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Lógica Aula 02 Prof.ª Larissa 2016 Sumário • Sistemas Dicotômicos • Introdução • Interruptores • Conjuntos • Exercício – Raciocínio Lógico Sistemas Dicotômicos - Introdução • O que são sistemas dicotômicos? São sistemas que apresentam apenas dois estados bem definidos. Variáveis dicotômicas apresentam apenas duas respostas possíveis, que mutuamente se excluem: 1 0 Verdadeiro Falso Ligado Desligado Sim Não Dia Noite Vivo Morto Sistemas Dicotômicos - Introdução • O que são sistemas dicotômicos? Situações que apresentam valores intermediários, como tonalidades de cores, variação de temperatura, etc, não são ditas dicotômicas: Sistemas Dicotômicos - Interruptores • Interruptores: Chamamos interruptor ao dispositivo ligado a um ponto de um circuito elétrico, que pode assumir dois estados: fechado (1) ou aberto (0). Fechado (1): o interruptor permite a passagem de corrente elétrica. Aberto (0): o interruptor impede a passagem de corrente elétrica. a a Representação gráfica em circuitos: Considerando o interruptor a: Estado aberto (0) Estado fechado (1) Sistemas Dicotômicos - Interruptores Em Lógica, a representação mais utilizada será esta: Portanto, somente conheceremos o estado do interruptor se tivermos a informação de que a = 1 ou a = 0. Quando outro interruptor (x) está aberto sempre que a estiver fechado e vice-versa, dizemos que x é o inverso, complemento ou negação de a. Denota-se o complemento de a como a’. Então: a x = a’ Outras representações da negação de a: �a ¬a a~ Em qualquer representação, lê-se “não a” Sistemas Dicotômicos - Interruptores • Interruptores em paralelo: Numa ligação em paralelo, só passará corrente se pelo menos um dos interruptores estiver fechado (1). Sejam a e b dois interruptores em paralelo. Representa-se esta ligação como a + b. Temos: a b = a + b Em lógica, a + b é lido como “a ou b”, e também é comumente representado como a ∨ b Sistemas Dicotômicos - Interruptores • Interruptores em série: Numa ligação em série, só passará corrente se todos os interruptores estiverem fechados (1). Sejam a e b dois interruptores em série. Representa-se esta ligação como a . b. Temos: Em lógica, a . b é lido como “a e b”, e também é comumente representado como a ∧ b a . ba b = Sistemas Dicotômicos - Interruptores Considerando os possíveis estados assumidos pelos interruptores nas ligações, notamos que: Paralelo Série 0 + 0 = 0 0 . 0 = 0 0 + 1 = 1 0 . 1 = 0 1 + 0 = 1 1 . 0 = 0 1 + 1 = 1 1 . 1 = 1 a + b = b + a a . b = b . a a + a’ = 1 a . a’ = 0 a + 0 = a a . 0 = 0 a + 1 = 1 a . 1 = a Nenhuma chave fechada b fechado a fechado a e b fechados Propr. comutativa 0 + 1 = 1; 1 + 0 = 1 a define saída 1 define saída a b a b Nenhuma chave fechada a aberto b aberto a e b fechados Propr. comutativa 0 . 1 = 0; 1 . 0 = 0 0 define saída a define saída Sistemas Dicotômicos - Interruptores • Expressões lógicas: Todas as configurações de interruptores podem ser equacionadas, criando uma expressão lógica correspondente. Ambas resultam em 1 caso a = 1 e (b = 1 ou c = 1). Logo, suas ligações são equivalentes: a b c b c a a a . (b + c) (a . b) + (a . c) a . (b + c) = (a . b) + (a . c) Sistemas Dicotômicos - Interruptores • Expressões lógicas: Todas as configurações de interruptores podem ser equacionadas, criando uma expressão lógica correspondente. Ambas resultam em 1 caso a = 1 ou (b = c = 1). Logo, suas ligações são equivalentes: a + (b . c) (a + b) . (a + c) a + (b . c) = (a + b) . (a + c) a b c a a b c Sistemas Dicotômicos - Interruptores • Exercícios: Encontrar as expressões algébricas dos seguintes circuitos: Respostas: a b c pn a a’ b c c’ d (a + b) . c + (n . p) (a + b) . c (n . p) a . (b + c) a’ . (c’ + d) a . (b + c) + a’ . (c’ + d) • Exercícios: Sistemas Dicotômicos - Interruptores Encontrar a expressão algébrica do seguinte circuito: Resposta: r s s p q p’ r q’ s r s’ p . ((s + r) . q’ + r .s) + (q + p’) . (r . s’ + s) (s + r) . q’ r . s (q + p’) . (r . s’ + s) Sistemas Dicotômicos - Interruptores • Exercícios: Desenhar os circuitos de interruptores cujas ligações são: Respostas: p . (p’ + q . p) (x + y’) . (x’ + y) x