EQUILIBRIO DO PONTO MATERIAL EM TRES DIMENSÕAES IFSP

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Mecânica Técnica
Aula 8 – Equilíbrio do Ponto 
Material em Três Dimensões
Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Tópicos Abordados Nesta Aula
� Solução de Exercícios.
� Equilíbrio em Três Dimensões.
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Mecânica Técnica
Exercício 1
� 1) Considere que o cabo AB esteja submetido a uma força de 700N. 
Determine as forças de tração nos cabos AC e AD e a intensidade da 
força vertical F.
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Solução do Exercício 1
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)6,0,0(A
)0,3,2(B
)0;2;5,1(−C
)0,6,3( −−D
kjirAB
rrrr 632 −+=
222 632 ++=ABr
7=ABr
7
632 kji
uAB
rrr
r −+
=
kjiu AB
rrrr 857,0429,0286,0 −+=
ABABAB uFF
rv
⋅=
)857,0429,0286,0(700 kjiFAB
rrrv
−+⋅=
)600300200( kjiFAB
rrrv
−+=
)( kFF
rr
=
Determinação da Força em Cada Cabo:
Força F:
Cabo AB:
Vetor posição:
Módulo do vetor posição:
Vetor unitário:
Vetor Força AB:
m
m
N
Solução do Exercício 1
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kjirAC
rrrr 625,1 −+−=
222 625,1 ++=ACr
5,6=ACr
5,6
625,1 kji
uAC
rrr
r −+−
=
kjiuAC
rrrr 923,0307,0230,0 −+−=
ACACAC uFF
rv
⋅=
)923,0307,0230,0( kjiFF ACAC
rrrv
−+−⋅=
)923,0307,0230,0( kFjFiFF ACACACAC
rrrv
⋅−⋅+⋅−=
kjirAD
rrrr 663 −−−=
9=ADr
9
663 kji
u AD
rrr
r −−−
=
kjiu AD
rrrr 666,0666,0333,0 −−−=
ADADAD uFF
rv
⋅=
)666,0666,0333,0( kjiFF ADAD
rrrv
−−−⋅=
)666,0666,0333,0( kFjFiFF ADADADAD
rrrv
⋅−⋅−⋅−=
Cabo AC:
Vetor posição:
Módulo do vetor posição:
Vetor unitário:
Vetor Força AC:
Cabo AD:
Vetor posição:
Módulo do vetor posição:
Vetor unitário:
Vetor Força AD:
N
N
m
m
m
m
222 663 ++=ADr
Solução do Exercício 1
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Condição de equilíbrio:
Sistema de equações:
∑ = 0F
r
0=+++ FFFF ADACAB
rrrr
0666,0666,0333,0923,0307,0230,0600300200 =+⋅−⋅−⋅−⋅−⋅+⋅−−+ kFkFjFiFkFjFiFkji ADADADACACAC
rrrrrrrrrr
∑ = 0xF 0333,0230,0200 =⋅−⋅− ADAC FF
∑ = 0yF 0666,0307,0300 =⋅−⋅+ ADAC FF
∑ = 0zF 0666,0923,0600 =+⋅−⋅−− FFF ADAC
(I)
(II)
(III)
Solução do Exercício 1
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Solução das equações:
Substituindo (IV) em (II):
Em (IV):
Em (III):
333,0
230,0200 AC
AD
F
F
⋅−
=
ACAD FF ⋅−= 690,0600
0))690,0600(666,0(307,0300 =⋅−⋅−⋅+ ACAC FF
0459,0400307,0300 =⋅+−⋅+ ACAC FF
0766,0100 =⋅+− ACF
766,0
100
=ACF 57,131=ACF
ACAD FF ⋅−= 690,0600
57,131690,0600 ⋅−=ADF
21,509=ADF
0666,0923,0600 =+⋅−⋅−− FFF ADAC
021,509666,057,131923,0600 =+⋅−⋅−− F
21,509666,057,131923,0600 ⋅+⋅+=F
13,33943,121600 ++=F
57,1060=F
De (I):
(IV)
N
N
N
Exercício 2
� 2) Determine a deformação necessária em cada mola para manter a 
caixa de 20kg na posição de equilíbrio. Cada mola tem comprimento 
de 2m sem deformação e rigidez k = 300N/m.
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Solução do Exercício 2
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jFF OAOA
rr
−=
iFF OBOB
rr
−=
kjirOC
rrrr 1246 ++=
222 1246 ++=OCr 14=OCr
14
1246 kj
uOC
rrr
r ++
=
kjiuOC
rrrr 857,0285,0428,0 ++=
OCOCOC uFF
rv
⋅=
)857,0285,0428,0( kjiFF OCOC
rrrv
++⋅=
)857,0285,0428,0( kFjFiFF OCOCOCOC
rrrv
⋅+⋅+⋅=
)81,920( kW
rr
⋅−=
)2,196( kW
rr
−=
Determinação das Forças :
Peso:
Cabo OA:
Vetor posição:
Módulo do vetor posição:
Vetor unitário:
Vetor Força OC:
Cabo OB:
Cabo OC:
N
N
N
N
m
m
Solução do Exercício 2
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Condição de equilíbrio:
Sistema de equações:
∑ = 0F
r
0=+++ WFFF OCOBOA
rrrr
0)2,196857,0285,0428,0 =−⋅+⋅+⋅+−− kkFjFiFiFjF OCOCOCOBOA
rrrrrr
∑ = 0xF 0428,0 =⋅+− OCOB FF
∑ = 0yF 0285,0 =⋅+− OCOA FF
∑ = 0zF 02,196857,0 =−⋅ OCF
(I)
(II)
(III)
Solução do Exercício 2
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Solução das equações:
Em (II):
Em (I):
De (III):
N
mN
857,0
2,196
=OCF
93,228=OCF
093,228285,0 =⋅+− OAF
24,65=OAF
093,228428,0 =⋅+− OBF
98,97=OBF
N
Deformação da Molas:
OBOB skF ⋅=
OBs⋅= 30098,97
300
98,97
=OBs
326,0=OBs
OAOA skF ⋅=
OAs⋅= 30024,65
300
24,65
=OAs
217,0=OAs
Mola OA: Mola OB:
m
Exercícios Propostos
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� 1) Os cabos AB e AC suportam uma tração máxima de 500N e o 
poste, uma compressão máxima de 300N. Determine o peso da 
luminária sustentada na posição mostrada. A força no poste atua 
alongo de seu próprio eixo. 
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Exercícios Propostos
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� 2) O cabo suporta a caçamba e seu conteúdo que tem massa total de 
300kg. Determine as forças desenvolvidas nas escoras AD e AE e a 
força na parte AB do cabo para a condição de equilíbrio. A força em 
cada escora atua ao longo do seu próprio eixo. 
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Exercícios Propostos
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� 3) Determine a força necessária em cada um dos três cabos para 
levantar a escavadeira que tem massa de 8 toneladas. 
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Exercícios Propostos
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� 4) Determine a força necessária que atua ao longo do eixo de cada 
uma das três escoras para suportar o bloco de 500kg.
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Exercícios Propostos
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� 5) O vaso é suportado pelos cabos AB, AC e AD. Determine a força 
que atua em cada cabo para a condição de equilíbrio. Considere d = 
2,5m.
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� Avaliação 1.
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