Tese Emilio

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Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Tecnologia e Cieˆncias
Instituto de F´ısica Armando Dias Tavares
Emı´lio Nunez
Uma abordagem heur´ıstica a` soluc¸a˜o de equac¸o˜es diferenciais
parciais atrave´s de simetrias de Lie
Rio de Janeiro
2016
Emı´lio Nunez
Uma abordagem heur´ıstica a` soluc¸a˜o de equac¸o˜es diferenciais parciais
atrave´s de simetrias de Lie
Tese apresentada, como requisito parcial
para obtenc¸a˜o do t´ıtulo de Doutor, ao Pro-
grama de Po´s-Graduac¸a˜o em F´ısica, da Uni-
versidade do Estado do Rio de Janeiro.
Orientador: Prof. Dr. Luis Antonio Campinho Pereira da Mota
Coorientador: Prof. Dr. Luiz Guilherme Silva Duarte
Rio de Janeiro
2016
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CATALOGAÇÃO NA FONTE 
 UERJ/ REDE SIRIUS / BIBLIOTECA CTC/D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Autorizo, apenas para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta 
tese, desde que citada a fonte. 
 
 
N972 Nunez, Emílio. 
 Uma abordagem heurística à solução de equações diferenciais 
 parciais através de simetrias de Lie / Emílio Nunez. - 2016. 
 94 f.: il. 
 
 Orientador : Luis Antonio Campinho Pereira da Mota. 
 Coorientador : Luiz Guilherme Silva Duarte. 
 Tese (doutorado) - Universidade do Estado do Rio de 
 Janeiro, Instituto de Física Armando Dias Tavares. 
 
 
 1. Equações diferenciais parciais -Teses. 2.Lie, Grupo de - 
 Teses. 3. Sistemas de computação algébrica - Teses. 4. Maple 
 (Programa de computador) -Teses. I. Mota, Luis Antonio 
 Campinho da Mota. II. Duarte, Luiz Guilherme Silva. III. Uni- 
 versidade do Estado do Rio de Janeiro. Instituto de Física de 
 Física Armando Dias Tavares. IV. Título. 
 
 
CDU 517.972.3
Emı´lio Nunez
Uma abordagem heur´ıstica a` soluc¸a˜o de equac¸o˜es diferenciais parciais
atrave´s de simetrias de Lie
Tese apresentada, como requisito parcial
para obtenc¸a˜o do t´ıtulo de Doutor, ao Pro-
grama de Po´s-Graduac¸a˜o em F´ısica, da Uni-
versidade do Estado do Rio de Janeiro.
Aprovada em 02 de novembro de 2016.
Banca Examinadora:
Prof. Dr. Luis Antonio Campinho Pereira da Mota (Orientador)
Instituto de F´ısica Armando Dias Tavares – UERJ
Prof. Dr. Luiz Guilherme Silva Duarte (Coorientador)
Instituto de F´ısica Armando Dias Tavares – UERJ
Prof. Dr. Germano Amaral Monerat
Instituto Polite´cnica – UERJ
Prof. Dr. Augusto Ce´sar de Castro Barbosa
Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica – UERJ
Prof. Dra. Paula Balseiro
Universidade Federal Fluminense
Prof. Dr. Jair Koiler
Fundac¸a˜o Getu´lio Vargas
Rio de Janeiro
2016
RESUMO
NUNEZ, E. Uma abordagem heur´ıstica a` soluc¸a˜o de equac¸o˜es diferenciais parciais
atrave´s de simetrias de Lie. 2016. 94 f. Tese (Doutorado em F´ısica) – Instituto de
F´ısica, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2016.
Este trabalho apresenta uma busca heur´ıstica pelas simetrias de Lie para equac¸o˜es
diferencias parciais (EDPs) e primeira (1EDPs) ordem e de segunda (2EDPs) ordem. Tra-
balhamos com EDPs apresentando uma func¸a˜o de duas varia´veis independentes (u(x, y)).
Ale´m de tratarmos EDPs, baseados em resultados anteriores do grupo, conseguimos uma
mistura de ingredientes entre esta nossa abordagem heur´ıstica a EDPs e trabalhos anterio-
res no trato com equac¸o˜es diferenciais ordina´rias (EDOs) que resulta em um novo me´todo
semi-algor´ıtimico para lidarmos com 2EDOs. Estes resultados foram obtidos com o uso
da assim chamada “func¸a˜o-S”, introduzida por nosso grupo. Nosso objetivo primordial foi
aumentar a capacidade de resoluc¸a˜o destes tipos de equac¸a˜o. Conseguimos isto nos dois
cena´rios mencionados acima. Para materializar nossos resultados, implementamos nossos
resultados em Maple, tornando os resultados dispon´ıveis para a comunidade acadeˆmica
em geral.
Palavras-chave: Equac¸o˜es diferenciais parciais. Simetrias de Lie. Soluc¸o˜es anal´ıticas.
Implementac¸a˜o computacional.
ABSTRACT
NUNEZ, E. A heuristic approach to the solving of partial differential equations through
Lie symmetries. 2016. 94 f. Tese (Doutorado em F´ısica) – Instituto de F´ısica,
Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2016.
In this work, we present a heuristic search for the Lie symmetries for partial dif-
ferential equations (PDEs) of first (1PDEs) and second (2PDEs) order. We have worked
with PDEs for a function of two independent variables: u(x, y). Besides dealing with these
PDEs, based on previous results of our group, we have managed to produce a new semi-
algorithmic approach to solving second order ordinary differential equations (2ODEs).
These results were based on the so called “S-function” that was introduced by our group
in the context of solving ODEs via Darbouxian methods. Our main goal is always to
expand the solving capabilities for the equations we are working with, both through heu-
ristic and/or algorithmic methods. We have managed to do that in both scenarios above.
For the 1PDEs and 2PDEs of the type described above and for the 2rational ODEs. In
order to make these methods practical and available to the general public, we tend to
implement our results in a symbolic basin, in our case, Maple.
Keywords: Partial differential equations. Lie symmetries. Analytic solutions.
Computational implementation.
SUMA´RIO
1 INTRODUC¸A˜O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 SIMETRIAS DE LIE – UMA BREVE INTRODUC¸A˜O . . . . . 10
2.1 Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.1 Transformac¸o˜es infinitesimais do grupo de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Geradores infinitesimais e invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.3 Coordenadas canoˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.4 Grupos de Lie a va´rios paraˆmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.4.1 A´lgebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.4.2 Subgrupos, suba´lgebras e a´lgebras solu´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Transformac¸o˜es Estendidas e Simetrias de EDOs e EDPs . . . . . 16
2.2.1 Simetrias de EDOs e seu uso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2 Simetrias de EDPs e seu uso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE PRIMEIRA E SE-
GUNDA ORDENS EM DUAS VARIA´VEIS INDEPENDEN-
TES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1 1EDPs da Forma F (x, y, u, ux, uy) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 2EDPs da Forma F (x, y, u, ux, uy, uxx, uxy, uyy) = 0 . . . . . . . . . . . . 27
4 APLICAC¸O˜ES DO ME´TODO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.1 1EDPs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2 2EDPs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2.1 Equac¸a˜o do tele´grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2.2 Exemplo particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2.3 Equac¸a˜o do tele´grafo com coeficientes varia´veis . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2.4 Equac¸a˜o de Burger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2.4.1 Resolvendo para o caso de viscosidade constante. . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.5 Burger’s com viscosidade varia´vel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2.6 Uma generalizac¸a˜o da equac¸a˜o de Burger . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2.7 2EDP na˜o linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5 RELAC¸O˜ES ENTRE 2EDOS RACIONAIS E 1EDPS QUASE-
LINEARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.1 A Func¸a˜o S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2 Simetrias de Lie da 1EDP para a Func¸a˜o-S . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2.1 Revisitando Simetrias de Lie para EDOs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2.2 Simetrias de Lie para a 1EDO de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2.3 A 1EDP para a Func¸a˜o S como uma 1EDO de Riccati . . . . . . . . . . . 59
5.3 Um Algoritmo para Obter Simetrias de 2EDOs e 1EDPs . . . . . 63
5.3.1 A Ideia Central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3.2 Um Estudo de Caso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6 IMPLEMENTAC¸A˜O COMPUTACIONAL . . . . . . . . . . . . . . 69
6.1 O pacote InSyPDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.1.1 Um resumo do pacote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.1.2 Os comandos do Pacote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.1.2.1 Comando: Pdef . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.1.2.2 Comando: Div . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.1.2.3 Comandos: D1 / D2 / D3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.1.2.4 Comando: Xop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.1.2.5 Comando: Dop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.1.2.6 Comando: Polg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.1.2.7 Comando: Sympgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.1.2.8 Comando: PDEInv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.1.3 Exemplificando o Uso do Pacote InSyPDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.2 O pacote InSyDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2.1 Um resumo do pacote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2.2 Os comandos do Pacote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.2.2.1 Comando: Insyde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.2.2.2 Comando: Symmeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2.2.3 Comando: Sfunc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2.2.4 Comando: Exodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2.2.5 Comando: Polg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2.2.6 Comando: Invade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.2.2.7 Comando: Infact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.2.3 Exemplificando o Uso do Pacote InSyDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.3 Desempenho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.3.1 Desempenho do pacote InSyPDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.3.1.1 1EDPs lineares e quase-lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.3.1.2 1EDPs na˜o lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.3.2 Desempenho do pacote InSyDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.3.2.1 Em relac¸a˜o a abordagem de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.3.2.2 Em relac¸a˜o a abordagem de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.3.3 Considerac¸o˜es sobre o desempenho dos pacotes (e algoritmos) . . . . . . . 90
CONCLUSA˜O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
REFEREˆNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7
1 INTRODUC¸A˜O
Como todo trabalho ou atividade humana, esta tese tem sua origens e mo-
tivac¸o˜es: Neste caso, ao me aproximar do grupo de pesquisa em questa˜o, me foi oferecido
um trabalho em equac¸o˜es diferenciais parciais (EDPs).
Qual foi o elemento motivador a mim apresentado? O grupo tem vasta experieˆncia
no trato com equac¸o˜es diferenciais ordina´rias (EDOs) e, ha´ muito, desejava venturar-se
pela a´rea de EDPs.
Porque este interesse em encontrarmos invariantes diferenciais, soluc¸o˜es, qualquer
informac¸a˜o sobre equac¸o˜es diferenciais (EDOs ou EDPs)? Na˜o apenas nosso, mas de
toda a cieˆncia? Em poucas palavras, desde de sua invenc¸a˜o, equac¸o˜es diferenciais sa˜o o
modo preferido de descrevermos os fenoˆmenos naturais, sistemas econoˆmicos, basicamente
qualquer sistema e sua evoluc¸a˜o.
Como ja´ dito acima, faltava ao trabalho de pesquisa do grupo a incursa˜o no mundo
das EDPs. Esta tese se prestou a este papel. Faltava escolher que aspecto das EDPs
atacar.
Contando o final da histo´ria: A decisa˜o foi tratar as EDPs atrave´s do uso de
simetrias de Lie (LIE, 1891; LIE, 1912). Os motivos desta escolha sa˜o variados. Em
primeiro lugar, o estilo de trabalho do grupo e´ mais este, procurar e gerar algoritmos e
me´todos para resolver as equac¸o˜es em foco, na˜o um trabalho mais em teoria matema´tica.
Em segundo lugar e mais especificamente, esta abordagem (Simetrias de Lie) foi aquela
tomada por membros do grupo, quando da tese de doutoramento de um deles (DUARTE,
1997) e que resultou em papers e programas computacionais que foram ta˜o bem sucedidos
que seus resultados foram incorporados ao sistema de computac¸a˜o alge´brica (CAS, na sigla
em ingleˆs) MAPLE, desde sua versa˜o comercial 5 (release 5) e fazem parte, por exemplo,
do comando dsolve.
O sucesso acima mencionado foi grande mesmo quando tratamos de EDOs clas-
sifica´veis, sendo que nosso interesse original era produzir abordagens algor´ıtimicas para
tratar as EDOs na˜o-classifica´veis (tendo em vista que va´rios me´todos ja´ existiam para
tratar as classifica´veis).
Logo, decidimos comec¸ar de forma similar: Colocando muito simplesmente, pro-
curar me´todos (heur´ısticos, algor´ıtimicos, etc.) para determinar as simetrias e depois
seguirmos o me´todo de Lie e resolver as EDPs. Isto sem nos preocuparmos muito com
qual EDP seria tratada (apenas classificac¸o˜es bem gerais, tais como tratar primeiramente
EDPs de primeira ordem (1EDPs), etc.). Nossa espectativa era que estes esforc¸os pro-
duziriam resultados interessantes, assim como no caso das EDOs acima mencionado, no
sentido de desempenho, com ampliac¸a˜o de nossa capacidade de lidar com tais equac¸o˜es,
principalmente em MAPLE.
8
O campo de estudo de EDPs e´ vast´ıssimo. Em nenhuma forma vamos cobrir (nem
isto seria poss´ıvel) uma grande parte deste campo nesta tese. Portanto, decidimos deixar
claro, desde o in´ıcio, qual seria nossa abordagem. Na˜o discutirmos questo˜es profunda-
mente matema´ticas, de fundo, tais como Unicidade. Nossa abordagem sera´ bem “experi-
mental”(gostamos de propagar a ideia que nosso grupo atua no campo da “Matema´tica
Experimental”): Em poucas palavras, aumentamos ou na˜o nossa capacidade de resoluc¸a˜o
de EDPs? Conseguimos gerar me´todos e algoritmos que melhoram o entendimento sobre
equac¸o˜es diferenciais? Etc..
