P2 - Cálculo IIA - 1 - Xu Cheng

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UFF - Universidade Federal Fluminense
2o¯ Prova -Calculo IIA
Questa˜o 1 (2 pts). Encontre a sua soluc¸a˜o geral da E.D.O.’s de primeira ordem abaixo:
(x2 + y2)dx + (3xy2 + 2xy + x3)dy = 0.
Questa˜o 2 (2 pts). Encontre a sua soluc¸a˜o geral da E.D.O. de segunda ordem abaixo:
y′′ − 4y′ + 4y = xe2x.
Questa˜o 3 (2 pts). (a) Encontre a soluc¸a˜o geral da E.D.O: y′′′ + 3y′ − 4y = 0
(b) Resolva o P.V.I.: x2y′′ − xy′ + 3y = 0, x > 0, com y(1) = 1, y′(1) = 2.
Questa˜o 4 (2 pts). Encontre a soluc¸a˜o geral da E.D.O:
xy′′ + (2x− 1)y′ + (x− 1)y = 0, x > 0,
sabendo que y1 = e
−x e´ uma soluc¸a˜o desta equac¸a˜o.
Questa˜o 5 (2 pts). Determine as trajeto´rias ortogonais a` famı´lia de circunfereˆncias
conceˆntricos (x− 1)2 + y2 = C, onde C > 0.
Resposta:
Q1. (3xy2 + x3)e3y = C. Q2. y = c1e
2x + c2xe
2x + 1
6
x3e2x.
Q3. (a) y = c1e
x + c2e
− 1
2
x cos(
√
15
2
x) + c3e
− 1
2
xsen(
√
15
2
x).
(b) y = x cos(
√
2 lnx) + 1√
2
xsen(
√
2 lnx).
Q4. y = c1e
−x + c2x2e−x. Q5. y = C(x− 1), x 6= 1.