DE PROB. E ESTATISTICA (FINAL)

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ
DEPARTAMENDO DE CIÊNCIA EXATAS E TECNOLÓGICAS
ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
III CRÉDITO – ANALISE DE CORREÇÃO LINEAR SIMPLES 
ANANDA KAYALA CERQUEIRA (201411632)
JOADSON DE JESUSNOLIVEIRA (201410796)
ILHÉUS-BAHIA
2015
ANANDA KAYALA CERQUEIRA (201411632)
JOADSON DE JESUS OLIVEIRA (201410796)
 III CRÉDITO – ANALISE DE CORREÇÃO LINEAR SIMPLES 
Relatório apresentado como parte dos critérios de avaliação da disciplina CET173 – PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA. Turma T06. 
Professor: Sergio Jose Ribeiro Oliveira 
ILHÉUS-BAHIA
2015
INTRODUÇÃO
Devido à necessidade de se realizar inspeções, com o intuito de verificar problemas de ordem visuais ou musculoesqueléticos, que em sua maioria são relacionados ao uso de alguns terminais de exibição visual VTDs. Tomando como ponto de partida o fato de que a direção vertical do olhar de alguns pesquisadores esteja diretamente associada á Área de Superfície Ocular – ASO. Para tanto se fez necessário realizar uma coleta de dados, com o objetivo de verificar a relação existente entre ASO – Y – X, onde serão analisados em função da largura horizontal da abertura do olho, que por sua vez é dado em cm. 
Posteriormente, realizou-se um relatório técnico, com os cálculos pertinentes para a obtenção do resultado experimental. Aplicou-se os teste de coeficiente de correlação, modelo de regressão, efetuou-se os cálculos de estimativas dos 17 pares de dados, de acordo com o modelos construído e disponibilizado. O diagrama de dispersão, assim como o gráfico contendo a linha de tenência do modelo, com o coeficiente de terminação e também o valor ajustado estão dispostos neste relatório.
RESULTADOS E DISCUSSÃO 
A análise de correlação linear simples é estudo da associação entre duas variáveis, sendo possível saber se elas se comportam como uma função onde ao variar uma a outra também sofrerá variação significativa. Podendo dessa forma estimar o ASO através de outro dado obtido, como por exemplo a largura da fissura da pálpebra.
Para uma cerificação da correlação entre o ASO, dado em centímetros quadrados e representado por ‘y’, e largura da fissura da pálpebra, dada em centímetros e representado por ‘x’, foram coletados os seguintes dados:
Tabela 1 - Dados amostrais obtidos por observação.
	n
	X
	Y
	1
	0,96
	1,03
	2
	0,87
	0,93
	3
	1,05
	1,12
	4
	1,22
	1,27
	5
	1,47
	1,53
	6
	1,28
	1,33
	7
	1,29
	1,34
	8
	1,16
	1,24
	9
	0,48
	0,51
	10
	1,06
	1,13
	11
	1,19
	1,27
	12
	1,26
	1,3
	13
	1,31
	1,35
	14
	0,64
	0,66
	15
	0,4
	0,41
	16
	1,19
	1,27
	17
	1,35
	1,45
	Média
	1,069
	1,126
 Dados da pesquisa.
Com os dador obtidos, faremos os seguintes cálculos pelo método matricial de regressão linear:
Coeficiente de correlação
Usado para verificar se a relação entre as duas variáveis é alta ou baixa, utilizando as seguintes matrizes:
	1X
	
