Apostila EB Transformação Estrela Triângulo

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1
2
3
4
1R 2R
3R
( a )
aRbR
cR
3
42
1
( b )
 
Figura 1 - Equivalência entre a conexão (a) estrela e (b) triângulo 
Transformação Estrela-Triângulo 
1. Introdução 
Existem muitos casos práticos em que a resistência equivalente necessita ser determinada e 
onde somente as regras de associação série e de associação em paralelo não permitem a 
determinação da resistência equivalente. Um caso típico é o circuito em ponte mostrado na 
Figura 2. Nestes casos pode-se simplificar o problema utilizando as regras de conversão 
estrela-triângulo, as quais são vistas aqui de forma resumida, maiores detalhes encontram-se 
na bibliografia. A conexão de resistores em estrela é mostrado na Figura 1a, ao passo que a 
conexão em triângulo é mostrada na Figura 1b. A conexão em estrela também é denominada 
de conexão Y ou ainda conexão T. Por outro lado, a conexão em triângulo também é 
denominada de conexão em delta ou ainda conexão pi . Sob todos os aspectos elétricos 
(corrente, tensão e potência), existe uma equivalência entre estas duas conexões, a qual é 
assegurada pelas relações entre as resistências em ambas. 
2. Conversão de Triângulo para Estrela 
Quando o circuito original está na conexão triângulo, pode-se converter o circuito para estrela 
utilizando-se as seguintes relações: 
cba
cb
1
RRR
RR
R
++
⋅
= (1) 
cba
ac
2
RRR
RR
R
++
⋅
= (2) 
cba
ba
3
RRR
RR
R
++
⋅
= (3) 
A regra para a conversão triângulo-estrela é, portanto: cada resistor do circuito em estrela é o 
produto dos resistores dos dois ramos adjacentes do triângulo dividido pela soma dos três 
resistores do triângulo. 
3. Conversão de Estrela para Triângulo 
Quando o circuito original está na conexão estrela, pode-se converter o circuito para triângulo 
utilizando-se as seguintes relações: 
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1
133221
a
R
RRRRRR
R
⋅+⋅+⋅
= (4) 
2
133221
b
R
RRRRRR
R
⋅+⋅+⋅
= (5) 
3
133221
c
R
RRRRRR
R
⋅+⋅+⋅
= (6) 
A regra para a conversão estrela-triângulo é, portanto: cada resistor do circuito em triângulo é 
o produto dos resistores da estrela dois a dois dividido pelo resistor oposto da estrela. 
4. Exemplo de Aplicação 
A seguir é apresentado um exemplo que ilustra a aplicação do que foi exposto. 
4.1 Circuito em Ponte 
Deseja-se determinar a resistência equivalente do circuito em ponte mostrado na Figura 2 a 
partir dos terminais x-y. Uma análise inicial do circuito revela que não é possível aplicar as 
regras de associação série-paralela, pois não é possível identificar este tipo de associação no 
circuito. Pode-se, no entanto, reconhecer que existe a possibilidade de aplicar as 
transformações estrela-triângulo. Conforme pode ser constatado pela Figura 2, existem várias 
possibilidade de associar os elementos do circuito tanto com a conexão estrela como 
triângulo. Para fins de resolução e transformação, será escolhido o triângulo formado pelos 
resistores de 15, 5 e 20 ohms (em azul na Figura 3b). Desta forma, pelas fórmulas (1), (2) e 
(3) de conversão triângulo-estrela, obtém-se: 
Ω=
Ω=
Ω=
8R
20R
15R
c
b
a
 
Ω=
++
⋅
= 721,3
82015
820
R1 
Ω=
++
⋅
= 791,2
82015
158
R2 
Ω=
++
⋅
= 977,6
82015
2015
R3 
Após esta conversão o circuito assume a forma mostrada na Figura 2c, onde a resistência 
721,3R1 = ohms está em série com a resistência de 5 ohms e a resistência 791,2R2 = ohms 
está em série com a resistência de 10 ohms. Fazendo-se a associação em série destas 
resistências, obtém-se o circuito mostrado na Figura 2d. As resistências de 721,8 ohms e de 
12,791 ohms estão agora em paralelo, resultando numa resistência de 5,184 ohms, conforme 
mostrado na Figura 2e. Finalmente associando em série as resistências de 5,184 e 6,977 
ohms, obtêm-se a resistência equivalente entre os terminais x-y (Figura 2f): 
Ω=+= 162,12977,6184,5Rxy 
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5 10
1520
8
x
y
x
42
1 3
42
y
y
5 10
1520
8
1 3
aR
cR
bR
x
y
1R 2R
3R
5 10
3,721 3,791
6,977
x
8,721 12,791
6,977
6,977
5,184
12,162
y y
xx
( a ) ( b )
( c ) ( d )
( e )
( f )
 
Figura 2 - Determinação da resistência equivalente usando conversão triângulo-estrela 
5. Exercício Proposto 
a) Determine a resistência equivalente a partir dos terminais s-t do circuito mostrado 
na Figura 3 utilizando as fórmulas de conversão estrela-triângulo. (resposta: 14,01 
ohms) 
b) Determine a resistência equivalente a partir dos terminais s-t do circuito mostrado 
na Figura 3 aplicando uma tensão conhecida nos terminais s-t e determinando a 
corrente. 
c) Implemente um arquivo de simulação no Orcad (ou Matlab/Simulink) e comprove os 
resultados obtidos nos itens a) e b). 
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s
t
10 Ω
5 Ω
5 Ω
15 Ω
3 Ω
7 Ω 1 Ω
21 Ω
33 Ω
 
Figura 3 - Determinação da resistência equivalente a partir dos terminais s-t 
6. Exercícios Recomendados 
A seguir é apresentada uma lista de exercícios selecionados da bibliografia aconselhada para a 
disciplina. Para uma melhor assimilação recomenda-se que todos os exercícios sejam 
resolvidos. 
Charles K. Alexander e Matthew N. O. Sadiku (2003). Fundamentos de circuitos elétricos. 
Bookman (Central 20, Edição 2000) - Capítulo 2. Problemas: 2.43, 2.44, 2.45, 2.46, 2.47, 
2.48, 2.50, 2.51.