Com isto em mente, a tese ficou dividida assim:
No primeiro cap´ıtulo, faremos um resumo sobre o me´todo de Lie aplicado a` EDs.
No cap´ıtulo 2, mostraremos como podemos desenvolver uma maneira heur´ıstica de
aplicar o me´todo de Lie a 1EDPs e 2EDPs (em duas varia´veis independentes):
Na primeira sec¸a˜o criamos um “gerador” de simetrias de lie para 1EDPs (em duas
varia´veis independentes)atrave´s de um me´todo heur´ıstico simples: buscamos simetrias
polinomiais determinando os coeficientes adequados para a condic¸a˜o de simetria. Os re-
sultados desta primeira abordagem se mostraram satisfato´rios, reproduzindo resultados
obtidos por outros me´todos, validando assim a abordagem “pra´tica”atrave´s de simetrias
de Lie para estas 1EDPs. Ale´m disso, pudemos tambe´m encontrar soluc¸o˜es em va´rios ca-
sos onde mesmo os poderosos me´todos implementados no comando Pdsolve, do sistema
MAPLE, falham (veja os cap´ıtulos 3 e 5). Na segunda sec¸a˜o, usamos uma abordagem
similar, desta vez para 2EDPs, tambe´m em duas varia´veis independentes. Aqui, os re-
sultados mostram que, utilizando os me´todos aqui introduzidos, a teoria de Lie torna
ainda mais poderosa. Conseguimos soluc¸o˜es interessantes recriando resultados obtidos na
literatura mas, principalmente, o me´todo de Lie, quando aplicado a 2EDPs, parece ser o
u´nico me´todo geral (anal´ıtico) que podemos usar em determinados casos.
No cap´ıtulo 3 aplicamos o me´todo de Lie (usando os heur´ısticos descritos no
cap´ıtulo 2) a diversas EDPs. Conseguimos muitas soluc¸o˜es para 1EDPs em que os me´todos
ja´ implementados no MAPLE (sob o poderoso comando pdsolve) falham na busca. Con-
tudo, muito mais interessante, conseguimos constatar que o me´todo pode ser capaz de
encontrar novas soluc¸o˜es (e de maneira bem simples) para 2EDPs de interesse.
Depois, seguindo nossa tradic¸a˜o, no cap´ıtulo seguinte, um pouco sobre equac¸o˜es
diferenciais ordina´rias (EDOs). Na verdade, durante o trabalho desta tese, lembramos
que, no contexto de 2EDOs, o grupo tinha criado a func¸a˜o “S”. Esta ideia foi bem
relevante neste campo, gerando muitos resultados. O ponto que nos chamou atenc¸a˜o a
estes resultados foi que a func¸a˜o “S”obedece a uma 1EDP, em 3 varia´veis independentes.
Estendemos enta˜o nossos me´todos para este caso e muitas ideias e possibilidades foram
levantadas. Tratamos deste interessante desenvolvimento neste cap´ıtulo. Os resultados,
em brev´ıssimas palavras, mostraram, apenas para falar nos aspectos mais aplicados, que
temos um me´todo mais ra´pido e que e´ independente da determinac¸a˜o de fatores integrantes
9
e polinoˆmios de Darboux pela qual nossos me´todos anteriores eram limitados.
No cap´ıtulo 5, apresentamos dois pacotes computacionais (em MAPLE) que de-
senvolvemos com a implementac¸a˜o desses me´todos e ideias, tornando-as dispon´ıveis para
a comunidade cient´ıfica da a´rea.
Finalmente, encerramos a Tese apresentando nossa conclusa˜o e caminhos a seguir.
10
2 SIMETRIAS DE LIE – UMA BREVE INTRODUC¸A˜O
Neste cap´ıtulo vamos apresentar, muito resumidamente, como a teoria dos grupos
de Lie (BLUMAN; ANCO, 2002) pode ser aplicada a` integrac¸a˜o de EDOs e EDPs. Ao
dizer ‘muito resumidamente’, o que queremos dizer e´ que a teoria de Lie e´ (em si mesmo)
um universo, mas, apesar de muito vasta, ela e´ muito intuitiva nos aspectos que tangem
a resoluc¸a˜o de EDs. Assim, nesse cap´ıtulo, embora o que vamos descrever represente
apenas uma parte ı´nfima da teoria, mostraremos os conceitos necessa´rios a` compreensa˜o
dos me´todos desenvolvidos nessa tese. A notac¸a˜o usada nesta cap´ıtulo e´ basicamente a
empregada em (BLUMAN; ANCO, 2002).
2.1 Grupos de Lie
Informalmente, um grupo de Lie e´ um grupo e, ao mesmo tempo, uma variedade
diferencia´vel1.
Definic¸a˜o 2.1 Um conjunto de transformac¸o˜es
x∗ = χ(x;α), x = (x1, . . . , xn), (1)
define um grupo de transformac¸o˜es de Lie a um paraˆmetro se:
1. α e´ um paraˆmetro cont´ınuo (α = α0 corresponde a` identidade.)
2. χ e´ infinitamente diferencia´vel (C∞) em relac¸a˜o a x e e´ uma func¸a˜o anal´ıtica de
α.
3. A lei de composic¸a˜o dos paraˆmetros φ(α, β) e´ uma func¸a˜o anal´ıtica de α e β.
Exemplo 2.1 O Grupo de Transformac¸o˜es de Escala no Plano:
x∗ = (1 + α)x
y∗ = (1 + α)2y, −1 < α <∞. (2)
Aqui φ(α, β) = α + β + αβ e α0 = 0.
1 Grupos aparecem como uma abstrac¸a˜o alge´brica da noc¸a˜o de simetria. Variedades, que formam os
objetos fundamentais no campo da geometria diferencial, generalizam os conceitos familiares de curvas
e superf´ıcies no espac¸o a treˆs dimenso˜es.
11
2.1.1 Transformac¸o˜es infinitesimais do grupo de Lie
As condic¸o˜es para que uma EDO seja invariante frente a um grupo de Lie podem ser
postas em uma forma muito mais simples se usarmos as condic¸o˜es de invariaˆncia frente as
transformac¸o˜es infinitesimais do grupo. Essas condic¸o˜es se escrevem como X(EDO) = 0,
onde X e´ um operador linear (chamado gerador infinitesimal do grupo de Lie) obtido a
partir das transformac¸o˜es infinitesimais.
Desenvolvendo as transformac¸o˜es do grupo de Lie (1) em se´rie de Taylor em relac¸a˜o
ao paraˆmetro α e usando a aproximac¸a˜o de primeira ordem, obtemos x∗ = x + (α −
α0)
∂χ
∂α
|α=α0 . Escrevendo ∂χ∂α |α=α0= ξ(x), definimos:
Definic¸a˜o 2.2 A transformac¸a˜o x∗ = x + (α − α0) ξ(x) e´ chamada transformac¸a˜o infi-
nitesimal do grupo de Lie (1). As componentes de ξ(x) sa˜o chamadas infinite´simos.
Teorema 2.1 (Primeiro Teorema Fundamental de Lie) Existe uma parametrizac¸a˜o
�(α) tal que o grupo de transformac¸o˜es de Lie (1) e´ equivalente a` soluc¸a˜o do problema de
valor inicial para o sistema de 1EDOs
dx∗
d�
= ξ(x∗), (3)
com x∗ = x quando � = 0.
Em particular �(α) =
∫ α
0
Γ (α′)dα′ onde Γ (α) = ∂φ(a,b)
∂b
|(a,b)=(α[−1],α) e Γ (0) = 1.
Para demonstrac¸a˜o veja (BLUMAN; ANCO, 2002).
Exemplo 2.2 Para o grupo de transformac¸o˜es de escala no plano (2), a lei de composic¸a˜o
e´ φ(a, b) = a + b + ab , e α[−1] = − α
1 + α
. Aqui ∂φ(a,b)
∂b
= 1 + a e, portanto, Γ (α) =
∂φ(a,b)
∂b
|(a,b)=(α[−1],α)= 1 + α[−1] = 11+α . As transformac¸o˜es do grupo de transformac¸o˜es de
escala sa˜o χ((x, y);α) = ((1 +α)x, (1 +α)2y) portanto,
∂χ(x;α)
∂α
= (x, 2(1 + α)y). Logo
ξ(x) =
∂χ(x;α)
∂α
|α=0= (x, 2y).
De acordo com o Primeiro Teorema Fundamental de Lie existe uma parametrizac¸a˜o (�)
dada por
�(α) =
∫ α
0
Γ (α′)dα′ =
∫ α
0
1
1 + α′
dα′ = ln(1 + α),
em relac¸a˜o a` qual as transformac¸o˜es se escrevem
x∗ = e�x
y∗ = e2�y,
e cuja lei de composic¸a˜o e´: φ(�1, �2) = �1 + �2.
12
2.1.2 Geradores infinitesimais e invariantes
O primeiro teorema fundamental de Lie nos permite tratar com as transformac¸o˜es
infinitesimais do grupo (ao inve´s das transformac¸o˜es finitas (1)). Expandindo (1) em se´rie
de Taylor obtemos
x∗ = x+ �
dx∗
d�
|�=0 + �
2
2!
d2x∗
d�2
|�=0 +O(�3). (4)
Temos que
d2x∗
d�2
=
d
d�
(
dx∗
d�
)
=
dξ(x∗)
d�
=
n∑
i=1
∂ξ(x∗)
∂xi∗
dxi
∗
d�
=
n∑
i=1
ξi(x
∗)
∂ξ(x∗)
∂xi∗
=
n∑
i=1
ξi(x
∗)
∂
∂xi
[ξ(x∗)] .
Portanto, definindo
X ≡
n∑
i=1
ξi(x)
∂
∂xi
, (5)
segue que
dx∗
d�
|�=0= ξ(x) =
n∑
i=1
ξi(x)
∂
∂xi
[x] = X[x], (6)
d2x∗
d�2
|�=0= d
d�
(
dx∗
d�
) |�=0= X2[x], (7)
e, consequentemente, d
kx∗
d�k
|�=0= Xk[x]. Assim, temos
x∗ = x+�X[x]+
�2
2!
X2[x]+· · · =
(
1 + �X +
�2
2!
X 2 + ...
)
[x] =
∞∑
k=0
�k
k!
Xk[x] = e�X [x]. (8)
Perceba que as transformac¸o˜es finitas do grupo (8) sa˜o geradas a partir do operador (5)
que, por essa raza˜o e´ chamado gerador do grupo. O gerador infinitesimal por sua vez
e´ formado com os infinite´simos ξi (veja a definic¸a˜o 2.2) que definem a transformac¸a˜o
infinitesimal do grupo.
Usando (8) podemos observar que F (x∗) = F (x) + �XF (x) + �
2
2!
X 2F (x) + · · · .
Logo, se F e´ tal que X[F (x)], enta˜o F (x∗) = F (x).
Definic¸a˜o 2.3 Considere que a func¸a˜o F e´ tal que X[F (x)] = 0. Enta˜o dizemos que a
func¸a˜o F e´ invariante frente a ac¸a˜o do grupo (8).
De forma semelhante, uma famı´lia de curvas definida pela equac¸a˜o ω(x,y) = c
13
(c = const.) sera´ invariante frente ao grupo de transformac¸o˜es de Lie a um paraˆmetro
x∗ = X(x, y; �) = x+ �ξ(x, y) +O(�2),
y∗ = Y(x, y; �) = y + �η(x, y) +O(�2), (9)
com gerador infinitesimal X = ξ(x, y) ∂
∂x
+ η(x, y) ∂
∂x
, se ω(x∗, y∗) = const = c∗ quando
ω(x, y) = c, pois os pontos de uma curva da famı´lia ω(x, y) = c sera˜o levados, pela
transformac¸a˜o do grupo em outra curva ω(x∗, y∗) = c∗ da mesma famı´lia. Para que
isso acontec¸a e´ necessa´rio e suficiente que ω(x∗, y∗) = F (ω(x, y)) , para algum F . Mas,
ω(x∗, y∗) = e�Xω(x, y) = ω(x, y) + �Xω(x, y) + �
2
2!
X2ω(x, y) + · · · = F (ω(x, y)). Logo, se
Xω = Ω(ω) ( X2ω = XΩ(ω) = Ω′(ω)Xω etc), a condic¸a˜o ω(x∗, y∗) = F (ω(x, y)) sera´
satisfeita2
Exemplo 2.3 Considere o seguinte grupo de transformac¸o˜es de escala:
x∗ = e�x = x+ �x+O(�2),
y∗ = e2�y = y + �2y +O(�2). (10)
O gerador infinitesimal escrito nessas coordenadas sera´ X = x ∂
∂x
+ 2y ∂
∂y
. Vamos agora
calcular uma famı´lia de curvas invariante sob a ac¸a˜o do grupo (10). Usando a condic¸a˜o
Xω = 1, obtemos:
X(ω) = x
∂ω
∂x
+ 2y
∂ω
∂y
= 1.
As equac¸o˜es caracter´ısticas correspondentes sa˜o
dx
x
=
dy
2y
=
dω
1
,
e a soluc¸a˜o geral e´
ω(x, y) = ln(x) + f(
y
x2
) = c.
2.1.3 Coordenadas canoˆnicas
Um dos resultados mais importantes de toda a teoria e´ que sempre existe uma
transformac¸a˜o de coordenadas na qual qualquer grupo de Lie a um paraˆmetro pode ser
escrito como o grupo das translac¸o˜es. O ponto importante e´ que, escrita nestas coorde-
2 Podemos, sem perda de generalidade, impor a condic¸a˜o Xω = 1 pois se ω(x, y) = c e´ uma famı´lia
de curvas invariante enta˜o, F (ω(x, y)) = F (c) tambe´m e´ (qualquer que seja a func¸a˜o F ). Logo,
XF (ω(x, y)) = F ′(ω)Xω = F ′(ω)Ω(ω), tal que, escolhendo F ′(ω) = 1/Ω(ω), teremos XF (ω) ≡ 1.
