Prova 2 ex

Prévia do material em texto

Prof.	
  Wanderson	
  S.	
  Paris	
  	
  	
  -­‐	
  	
  	
  prof@cronosquality.com.br	
   MECÂNICA	
  DOS	
  SÓLIDOS	
  
Aula	
  12	
  -­‐	
  Carga	
  Axial	
  e	
  Princípio	
  	
  
de	
  Saint-­‐Venant.	
  
Prof.	
  Wanderson	
  S.	
  Paris,	
  M.Eng.	
  
prof@cronosquality.com.br	
  
Prof.	
  Wanderson	
  S.	
  Paris	
  	
  	
  -­‐	
  	
  	
  prof@cronosquality.com.br	
   MECÂNICA	
  DOS	
  SÓLIDOS	
  
Carga	
  Axial	
  
A	
  tubulação	
  de	
  perfuração	
  	
  
de	
  petróleo	
  suspensa	
  no	
  
guindaste	
  da	
  perfuratriz	
  	
  	
  
está	
  subme8da	
  a	
  cargas	
  e	
  
deformações	
  axiais	
  
extremamente	
  grandes,	
  
portanto,	
  o	
  engenheiro	
  
responsável	
  pelo	
  projeto	
  
deve	
  ser	
  extremamente	
  
capaz	
  de	
  iden8ficar	
  essas	
  
cargas	
  e	
  deformações	
  a	
  
fim	
  de	
  garan8r	
  a	
  
segurança	
  do	
  projeto.	
  
Carga Axial
Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistência dos Materiais
A tubulação de perfuração de 
petróleo suspensa no guindaste da 
perfuratriz está submetida a cargas 
e deformações axiais 
extremamente grandes, portanto, o 
engenheiro responsável pelo 
projeto deve ser extremamente 
capaz de identificar essas cargas e 
deformações a fim de garantir a 
segurança do projeto.
Prof.	
  Wanderson	
  S.	
  Paris	
  	
  	
  -­‐	
  	
  	
  prof@cronosquality.com.br	
   MECÂNICA	
  DOS	
  SÓLIDOS	
  
Princípio	
  de	
  Saint-­‐Venant	
  
•  Para	
  o	
  caso	
  representado,	
  a	
  
barra	
  está	
  fixada	
  rigidamente	
  
em	
  uma	
  das	
  extremidades,	
  e	
  a	
  
força	
  é	
  aplicada	
  por	
  meio	
  de	
  um	
  
furo	
  na	
  outra	
  extremidade.	
  
•  Devido	
  ao	
  carregamento,	
  a	
  
barra	
  se	
  deforma	
  como	
  indicado	
  
pelas	
  distorções	
  das	
  retas	
  antes	
  
horizontais	
  e	
  ver8cais,	
  da	
  grelha	
  
nela	
  desenhada.	
  
Princípio de Saint-Venant
Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistência dos Materiais
Uma barra deforma-se elasticamente quando 
submetida a uma carga P aplicada ao longo do 
seu eixo geométrico.
Para o caso representado, a barra está fixada 
rigidamente em uma das extremidades, e a força 
é aplicada por meio de um furo na outra 
extremidade. 
Devido ao carregamento, a barra se deforma 
como indicado pelas distorções das retas antes 
horizontais e verticais, da grelha nela desenhada.
•  Uma	
  barra	
  deforma-­‐se	
  elas8camente	
  quando	
  subme8da	
  
a	
  uma	
  carga	
  P	
  aplicada	
  ao	
  longo	
  do	
  seu	
  eixo	
  geométrico.	
  
Prof.	
  Wanderson	
  S.	
  Paris	
  	
  	
  -­‐	
  	
  	
  prof@cronosquality.com.br	
   MECÂNICA	
  DOS	
  SÓLIDOS	
  
Deformação	
  ElásBca	
  de	
  um	
  Elemento	
  
com	
  Carga	
  Axial	
  
•  A	
  par8r	
  da	
  aplicação	
  da	
  
lei	
  de	
  Hooke	
  e	
  das	
  
definições	
  de	
  tensão	
  e	
  
deformação	
  ,	
  pode-­‐se	
  
desenvolver	
  uma	
  
equação	
  para	
  determinar	
  
a	
  deformação	
  elás8ca	
  de	
  
um	
  elemento	
  subme8do	
  
a	
  cargas	
  axiais.	
  
