Desvio Padrão e Variância

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Medidas de dispersão
Desvio Padrão e Variância
A amplitude total é instável, por se deixar influenciar pelos valores extremos, que são, na sua maioria,
devidos ao acaso.
A Variância e o Desvio Padrão são medidas que fogem a essa instabilidade, pois levam em consideração a
totalidade dos valores das séries em estudo.
A Variância é o Desvio Padrão elevado ao quadrado. 
Quando a seqüência de dados representa uma População, a variância é denotada por σ (x) e o
desvio padrão correspondente por σ (x), onde σ significa sigma minúscula. 
Quando a seqüência de dados representa uma Amostra, a variância é denotada por s (x) e o desvio
padrão correspondente por . s (x)
Variância
Se elevarmos o di ao quadrado, obteremos nova medida de dispersão chamada de variância. Portanto,
variância é uma média aritmética calculada a partir dos quadrados dos desvios obtidos entre os dados da
série e a sua média.
1° Caso
Se a seqüência representa uma População, a variância é calculada pelas fórmulas:
Exemplo:
Calcule a variância da seqüência: X: 4, 5, 8, 5.
A seqüência contém 4 elementos (n=4) e tem por média:
2
2
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Os quadrados das diferenças di ou (xi - )
(xi - ) = (4 - 5,5) = 2,25
(xi - ) = (5 - 5,5) = 0,25
(xi - ) = (8 - 5,5) = 6,25
(xi - ) = (5 -5,5) = 0,25
Somando-se esses valores, temos: ?di = 9
Se a seqüência anterior fosse uma amostra, teríamos como fórmulas:
 
No exemplo dado, se a seqüência fosse uma série, teríamos:
Observe que a única diferença entre as fórmulas de População e Amostra é o denominador. 
Utilizaremos para a resolução dos exercícios somente as fórmulas de População.
2° Caso
Na seqüência sem intervalos de classe, multiplicamos a somatória do di com a somatória de Fi.  Assim:
2 2
1
2 2
2
2 2
3
2 2
4
2 2
2
2
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Lembrando que neste caso xi é a variável da seqüência.
Exemplo: Calcule a variância da série abaixo, representativa de uma população.
xi Freq.(F ) xi . Fi di . F
2 3 6 8,1675
3 5 15 2,1125
4 8 32 0,98
5 4 20 7,29
∑ 20 73 18,55
Para o cálculo da média:
Para o cálculo da Variância:
 
3º caso:
Com Intervalo de classe
Para as sequências com intervalos de classe utilizaremos as mesmas fórmulas do 2º caso, porém o xi
significará o ponto médio da classe
i
2
i
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Exemplo
Seja dada a distribuição, calculemos a variância e o desvio padrão.
 
Custo F x F . x F .(d )
50 |--- 60 3 55 165 816,75
60 |--- 70 5 65 325 211,25
70 |--- 80 8 75 600 78
80 |---| 90 4 85 340 729
  ∑= 20   ∑= 1430 ∑= 1885
Logo:
Coeficiente de variação
O coeficiente de variação é uma medida de dispersão relativa. Por ser uma divisão de elementos da mesma
unidade, é um elemento puro. Portanto, pode ser expresso em percentual. É definido pela fórmula:
Exemplo:
Se uma série X apresenta = 10 e ?=2 e uma série Y representa ?=100 e ?=5, do ponto de vista da dispersão
absoluta, a série Y apresenta maior dispersão que a série X.
Porém, se aplicarmos a fórmula de coeficiente de variação, temos:
Podemos observar, comparando os valores, que X admite maior dispersão que Y, através da utilização da
fórmula.
Como a medida de dispersão relativa leva em consideração a medida de dispersão absoluta e a média da
série, é uma medida mais completa que a medida de dispersão absoluta.
i i i i i i 2
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Portanto, a medida de dispersão relativa prevalece sobre a medida de dispersão absoluta.
Pode-se afirmar que a série que tem maior dispersão relativa tem, de modo geral, a maior dispersão
Concluindo: A série Y apresenta maior dispersão absoluta e a série X apresenta maior dispersão relativa,
logo a série X apresenta maior dispersão.
REFERÊNCIA
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