14
nadas, uma EDO que seja invariante frente a um determinado grupo de Lie sera´ uma
quadratura3.
Considere uma mudanc¸a de coordenadas (biun´ıvoca e continuamente diferencia´vel
em um domı´nio apropriado) y = Y(x) = (y1(x), y2(x), . . . , yn(x)). Aplicando-a ao grupo
(1), o gerador infinitesimal X se tornara´ X =
∑n
i=1 ξi(x)
∂
∂xi
=
∑n
i,j=1 ξi(x)
∂yj(x)
∂xi
∂
∂yj
=∑n
j=1 ηj(y)
∂
∂yj
= Y , onde ηj(y) =
∑n
i=1 ξi(x)
∂yj(x)
∂xi
.
Definic¸a˜o 2.4 Uma mudanc¸a de coordenadas y = Y(x) = (y1(x), y2(x), . . . , yn(x)) de-
fine um conjunto de coordenadas canoˆnicas para um grupo de Lie a um paraˆmetro (1) se,
em termos das novas coordenadas, o grupo (1) torna-se o grupo das translac¸o˜es no <n,
ou seja:
yi
∗ = yi, i = 1, . . . , n− 1,
yn
∗ = yn + �. (11)
Tal mudanc¸a de coordenadas sempre existe (veja (BLUMAN; ANCO, 2002)). Portanto,
escrito nas coordenadas canoˆnicas, o gerador infinitesimal se apresenta em sua forma mais
simples: Y = ∂
∂yn
.
Exemplo 2.4 Considere o grupo de transformac¸o˜es de escala (10). Nas coordenadas
canoˆnicas r(x, y) e s(x, y) as transformac¸o˜es do grupo devem se apresentar como
r∗ = r, s∗ = s+ �. (12)
Mas, de acordo com (8),
r∗ = r + �Xr +
�2
2!
X2r + · · · , s∗ = s+ �Xs+ �
2
2!
X2s+ · · · . (13)
Logo, as coordenadas canoˆnicas r(x, y) e s(x, y) devem satisfazer a`s equac¸o˜es Xr = 0 e
Xs = 1, ou seja,
x
∂r
∂x
+ 2y
∂r
∂y
= 0, x
∂s
∂x
+ 2y
∂s
∂y
= 1, (14)
que teˆm como soluc¸a˜o r(x, y) = y
x2
e s(x, y) = ln(x).
3 Uma EDO e´ chamada quadratura se puder ser resolvida com uma integrac¸a˜o simples, ou seja, se e´ da
forma y′ = φ(x) ou y′ = φ(y), aonde y′ = dydx .
15
2.1.4 Grupos de Lie a va´rios paraˆmetros
Se uma EDO de ordem n (n maior ou igual a dois) e´ invariante frente a um grupo
de Lie a r paraˆmetros (ou a` r grupos de Lie a um paraˆmetro), podemos, em certos casos,
reduz´ı-la a uma EDO de ordem n − r. Pore´m, isso nem sempre e´ poss´ıvel. Nesta sec¸a˜o
vamos resumir essas condic¸o˜es4 para EDOs de ordem maior ou igual a treˆs e mostrar o
procedimento a ser empregado no caso de 2EDOs.
2.1.4.1 A´lgebras de Lie
Considere um grupo de Lie a r paraˆmetros. Vamos denotar seus geradores infini-
tesimais por Xi, i = 1, . . . , r. O comutador de dois geradores Xi e Xj (quaisquer que
sejam i, j = 1, . . . , r), e´ denotado por [Xi, Xj] e definido como [Xi, Xj] = XiXj −XjXi,
de onde segue imediatamente que [Xi, Xj] = − [Xj, Xi]. A propriedade fundamental que
possuem esses comutadores e´ enunciada no seguinte teorema devido a Lie:
Teorema 2.2 (Segundo Teorema Fundamental de Lie) O comutador de quaisquer
dois geradores infinitesimais de um grupo de Lie a r paraˆmetros e´ tambe´m um gerador
infinitesimal, em particular
[Xi, Xj] = Cij
kXk, (15)
onde os coeficientes Cij
k sa˜o constantes chamadas constantes de estrutura (i, j, k =
1, . . . , r) do grupo de Lie5.
A demonstrac¸a˜o pode ser encontrada em Bluman e Anco (2002). Para quaisquer treˆs
geradores Xi, Xj e Xk podemos verificar que vale a identidade de Jacobi: [Xi, [Xj, Xk]] +
[Xj, [Xk, Xi]] + [Xk, [Xi, Xj]] = 0. Dessas propriedades (e das propriedades decorrente
da linearidade dos geradores) segue que os geradores formam uma a´lgebra em relac¸a˜o a
operac¸a˜o de comutac¸a˜o (chamada a´lgebra de Lie).
2.1.4.2 Subgrupos, suba´lgebras e a´lgebras solu´veis
O ponto principal e´: Se uma EDO de ordem n e´ invariante frente a um grupo de
Lie a r paraˆmetros, para que possamos reduzir a ordem da EDO de r unidades a a´lgebra
4 Ver BLUMAN; ANCO, 2002.
5 Em (15) assumimos a convenc¸a˜o usual de soma sobre um ı´ndice repetido.
16
do grupo deve ser solu´vel6. Um subespac¸o S formado por um subconjunto de geradores
Xa, a = 1, . . . , p, (p ≤ r) forma uma suba´lgebra se para Xa, Xb ∈ S, temos [Xa, Xb] ∈ S.
Considere uma a´lgebra de Lie L; uma suba´lgebra S ∈ L e´ denominada uma suba´lgebra
normal de L se para qualquer X ∈ S, Y ∈ L, [X, Y ] ∈ S.
Definic¸a˜o 2.5 (A´lgebra de Lie Solu´vel) Lq e´ uma a´lgebra de Lie solu´vel q-dimensi-
onal se existe um cadeia de suba´lgebras L(1) ⊂ L(2) ⊂ · · · ⊂ L(q−1) ⊂ L(q), tal que L(i−1)
e´ uma suba´lgebra normal de L(i), i = 1, . . . , q.
Uma a´lgebra bi-dimensional (uma a´lgebra fechada com dois geradores) e´ sempre
solu´vel (ou seja, podemos escrever [X1, X2] = X1 ou a [X1, X2] = 0) e, neste caso, podemos
resolver a EDO por quadraturas apenas. No caso da a´lgebra na˜o ser fechada devemos
buscar um terceiro gerador que feche a a´lgebra (fazemos isso atrave´s do comutador dos
dois primeiros geradores) e, nesse caso, o procedimento se simplifica (BLUMAN; ANCO,
2002).
2.2 Transformac¸o˜es Estendidas e Simetrias de EDOs e EDPs
Nesta sec¸a˜o relacionaremos os conceitos anteriores e mostraremos, efetivamente, o
funcionamento do me´todo de Lie.
2.2.1 Simetrias de EDOs e seu uso
Vimos que as famı´lias de curvas ln(x) + f(y/x2) = c sa˜o invariantes frente ao
grupo de transformac¸o˜es de escala (10). Diferenciando essas famı´lias e resolvendo para
y′, obtemos o seguinte conjunto de EDOs:
y′ =
2y
x
− x
f ′( y
x2
)
(16)
(cujas soluc¸o˜es sa˜o, obviamente, as famı´lias ln(x) + f(y/x2) = c). O ponto crucial e´: Se
usarmos as coordenadas canoˆnicas (r, s), essas famı´lias de curvas invariantes se escrevem
s+ f(r) = c. (17)
6 Se existe uma suba´lgebra solu´vel s-dimensional L(s), podemos reduzir a ordem da EDO em s unidades
(BLUMAN; ANCO, 2002).
17
Diferenciando (17) obtemos as famı´lias de EDOs:
ds
dr
= −f ′(r), (18)
que sa˜o justamente as (16) escritas nas varia´veis canoˆnicas (r, s). Note que as (18) sa˜o
quadraturas e, portanto, podemos resolveˆ-las efetuando uma simples integrac¸a˜o: s =
−
∫
f ′(r)dr = −f(r) + c. Ora, enta˜o, utilizando a inversa da transformac¸a˜o canoˆnica na
soluc¸a˜o s = −f(r) + c obtemos: ln(x) + f ( y
x2
)
= c que sa˜o as famı´lias decurvas que
solucionam as (16). Isso quer dizer que, se soube´ssemos que o grupo (10) deixa invariante
as famı´lias de curvas que sa˜o as soluc¸o˜es do conjunto de (16), qualquer EDO do conjunto
poderia ter sido resolvida tranquilamente. Mas como obter esse conhecimento a priori?
Bem, uma famı´lia de curvas ω(x, y) = c, que e´ soluc¸a˜o de uma 1EDO y′ = φ(x, y), nada
mais e´ que outra forma de representar essa EDO. Portanto, seria de se esperar que as
transformac¸o˜es (10) deixassem as (16) invariantes. Isto e´, “na verdade”, o que acontece.
Apenas note que o grupo (10) age no espac¸o (x, y), ao passo que as (16) sa˜o definidas no
espac¸o (x, y, y′). Assim, devemos acrescentar as transformac¸o˜es para y′.
Considere as transformac¸o˜es infinitesimais do grupo de Lie (9) x∗ = x + �ξ(x, y),
y∗ = y + �η(x, y). A transformac¸a˜o para y′ sera´: y′∗ = dy
∗
dx∗ = Dx [y + �η] /Dx [x+ �ξ] =
y′+� [Dxη − y′Dxξ], (onde Dx = ∂x+y′∂y+· · ·+y(i+1)∂y(i) +· · · ). Continuando o processo
poder´ıamos obter as transformac¸o˜es para y′′, y′′′, y(4), . . . , y(n) obtendo assim uma extensa˜o
n-e´sima do grupo de Lie (9).
Em relac¸a˜o aos infinite´simos estendidos η(i) podemos enumerar os seguintes resul-
tados:
1. η(i) =
[
D
Dx
η(i−1) + y(i)
D
Dx
ξ
]
.
2. η(i) e´ linear em y(i).
3. η(i) e´ um polinoˆmio em y′, y′′, . . . , y(i) cujos coeficientes sa˜o lineares e homogeˆneos
em ξ(x, y), η(x, y) e suas derivadas ate´ a i-e´sima ordem.
Definic¸a˜o 2.6 Chamamos grupo de simetrias de Lie (ou mais simplesmente simetria) de
uma EDO a` um grupo de Lie tal que a EDO seja invariante frente a`s suas transformac¸o˜es.
Mais precisamente, considere a seguinte EDO de ordem n:
y(n) = φ(x, y, y′, . . . , y(n−1)) (19)
que define uma superf´ıcie no espac¸o (x, y, y′, . . . , y(n)). Dizemos que o grupo (9) e´ uma
simetria para a (19) se
X(n)(y(n) − φ(x, y, y′, . . . , y(n−1))) = 0, (20)
18
quando y(n) = φ(x, y, y′, . . . , y(n−1)), onde X(n) e´ o gerador infinitesimal da n-e´sima ex-
tensa˜o do grupo (9).
Exemplo 2.5 Escolhendo f = cos em (16), temos
y′ =
2y
x
− x
sin
(
y
x2
) , (21)
da qual o grupo de transformac¸o˜es de escala (10) e´ uma simetria. Logo sua soluc¸a˜o e´
(conforme (17)) y = arccos(ln(x)− c)x2.
Vimos que, uma vez de posse de uma simetria, o me´todo de Lie nos fornece uma
fo´rmula expl´ıcita para a soluc¸a˜o / reduc¸a˜o da EDO invariante. Temos enta˜o, dois passos
principais: achar os infinite´simos para a EDO e usa´-los para obter a sua soluc¸a˜o / reduc¸a˜o.
A condic¸a˜o para que uma 1EDO
y′ = φ(x, y) (22)
seja invariante frente a um grupo de Lie e´ que a soluc¸a˜o ω(x, y) = c seja uma famı´lia
invariante frente ao grupo. Essa condic¸a˜o (X(1) (y′ − φ(x, y)) = 0) pode ser expressa pela
seguinte EDP:
ηx + (ηy − ξx)φ− ξyφ2 − ξφx − ηφy = 0, (23)
onde os sub-´ındices denotam derivac¸a˜o parcial.
Alternativamente sempre podemos substituir η(x, y) = ξ(x, y)φ(x, y) + χ(x, y) em
(23), obtendo:
χx + φχy − φyχ = 0. (24)
onde χ define um grupo de Lie a um paraˆmetro que deixa a (22) invariante e leva cada
curva soluc¸a˜o em outra curva soluc¸a˜o. Consequentemente, o problema de encontrar os
grupos de Lie admitidos pela (22) reduz-se a encontrar soluc¸o˜es para (23) ou (24).