•  Desde	
  que	
  essas	
  
quan8dades	
  não	
  
excedam	
  o	
  limite	
  de	
  
proporcionalidade,	
  as	
  
mesmas	
  podem	
  ser	
  
relacionadas	
  u8lizando-­‐se	
  
a	
  lei	
  de	
  Hooke,	
  ou	
  seja:	
  
Deformação Elástica de um Elemento 
com Carga Axial
Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistência dos Materiais
A partir da aplicação da lei de Hooke e das definições de tensão e deformação , pode-se 
desenvolver uma equação para determinar a deformação elástica de um elemento 
submetido a cargas axiais.
)(
)(
xA
xP
=σ
dx
dδ
ε =
Desde que essas quantidades não excedam o limite de proporcionalidade, as 
mesmas podem ser relacionadas utilizando-se a lei de Hooke, ou seja:
εσ ⋅= E
Deformação Elástica de um Elemento 
com Carga Axial
Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistência dos Materiais
A partir da aplicação da lei de Hooke e das definições de tensão e deformação , pode-se 
desenvolver uma equação para determinar a deformação elástica de um elemento 
submetido a cargas axiais.
)(
)(
xA
xP
=σ
dx
dδ
ε =
Desde que essas quantidades não excedam o limite de proporcionalidade, as 
mesmas podem ser relacionadas utilizando-se a lei de Hooke, ou seja:
εσ ⋅= E
Deformação Elástica de um Elemento 
com Carga Axial
Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistência dos Materiais
A partir da aplicação da lei de Hooke e das definições de tensão e deformação , pode-se 
desenvolver uma equação para determinar a deformação elástica de um elemento 
submetido a cargas axiais.
)(
)(
xA
xP
=σ
dx
dδ
ε =
Desde que essas quantidades não excedam o limite de proporcionalidade, as 
mesmas podem ser relacionadas utilizando-se a lei de Hooke, ou seja:
εσ ⋅= E
Prof.	
  Wanderson	
  S.	
  Paris	
  	
  	
  -­‐	
  	
  	
  prof@cronosquality.com.br	
   MECÂNICA	
  DOS	
  SÓLIDOS	
  
Deformação	
  ElásBca	
  de	
  um	
  Elemento	
  
com	
  Carga	
  Axial	
  
•  As	
  equações	
  u8lizadas	
  são	
  escritas	
  do	
  seguinte	
  modo:	
  
Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistência dos Materiais
As equações utilizadas são escritas do seguinte modo:
!
"
#
$
%
&
=
dx
dE
xA
xP δ
)(
)(
ExA
dxxPd
⋅
⋅
= )(
)(δ
Deformação Elástica de um 
Elemento com Carga Axial
Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistência dos Materiais
As equações utilizadas são escritas do seguinte modo:
!
"
#
$
%
&
=
dx
dE
xA
xP δ
)(
)(
ExA
dxxPd
⋅
⋅
= )(
)(δ
Deformação Elástica de um 
Elemento com Carga Axial
Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistência dos Materiais
As equações utilizadas são escritas do seguinte modo:
!
"
#
$
%
&
=
dx
dE
xA
xP δ
)(
)(
ExA
dxxPd
⋅
⋅
= )(
)(δ
Deformação Elástica de um 
Elemento com Carga Axial
Prof.	
  Wanderson	
  S.	
  Paris	
  	
  	
  -­‐	
  	
  	
  prof@cronosquality.com.br	
   MECÂNICA	
  DOS	
  SÓLIDOS	
  
Deformação	
  ElásBca	
  de	
  um	
  Elemento	
  
com	
  Carga	
  Axial	
  
Portanto,	
  na	
  forma	
  integral	
  tem-­‐se	
  que:	
  	
  
	
  
	
  
	
  
onde:	
  
δ	
  =	
  deslocamento	
  de	
  um	
  ponto	
  da	
  barra	
  em	
  relação	
  a	
  
outro.	
  
L	
  =	
  distância	
  entre	
  pontos.	
  