	1Y
	1
	0,96
	
	1
	1,03
	1
	0,87
	
	1
	0,93
	1
	1,05
	
	1
	1,12
	1
	1,22
	
	1
	1,27
	1
	1,47
	
	1
	1,53
	1
	1,28
	
	1
	1,33
	1
	1,29
	
	1
	1,34
	1
	1,16
	
	1
	1,24
	1
	0,48
	
	1
	0,51
	1
	1,06
	
	1
	1,13
	1
	1,19
	
	1
	1,27
	1
	1,26
	
	1
	1,3
	1
	1,31
	
	1
	1,35
	1
	0,64
	
	1
	0,66
	1
	0,4
	
	1
	0,41
	1
	1,19
	
	1
	1,27
	1
	1,35
	
	1
	1,45
Também se fazem necessárias as transpostas das matrizes. 
	1XT
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	
	0,96
	0,87
	1,05
	1,22
	1,47
	1,28
	1,29
	1,16
	0,48
	1,06
	1,19
	1,26
	1,31
	0,64
	0,4
	1,19
	1,35
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	1YT
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	
	1,03
	0,93
	1,12
	1,27
	1,53
	1,33
	1,34
	1,24
	0,51
	1,13
	1,27
	1,3
	1,35
	0,66
	0,41
	1,27
	1,45
E as matrizes quadradas, obtidas pela multiplicação das transpostas com as matrizes, são:
	(1XT)*1X
	17
	18,18
	
	18,18
	20,9604
	
	
	
	
	
	det =
	25,8144
	
	(1YT)*1Y
	17
	19,14
	
	19,14
	23,2176
	
	
	
	
	
	det =
	28,3596
	
	(1XT)*1Y
	17
	19,14
	
	18,18
	22,0574
	
	
	
	
	
	det =
	27,0106
	
A matriz necessária no calculo é:
	[(1XT)*1X]*[(1YT)*1Y]
	636,965
	747,476
	
	710,242
	834,615
E sua inversa:
	{[(1XT)*1X]*[(1YT)*1Y]}-1
	1,1401
	-1,0210
	
	-0,9702
	0,8701
	
	
	
	
	
	
	det =
	0,001366
	
	
Portanto:
Teste do coeficiente de correlação
Verifica-se a hipótese de o coeficiente de correlação sei igual e zero, não havendo correlação, através da estatística t.
Para o teste de hipótese, com t(2,5%;gl=16) = 2,131, temos:
Como t calculado é maior do que t tabelado, a hipótese de que r seja igual a zero é rejeitada. Tendo que o coeficiente de correlação é positivo, há uma relação de proporção direta entre as variáveis, ou seja, o crescimento de uma gera crescimento na outra.
Regressão linear
Análise da relação entre as variáveis através da construção de um modelo gráfico de equação de 1º grau. Para tal, é usado o método dos mínimos quadrados para a obtenção da equação de obtenção dos coeficientes da equação, conforme a seguinte representação:
Com os coeficientes dados na matriz:
Para os cálculos utilizando matrizes, serão necessárias as matrizes 1X e 1XT resultando 1XT*1X, já mostradas anteriormente, e as matrizes:
	Y
	1,03
	0,93
	1,12
	1,27
	1,53
	1,33
	1,34
	1,24
	0,51
	1,13
	1,27
	1,3
	1,35
	0,66
	0,41
	1,27
	1,45
	[(1XT)*1X]-1
	0,8120
	-0,7043
	
	-0,7043
	0,6585
	(1XT)*Y
	19,14
	
	22,0574
Assim, os coeficientes da reta serão dados pela equação matricial:
	Θ = [((1XT)*1X)-1]*((1XT)*Y)
	0,00692
	
	1,04634
E a equação reta obtida é:
Com essa reta, temos o seguinte gráfico de dispersão:
Figura 1 - Diagrama de dispersão dos dados amostrais e reta de regressão linear
Para a verificação dos valores de Y, temos os estimadores a partir da equação da reta:
Tabela 2 - estimação da variável Y e resíduos pela comparação com os dados amostrais
	Resíduos
	Y
	Ŷ
	(Y- Ŷ)
	1,03
	1,011
	0,019
	0,93
	0,917
	0,013
	1,12
	1,106
	0,014
	1,27
	1,283
	-0,013
	1,53
	1,545
	-0,015
	1,33
	1,346
	-0,016
	1,34
	1,357
	-0,017
	1,24
	1,221
	0,019
	0,51
	0,509
	0,001
	1,13
	1,116
	0,014
	1,27
	1,252
	0,018
	1,3
	1,325
	-0,025
	1,35
	1,378
	-0,028
	0,66
	0,677
	-0,017
	0,41
	0,425
	-0,015
	1,27
	1,252
	0,018
	1,45
	1,419
	0,031
	Soma
	 