Uma primeira olhada no esquema pode levar a` conclusa˜o que encontrar soluc¸o˜es
para (23) ou (24) e´ bem mais dif´ıcil que resolver a EDO original. Contudo, o que estamos
realmente procurando e´ uma soluc¸a˜o particular para estas equac¸o˜es, ta˜o simples quanto
19
poss´ıvel (por exemplo duas constantes) e, para uma 1EDO na˜o classifica´vel7, a deter-
minac¸a˜o de alguma simetria pode ser a u´nica coisa poss´ıvel de ser feita. Por exemplo,
considere:
y′ =
(y − x ln(x))2
x2
+ ln(x). (25)
Esta e´ uma equac¸a˜o de Riccati e na˜o e´ facilmente resolvida, mas a EDP para os infi-
nite´simos apresenta (entre outras) soluc¸o˜es polinomias simples: ξ = x, η = x + y. Deter-
minando as coordenadas canoˆnicas do correspondente grupo de invariaˆncia e mudando as
varia´veis, a (25) pode resolver-se como:
y =
−√5x
2
(
tanh
(
(ln(x)− C1 )√5
2
))
+ ln(x) +
1
2
O que e´ nota´vel, e caracter´ıstico dos me´todos de simetria, e´ que mudar (y −
x ln(x))/x para F ((y − x ln(x))/x) em (25), onde F e´ uma func¸a˜o arbitra´ria de seu
argumento, na˜o muda a simetria e o esquema de resoluc¸a˜o funciona da mesma forma:
y′ = F
(
y − x ln(x)
x
)
+ ln(x) (26)
tem como soluc¸a˜o
ln(x) = −
∫ y − x ln(x)
x d a
(1 + a − F ( a)) + C1
onde a e´ uma varia´vel muda de integrac¸a˜o8. A integral presente na soluc¸a˜o acima usa
o conceito de integral valorada em um ponto (ana´logo ao conceito de derivada em um
ponto). O ponto de valorac¸a˜o e´ mostrado no limite superior.
Como segundo exemplo, considere:
y′ =
x+ cos(ey + (x+ 1) e−x)
e(y+x)
.
7 Neste contexto, uma EDO e´ dita classifica´vel se ela faz parte de um conjunto de EDOs para o qual e´
conhecido um me´todo espec´ıfico de soluc¸a˜o, como por exemplo as EDOs exatas, homogeˆneas etc.
8 No que se segue, denotaremos as constantes de integrac¸a˜o por C1 e C2 e as varia´veis mudas de
integrac¸a˜o por a e b.
20
Essa EDO na˜o e´ classifica´vel mas a conjectura para os infinite´simos:
ξ(x, y) = f(x), η(x, y) = x g(y),
onde f(x) e g(y) sa˜o func¸o˜es a serem determinadas, leva a ξ = ex, η = x e−y, e assim
podemos chegar a` soluc¸a˜o:
y = ln
(
2 arctan
(
e−(e
−x+C1) − 1
e−(e−x+C1 ) + 1
)
− (x+ 1) e−x
)
.
2.2.2 Simetrias de EDPs e seu uso
Para resolver as 1EDPs pelo me´todo de Lie (BLUMAN; ANCO, 2002) precisamos
criar as varia´veis dependentes x∗, y∗ e u∗, como feito para o caso de uma varia´vel, x∗ =
x + ξx(x, y, u)ε, y
∗ = y + ξy(x, y, u)ε e u∗ = u + η(x, y, u)ε. E´ importante observar que
a func¸a˜o u(x, y), no processo de transformac¸o˜es infinitesimais, e´ definida como varia´vel
dependente u. A partir destas escrevemos
F (x∗, y∗, u∗) = F (x, y, u) + χ(F (x, y, u))ε (27)
onde
χ(F (x, y, u)) = ξx(x, y, u)
∂
∂x
F (x, y, u) + ξy(x, y, u)
∂
∂y
F (x, y, u)
+η(x, y, u)
∂
∂u
F (x, y, u) (28)
comparando (27) com (28), definimos o operador χ por
χ = ξx
∂
∂x
+ ξy
∂
∂y
+ η
∂
∂u
(29)
com (ver(3))
ξx =
d
dε
x∗ (30)
ξy =
d
dε
y∗ (31)
21
η =
d
dε
u∗ (32)
Para ser invariante sob a transformac¸a˜o de Lie temos de satisfazer a igualdade
F (x∗, y∗, u∗) = F (x, y, u). (33)
Admitindo que a 1EDP possui soluc¸a˜o do tipo,
u = θ(x, y) (34)
podemos definir a superf´ıcie invariante por
u− θ(x, y) = 0. (35)
Aplicando o operador χ (29) a superf´ıcie invariante (35) e ficamos com
χ[u− θ(x, y)] = 0 (36)
substituindo os coeficientes obtemos
χ[u− θ(x, y)] = ξx ∂
∂x
[u− θ (x, y)] + ξy ∂
∂y
[u− θ (x, y)] + η ∂
∂u
[u− θ (x, y)] = 0 (37)
simplificando
−ξx ∂
∂x
θ (x, y)− ξy ∂
∂y
θ (x, y) + η = 0 (38)
ou
η = ξx
∂
∂x
θ (x, y) + ξy
∂
∂y
θ (x, y) . (39)
Agora, fazendo a derivada total da func¸a˜o θ(x,y)
dθ(x, y) =
∂
∂x
θ (x, y) dx+
∂
∂y
θ (x, y) dy (40)
sabendo que u= θ (x,y) e comparando as equac¸o˜es (39) e (40) chegamos a
dx
ξx
=
dy
ξy
=
du
η
(41)
Enfim conclu´ımos que, se soubermos a forma dos paraˆmetros ξx(x,y,u), ξy(x,y,u)
22
e η(x,y,u), integramos as equac¸o˜es acima (41) e encontraremos a soluc¸a˜o u(x, y). Para
encontra´-los aplicamos o operador estendido ( χ(1) )
χ(1) = ξx
∂
∂x
+ ξy
∂
∂y
+ η
∂
∂u
+ ηx
∂
∂ux
+ ηy
∂
∂uy
(42)
onde u, ux e uy sa˜o definidas como varia´veis dependentes. Os novos paraˆmetros, ηx e ηy,
sa˜o obtidos das definic¸o˜es u∗x= ux+ ηxε e u
∗
y= uy+ ηyε. Estes podem ser logrados fazendo
u∗x=
∂
∂x∗u
∗ e u∗y=
∂
∂y∗u
∗ . O desenvolvimentoe´ longo (BLUMAN; ANCO, 2002). Vamos
apresentar aqui o resultado final. Para facilitar o entendimento dos ca´lculos computacio-
nais futuros, substituiremos os sub ı´ndices x e y por 1 e 2 respectivamente.
ηx = η1 =
∂
∂x
η(x, y, u) + [
∂
∂u
η(x, y, u)− ∂
∂x
ξ1(x, y, u)]u1 − ∂
∂x
ξ2(x, y, u)u2
− ∂
∂u
ξ1(x, y, u)u
2
1 −
∂
∂u
ξ2(x, y, u)u1u2 (43)
ηy = η2 =
∂
∂y
η(x, y, u) + [
∂
∂u
η(x, y, u)− ∂
∂y
ξ2(x, y, u)]u2 − ∂
∂y
ξ1(x, y, u)u1
− ∂
∂u
ξ2(x, y, u)u
2
2 −
∂
∂u
ξ1(x, y, u)u1u2 (44)
Aplicando o operador χ(1) na 1EDP
χ(1)
(
F (x, y, u, u1, u2)
)
= 0 (45)
substituindo os coeficientes ficamos com
ξ1
∂
∂x
F + ξ2
∂
∂y
F + η
∂
∂u
F + η1
∂
∂u1
F + η2
∂
∂u2
F = 0 (46)
Aplicando (43), (44) em (46) e encontrando soluc¸o˜es para ξ1, ξ2 e η, podemos
integrar o sistema caracter´ıstico.
23
3 EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE PRIMEIRA E SEGUNDA
ORDENS EM DUAS VARIA´VEIS INDEPENDENTES
Neste cap´ıtulo vamos mostrar uma poss´ıvel maneira de aplicar o me´todo de Lie a
equac¸o˜es diferenciais parciais de primeira e segunda ordens (1EDPs e 2EDPs) em duas
varia´veis independentes.
3.1 1EDPs da Forma F (x, y, u, ux, uy) = 0
Considere a 1EDP
F (x, y, u, ux, uy) = 0, (47)
na qual x e y sa˜o as varia´veis independentes. A varia´vel u depende das varia´veis indepen-
dentes, isto e´, u = u(x, y). As varia´veis ux e uy sa˜o as derivadas parciais da func¸a˜o u(x, y)
em relac¸a˜o as varia´veis x e y respectivamente, ou seja, ux ≡ ∂∂xu(x, y), uy ≡ ∂∂yu(x, y).
Considere que a transformac¸a˜o
x∗ = x+ ξx(x, y, u) ε,
y∗ = y + ξy(x, y, u) ε, (48)
u∗ = u+ η(x, y, u) ε,
e´ uma transformac¸a˜o de simetria da 1EDP (47) e, portanto, que o gerador de simetria
e´ dado por χ = ξx ∂x + ξy ∂y + η ∂u. Logo, se u = θ(x, y) e´ uma soluc¸a˜o invariante da
1EDP (47), enta˜o χ[u−θ(x, y)] = 0 e u = θ(x, y) satisfaz a 1EDP (47), (veja (BLUMAN;
ANCO, 2002) pg 303). A condic¸a˜o χ[u− θ(x, y)] = 0 leva a` 1EDP
ξx
∂
∂x
θ (x, y) + ξy
∂
∂y
θ (x, y) = η, (49)
cuja soluc¸a˜o pode ser obtida resolvendo o sistema caracter´ıstico
dx
ξx
=
dy
ξy
=
du
η
. (50)
Portanto, a expectativa e´ que, se soubermos a forma dos infinite´simos ξx, ξy, η
e integramos as equac¸o˜es (50), encontraremos uma soluc¸a˜o para a 1EDP (47). Para
encontrarmos os infinite´simos ξx, ξy, η , aplicamos o operador estendido χ
(1) a` 1EDP (47)
e tentamos achar soluc¸o˜es particulares para a condic¸a˜o de simetria χ(1)[F (x, y, u, ux, uy) =
24
0], onde χ(1) e´ dado por
χ(1) = ξx
∂
∂x
+ ξy
∂
∂y
+ η
∂
∂u
+ ηx
∂
∂ux
+ ηy
∂
∂uy
, (51)
onde ηx e ηy, sa˜o definidos pela transformac¸a˜o das derivadas, u
∗
x= ux+ ηxε e u
∗
y= uy+
ηyε.
Os infinite´simos ηx e ηy podem ser obtidos fazendo u
∗
x=
∂
∂x∗u
∗ e u∗y=
∂
∂y∗u
∗ . Este
desenvolvimento e´ longo (BLUMAN; ANCO, 2002) e vamos apresentar aqui apenas o
resultado final. Para facilitar a notac¸a˜o, substituiremos os sub ı´ndices x e y por 1 e 2,
respectivamente:
ηx = η1 =
∂
∂x
η(x, y, u) +
[
∂
∂u
η(x, y, u)− ∂
∂x
ξ1(x, y, u)
]
u1 − ∂
∂x
ξ2(x, y, u)u2
− ∂
∂u
ξ1(x, y, u)u
2
1 −
∂
∂u
ξ2(x, y, u)u1u2, (52)
ηy = η2 =
∂
∂y
η(x, y, u) +
[
∂
∂u
η(x, y, u)− ∂
∂y
ξ2(x, y, u)
]
u2 − ∂
∂y
ξ1(x, y, u)u1
− ∂
∂u
ξ2(x, y, u)u
2
2 −
∂
∂u
ξ1(x, y, u)u1u2. (53)
Aplicando o operador χ(1) a` 1EDP (47)
χ(1) [F (x, y, u, u1, u2)] = 0 (54)
e substituindo os infinite´simos ficamos com
ξ1
∂F
∂x
+ ξ2
∂F
∂y
+ η
∂F
∂u
+ η1
∂F
∂u1
+ η2
∂F
∂u2
= 0 (55)
Aplicando (52) e (53) em (55) e achando soluc¸o˜es particulares para ξ1, ξ2 e η,
encontraremos poss´ıveis simetrias. Para exemplificar o processo, considere a 1EDP quase-
linear
u(x, u)
∂
∂x
u(x, y) +
∂
∂y
u(x, y)− u(x, y)2 = 0 (56)
Reescrevendo a 1EDP em func¸a˜o de u, u1 e u2, ficamos com
uu1 + u2–u
2 = 0, (57)
com u1 =
∂u
∂x
e u2 =
∂u
∂y
. Aplicando χ(1) em (128) e igualando a zero, temos
χ(1)[uu1 + u2–u
2] = η(x, y, u)u1 + η1 u+ η2 − 2η(x, y, u)u = 0. (58)
Substituindo (52) e (53) em (58) e fazendo a substituic¸a˜o u2 = u
2–uu1 vamos finalmente
25
obter
−∂ξ2
∂u
u4 +
∂ξ2
∂u
u3u1 − ∂ξ2
∂x
u3 + [
∂ξ2
∂x
− ∂ξ1
∂u
]u2u1 + [
∂η
∂u
− ∂ξ2
∂y
]u2 + [
∂ξ2
∂y
− ∂ξ1
∂x
]uu1
+[−2η + ∂η
∂x
]u+ [−∂ξ1
∂y
+ η]u1 +
∂η
∂y
= 0. (59)
Supondo que ∂ξ1
∂u
= ∂ξ2
∂u
= 0, que η = g(x, y) + f(x, y)u e supondo que ξ1, ξ2 e η sa˜o
polinoˆmios,
ξ1(x, y) = a+ a1x+ a2y + a3xy + a4x
2 + a5y
2 + a6xy
2 + a7x
2y, (60)
ξ2(y) = b+ b1y + b2y
2, (61)
f(x, y) = c+ c1x+ c2y + c3xy + c4x
2 + c5y
2 + c6xy
2 + c7x
2y, (62)
e substituindo em (59) e resolvendo para os coeficientes, chegamos a
ξ1 = a− b2y, (63)
ξ2 = b− cy + b2y2, (64)
η = −b2 + (c− 2b2y)u. (65)
Com a hipo´tese polinomial acima, pudemos encontrar 4 simetrias. O fanta´stico do me´todo
de Lie e´ que, como estamos lidando com uma 1EDP quase-linear, so´ precisamos de dois
invariantes para obter a soluc¸a˜o geral. Assim, podemos escolher as duas simetrias mais
simples, que sa˜o ∂
∂x
e ∂
∂y
(que correspondem, respectivamente, aos coeficientes a e b).