P(x)	
  =	
  Força	
  axial	
  interna	
  da	
  seção,	
  localizada	
  a	
  uma	
  
distância	
  x	
  de	
  uma	
  extremidade.	
  
A(x)	
  =	
  área	
  da	
  seção	
  transversal	
  da	
  barra	
  expressa	
  em	
  
função	
  de	
  x.	
  E	
  =	
  módulo	
  de	
  elas8cidade	
  do	
  material.	
  
Deformação Elástica de um 
Elemento com Carga Axial
Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistência dos Materiais
!
⋅
⋅
=
L
ExA
dxxP
0 )(
)(δ
Portanto, na forma integral tem-se que:
onde:
δ = deslocamento de um ponto da barra em relação a outro.
L = distância entre pontos.
P(x) = Força axial interna da seção, localizada a uma distância x de uma 
extremidade.
A(x) = área da seção transversal da barra expressa em função de x.
E = módulo de elasticidade do material.
Prof.	
  Wanderson	
  S.	
  Paris	
  	
  	
  -­‐	
  	
  	
  prof@cronosquality.com.br	
   MECÂNICA	
  DOS	
  SÓLIDOS	
  
Carga	
  Uniforme	
  e	
  Seção	
  TransversalConstante	
  
•  Em	
  muitos	
  casos,	
  a	
  barra	
  tem	
  área	
  da	
  seção	
  transversal	
  
constante	
  A;	
  o	
  material	
  será	
  homogêneo,	
  logo	
  E	
  é	
  
constante.	
  Além	
  disso,	
  se	
  uma	
  força	
  externa	
  constante	
  
for	
  aplicada	
  em	
  cada	
  extremidade	
  como	
  mostra	
  a	
  figura,	
  
então	
  a	
  força	
  interna	
  P	
  ao	
  longo	
  de	
  todo	
  o	
  comprimento	
  
da	
  barra	
  também	
  será	
  constante.	
  
Carga Uniforme e Seção Transversal 
Constante
Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistência dos Materiais
EA
LP
⋅
⋅
=δ
Em muitos casos, a barra tem área da seção transversal constante A; o material será
homogêneo, logo E é constante. Além disso, se uma força externa constante for 
aplicada em cada extremidade como mostra a figura, então a força interna P ao longo 
de todo o comprimento da barra também será constante. 
Carga Uniforme e Seção Transversal 
Constante
Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistência dos Materiais
EA
LP
⋅
⋅
=δ
Em muitos casos, a barra tem área da seção transversal constante A; o material será
homogêneo, logo E é constante. Além disso, se uma força externa constante for 
aplicada em cada extremidade como mostra a figura, então a força interna P ao longo 
de todo o comprimento da barra também será constante. 
Prof.	
  Wanderson	
  S.	
  Paris	
  	
  	
  -­‐	
  	
  	
  prof@cronosquality.com.br	
   MECÂNICA	
  DOS	
  SÓLIDOS	
  
Convenção	
  de	
  Sinais	
  
Considera-­‐se	
  força	
  e	
  
deslocamento	
  como	
  posi8vos	
  
se	
  provocarem,	
  
respec8vamente	
  tração	
  e	
  
alongamento;	
  ao	
  passo	
  que	
  a	
  
força	
  e	
  deslocamento	
  são	
  
nega8vos	
  se	
  provocarem	
  
compressão	
  e	
  contração	
  
respec8vamente.	
  
Convenção de Sinais
Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistência dos Materiais
Considera-se força e deslocamento 
como positivos se provocarem, 
respectivamente tração e 
alongamento; ao passo que a força e 
deslocamento são negativos se 
provocarem compressão e 
contração respectivamente.
Prof.	
  Wanderson	
  S.	
  Paris	
  	
  	
  -­‐	
  	
  	
  prof@cronosquality.com.br	
   MECÂNICA	
  DOS	
  SÓLIDOS	
  
Barra	
  com	
  Diversas	
  Forças	
  Axiais	
  
Se	
  a	
  barra	
  for	
  subme8da	
  a	
  diversas	
  forças	
  axiais	
  
diferentes	
  ou,	
  ainda,	
  a	
  área	
  da	
  seção	
  transversal	
  ou	
  o	
  
módulo	
  de	
  elas8cidade	
  mudarem	
  abruptamente	
  de	
  
uma	
  região	
  para	
  outra	
  da	
  barra,	
  deve-­‐se	
  calcular	
  o	
  
deslocamento	
  para	
  cada	
  segmento	
  da	
  barra	
  e	
  então	
  
realizar	
  a	
  adição	
  algébrica	
  dos	
  deslocamentos	
  de	
  cada	
  
segmento.	
  
