Material de Apoio e exercicios para Teoria eletromagnetica lista 2 Fisica UFES

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Segunda Lista de Exercícios de Teoria Eletromagnética 
Questão 1) Encontre o campo elétrico (módulo, direção e sentido) a uma distância z acima do ponto central entre duas 
cargas iguais, q, que estão separadas por uma distância d. Verifique se o resultado é coerente com o que se espera para 
𝑧 ≫d e 𝑧 = 0. 
Questão 2) A configuração de cargas formada por duas 
cargas de mesmo módulo e sinais opostos, separadas 
por uma distância d, é chamada de dipolo elétrico. O 
campo elétrico gerado por um dipolo em uma posição 𝑟 
é a soma vetorial do campo produzido pela carga +Q, 
situada na posição 𝑟+⃗⃗ ⃗⃗ , com o campo produzido pela 
carga –Q, situada na posição 𝑟−⃗⃗⃗⃗ . 
 
(a) Partindo da equação �⃗⃗� =
1
4𝜋𝜖0
∑
𝑄𝑖(𝑟−𝑟𝑖⃗⃗⃗ ⃗)
|𝑟−𝑟𝑖⃗⃗⃗ ⃗|3
2
𝑖=1 , tomando 𝑟+⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑟−⃗⃗⃗⃗ − 𝑑, sabendo que 𝑑 ≪ (𝑟 − 𝑟−⃗⃗⃗⃗ ), demonstre a 
seguinte equação para o campo elétrico de um dipolo elétrico 
�⃗⃗�(𝑟) ≅
𝑄
4𝜋𝜖0
[
3(𝑟−𝑟−⃗⃗ ⃗⃗⃗).�⃗�
⌈𝑟−𝑟−⃗⃗ ⃗⃗⃗⌉5
(𝑟 − 𝑟−⃗⃗⃗⃗ ) −
�⃗�
⌈𝑟−𝑟−⃗⃗ ⃗⃗⃗⌉3
] 
Sabendo que o vetor momento de dipolo é definido como 𝑝 ≡ |𝑄|𝑑. Quando 𝑑 → 0 e 𝑄 → ∞ ao mesmo tempo, de 
forma que 𝑝 permaneça fixo, temos um dipolo pontual, situado em 𝑟−⃗⃗⃗⃗ , a expressão acima torna-se exata. Encontre essa 
expressão e discuta seu comportamento quando comparado ao campo elétrico de uma carga pontual. 
(b) Considere o dipolo na origem e orientado na direção �̂�. Encontre a expressão para o dipolo elétrico, discuta o 
comportamento do campo elétrico no plano xy. 
Questão 3) Partindo da equação �⃗⃗�=
1
4𝜋𝜖0
∫
𝑑𝑞�̂�
𝑠2
. Encontre 
o campo elétrico que está a uma distância z acima do 
ponto central de um segmento de linha reta com 
comprimento 2l, que tem uma densidade linear de carga 
λ. 
 
 
 
Questão 4) Partindo da equação �⃗⃗�=
1
4𝜋𝜖0
∫
𝑑𝑞�̂�
𝑠2
. Encontre 
o campo elétrico a uma distância z acima de uma das 
extremidades de um segmento de linha reta L e que tem 
uma distribuição linear de carga uniforme, de densidade 
λ. Verifique se sua fórmula é coerente com o que seria 
de se esperar para o caso 𝑧 ≫ 𝐿. 
 
 
 
Questão 5) Encontre o campo elétrico a uma distância 
z acima do centro de uma espira quadrada (lado a) que 
tem uma densidade linear de carga uniforme λ. 
 
 
 
Questão 6) Partindo da equação �⃗⃗�=
1
4𝜋𝜖0
∫
𝑑𝑞�̂�
𝑠2
. Encontre 
o campo elétrico a uma distância z acima do centro de 
um disco circular plano de raio R, que tem uma 
densidade superficial de carga uniforme σ. O que sua 
fórmula revela quando 𝑅 → ∞? Verifique também o 
caso 𝑧 ≫ 𝑅. 
 