Primeira simetria: fazendo a = 1 e os outros coeficientes iguais a zero, obtemos
ξ1 = 1, ξ2 = 0 e η = 0. Logo,
χ(1) =
∂
∂x
(66)
aplicando na soluc¸a˜o geral u = θ(x, y) temos
χ(1)[u− θ(x, y)] = 0 ⇒ ∂u
∂x
= 0 (67)
com soluc¸a˜o
u = F (y). (68)
Substituindo na 1EDP obtemos
d
dy
F (y)− F (y)2 = 0 (69)
26
cuja soluc¸a˜o e´
F (y) =
1
−y + C1 , (70)
que resulta no invariante
I1 =
yu+ 1
u
. (71)
Segunda simetria: fazendo b = 1 e os outros coeficientes iguais a zero, obtemos
ξ1 = 0, ξ2 = 1 e η = 0. Logo,
χ(1) =
∂
∂y
(72)
aplicando na soluc¸a˜o geral u = θ(x, y) temos
χ(1)[u− θ(x, y)] = 0 ⇒ ∂u
∂y
= 0 (73)
com soluc¸a˜o
u = F (x). (74)
Substituindo na 1EDP obtemos
F (x)− d
dx
F (x) = 0 (75)
cuja soluc¸a˜o e´
F (x) = C1e
x, (76)
que resulta no invariante
I2 =
u
ex
. (77)
Logo, a soluc¸a˜o geral e´ dada por (I1 = F1(I2)):
yu+ 1
u
= F1(
u
ex
), (78)
onde F1 e´ uma func¸a˜o arbitra´ria.
27
3.2 2EDPs da Forma F (x, y, u, ux, uy, uxx, uxy, uyy) = 0
Considere a 2EDP
F (x, y, u, ux, uy, uxx, uxy, uyy) = 0, (79)
onde x e y sa˜o as varia´veis independentes e u = u(x, y). As varia´veis ux, uy, uxx, uxy, uyy
sa˜o as derivadas parciais da func¸a˜o u(x, y) de primeira e segunda ordens.
Considere que a transformac¸a˜o
x∗ = x+ ξx(x, y, u) ε,
y∗ = y + ξy(x, y, u) ε, (80)
u∗ = u+ η(x, y, u) ε,
e´ uma transformac¸a˜o de simetria da 2EDP (79) e, portanto, que o gerador de simetria
e´ dado por χ = ξx ∂x + ξy ∂y + η ∂u. Logo, se u = θ(x, y) e´ uma soluc¸a˜o invariante da
2EDP (79), enta˜o χ[u − θ(x, y)] = 0 e u = θ(x, y) satisfaz a 2EDP (79). A condic¸a˜o
χ[u− θ(x, y)] = 0 leva a` 1EDP
ξx
∂
∂x
θ (x, y) + ξy
∂
∂y
θ (x, y) = η, (81)
cuja soluc¸a˜o pode ser obtida resolvendo o sistema caracter´ıstico
dx
ξx
=
dy
ξy
=
du
η
. (82)
Portanto, como no caso de 1EDPs, a expectativa e´ que, se soubermos a forma
dos infinite´simos ξx, ξy, η e integramos as equac¸o˜es (82), encontraremos uma soluc¸a˜o
para a 2EDP (79). Para encontrarmos os infinite´simos ξx, ξy, η , aplicamos o operador
estendido χ(2) a` 2EDP (79) e tentamos achar soluc¸o˜es particulares para a condic¸a˜o de
simetria χ(2)[F (x, y, u, ux, uy, uxx, uxy, uyy) = 0], onde χ
(2) e´ dado por
χ(2) = ξx
∂
∂x
+ ξy
∂
∂y
+ η
∂
∂u
+ ηx
∂
∂ux
+ ηy
∂
∂uy
+ ηxx
∂
∂uxx
+ ηxy
∂
∂uxy
+ ηyy
∂
∂uyy
. (83)
Os infinite´simos ηxx, ηxy e ηy podemser obtidos fazendo u
∗
xx =
∂
∂x∗u
∗
x, u
∗
xy =
∂
∂y∗u
∗
x e u
∗
yy =
∂
∂y∗u
∗
y . Este desenvolvimento e´ longo (BLUMAN; ANCO, 2002) e vamos
apresentar aqui apenas o resultado final. Para facilitar a notac¸a˜o, substituiremos os sub
ı´ndices x e y por 1 e 2, respectivamente:
28
ηxx = η11 =
∂2
∂x2
η(x, y, u) + [2
∂2
∂u∂x
η(x, y, u)− ∂
2
∂x2
ξ1(x, y, u)]u1
−( ∂
2
∂x2
ξ2(x, y, u))u2 + [(
∂
∂u
η(x, y, u))
−2( ∂
∂x
ξ1(x, y, u))]u11 − (2 ∂
∂x
ξ2(x, y, u))u12
+[
∂2
∂u2
η(x, y, u)− 2 ∂
2
∂u∂x
ξ1(x, y, u)]u
2
1 − (2
∂2
∂u∂x
ξ2(x, y, u))u1u2
−( ∂
2
∂u2
ξ1(x, y, u))u
3
1 − (
∂2
∂u2
ξ2(x, y, u))u
2
1u2 − (3
∂
∂u
ξ1(x, y, u))u1u11
−( ∂
∂u
ξ2(x, y, u))u2u11 − (2 ∂
∂u
ξ2(x, y, u))u1u12 (84)
ηxy = η12 =
∂2
∂y∂x
η(x, y, u)[
∂2
∂u∂x
η(x, y, u)− ∂
2
∂y∂x
ξ2(x, y, u)]u2
+[
∂2
∂u∂y
η(x, y, u)− ∂
2
∂y∂x
ξ1(x, y, u)]u1 − ( ∂
∂x
ξ2(x, y, u))u22
+[
∂
∂u
η(x, y, u)− ∂
∂x
ξ1(x, y, u)− ∂
∂y
ξ2(x, y, u)]u12 − ( ∂
∂y
ξ1(x, y, u))u11
−( ∂
2
∂u∂x
η(x, y, u))u22 + [
∂2
∂u2
η(x, y, u)− ∂
2
∂u∂x
ξ1(x, y, u)
− ∂
2
∂u∂y
ξ2(x, y, u)]u1u2 − ( ∂
2
∂u∂y
ξ1(x, y, u))u
2
1 − (
∂2
∂u2
ξ2(x, y, u))u1u
2
2
−( ∂
2
∂u2
ξ1(x, y, u))u
2
1u2 − (2
∂
∂u
ξ2(x, y, u))u2u12 − (2 ∂
∂u
ξ1(x, y, u))u1u12
−( ∂
∂u
ξ1(x, y, u))u2u11 − ( ∂
∂u
ξ2(x, y, u))u1u22 (85)
ηyy = η22 =
∂2
∂y2
η(x, y, u) + [2
∂2
∂u∂y
η(x, y, u)− ∂
2
∂y2
ξ2(x, y, u)]u2
−( ∂
2
∂y2
ξ1(x, y, u))u1 + [(
∂
∂u
η(x, y, u))
−2( ∂
∂y
ξ2(x, y, u))]u22 − (2 ∂
∂y
ξ1(x, y, u))u12
+[
∂2
∂u2
η(x, y, u)− 2 ∂
2
∂u∂y
ξ2(x, y, u)]u
2
2 − (2
∂2
∂u∂y
ξ1(x, y, u))u1u2
−( ∂
2
∂u2
ξ2(x, y, u))u
3
2 − (
∂2
∂u2
ξ1(x, y, u))u1u
2
2 − (3
∂
∂u
ξ2(x, y, u))u2u22
−( ∂
∂u
ξ1(x, y, u))u1u22 − (2 ∂
∂u
ξ1(x, y, u))u2u12 (86)
29
Aplicando o operador χ(2) a` 2EDP (79)
χ(2) [F (x, y, u, u1, u2, u11, u12, u22)] = 0 (87)
e substituindo os infinite´simos ficamos com
ξ1
∂F
∂x
+ ξ2
∂F
∂y
+ η
∂F
∂u
+ η1
∂F
∂u1
+ η2
∂F
∂u2
+ η11
∂F
∂u11
+ η12
∂F
∂u12
+ η22
∂F
∂u22
= 0 (88)
Aplicando (52), (53), (84), (85) e (86) em (88) e achando soluc¸o˜es particulares para
ξ1, ξ2 e η, encontraremos poss´ıveis simetrias.
Vamos exemplificar aplicando o me´todo a` equac¸a˜o do calor, que e´ a 2EDP dada
por
∂2
∂y2
u(x, y)− ∂
∂x
u(x, y) = 0 (89)
ou (na forma curta)
uyy − ux = 0. (90)
Aplicando χ(2) e igualando a zero, temos
χ(2)[u22 − u1] = η22 − η1 = 0, (91)
o que implica em
∂2
∂y2
η(x, y, u) + [2
∂2
∂u∂y
η(x, y, u)− ∂
2
∂y2
ξ2(x, y, u)]u2 − ( ∂
2
∂y2
ξ1(x, y, u))u1
+ [(
∂
∂u
η(x, y, u))− 2( ∂
∂y
ξ2(x, y, u))]u22 − (2 ∂
∂y
ξ1(x, y, u))u12
+ [
∂2
∂u2
η(x, y, u)− 2 ∂
2
∂u∂y
ξ2(x, y, u)]u
2
2 − (2
∂2
∂u∂y
ξ1(x, y, u))u1u2
− ( ∂
2
∂u2
ξ2(x, y, u))u
3
2 − (
∂2
∂u2
ξ1(x, y, u))u1u
2
2 − (3
∂
∂u
ξ2(x, y, u))u2u22
− ( ∂
∂u
ξ1(x, y, u))u1u22 − (2 ∂
∂u
ξ1(x, y, u))u2u12 − ∂
∂x
η(x, y, u)
− [ ∂
∂u
η(x, y, u)− ∂
∂x
ξ1(x, y, u)]u1 +
∂
∂x
ξ2(x, y, u)u2
+
∂
∂u
ξ1(x, y, u)u
2
1 +
∂
∂u
ξ2(x, y, u)u1u2 = 0. (92)
Supondo que ξ1(x, y, u) → ξ1(x, y), ξ2(x, y, u) → ξ2(x, y), η(x, y, u) = g(x, y) + f(x, y)u,
substituindo u22 = u1 e supondo que ξ1, ξ2 e η sa˜o polinoˆmios,
ξ1(x, y) = a+ a1x+ a2y + a3xy + a4x
2 + a5y
2 + a6xy
2 + a7x
2y + a8x
2y2, (93)
30
ξ2(x, y) = b+ b1x+ b2y + b3xy + b4x
2 + b5y
2 + b6xy
2 + b7x
2y + b8x
2y2, (94)
f(x, y) = c+ c1x+ c2y + c3xy + c4x
2 + c5y
2 + c6xy
2 + c7x
2y + c8x
2y2, (95)
g(x, y) = d+ d1x+ d2y + d3xy + d4x
2 + d5y
2 + d6xy
2 + d7x
2y + d8x
2y2, (96)
e substituindo em (92) e resolvendo para os coeficientes, obtemos as simetrias:
1) ξ1 = 1, ξ2 = 0 e η = 0, (97)
2) ξ1 = 0, ξ2 = 1 e η = 0, (98)
3) ξ1 = 2x, ξ2 = y e η = 0, (99)
4) ξ1 = 0, ξ2 = −2x e η = y u, (100)
5) ξ1 = −4x2, ξ2 = −4xy e η = (2x+ y2)u, (101)
Aplicando as simetrias em u− θ(x, y), obtemos as seguintes 1EDPs:
1) − ∂
∂x
θ(x, y) = 0, (102)
2) − ∂
∂y
θ(x, y) = 0, (103)
31
3) − 2x ∂
∂x
θ(x, y)− y ∂
∂y
θ(x, y) = 0, (104)
4) 2x
∂
∂y
θ(x, y) + yθ(x, y) = 0, (105)
5) 4x2
∂
∂x
θ(x, y) + 4xy
∂
∂y
θ(x, y) + (2x+ y2)θ(x, y) = 0. (106)
Resolvendo as 1EDPs, obtemos
1) u = F (y), (107)
2) u = F (x), (108)
3) u = F
( y√
x
)
, (109)
4) u = F (x)e
− 14 y
2
x , (110)
5) u =
F ( y
x
)e
− 14 y
2
x√
x
. (111)
Para a determinac¸a˜o das formas funcionais dos F ’s, aplicamos (107)...(111) em (89) e,
dessa maneira, chegamos a`s seguintes EDOs:
1)
d2
dy2
F (y) = 0, (112)
2)
d
dx
F (x) = 0, (113)
32
3) 2
d2
dr2
F (r) + r
d
dr
= 0 onde r =
y√
x
, (114)
4) 2x
d
dx
F (x) + F (x) = 0, (115)
5)
d2
dr2
F (r) = 0 onde r =
y
x
. (116)
Resolvendo as EDOs e voltando as varia´veis iniciais, temos as seguintes respostas:
1) u = C1y + C2 (117)
2) u = C1 (118)
3) u = C1 + erf
( y
2
√
x
)
C2 (119)
4) u =
C1(e
−y2
4x
)√
x
(120)
5) u =
(C1y
x
+ C2)e
−y2
4x√
x
(121)
E´ importante observar que o me´todo de Lie nos transmuta do problema inicial
de resolver EDPs para um problema de solucionar EDOs de mesma ordem, passando
pela soluc¸a˜o de 1EDPs (102)...(106), sempre lineares, devido a aplicac¸a˜o do gerador de
simetria.