Barra com Diversas Forças Axiais
Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistência dos Materiais
!
⋅
⋅
=
EA
LPδ
Se a barra for submetida a diversas forças axiais diferentes ou, ainda, a área da seção 
transversal ou o módulo de elasticidade mudarem abruptamente de uma região para outra 
da barra, deve-se calcular o deslocamento para cada segmento da barra e então realizar a 
adição algébrica dos deslocamentos de cada segmento.
Barra com Diversas Forças Axiais
Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistência dos Materiais
!
⋅
⋅
=
EA
LPδ
Se a barra for submetida a diversas forças axiais diferentes ou, ainda, a área da seção 
transversal ou o módulo de elasticidade mudarem abruptamente de uma região para outra 
da barra, deve-se calcular o deslocamento para cada segmento da barra e então realizar a 
adição algébrica dos deslocamentos de cada segmento.
Prof.	
  Wanderson	
  S.	
  Paris	
  	
  	
  -­‐	
  	
  	
  prof@cronosquality.com.br	
   MECÂNICA	
  DOS	
  SÓLIDOS	
  
Diagrama	
  de	
  Cargas	
  Axiais	
  
Prof.	
  Wanderson	
  S.	
  Paris	
  	
  	
  -­‐	
  	
  	
  prof@cronosquality.com.br	
   MECÂNICA	
  DOS	
  SÓLIDOS	
  
Exercício	
  1	
  
•  1)	
  O	
  conjunto	
  mostrado	
  na	
  figura	
  consiste	
  de	
  um	
  tubo	
  de	
  
alumínio	
  AB	
  com	
  área	
  da	
  seção	
  transversal	
  de	
  400	
  mm2.	
  
Uma	
  haste	
  de	
  aço	
  de	
  10	
  mm	
  de	
  diâmetro	
  está	
  acoplada	
  a	
  
um	
  colar	
  rígido	
  que	
  passa	
  através	
  do	
  tubo.	
  Se	
  for	
  aplicada	
  
uma	
  carga	
  de	
  tração	
  de	
  80	
  kN	
  à	
  haste,	
  qual	
  será	
  o	
  
deslocamento	
  da	
  extremidade	
  C?	
  
•  Supor	
  que	
  Eaço	
  =	
  200	
  GPa	
  e	
  Eal	
  =	
  70	
  GPa.	
  
Exercício 1
Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistência dos Materiais
1) O conjunto mostrado na figura consiste de um tubo de alumínio AB com área da 
seção transversal de 400 mm². Uma haste de aço de 10 mm de diâmetro está
acoplada a um colar rígido que passa através do tubo. Se for aplicada uma carga de 
tração de 80 kN à haste, qual será o deslocamento da extremidade C? 
Supor que Eaço = 200 GPa e Eal= 70 GPa.
Prof.	
  Wanderson	
  S.	
  Paris	
  	
  	
  -­‐	
  	
  	
  prof@cronosquality.com.br	
   MECÂNICA	
  DOS	
  SÓLIDOS	
  
Solução	
  do	
  Exercício	
  1	
  
O	
  diagrama	
  de	
  corpo	
  livre	
  do	
  
tubo	
  e	
  da	
  haste	
  mostra	
  que	
  a	
  
haste	
  está	
  sujeita	
  a	
  uma	
  
tração	
  de	
  80	
  kN	
  e	
  o	
  tubo	
  está	
  
sujeito	
  a	
  uma	
  compressão	
  de	
  
80	
  kN.	
  
Deslocamento	
  de	
  C	
  em	
  
relação	
  à	
  B:	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
O	
  sinal	
  posi8vo	
  indica	
  que	
  a	
  
extremidade	
  C	
  move-­‐se	
  para	
  
a	
  direita	
  em	
  relação	
  à	
  
extremidade	
  B,	
  visto	
  que	
  a	
  
barra	
  se	
  alonga.	
  