	0
 Dados da pesquisa.
Análise de variância da regressão
Agora é necessário testar se o modelo da regressão é significativo através de própria regressão e de seus resíduos. É usado o teste F de análise de variância.
Matrizes necessárias:
	Θ T
	0,00692
	1,04634
	(Θ T)*[(1XT)*Y]
	23,2119
Com os termos e obtidos nos termos a22 e a12, respectivamente, da matriz obtida anteriormente, os valores das somas quadradas serão:
Assim:
Tabela 3 - tabela de análise de variância para a regressão linear
	Fonte de Variação
	Soma Quadrática
	Graus de Liberdade
	Média Quadrática
	F calculado
	F(1%;1;15)
	Regressão
	1,6625
	1
	1,662
	4353,844
	8,6836
	Resíduo
	0,0057
	15
	0,000
	 
	
	Total
	1,6682
	16
	 
	 
	
Dados da pesquisa.
Neste experimento, a significância do F foi confirmada, visto que o F calculado = 4353,844 é muito maior que 1%F(1;15) = 8,683.
Coeficiente de determinação
Fornece uma ideia da qualidade do ajuste do modelo aos dados, demonstrando o quanto as ariáveis se relacionam.
Com os valores obtidosdas somas quadradas, temos:
E o coeficiente ajustado:
Esse valor bastante próximo a 1 indica uma correlação ótima entre as variáveis em estudo, que pode ser observada também pela grande proximidade dos pontos da dispersão dos dados da reta da equação no gráfico apresentado.
Verificação dos coeficientes
Para melhor confiança nos resultados, é feita a verificação dos coeficientes, fornecendo um intervalo de valores que os mesmos podem apresentar. A hipótese inicial é de que os parâmetros da equação sejam iguais à zero.
Para o teste dos coeficientes, a matriz necessária é:
	var/cov
	0,00031
	-0,000269
	
	-0,000269
	0,0002515
Com ela, levando em conta que o teste t é bicaudal:
Com t(2,5%;15) = 2,131, temos que a hipótese inicial não é rejeitada para 0 mas é rejeitada para 1, havendo possibilidade de 0 possuir valor zero e não havendo de ser igual a zero.
Assim, podemos montar um intervalo de confiança para cada coeficiente. Temos então:
Resultando em:
	Intervalo dos parâmetros
	β0
	=
	0,0069157
	-0,030607
	< β0 <
	0,0444384
	β1
	=
	1,0463385
	1,0125461
	< β1 <
	1,0801309
Com 1 podendo possuir apenas valores positivos, tendo relação diretamente proporcional entre as variáveis, e 0 podendo apresentar valores positivos, negativos ou zero para a interseção com o eixo y.
CONCLUSÃO
 Com a realização de todos os cálculos e testes experimentais, conclui-se com a análise dos resultados, que neste caso existe uma correlação linear ótima entre as variáveis estudadas. Tendo em vista os testes de hipótese comprovando cada calculo de correlação, o que mostra é viável estimar o ASO através da largura da fissura da pálpebra. Foi possível também se obter o gráfico e a equação experimental que descreve essa relação, assim como já ficou expresso ao decorrer da demonstração dos resultados acima.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ABNT/INMETRO. Guia para a Expressão da Incerteza de Medição. (GUM). Terceira Edição brasileira em língua portuguesa. Rio de Janeiro: ABNT/INMETRO, 2003. 120 p. 
 
ANEXO 1 – TABELA DE DISTRIBUIÇÃO F
ANEXO 2 – TABELA DE DISTRIBUIÇÃO T