O me´todo fornece diferentes soluc¸o˜es para a equac¸a˜o do calor. A primeira, (117), e´
func¸a˜o de apenas uma varia´vel (y). A segunda, (118), e´ uma constante (soluc¸a˜o trivial). A
terceira, (119), pode ser obtida da passagem de calor por uma haste cil´ındrica muito longa,
termicamente isolada, com temperatura inicial zero e com uma extremidade em contato
com um reservato´rio de calor a uma temperatura constante C e a outra extremidade livre
33
(BUTKOV, 1968, pg. 306). A quarta e´ um caso particular da quinta e a quinta esta´ em
Bluman e Anco (2002, pg. 313). Estas soluc¸o˜es surgem apenas da aplicac¸a˜o das simetrias
de Lie para o problema, na˜o ha´ exigeˆncia quanto as condic¸o˜es iniciais ou de contorno.
Ale´m disso podemos nos aproveitar da invariaˆncia da EDP em relac¸a˜o aos diversos
grupos e construir famı´lias de soluc¸o˜es a partir da atuac¸a˜o de um grupo em uma superf´ıcie
invariante: Por exemplo, usando a simetria (117), podemos construir as transformac¸o˜es
finitas do grupo e aplicar em uma soluc¸a˜o invariante. Podemos escrever o sistema de
EDOs
ξy =
d
dε
y∗ = −2x∗, (122)
η =
d
dε
u∗ = y∗u∗, (123)
e integra´-lo para obter as transformac¸o˜es finitas do grupo. Este sistema tem soluc¸a˜o
y∗ = −2xε+ y (124)
u∗ = ue(−xε
2+yε) (125)
Aplicando a` (117):
u∗ = C1y∗ + C2 (126)
substituindo (124) e (125) em (126) obtemos a tambe´m soluc¸a˜o da equac¸a˜o do calor
u =
C1(−2xk + y) + C2
e(−xk2+yk)
(127)
onde k= constante
34
4 APLICAC¸O˜ES DO ME´TODO
Neste cap´ıtulo vamos mostrar o me´todo em ac¸a˜o: Na primeira sec¸a˜o aplicare-
mos o me´todo a diversas 1EDPs. Na segunda sec¸a˜o vamos emprega´-lo no tratamento
de 2EDPs: na primeira subsec¸a˜o trataremos da equac¸a˜o do do tele´grafo (LOBEIRO et
al., 2013; PANDIT, ; MOHANTY, 2004; MOHANTY, 2005). Na subsec¸a˜o seguinte va-
mos aplicar o me´todo a` equac¸a˜o de Burger (SOARES, 2011; PEDRAM; MIRZAEI, 2007;
JIWARI, 2012; JEFFERSON; CARMINATI, ; KUMAR; PANDIT, 2014; JIWARI; PAN-
DIT, ; HOSSEIN; TABATABAEI, 2014; ASAITAMBI, ; MIN, 2011). Na u´ltima subsec¸a˜o
aplicaremos o me´todo a algumas 2EDPs na˜o lineares.
4.1 1EDPs
Nesta sec¸a˜o vamos mostrar comoo me´todo pode ser usado para resolver 1EDPs (de
maneira relativamente tranquila) onde os me´todos implementados no poderoso comando
pdsolve do MAPLE falham.
Ex.1: x3u (x, y) ∂
∂x
u (x, y) + (u (x, y))2 x3 ∂
∂y
u (x, y) = (u (x, y))2 x2 + y2
Vamos aplicar o nosso me´todo: em primeiro lugar vamos escrever a 1EDP como
x3uux + u
2x3 uy − u2x2 + y2 = 0 (128)
Em seguida, vamos aplicar o operador χ(1): χ(1)[x3uux + u
2x3 uy − u2x2 + y2] = 0 leva a
ξ1 (x, y, u)
(
3u2u2 x
2 + 3uu1 x
2
)
+ η (x, y, u)
(
2uu2 x
3 + u1 x
3
)
+ η1 ux
3 +
η2 u
2x3 = 2 ξ1 (x, y, u)u
2x+ 2 ξ2 (x, y, u) y + 2 η (x, y, u)ux
2.
Substituindo os infinite´simos por suas formas funcionais, temos
ξ1 (x, y, u) (3u
2u2 x
2 + 3uu1 x
2) + η (x, y, u)
(
2uu2 x
3 + u1 x
3
)
+
(
∂
∂x
η (x, y, u) +
(
∂
∂u
η (x, y, u)− ∂
∂x
ξ1 (x, y, u)
)
u1 −
(
∂
∂x
ξ2 (x, y, u)
)
u2 −
(
∂
∂u
ξ1 (x, y, u)
)
u1
2−
35
(
∂
∂u
ξ2 (x, y, u)
)
u1 u2
)
ux3 +
(
∂
∂y
η (x, y, u) +
(
∂
∂u
η (x, y, u)− ∂
∂y
ξ2 (x, y, u)
)
u2−
(
∂
∂y
ξ1 (x, y, u)
)
u1 −
(
∂
∂u
ξ2 (x, y, u)
)
u2
2 −
(
∂
∂u
ξ1 (x, y, u)
)
u1 u2
)
u2x3 =
2 ξ1 (x, y, u)u
2x+ 2 ξ2 (x, y, u) y + 2 η (x, y, u)ux
2 = 0.
Substituindo
u2 =
−uu1 x3 + u2x2 + y2
u2x3
, (129)
fazendo a suposic¸a˜o que os infinite´simos sa˜o polinomiais, e resolvendo para os coeficientes,
obtemos as simetrias:
1) ξ1 = x, ξ2 = y e η = 0, (130)
2) ξ1 = −x, ξ2 = 0 e η = u, (131)
Que levam aos invariantes
1) I1 = −
∫ xu
y a ( a − 1)
a3 − 2 a2 − 1d a − ln
(y
x
)
, (132)
2) I2 = −
∫ xu
y a2
a3 − 2 a2 − 1d a − ln (y) , (133)
levando a` soluc¸a˜o geral
u (x, y) = RootOf
(∫ Z x
y a2
a3 − 2 a2 − 1d a + ln (y) +
F1
(
−
∫ Z x
y a ( a − 1)
a3 − 2 a2 − 1d a − ln
(y
x
)))
. (134)
Ex.2: (u (x, y)x− y) ∂
∂x
u (x, y) + u (x, y) (u (x, y)x− y) ∂
∂y
u (x, y) = x (u (x, y)x− y + 1)
Para aplicar o nosso me´todo vamos primeiro escrever a 1EDP como
(ux− y)ux + u (ux− y)uy = x (ux− y + 1) (135)
36
Em seguida, vamos aplicar o operador χ(1), resultando em:
ξ1 (x, y, u)
(
u2u2 + uu1
)
+ ξ2 (x, y, u) (−uu2 − u1 ) + η (x, y, u) (xu1 + (ux− y) u2+
uu2 x) + η1 (ux− y) + η2 u (ux− y)− ξ1 (x, y, u) (2ux− y + 1) + ξ2 (x, y, u)x+
η (x, y, u)x2 = 0.
Substituindo os infinite´simos por suas formas funcionais, fazendo a suposic¸a˜o que os infi-
nite´simos sa˜o polinomiais, e resolvendo para os coeficientes, obtemos a simetria:
ξ1 = 0, ξ2 = x e η = 1, (136)
Que levam ao invariante
I1 = e
−ux+ y + 1/3x3 (ux− y + 1) , (137)
e, portanto, a` soluc¸a˜o
u (x, y) = −
LambertW
(
−C1 e−1/3x3−1
)
− y + 1
x
. (138)
Ex.3: x ∂
∂x
u (x, y) + u (x, y)x ∂
∂y
u (x, y) = − (x− y) (u (x, y)− 1)
Escrevendo a 1EDP como
xux + uxuy = (y − x)(u− 1) (139)
e aplicando o operador χ(1), substituindo os infinite´simos por suas formas funcionais,
fazendo a suposic¸a˜o que os infinite´simos sa˜o polinomiais, e resolvendo para os coeficientes,
obtemos a simetria:
ξ1 = −x, ξ2 = −x e η = u− 1, (140)
Que levam ao invariante
I1 = ux− 1/2x2 + xy − 1/2 y2 − y, (141)
e, portanto, a` soluc¸a˜o
u (x, y) = 1 +
1/2 (−x+ y)2 − x+ y + C1
x
. (142)
37
Ex.4: x ∂
∂x
u (x, y) +
(
∂
∂y
u (x, y)
)2
u (x, y) + u (x, y) = 0
Escrevendo a 1EDP como
xux + uy
2 u+ u = 0 (143)
e aplicando o operador χ(1), substituindo os infinite´simos por suas formas funcionais,
fazendo a suposic¸a˜o que os infinite´simos sa˜o polinomiais, e resolvendo para os coeficientes,
obtemos a simetria:
1) ξ1 = 0, ξ2 = 1 e η = 0, (144)
2) ξ1 = 0, ξ2 = y e η = u, (145)
3) ξ1 = x, ξ2 = 0 e η = 0, (146)
Que levam aos invariantes
1) I1 = ux, (147)
2) I2 =
u2 + y2
u2x2
, (148)
3) I3 = u− i y, (149)
4) I4 = u+ i y. (150)
38
4.2 2EDPs
4.2.1 Equac¸a˜o do tele´grafo
A equac¸a˜o do tele´grafo (LOBEIRO et al., 2013; PANDIT, ; MOHANTY, 2004;
MOHANTY, 2005) modela a variac¸a˜o da corrente ele´trica na linha de transmissa˜o do
tele´grafo e´ e expressa por uma 2EDP linear:
∂2
∂x2
i(x, t) = a
∂2
∂t2
i(x, t) + b
∂
∂t
i(x, t) + ci(x, t) (151)
onde
i(x, t) → intensidade da corrente ele´trica;
x → espac¸o;
t → tempo;
a, b e c → constantes.
Colocando na nossa notac¸a˜o, faremos, t = x, x = y e i = u. Logo, a equac¸a˜o com as
novas varia´veis fica:
∂2
∂x2
u(x, y) + A
∂
∂x
u(x, y) +Bu(x, y) = C
∂2
∂y2
u(x, y) (152)
4.2.2 Exemplo particular
Substituindo em (152) as varia´veis por A= 4, B= 4 e C= 9 obtemos
∂2
∂x2
u(x, y) + 4
∂
∂x
u(x, y) + 4u(x, y) = 9
∂2
∂y2
u(x, y) (153)
Escrevendo
uxx + 4ux + 4u = 9uyy (154)
e aplicando χ(2): χ(2)[uxx + 4ux + 4u− 9uyy] = 0 leva a
η11 + 4η1 + 4η(x, y, u)− 9η22 = 0, (155)
39
o que implica em
∂2
∂x2
η(x, y, u) + [2
∂2
∂u∂x
η(x, y, u)− ∂
2
∂x2
ξ1(x, y, u)]u1 − ( ∂
2
∂x2
ξ2(x, y, u))u2
+ [(
∂
∂u
η(x, y, u))− 2( ∂
∂x
ξ1(x, y, u))]u11 − (2 ∂
∂x
ξ2(x, y, u))u12
+ [
∂2
∂u2
η(x, y, u)− 2 ∂
2
∂u∂x
ξ1(x, y, u)]u
2
1 − (2
∂2
∂u∂x
ξ2(x, y, u))u1u2
− ( ∂
2
∂u2
ξ1(x, y, u))u
3
1 − (
∂2
∂u2
ξ2(x, y, u))u
2
1u2 − (3
∂
∂u
ξ1(x, y, u))u1u11
− ( ∂
∂u
ξ2(x, y, u))u2u11 − (2 ∂
∂u
ξ2(x, y, u))u1u12
+ 4
[
∂
∂x
η(x, y, u) + [
∂
∂u
η(x, y, u)− ∂
∂x
ξ1(x, y, u)]u1 − ∂
∂x
ξ2(x, y, u)u2
− ∂
∂u
ξ1(x, y, u)u
2
1 −
∂
∂u
ξ2(x, y, u)u1u2
]
+ 4η(x, y, u)
− 9
[
∂2
∂y2
η(x, y, u) + [2
∂2
∂u∂y
η(x, y, u)− ∂
2
∂y2
ξ2(x, y, u)]u2 − ( ∂
2
∂y2
ξ1(x, y, u))u1
+ [(
∂
∂u
η(x, y, u))− 2( ∂
∂y
ξ2(x, y, u))]u22 − (2 ∂
∂y
ξ1(x, y, u))u12
+ [
∂2
∂u2
η(x, y, u)− 2 ∂
2
∂u∂y
ξ2(x, y, u)]u
2
2 − (2
∂2
∂u∂y
ξ1(x, y, u))u1u2
− ( ∂
2
∂u2
ξ2(x, y, u))u
3
2 − (
∂2
∂u2
ξ1(x, y, u))u1u
2
2 − (3
∂
∂u
ξ2(x, y, u))u2u22
− ( ∂
∂u
ξ1(x, y, u))u1u22 − (2 ∂
∂u
ξ1(x, y, u))u2u12
]
= 0. (156)
Substituindo u11 = 9u22− 4u1− 4u e supondo que os infinite´simos sa˜o polinomiais temos
(resolvendo as equac¸o˜es) as seguintes simetrias:
1) ξ1 = 1, ξ2 = 0 e η = 0, (157)
2) ξ1 = 0, ξ2 = 1 e η = 0, (158)
3) ξ1 = x, ξ2 = y e η = −2xu, (159)
4) ξ1 = y, ξ2 = 9x e η = −2yu, (160)
40
5) ξ1 = 2xy, ξ2 = 9x
2 + y2 e η = −4xyu, (161)
6) ξ1 = 9x
2 + y2, ξ2 = 18xy e η = −(18x2 + 2y2)u. (162)
Usando as simetrias (157)...(162), logramos as seguintes 1EDPs lineares:
1)
∂
∂x
u(x, y) = 0, (163)
2)
∂
∂y
u(x, y) = 0, (164)
3) x
∂
∂x
u(x, y) + y
∂
∂y
u(x, y) + 2xu
∂
∂u
u(x, y) = 0, (165)
4) y
∂
∂x
u(x, y) + 9x
∂
∂y
u(x, y) + 2yu(x, y) = 0, (166)
5) 2xy
∂
∂x
u(x, y) + (9x2 + y2)
∂
∂y
u(x, y) + 4xyu(x, y) = 0, (167)
6) (9x2 + y2)
∂
∂x
u(x, y) + 18xy
∂
∂y
u(x, y) + (18x2 + 2y2) = 0. (168)
Resolvendo as 1EDPs lineares (163)...(168) ficamos com as soluc¸o˜es
1) u = F (y), (169)
2) u = F (x), (170)
41
3) u = F (− lnx+ y)e−2x, (171)
4) u = F (−9x2 + y2)e−2x, (172)
5) u = F
( y
−9x2 + y2
)
e−2x, (173)
6) u = F
(−9x2 + y2
x
)
e−2x. (174)
Para determinar as formas funcionais dos F ’s vamos aplicar as func¸o˜es (169)...(174) na
2EDP inicial, chegando a
1) − 9 d
2
dy2
F (y) + 4F (y) = 0, (175)
2)
d2
dx2
F (x) + 4
d
dx
F (x) + 4F (x) = 0, (176)
3) na˜o forma EDO,
4) r
d2
dr2
F (r) +
d
dr
F (r) = 0 onde r = −9x2 + y2, (177)
5) r
d2
dr2
F (r) + 2
d
dr
F (r) = 0 onde r =
y
−9x2 + y2 , (178)
6)
d2
dr2
F (r) = 0 onde r =
−9x2 + y2
x
. (179)
Resolvendo chegamos a
1) u = C1e
2y
3 + C2e
−2y
3 , (180)
42
2) u = C1e
−2x + C2xe−2x,(181)
3) u = (C2(ln(y − 3x) + ln(y + 3x) + C1)e−2x, (182)
4) u =
( C1y
−9x2 + y2 + C2
)
e−2x, (183)
5) u =
(
C1 +
C2x
−9x2 + y2
)
e−2x, (184)
4.2.3 Equac¸a˜o do tele´grafo com coeficientes varia´veis
Vamos agora analisar uma equac¸a˜o do telegrafo com alguns coeficientes varia´veis
∂2
∂x2
u(x, y) + (x+ y)
∂
∂x
u(x, y) + u(x, y) = (x+ y)
∂2
∂y2
u(x, y) (185)
comparando com a equac¸a˜o geral (152) observamos que A = x+ y, B = 1 e C = x+ y.