Solução do Exercício 1
Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistência dos Materiais
O diagrama de corpo livre do tubo e 
da haste mostra que a haste está
sujeita a uma tração de 80 kN e o 
tubo está sujeito a uma compressão 
de 80 kN.
O sinal positivo indica que a 
extremidade C move-se para a 
direita em relação à extremidade B, 
visto que a barra se alonga.
Deslocamento de C em relação à B:
EA
LP
CB
⋅
⋅
=δ
92
3
10200)005,0(
6,01080
⋅⋅⋅
⋅⋅+
=
pi
δCB
003056,0+=CBδ m
Solução do Exercício 1
Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistência dos Materiais
O diagrama de corpo livre do tubo e 
da haste mostra que a haste está
sujeita a uma tração de 80 kN e o 
tubo está sujeito a uma compressão 
de 80 kN.
O sinal positivo indica que a 
extremidade C move-se para a 
direita em relação à extremidade B, 
visto que a barra se alonga.
Deslocamento de C em relação à B:
EA
LP
CB
⋅
⋅
=δ
92
3
10200)005,0(
6,01080
⋅⋅⋅
⋅⋅+
=
pi
δCB
003056,0+=CBδ m
Prof.	
  Wanderson	
  S.	
  Paris	
  	
  	
  -­‐	
  	
  	
  prof@cronosquality.com.br	
   MECÂNICA	
  DOS	
  SÓLIDOS	
  
Solução	
  do	
  Exercício	
  1	
  
Deslocamento	
  de	
  B	
  em	
  
relação	
  à	
  A:	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
O	
  sinal	
  nega8vo	
  indica	
  que	
  o	
  
tubo	
  se	
  encurta	
  e,	
  assim,	
  B	
  
move-­‐se	
  para	
  a	
  direita	
  em	
  
relação	
  a	
  A.	
  
Como	
  ambos	
  os	
  
deslocamentos	
  são	
  para	
  a	
  
direita,	
  o	
  deslocamento	
  
resultante	
  de	
  C	
  em	
  relação	
  
à	
  extremidade	
  fixa	
  A	
  é:	
  
Soluçãodo Exercício 1
Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistência dos Materiais
O sinal negativo indica que o tubo 
se encurta e, assim, B move-se para 
a direita em relação a A.
Deslocamento de B em relação à A:
EA
LP
B
⋅
⋅
=δ
96
3
107010400
4,01080
⋅⋅⋅
⋅⋅−
=
−
Bδ
001143,0−=Bδ m
Como ambos os deslocamentos 
são para a direita, o deslocamento 
resultante de C em relação à
extremidade fixa A é:
CBBC δδδ +=
003056,0001143,0 +=Cδ
00420,0=Cδ
20,4=Cδ
m
mm
Solução do Exercício 1
Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistência dos Materiais
O sinal negativo indica que o tubo 
se encurta e, assim, B move-se para 
a direita em relação a A.
Deslocamento de B em relação à A:
EA
LP
B
⋅
⋅
=δ
96
3
107010400
4,01080
⋅⋅⋅
⋅⋅−
=
−
Bδ
001143,0−=Bδ m
Como ambos os deslocamentos 
são para a direita, o deslocamento 
resultante de C em relação à
extremidade fixa A é:
CBBC δδδ +=
003056,0001143,0 +=Cδ
00420,0=Cδ
20,4=Cδ
m
mm
Prof.	
  Wanderson	
  S.	
  Paris	
  	
  	
  -­‐	
  	
  	
  prof@cronosquality.com.br	
   MECÂNICA	
  DOS	
  SÓLIDOS	
  
Exercício	
  2	
  
2)	
  Uma	
  viga	
  rígida	
  AB	
  apóia-­‐se	
  sobre	
  dois	
  postes	
  curtos	
  como	
  
mostrado	
  na	
  figura.	
  AC	
  é	
  feito	
  de	
  aço	
  e	
  tem	
  diâmetro	
  de	
  20	
  
mm;	
  BD	
  é	
  feito	
  de	
  alumínio	
  e	
  tem	
  diâmetro	
  de	
  40	
  mm.	
  