y’ x’ y p p’ q p Sistemas Dicotômicos - Interruptores • Exercícios: Desenhar os circuitos de interruptores cujas ligações são: Respostas: (r + s’) . t + r’ x . (y’ + z) + x’ . (y + z) r s’ t r’ x x’ y' z y z Sistemas Dicotômicos - Conjuntos • Conjuntos: Definição: reunião de elementos que possuem algo em comum. Representação: entre chaves ou gráfica. Exemplo: Representação do conjunto A, que contém os elementos 1, 2, 3 e 4: A = {1,2,3,4} A Sistemas Dicotômicos - Conjuntos U = Conjunto Universo: contém todos os elementos que se deseja considerar em dada situação. a, b, c, d = subconjuntos do universo U Região verde: interseção entre os conjuntos a e b Sistemas Dicotômicos - Conjuntos Vamos considerar o conjunto a e o conjunto b: Denotaremos por a + b o conjunto de todos os elementos que pertencem só a a, ou só a b ou aos dois. Portanto, a + b é a união de a com b: Denotaremos por a . b o conjunto de todos os pontos que pertencem a a e b, (pontos comuns). Portanto, a . b é a interseção de a com b: a b a + b a . b Sistemas Dicotômicos - Conjuntos Seja a’ o conjunto de todos os elementos do espaço considerado que não pertencem a a. Dizemos que a’ é o complemento de a. Chamaremos de conjunto vazio e o denotaremos por 0 o conjunto que não contém elementos. Denotaremos por 1 o conjunto de todos os elementos, que é o próprio conjunto universo. a a’ 0 1 Complemento de a Conjunto vazio Conjunto universo Sistemas Dicotômicos - Conjuntos Para dois conjuntos quaisquer a e b do universo 1, valem as seguintes igualdades: 0 + 0 = 0 0 . 0 = 0 0 + 1 = 1 0 . 1 = 0 1 + 0 = 1 1 . 0 = 0 1 + 1 = 1 1 . 1 = 1 a + b = b + a a . b = b . a a + a’ = 1 a . a’ = 0 a + 0 = a a . 0 = 0 a + 1 = 1 a . 1 = a Note que vimos estas mesmas propriedades para as configurações paralelo / série de interruptores. Sistemas Dicotômicos - Conjuntos • Exercícios: Mostrar, com diagramas, que: a + (b . c) = (a + b) . (a + c) Solução: a b c a b a c b . c + = c a + b b a . a cb a + c a b c a + (b . c) a b c (a + b) . (a + c) = • Exercícios: Sistemas Dicotômicos - Conjuntos Mostrar, com diagramas, que: a . (b + c) = (a . b) + (a . c) Solução: a b c a b a c b + c . = c a . b b a + a cb a . c a b c a . (b + c) a b c (a . b) + (a . c) = • Exercícios: Sistemas Dicotômicos - Conjuntos Com diagramas, ilustrar a expressão: p’ . q . r Solução: p q r p’ . p q r q . r = p q r p’ . q . r q . r – p • Exercícios: Sistemas Dicotômicos - Conjuntos Com diagramas, ilustrar a expressão: pr’ + p’qr Solução: + p q r p . r’ rq p p’ . q . r = p q r pr’ + p’qr p – r q . r – p • Exercícios: Sistemas Dicotômicos - Conjuntos Escrever a expressão correspondente à representação gráfica: Solução: x y z xyz’ x . y – z x’y’z z – x – y xyz’ + x’y’z • Exercícios: Sistemas Dicotômicos - Conjuntos Escrever a expressão correspondente à representação gráfica: Solução: x y z x’y’z’ xyz xyz + x’y’z’ Exercício – Raciocínio lógico Uma prova de Matemática com três questões (A, B e C) foi resolvida por todos os alunos de uma turma segundo a tabela abaixo, que indica os acertos:Pergunta-se: a) quantos alunos fizeram a prova? b) quantos alunos acertaram somente A e B? c) quantos alunos não acertaram A e C? Solução: A B C 3 5 2 1 3 6 7 2 R: 29 R: 1 R: 21 Lógica� Sumário Sistemas Dicotômicos - Introdução Sistemas Dicotômicos - Introdução Sistemas Dicotômicos - Interruptores Sistemas Dicotômicos - Interruptores Sistemas Dicotômicos - Interruptores Sistemas Dicotômicos - Interruptores Sistemas Dicotômicos - Interruptores Sistemas Dicotômicos - Interruptores Sistemas Dicotômicos - Interruptores Sistemas Dicotômicos - Interruptores Sistemas Dicotômicos - Interruptores Sistemas Dicotômicos - Interruptores Sistemas Dicotômicos - Interruptores Sistemas Dicotômicos - Conjuntos Sistemas Dicotômicos - Conjuntos Sistemas Dicotômicos - Conjuntos Sistemas Dicotômicos - Conjuntos Sistemas Dicotômicos - Conjuntos Sistemas Dicotômicos - Conjuntos Sistemas Dicotômicos - Conjuntos Sistemas Dicotômicos - Conjuntos Sistemas Dicotômicos - Conjuntos Sistemas Dicotômicos - Conjuntos Sistemas Dicotômicos - Conjuntos Exercício – Raciocínio lógico
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