A func¸a˜o pdsolve da plataforma MAPLE na˜o apresenta soluc¸a˜o.
Reescrevendo (185), obtemos u11+(x+y)u1+u = (x+y)u22. Aplicando o operador
z, χ(2) obtemos
+ ξ1(x, y, u)(u1 − u22) + ξ2(x, y, u)(u1 − u22) + η(x, y, u)
+ η1(x+ y) + η11 + η22(−x− y) = 0. (186)
43
Temos u11 = (x+ y)u22 − (x+ y)u1 − u Refazendo o procedimento temos
[x
∂
∂x
f(x, y) + y
∂
∂x
f(x, y)− x ∂
2
∂y2
f(x, y)− y ∂
2
∂y2
f(x, y)
+
∂2
∂x2
f(x, y) + 2
∂
∂x
ξ1(x, y)]u
+ [x
∂
∂x
ξ1(x, y) + y
∂
∂x
ξ1(x, y) + x
∂2
∂y2
ξ1(x, y) + y
∂2
∂y2
ξ1(x, y) + 2
∂
∂x
f(x, y)
+ ξ2(x, y)− ∂
2
∂x2
ξ1(x, y) + ξ1(x, y)]u1
+ [2x
∂
∂y
ξ1(x, y) + 2y
∂
∂y
ξ1(x, y)− 2 ∂
∂x
ξ2(x, y)]u12
+ [−2x ∂
∂y
f(x, y)− 2y ∂
∂y
f(x, y)− x ∂
∂x
ξ2(x, y)− y ∂
∂x
ξ2(x, y) + x
∂2
∂y2
ξ2(x, y)
+ y
∂2
∂y2
ξ2(x, y)− ∂
2
∂x2
ξ2(x, y)]u2
+ [−2x ∂
∂x
ξ1(x, y)− 2y ∂
∂x
ξ1(x, y) + 2x
∂
∂y
ξ2(x, y)
+ 2y
∂
∂y
ξ2(x, y)− ξ2(x, y)− ξ1(x, y)]u22
+ x
∂
∂x
g(x, y) + y
∂
∂x
g(x, y)− x ∂
2
∂y2
g(x, y)− y ∂
2
∂y2
g(x, y)
+ g(x, y) +
∂2
∂x2
g(x, y) = 0. (187)
Supondo simetrias polinomiais e resolvendo para os coeficientes, chegamos a seguinte
simetria:
ξ1 = −1, ξ2 = 1 e η = 0 (188)
substituindo a simetria (188) no operador χ ficamos com
χ = − ∂
∂x
+
∂
∂y
, (189)
implicando em
− ∂
∂x
u(x, y) +
∂
∂y
u(x, y) = 0, (190)
com soluc¸a˜o
u(x, y) = F (x+ y). (191)
44
Substituindo (191) na EDP inicial, obtemos
x
d2
d(x+ y)2
F (x+ y)− y d
2
d(x+ y)2
F (x+ y) + x
d
d(x+ y)
F (x+ y)
+ y
d
d(x+ y)
F (x+ y) +
d2
d(x+ y)2
F (x+ y) + F (x+ y) = 0. (192)
Fazendo a mudanc¸a de varia´vel r = x+ y obtemos
(1− r) d
2
dr2
F (r) + r
d
dr
F (r) + F (r) = 0. (193)
Resolvendo a EDO (193) e voltando a`s varia´veis originais
u (x, y) = (−e−1Ei(1,−1 + x+ y)(x+ y)2 + 2 e−1Ei(1,−1 + x+ y)(x+ y)
+e−x−y (x+ y)− e−1Ei (1,−1 + x+ y)
−2 e−x−y)ex+yC1 + C2 ex+y (−1 + x+ y)2 . (194)
Observamos que a equac¸a˜o (194) e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o (185), obtida pelo
me´todo de Lie, para a qual a func¸a˜o pdsolve do programa MAPLE na˜o apresenta resposta.
4.2.4 Equac¸a˜o de Burger
A equac¸a˜o de Burger (SOARES, 2011; PEDRAM; MIRZAEI, 2007; JIWARI, 2012;
JEFFERSON; CARMINATI, ; KUMAR; PANDIT, 2014; JIWARI; PANDIT, ; HOS-
SEIN; TABATABAEI, 2014; ASAITAMBI, ; MIN, 2011) e´ uma 2EDP quase linear. E´
utilizada para resolver problemas de ondas de choque em fluidos viscosos e fluxo de tra´fego
rodovia´rio. Ela tem a forma geral
∂
∂t
u(x, t) + u(x, t)
∂
∂x
u(x, t) = υ
∂2
∂t2
u(x, t) (195)
onde υ representa, no caso dos fluidos, a viscosidade do l´ıquido. Vamos fazer a mudanc¸a
de varia´veis t = x e x = y, assim a equac¸a˜o fica
∂
∂x
u(x, y) + u(x, y)
∂
∂y
u(x, y)− υ ∂
2
∂y2
u(x, y) = 0 (196)
45
4.2.4.1 Resolvendo para o caso de viscosidade constante
Fazendo a viscosidade υ= 1 na equac¸a˜o (196) ficamos com
∂
∂x
u(x, y) + u(x, y)
∂
∂y
u(x, y)− ∂
2
∂y2
u(x, y) = 0 (197)
O comando pdsolve do MAPLE encontra as seguintes famı´lias de soluc¸o˜es
u (x, y) = −2C3 tanh (C2 x+ C3 y + C1)− C2
C3
(198)
Reescrevendo a 2EDP como u1 + uu2 − u22 = 0, aplicando o operador χ(2) e
igualando a zero, ficamos com
[η(x, y, u)]u2 +
∂
∂x
η(x, y, u) + [
∂
∂u
η(x, y, u)− ∂
∂x
ξ1(x, y, u)]u1
− ∂
∂x
ξ2(x, y, u)u2 − ∂
∂u
ξ1(x, y, u)u
2
1 −
∂
∂u
ξ2(x, y, u)u1u2
+
[
∂
∂y
η(x, y, u) + [
∂
∂u
η(x, y, u)− ∂
∂y
ξ2(x, y, u)]u2 − ∂
∂y
ξ1(x, y, u)u1
− ∂
∂u
ξ2(x, y, u)u
2
2 −
∂
∂u
ξ1(x, y, u)u1u2
]
u
−
[
∂2
∂y2
η(x, y, u) + [2
∂2
∂u∂y
η(x, y, u)− ∂
2
∂y2
ξ2(x, y, u)]u2 − ( ∂
2
∂y2
ξ1(x, y, u))u1
+ [(
∂
∂u
η(x, y, u))− 2( ∂
∂y
ξ2(x, y, u))]u22 − (2 ∂
∂y
ξ1(x, y, u))u12
+ [
∂2
∂u2
η(x, y, u)− 2 ∂
2
∂u∂y
ξ2(x, y, u)]u
2
2 − (2
∂2
∂u∂y
ξ1(x, y, u))u1u2
− ( ∂
2
∂u2
ξ2(x, y, u))u
3
2 − (
∂2
∂u2
ξ1(x, y, u))u1u
2
2 − (3
∂
∂u
ξ2(x, y, u))u2u22
− ( ∂
∂u
ξ1(x, y, u))u1u22 − (2 ∂
∂u
ξ1(x, y, u))
]
u2u12 = 0 (199)
Substituindo u22 = u1 +uu2 e supondo que as simetrias sa˜o polinomiais etc, chegamos a`s
simetrias
1) ξ1 = 1, ξ2 = 0 e η = 0, (200)
2) ξ1 = 0, ξ2 = 1 e η = 0, (201)
46
3) ξ1 = 2x, ξ2 = y e η = −u, (202)
4) ξ1 = 0, ξ2 = x e η = 1, (203)
5) ξ1 = x
2, ξ2 = xy e η = −xu+ y, (204)
implicando nas EDPs
1)
∂
∂x
u(x, y) = 0, (205)
2)
∂
∂y
u(x, y) = 0, (206)
3) 2x
∂
∂x
u(x, y) + y
∂
∂y
u(x, y) + u(x, y) = 0, (207)
4) x
∂
∂y
u(x, y) +
∂
∂u
u(x, y) = 0, (208)
5) x2
∂
∂x
u(x, y) + xy
∂
∂y
u(x, y) + [xu(x, y)− y] = 0 (209)
Resolvendo as EDPs, ficamos com
1) u = F (y), (210)
2) u = F (x), (211)
47
3) u = F
(
y√
x
)
1
,
√
x
(212)
4) u =
y
x
+ F (x), (213)
5) u =
(
y + F
(y
x
))
x−1, (214)
Para determinar as formas funcionais dos F ’s substitu´ımos na 2EDP:
1) F (y)
d
dy
F (y)− d
2
dy2
F (y) = 0, (215)
2)
d
dx
F (x) = 0, (216)
3) − 2 d
2
dr2
F (r) + (2F (r)− r) d
dr
F (r)− F (r) = 0 onde r = y√
x
, (217)
4) x
d
dx
F (x) + F (x) = 0, (218)
5) − d
2
dr2
F (r) + F (r)
d
dr
F (r) = 0 onde r =
y
x
, (219)
Resolvendo as EDOs chegamos as respostas finais:
1) u = tan
(
(y + C2)
√
2
2C1
)√
2C1
−1, (220)
2) u = C1, (221)
48
3) u =
[(
− 2KummerM
(
1− C1
2
,
3
2
,− y
2
4x
))
C1
+(2C1 − 2)KummerM
(
3− C1
2
,
3
2
,− y
2
4x
)
−2C2
(
2KummerU
(
1− C1
2
,
3
2
,− y
2
4x
)
+KummerU
(
3− C1
2
,
3
2
,− y
2
4x
)
(C1 − 1)
)
C1
]/
[
y
(
2C2KummerU
(
1− C1
2
,
3
2
,− y
2
4x
)
+KummerM
(
1− C1
2
,
3
2
,− y
2
4x
))]
, (222)
4) u =
y
x
+
C1
x
, (223)
5) u =
(
y + tan
(
1/2
(y
x
+ C2
)√
2C1
−1
)√
2C1
−1
)
x−1. (224)
Podemos observar que obtemos va´rias soluc¸o˜es que na˜o esta˜o contempladas na
soluc¸a˜o apresentada pelo comando do MAPLE (pdsolve). Podemos, ale´m disso, usar as
transformac¸o˜es finitas dos grupos de simetrias para gerar novas famı´lias de soluc¸o˜es. Por
exemplo, considere a simetria (5):
x2
∂
∂x
+ x y
∂
∂y
+ (−xu+ y) ∂
∂u
. (225)
Para obtermos o grupo de Lie a um paraˆmetro em forma finita que corresponde ao gerador
(225) temos que integrar o sistema
dx∗
d�
= x∗2, (226)
dy∗
d�
= x∗ y∗, (227)
du∗
d�
= −x∗ u∗ + y∗, (228)
49
que possui como soluc¸a˜o
x∗ =
x
1− � x, (229)
y∗ =
y
1− � x, (230)
u∗ = u+ �(−xu+ y). (231)
Aplicando a soluc¸a˜o (1), obtemos
u = C1 tan
((
y
1− � x + C2
)
C1
2
)
C1
1− � x −
� y
1− � x. (232)
4.2.5 Burger’s com viscosidade varia´vel
Vamos agora analisar a equac¸a˜o de Burger’s com o coeficiente da viscosidade na˜o
sendo constante. Fazendo υ = x+ y, em (196)
∂
∂x
u(x, y) + u(x, y)
∂
∂y
u(x, y)− (x+ y) ∂
2
∂y2
u(x, y) = 0 (233)
O comando pdsolve do MAPLE na˜o encontra soluc¸a˜o.