Determinar	
  o	
  deslocamento	
  do	
  ponto	
  F	
  em	
  AB	
  se	
  for	
  
aplicada	
  uma	
  carga	
  ver8cal	
  de	
  90	
  kN	
  nesse	
  ponto.	
  Admi8r	
  
Eaço	
  =	
  200	
  GPa	
  e	
  Eal	
  =	
  70	
  GPa.	
  
Exercício 2
Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistência dos Materiais
2) Uma viga rígida AB apóia-se sobre dois postes curtos como mostrado na figura. AC é
feito de aço e tem diâmetro de 20 mm; BD é feito de alumínio e tem diâmetro de 40 mm. 
Determinar o deslocamento do ponto F em AB se for aplicada uma carga vertical de 90 kN
nesse ponto. Admitir Eaço = 200 GPa e Eal = 70 GPa.
Prof.	
  Wanderson	
  S.	
  Paris	
  	
  	
  -­‐	
  	
  	
  prof@cronosquality.com.br	
   MECÂNICA	
  DOS	
  SÓLIDOS	
  
Solução	
  do	
  Exercício	
  2	
  Solução do Exercício 2
Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistência dos Materiais
Reações de apoio:
! = 0AM
06,02,090 =⋅+⋅− BDP
6,0
2,090 ⋅
=BDP
30=BDP
! = 0VF
090 =−+ BDAC PP
3090−=ACP
60=ACP
kN
kN
Solução do Exercício 2
Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistência dos Materiais
Reações de apoio:
! = 0AM
06,02,090 =⋅+⋅− BDP
6,0
2,090 ⋅
=BDP
30=BDP
! = 0VF
090 =−+ BDAC PP
3090−=ACP
60=ACP
kN
kN
Prof.	
  Wanderson	
  S.	
  Paris	
  	
  	
  -­‐	
  	
  	
  prof@cronosquality.com.br	
   MECÂNICA	
  DOS	
  SÓLIDOS	
  
Solução	
  do	
  Exercício	
  2	
  Solução do Exercício 2
Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistência dos Materiais
Poste AC:
açoAC
ACAC
A EA
LP
⋅
⋅
=δ
92
3
10200)010,0(
3,01060
⋅⋅⋅
⋅⋅−
=
pi
δ A
610286 −⋅−=Aδ m
286,0=Aδ mm
Poste BD:
alBD
BDBD
B EA
LP
⋅
⋅
=δ
92
3
1070)020,0(
3,01030
⋅⋅⋅
⋅⋅−
=
pi
δB
610102 −⋅−=Bδ m
102,0=Bδ mm
Solução do Exercício 2
Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistência dos Materiais
Poste AC:
açoAC
ACAC
A EA
LP
⋅
⋅
=δ
92
3
10200)010,0(
3,01060
⋅⋅⋅
⋅⋅−
=
pi
δ A
610286 −⋅−=Aδ m
286,0=Aδ mm
Poste BD:
alBD
BDBD
B EA
LP
⋅
⋅
=δ
92
3
1070)020,0(
3,01030
⋅⋅⋅
⋅⋅−
=
pi
δB
610102 −⋅−=Bδ m
102,0=Bδ mm
Prof.	
  Wanderson	
  S.	
  Paris	
  	
  	
  -­‐	
  	
  	
  prof@cronosquality.com.br	
   MECÂNICA	
  DOS	
  SÓLIDOS	
  
Solução	
  do	
  Exercício	
  2	
  Solução do Exercício 2
Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistência dos Materiais
Pela proporção do triângulo tem-se que:
!
"
#
$
%
&
⋅+=
600
400184,0102,0Fδ
225,0=Fδ mm
Prof.	
  Wanderson	
  S.	
  Paris	
  	