Questão 7) Partindo da equação �⃗⃗�=
1
4𝜋𝜖0
∫
𝑑𝑞�̂�
𝑠2
. Encontre 
o campo elétrico a uma distância z do centro de uma 
superfície esférica de raio R, que tem uma distribuição 
superficial de carga uniforme σ. Aborde o caso para z < 
R (interno), bem como z > R (externo). 
 
Questão 8 ) Use o resultado obtido na Questão 7 para encontrar os campos internos e externos de uma esfera de raio R, 
que tem uma distribuição volumétrica de carga com densidade ρ. Expresse sua resposta em termos da carga total da 
esfera, q. Desenhe um gráfico de [�⃗⃗�]versus 𝑟. 
Questão 9) Suponha que o campo elétrico em uma determinada região do espaço é dado por �⃗⃗� = 𝑘𝑟3�̂�, em coordenadas 
esféricas (k é uma constante). (a) Encontre a densidade de carga de ρ. (b) Encontre a carga total contida em uma esfera 
de raio R, centrada na origem. 
Questão 10) Utilizando a Lei de Gauss, calcule: 
(a) Campo elétrico dentro e fora para uma casca esférica carregada uniformemente. 
(b) Campo elétrico dentro e fora para uma esfera carregada uniformemente. 
(c) Plano infinito carregado 
(d) Fio infinito carregado 
(e) Para um cilindro longo com uma densidade de carga que é proporcional à distância ao eixo: ρ=ks, sendo k uma 
constante. Encontre o campo elétrico dentro e fora desse cilindro. 
(f) Para uma casca esférica oca que têm densidade 
de carga para o caso b = 2a, 𝜌 = 𝑘 𝑟2⁄ na região 
𝑎 ≤ 𝑟 ≤ 𝑏. Encontre o campo elétrico para 𝑟 <
𝑎 , 𝑎 < 𝑟 < 𝑏 e 𝑟 > 𝑏 
 
(g) Duas esferas, cada uma com raio R e com 
distribuições volumétricas de cargas de 
densidades uniformes +𝜌 e –𝜌. Chame o vetor 
que liga o centro positivo ao centro negativo de 
𝑑 Mostra que o campo na região de sobreposição 
é constante e encontre seu valor. 
 
 
Questão 11) Dois planos infinitos paralelos têm 
densidade de carga uniformes de mesma magnitude, 
porém opostas ±𝜎, Encontre o campo elétrico em cada 
uma das três regiões: (i) à esquerda de ambos, (ii) entre 
eles, (iii) à direita de ambos. 
 
Questão 12) Encontre a densidade de cargas para as 
cargas apresentadas na figura ao lado, nas coordenadas 
cartesianas, cilíndricas e esféricas. 
 