Reescrevendo a 2EDP como u1 + uu2 − (x+ y)u22 = 0 e aplicando χ(2) temos− ξ1(x, y, u)u22 − ξ2(x, y, u)u22 + η(x, y, u)u2 + ∂
∂x
η(x, y, u)
+
[
∂
∂u
η(x, y, u)− ∂
∂x
ξ1(x, y, u)
]
u1 −
(
∂
∂x
ξ2(x, y, u)
)
u2
−
(
∂
∂u
ξ1(x, y, u)
)
u21 −
(
∂
∂u
ξ2(x, y, u)
)
u1u2
+
[
∂
∂y
η(x, y, u) +
(
∂
∂u
η(x, y, u)− ∂
∂y
ξ2(x, y, u)
)
u2 −
(
∂
∂y
ξ1(x, y, u)
)
u1
−
(
∂
∂u
ξ2(x, y, u)
)
u22 −
(
∂
∂u
ξ1(x, y, u)
)
u1u2
]
u
+
[
∂2
∂y2
η(x, y, u) + (2
∂2
∂y∂u
η(x, y, u)− ∂
2
∂y2
ξ2(x, y, u))u2 −
(
∂2
∂y2
ξ1(x, y, u)
)
u1
+
(
∂
∂u
η(x, y, u)− 2 ∂
∂y
ξ2(x, y, u)
)
u22 − 2
(
∂
∂y
ξ1(x, y, u)
)
u12
+
(
∂2
∂u2
η(x, y, u)− 2 ∂
2
∂y∂u
ξ2(x, y, u)
)
u22 − 2
(
∂2
∂y∂u
ξ1(x, y, u)
)
u1u2
−
(
∂2
∂u2
ξ2(x, y, u)
)
u32 −
(
∂2
∂u2
ξ1(x, y, u)
)
u22u1 − 3
(
∂
∂u
ξ2(x, y, u)
)
u2u22
−
(
∂
∂u
ξ1(x, y, u)
)
u1u22 − 2
(
∂
∂u
ξ1(x, y, u)
)
u2u12
]
(−x− y) (234)
50
Fazendo
u1 = (x+ y)u22 − uu2 (235)
Fazendo as hipo´teses e simplificando, ficamos com
− (x+ y) ∂
2
∂y2
g(x, y) +
∂
∂x
g(x, y) +
[
∂
∂y
g(x, y) +
∂
∂x
f(x)
]
u
+ (x+ y)
∂2
∂y2
ξ2(x, y) + g(x, y)−
[
∂
∂x
ξ2(x, y)
]
u2
+
[
(2x+ 2y)
∂
∂y
ξ2(x, y)− (x+ y) ∂
∂x
ξ1(x)− ξ2(x, y)− ξ1(x)
]
u22
+
[
f(x)− ∂
∂y
ξ2(x, y) +
∂
∂x
ξ1(x)
]
uu2 = 0 (236)
Substituindo os infinite´simos por polinoˆmios com coeficientes a determinar e resolvendo
as equac¸o˜es para os coeficientes, obtemos a simetria
ξ1 = −1, ξ2 = 1 e η = 0, (237)
implicando em
− ∂
∂x
u(x, y) +
∂
∂y
u(x, y) = 0 (238)
com soluc¸a˜o
u = F (x+ y). (239)
para determinar F (x+ y) substituimos na 2EDP e obtemos
−r ∂
2
∂r2
F (r) + (F (r) + 1)
∂
∂r
F (r) = 0, onde r = x+ y, (240)
com soluc¸a˜o
F (r) = −
(
2C1 + tanh
(
ln (r)− C2
2C1
))
C1
−1 (241)
Fazendo a mudanc¸a de varia´vel r = x+ y encontramos a resposta final
u = −
(
2C1 + tanh
(
ln (x+ y)− C2
2C1
))
C1
−1. (242)
51
4.2.6 Uma generalizac¸a˜o da equac¸a˜o de Burger
Considere a seguinte 2EDP
∂
∂x
u(x, y) +
∂
∂x
u(x, y)
∂
∂y
u(x, y)− (x+ y) ∂
2
∂y2
u(x, y) = 0 (243)
O comando pdsolve do MAPLE na˜o consegue encontrar soluc¸a˜o.
Reescrevendo a 2EDP como u1 + u1u2 − (x + y)u22 = 0 e aplicando o operador
χ(2) obtemos
−(ξ1(x, y, u) + ξ2(x, y, u))u22 + η1(1 + u2) + η2u1 − (x+ y)η22 = 0. (244)
Substituindo os η′s, encontramos
− ξ1(x, y, u)u22 − ξ2(x, y, u)u22
+
[
∂
∂x
η(x, y, u) +
(
∂
∂u
η(x, y, u)− ∂
∂x
ξ1(x, y, u)
)
u1 −
(
∂
∂x
ξ2(x, y, u)
)
u2
−
(
∂
∂u
ξ1(x, y, u)
)
u21 −
(
∂
∂u
ξ2(x, y, u)
)
u1u2
]
(1 + u2)
+
[
∂
∂y
η(x, y, u) +
(
∂
∂u
η(x, y, u)− ∂
∂y
ξ2(x, y, u)
)
u2
−
(
∂
∂y
ξ1(x, y, u)
)
u1 −
(
∂
∂u
ξ2(x, y, u)
)
u22 −
(
∂
∂u
ξ1(x, y, u)
)
u1u2
]
u1
+
[
∂2
∂y2
η(x, y, u) +
(
2
∂2
∂y∂u
η(x, y, u)− ∂
2
∂y2
ξ2(x, y, u)
)
u2
−
(
∂2
∂y2
ξ1(x, y, u)
)
u1 +
(
∂
∂u
η(x, y, u)− 2 ∂
∂y
ξ2(x, y, u)
)
u22
−
(
2
∂
∂y
ξ1(x, y, u)
)
u12 +
(
∂2
∂u2
η(x, y, u)− 2 ∂
2
∂y∂u
ξ2(x, y, u)
)
u22
−
(
2
∂2
∂y∂u
ξ1(x, y, u)
)
u1u2 −
(
∂2
∂u2
ξ2(x, y, u)
)
u32 −
(
3
∂
∂u
ξ2(x, y, u)
)
u2u22
−
(
∂
∂u
ξ1(x, y, u)
)
u1u22 −
(
2
∂
∂u
ξ1(x, y, u)
)
u2u12
]
(−x− y) = 0. (245)
Substituindo u1 = (x + y)u22 − u1u2 e supondo que ∂ξ1∂u = ∂ξ2∂u = 0, que η = g(x, y) +
52
f(x, y)u, obtemos
−
[
(x+ y)
∂2
∂y2
g(x, y) +
∂
∂x
g(x, y)− (c+ ∂
∂y
g(x, y) +
∂
∂x
ξ1(x)
]
u1u2
+
[
(x+ y)(
∂2
∂y2
ξ2(y)
∂
∂x
g(x, y)
]
u2
+
[
(x+ y)
∂
∂y
g(x, y) + 2(x+ y)
∂
∂y
ξ2(y)− (x+ y) ∂
∂x
ξ1(x)− ξ1(x)− ξ2(y)
]
u22
+
[
− 2c+ ∂
∂y
ξ2(y) +
∂
∂x
ξ1(x)
]
u1u
2
2
+
[
− (x+ y)
(
∂
∂y
ξ2(y) +
∂
∂x
ξ1(x)
)
+ 2c(x+ y)
]
u2u22 = 0. (246)
Supondo que ξ1, ξ2 e η sa˜o polinoˆmios e resolvendo para os coeficientes, temos a simetria
ξ1 = −1, ξ2 = 1 e η = 0. (247)
Substituindo e efetuando, chegamos na 1EDP
∂
∂x
u(x, y)− ∂
∂y
u(x, y) = 0, (248)
com soluc¸a˜o
u = F (x+ y). (249)
Fazendo a mudanc¸a de varia´vel r = x + y e substituindo (249) na 2EDP inicial (243),
temos a 2EDO[
d
dr
F (r)
]2
− r d
2
dr2
F (r) +
d
dr
F (r) = 0, (250)
com soluc¸a˜o
F (r) = −r − C1 ln(r − C1) + C2. (251)
Voltando a mudanc¸a de varia´vel r = x + y e substituindo (251) em (249) chegamos a
resposta final
u = −(x+ y)− C1 ln(x+ y − C1) + C2 (252)
53
4.2.7 2EDP na˜o linear
Considere a 2EDP na˜o linear dada por
∂
∂x
u (x, y) +
(
∂
∂y
u (x, y)
)2
u (x, y)− y
∂2
∂y2
u (x, y)
x
= 0. (253)
O comando pdsolve do MAPLE na˜o consegue encontrar soluc¸a˜o.
Reescrevendo a 2EDP como u1 + uu2
2 − y u22
x
= 0 e aplicando o operador χ(2),
substituindo os infinite´simos por suas formas funcionais, fazendo a suposic¸a˜o que os infi-
nite´simos sa˜o polinomiais, e resolvendo para os coeficientes, obtemos a simetria:
ξ1 = 0, ξ2 = y e η = u, (254)
que leva ao invariante
I1 = −2xu
2 − y2
u2
(255)
levando a` soluc¸a˜o geral
u (x, y) = − y√
2x+ C1
. (256)
54
5 RELAC¸O˜ES ENTRE 2EDOS RACIONAIS E 1EDPS QUASE-LINEARES
Neste cap´ıtulo, que deu origem ao trabalho publicado (NUNEZ; DUARTE; MOTA,
2016), vamos mostrar dois tipos de conexo˜es entre 2EDOs racionais e 1EDPs polinomiais
quase-lineares. A primeira delas e´ mais direta e envolve 2EDOs racionais e 1EDPs quase-
lineares em duas varia´veis independentes. A outra conexa˜o envolve 2EDOs racionais
e 1EDPs polinomiais quase-lineares em treˆs varia´veis independentes. Essas relac¸o˜es nos
permitem achar as simetrias de Lie em casos mais complicados (do ponto de vista pra´tico)
e integrar as 2EDOs racionais por quadraturas; podemos tambe´m integrar as 1EDPs (em
duas varia´veis) associadas com as 2EDOs racionais pela conexa˜o do primeiro tipo. Ale´m
disso, podemos usar essas relac¸o˜es para obter soluc¸o˜es particulares das 1EDPs quase-
lineares em treˆs varia´veis independentes.
Este cap´ıtulo sera´ organizado da seguinte maneira:
Em primeiro lugar vamos mostrar o conceito de func¸a˜o-S associada a uma 2EDO.
A func¸a˜o-S esta´ ligada a` possibilidade de escrevermos uma 2EDO racional como duas
1-formas em treˆs varia´veis com componentes polinomiais. Para uma 2EDO racional as
func¸o˜es-S associadas obedecem a uma 1EDP polinomial quase-linear em treˆs varia´veis.
Em seguida mostraremos que as simetrias da 1EDP para a func¸a˜o-S esta˜o relaci-
onadas de uma forma especial com as simetrias das 2EDOs associadas.
Por fim, usando a relac¸a˜o entre 1EDPs quase-lineares em duas varia´veis indepen-
dentes e 2EDOs, obteremos algoritmos para obter simetrias (e, portanto invariantes) das
2EDOs e das 1EDPs associadas.
5.1 A Func¸a˜o S
Vamos considerar a 2EDO racional
y′′ =
dy′
dx
= φ(x, y, z) =
M(x, y, z)
N(x, y, z)
, (257)
onde M e N sa˜o polinoˆmios coprimos em (x, y, z) e z ≡ y′9.
Definic¸a˜o 5.1 Uma func¸a˜o I(x, y, z) e´ denominada integral primeira da 2EDO (257)
se I e´ constante sobre as curvas-soluc¸a˜o de (257).
Observac¸a˜o 5.1 Se I(x, y, z) e´ uma integral primeira da 2EDO (257) enta˜o, sobre as
9 Neste cap´ıtulo, quando nos referirmos a 2EDOs, z ≡ y′ .
55
curvas-soluc¸a˜o de (257), temos que a 1-forma ω := dI = Ix dx+ Iy dy + Iz dz e´ nula.
Uma vez que, sobre as curvas-soluc¸a˜o de (257), dz = φ(x, y, z) dx e dy = z dx, temos que
as 1-formas α e β definidas por
α := φ dx−