  	
  -­‐	
  	
  	
  prof@cronosquality.com.br	
   MECÂNICA	
  DOS	
  SÓLIDOS	
  
Exercícios	
  Propostos	
  
[P55]	
  O	
  navio	
  é	
  impulsionado	
  
pelo	
  eixo	
  da	
  hélice,	
  feito	
  de	
  aço	
  
A-­‐36,	
  E	
  =	
  200	
  GPa	
  e	
  com	
  8	
  m	
  de	
  
comprimento,	
  medidos	
  da	
  
hélice	
  ao	
  mancal	
  de	
  encosto	
  D	
  
do	
  motor.	
  Se	
  esse	
  eixo	
  possuir	
  
diâmetro	
  de	
  400	
  mm	
  e	
  
espessura	
  da	
  parede	
  de	
  50	
  mm,	
  
qual	
  será	
  sua	
  contração	
  axial	
  
quando	
  a	
  hélice	
  exercer	
  uma	
  
força	
  de	
  5	
  kN	
  sobre	
  ele?	
  Os	
  
apoios	
  B	
  e	
  C	
  são	
  mancais.	
  	
  
122
© 2010 Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ. All rights reserved. This material is protected under all copyright laws as they currently
exist. No portion of this material may be reproduced, in any form or by any means, without permission in writing from the publisher.
Internal Force: As shown on FBD.
Displacement:
Ans.
Negative sign indicates that end A moves towards end D.
 = -3.64 A10-3 B mm = -3.638(10-6) m
 dA =
PL
AE
=
-5.00 (103)(8)
p
4 (0.4
2 - 0.32) 200(109)
•4–1. The ship is pushed through the water using an A-36
steel propeller shaft that is 8 m long, measured from the
propeller to the thrust bearing D at the engine. If it has an
outer diameter of 400 mm and a wall thickness of 50 mm,
determine the amount of axial contraction of the shaft
when the propeller exerts a force on the shaft of 5 kN. The
bearings at B and C are journal bearings.
A B C
D
8 m
5 kN
4–2. The copper shaft is subjected to the axial loads
shown. Determine the displacement of end A with respect
to end D. The diameters of each segment are 
and Take Ecu = 1811032 ksi.dCD = 1 in.dBC = 2 in., dAB = 3 in., 1 kip6 kip
A 3 kip
2 kip
2 kipB C
D
50 in. 75 in. 60 in.
The normal forces developed in segment AB, BC and CD are shown in the
FBDS of each segment in Fig. a, b and c respectively.
The cross-sectional area of segment AB,BC and CD are 
and .
Thus,
Ans.
The positive sign indicates that end A moves away from D.
 = 0.766(10-3) in.
 =
6.00 (50)
(2.25p) C18(103) D + 2.00 (75)p C18(103) D + -1.00 (60)(0.25p) C18(103) D
 dA>D = ©PiLiAiEi = PAB LABAAB ECu + PBC LBCABC ECu + PCD LCDACD ECu
ACD =
p
4
 (12) = 0.25p in2ABC =
p
4
(22) = p in2
AAB =
p
4
 (32) = 2.25p in2,
04 Solutions 46060 5/25/10 3:19 PM Page 122
Prof.	
  Wanderson	
  S.	
  Paris	
  	
  	
  -­‐	
  	
  	
  prof@cronosquality.com.br	
   MECÂNICA	
  DOS	
  SÓLIDOS	
  
Exercícios	
  Propostos	
  
[P56]	
  A	
  junta	
  é	
  feita	
  de	
  três	
  chapas	
  de	
  aço	
  A-­‐36	
  ligadas	
  pelas	
  suas	
  
costuras.	
  Determinar	
  o	
  deslocamento	
  da	
  extremidade	
  A	
  em	
  relação	
  
à	
  extremidade	
  B	
  quando	
  a	
  junta	
  é	
  subme8da	
  às	
  cargas	
  axiais	
  
mostradas.	
  Cada	
  chapa	
  tem	
  espessura	
  de	
  6	
  mm.	
  	
  
Prof.	
  Wanderson	
  S.	
  Paris	
  	
  	
  -­‐	
  	
  	
  prof@cronosquality.com.br	
   MECÂNICA	
  DOS	
  SÓLIDOS	
  
Exercícios	
  Propostos	
  
[P57]	
  Determinar	
  o	
  alongamento	
  da	
  8ra	
  de	
  alumínio	
  quando	
  
subme8da	
  a	
  uma	
  força	
  axial	
  de	
  30	
  kN.	
  Eal	
  =	
  70	
  GPa	
  	