Questão 13) Algumas distribuições de carga, apesar de não serem formadas por cargas pontuais discretas, podem ser 
expressas em termos de funções deltas apropriadas. Com base nisso, exprima as seguintes distribuições contínuas de 
carga utilizando a função delta (verifique integrando na geometria adequada): 
(a) Uma esfera condutora de raio R, contendo uma carga Q distribuída de forma homogênea na superfície. 
(b) Um anel de raio R no plano (xy), com uma carga q distribuída de forma homogênea. 
(c) Um disco de raio R com uma carga total Q distribuída de forma homogênea sobre a sua superfície, situado no 
plano xy 
(d) Um fio de tamanho L, com uma carga Q distribuída de forma homogênea sobre ele, situado no eixo z. 
Questão 14) Sabendo que o campo elétrico é dado por: 
�⃗⃗�=
1
4𝜋𝜖0
∫
�̂�
𝑠2𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑎ç𝑜
𝜌(𝑟´⃗⃗ ⃗)𝑑𝜏´ [1] 
Observando a dependência em 𝑟 está contida em 𝑠 = 𝑟 − 𝑟´⃗⃗ ⃗, tome o divergente em coordenadas cartesianas em relação 
a 𝑟 da equação [1]. Sabendo que o operador ∇⃗⃗⃗ não age sobre 𝜌(𝑟´⃗⃗ ⃗), mostre que ∇⃗⃗⃗. (
�̂�
𝑠2
) = 0 se s ≠ 0, e quando s = 0 
temos uma indeterminação , usando o teorema de Gauss encontre a importante propriedade matemática abaixo: 
∇⃗⃗⃗. (
�̂�
𝑠2
) = 4𝜋𝛿(𝑠). Fazendo uso deste resultado encontre a Lei de Gauss na forma diferencial e integral. 
Sugestão: consulte a seção dedução matemática da Lei de Gauss do livro Teoria do Eletromagnetismo, Volume 1 do 
autor Keber Daum Machado. 
Questão 15) Partindo da equação de Gauss encontre as equações de Poisson e de Laplace. 
Questão 16) Uma destas expressões é um campo eletrostático impossível. Qual delas: 
(a) �⃗⃗� = 𝑘[𝑥𝑦𝑥 + 2𝑦𝑧�̂� + 3𝑥𝑧�̂�]; 
(b) �⃗⃗� = 𝑘[𝑦2�̂� + (2𝑥𝑦 + 𝑧2)�̂� + 2𝑦𝑧�̂�]; 
Onde k é uma constante. 
Questão 17) Partindo da equação 𝑉(𝑟) = − ∫ �⃗⃗�. 𝑑𝑙⃗⃗⃗⃗
𝑟
𝜗
. 
(a) Calcule o potencial elétrico gerado por uma carga pontual no ponto 𝑟. 
(b) Dentro e fora de uma casca esférica de raio R, que tem uma carga distribuída uniformemente na superfície. 
(c) Encontre o potencial dentro de fora de uma esfera sólida uniformemente carregado cujo raio é R e cuja carga 
total é q. Esboce o gráfico V(r). 
(d) Encontre o potencial a uma distância s d eum fio reto infinitamente longo que possui uma densidade linear de 
carga uniforme λ. Calcule o gradiente do potencial e verifique se ele fornece o campo correto. 
(e) Para uma casca esférica oca que têm densidade 
de carga para o caso b = 2a, 𝜌 = 𝑘 𝑟2⁄ na região 
𝑎 ≤ 𝑟 ≤ 𝑏. Encontre o campo elétrico para 
 𝑟 < 𝑎 , 𝑎 < 𝑟 < 𝑏 e 𝑟 > 𝑏 
 
(f) Um cabo coaxial longo, possui uma densidade 
de carga volumétrica de carga uniforme , 𝜌 no 
cilindro intenro (raio a), e uma densidade 
superficial de carga uniforme na casca externa 
do cilindro (raio b). Essa carga superficial é 
negativa e de magnitude exata para que o cabo, 
como umtodo seja eletricamente neutro. 
Encontro o Potencial elétrico em cada uma das 
três regiões: (i) dentro do cilindro (r<a), (ii) 
entre os dois cilindros (a<r<b), e externa (r>b). 
 
Questão 18) Utilizando as equações 𝑉(𝑟) =
1
4𝜋𝜖0
∑
𝑞𝑖
𝑠𝑖
𝑛
𝑖=1 e 𝑉(𝑟) =
1
4𝜋𝜖0
∫
𝑑𝑞
𝑠
, calcule o potencial elétrico no ponto P 
para as distribuições de cargas mostradas abaixo 
 
Questão 19) Partindo da equação que fornece o valor do trabalho total necessário para reunir as uma distribuição pontual 
de cargas, 𝑊 =
1
4𝜋𝜖0
∑𝑛𝑖=1 ∑
𝑞𝑖𝑞𝑗
𝑠𝑖𝑗
𝑛
𝑗>𝑖 , encontre o trabalho total para gerar uma distribuição contínua de cargas dado por 
𝑊 =
1
2
∫ 𝜌𝑉𝑑𝜏. Agora utilizando a lei de Gauss demonstre a seguinte equação: 𝑊 =
𝜖0
4
(∫ 𝐸2𝑑𝜏 + ∮ 𝑉�⃗⃗�. 𝑑𝑎⃗⃗ ⃗⃗⃗𝜏 ). Integre 
em todo espaço e discuta o resultado encontrado. 
Questão 20) 
 
Divirta-se fazendo o exercício 2.41, 2.42, 2.43, 2.45. Como desafio tente resolver o problema 2.47 e 2.48