  
© 2008by R.C. Hibbeler. Published by Pearson Prentice Hall, Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ. All rights reserved. This material is protected under all
copyright laws as they currently exist. No portion of this material may be reproduced, in any form or by any means, without permission in writing from the publisher.
110
c04.qxd 1/1/04 12:08 AM Page 110
Prof.	
  Wanderson	
  S.	
  Paris	
  	
  	
  -­‐	
  	
  	
  prof@cronosquality.com.br	
   MECÂNICA	
  DOS	
  SÓLIDOS	
  
Exercícios	
  Propostos	
  
[P58]	
  O	
  parafuso	
  tem	
  um	
  diâmetro	
  de	
  20	
  mm	
  e	
  passa	
  através	
  de	
  um	
  
tubo	
  que	
  tem	
  diâmetro	
  interno	
  de	
  50	
  mm	
  e	
  diâmetro	
  externo	
  de	
  60	
  
mm.	
  Se	
  o	
  parafuso	
  eo	
  tubo	
  são	
  feitos	
  de	
  aço	
  A-­‐36,	
  determinar	
  a	
  
tensão	
  normal	
  no	
  tubo	
  e	
  o	
  parafuso,	
  quando	
  uma	
  força	
  de	
  40	
  kN	
  
aplicada	
  ao	
  parafuso.	
  Suponha	
  que	
  as	
  tampas	
  são	
  rígidas.	
  
Referring to the FBD of left portion of the cut assembly, Fig. a
(1)
Here, it is required that the bolt and the tube have the same deformation. Thus
(2)
Solving Eqs (1) and (2) yields
Thus,
Ans.
Ans.st =
Ft
At
=
29.83 (103)
p
4(0.06
2 - 0.052)
= 34.5 MPa
sb =
Fb
Ab
=
10.17(103)
p
4(0.02
2)
= 32.4 MPa
Fb = 10.17 (103) N Ft = 29.83 (103) N
 Ft = 2.9333 Fb
 
Ft(150)
p
4(0.06
2 - 0.052) C200(109) D = Fb(160)p4(0.022) C200(109) D
 dt = db
:+ ©Fx = 0; 40(103) - Fb - Ft = 0
•4–45. The bolt has a diameter of 20 mm and passes
through a tube that has an inner diameter of 50 mm and an
outer diameter of 60 mm. If the bolt and tube are made of
A-36 steel, determine the normal stress in the tube and bolt
when a force of 40 kN is applied to the bolt.Assume the end
caps are rigid.
154
© 2010 Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ. All rights reserved. This material is protected under all copyright laws as they currently
exist. No portion of this material may be reproduced, in any form or by any means, without permission in writing from the publisher.
40 kN
150 mm
160 mm
40 kN
04 Solutions 46060 5/25/10 3:20 PM Page 154
Prof.	
  Wanderson	
  S.	
  Paris	
  	
  	
  -­‐	
  	
  	
  prof@cronosquality.com.br	
   MECÂNICA	
  DOS	
  SÓLIDOS	
  
Referências	
  Bibliográficas	
  
•  hJp://www.cronosquality.com/aulas/ms/index.html	
  
•  Hibbeler,	
  R.	
  C.	
  -­‐	
  Resistência	
  dos	
  Materiais,	
  7.ed.	
  São	
  
Paulo	
  :Pearson	
  Pren8ce	
  Hall,	
  2010.	
  
•  BEER,	
  F.P.	
  e	
  JOHNSTON,	
  JR.,	
  E.R.	
  Resistência	
  dos	
  Materiais,	
  3.o	
  
Ed.,	
  Makron	
  Books,	
  1995.	
  
•  Rodrigues,	
  L.	
  E.	
  M.	
  J.	
  Resistência	
  dos	
  Materiais,	
  Ins8tuto	
  Federal	
  
de	
  Educação,	
  Ciência	
  e	
  Tecnologia	
  –	
  São	
  Paulo:	
  2009.	
  
•  BUFFONI,	
  S.S.O.	
  Resistência	
  dos	
  Materiais,	
  Universidade	
  Federal	
  
Fluminense	
  –	
  Rio	
  de	
  Janeiro:	
  2008.	
  
•  MILFONT,	
  G.	
  Resistência	
  dos	
  Materiais,	
  Universidade	
  de	
  
Pernanbuco:	
  2010.