Condução Transiente

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Condução de Calor Transiente
Objetivos
Depois de estudar o capítulo se deve:
• Saber quando a variação espacial da temperatura é desprezível, 
e a temperatura varía quase uniformemente com o tempo, sendo 
aplicável a análise pelo método da capacitância global,
• Obter soluções analíticas para problemas de condução 
transientes unidimensionais em geometrias rectangulares, 
cilíndricas, e esféricas usando o método da sepação de 
variáveis, e entender porque a solução com apenas um termo é variáveis, e entender porque a solução com apenas um termo é 
uma aproximação razoável,
• Resolver problemas de condução transiente em médios infinitos 
usando uma variável de similaridade, e predizer a variação da 
temperatura com o tempo e a distância da superfície exposta, e
• Construir soluções para problemas de condução transientes 
multi-dimensionais usando o método da superposição.
Análise da Capacitância Global
• Nas análises de TC, alguns corpos são essencialmente 
isotérmicos e podem ser tratados como sistemas uniformes. 
• O balanço de energia num sólido isotérmico no intervalo 
de tempo dt se pode expressar como
A
de tempo dt se pode expressar como
hAs(T∞-T)dt =
TC para o coppo 
durante dt
=
Aumento da 
energia do corpo 
durante dt
(4–1)mcpdT
m=massa
V=volume
ρ=densidade
Ti=temperatura inicial
T=T(t)
( )sQ hA T T t∞ = − &
h
T
∞
As
CORPO SÓLIDO
• Notando que m=ρV e dT=d(T-T
∞
) já que T
∞
constante, 
Eq. 4–1 se pode rearranjar em
• Integrando do tempo zero (no qual T=Ti) até t resulta
( )
s
p
d T T hA dt
T T Vcρ
∞
∞
−
=
−
(4–2)
( )ln shAT t T t
T T Vcρ
∞
−
=
−
(4–3)
• Tomando a exponencial nos dois lados e rearranjando
• b é uma quantidade exponencial cuja dimensão é 
(tempo)-1, e se denomina de constante temporal.
i pT T Vcρ∞−
( )
 ; (1/s)bt s
i p
hAT t T
e b
T T Vcρ
−∞
∞
−
= =
−
(4–4)
Há diversas observações que podem ser feitas da relação anterior:
1. A equação 4–4 permite determinar a temperatura T(t) do corpo 
no tempo t, ou alternativamente, o tempo t requerido para que a 
temperatura atinja o valor especificado T(t).
2. A temperatura do corpo atinge a temperatura ambiente T
exponencialmente. 
3. A temperatura do corpo varia rapidamente no início, mas 3. A temperatura do corpo varia rapidamente no início, mas 
lentamente no final. 
4. Um valor grande de b indica que o corpo
atinge a temperatura ambiente num tempo 
pequeno.
Taxa da TC por Convecção
• A taxa de TC por convecção entre o corpo e o 
ambiente se pode determinar pela lei do resfriamento 
de Newton
• A TC total entre o corpo e o ambiente no intervalo de 
[ ]( ) ( ) (W)sQ t hA T t T∞= −& (4–6)
• A TC total entre o corpo e o ambiente no intervalo de 
tempo de 0 até t é simplesmente a variação de energia 
contida no corpo:
• A TC máxima entre o corpo e o meio externo (quando 
o corpo atinge T
∞
) é:
[ ]( ) (kJ)pQ mc T t T∞= − (4–7)
[ ]max (kJ)p iQ mc T T∞= − (4–8)
Critérios para Análise da 
Capacitância Global
• Assumir um sistema uniforme não é sempre apropriado,
o primeiro passo para estabelecer a aplicabilidade do 
método é definir um comprimento característico
c sL V A=
hL
• e o número de Biot (Bi) como
• Também Bi pode ser expresso como 
chLBi k= (4–9)
1
c
cond
conv
L
RkBi
Rh
= = =
TinTsT∞
h
Rcond
Resistência à condução dentro do corpo
Rconv
Resistência à convecção na superfície do corpo
• A análise da capacitância global assume uma 
distribuição da temperatura uniforme através do corpo, 
que é real apenas quando a resistência térmica do corpo 
à condução é nula.
• Assim, quanto menor o número de Bi, mais exata é a 
análise da capacitância global.análise da capacitância global.
• Se aceita geralmente que a análise da capacitância 
global é aplicável se
0.1Bi ≤
Condução de calor transiente em paredes 
planas e cilindros compridos, e esferas 
com efeitos espaciais 1D
• Em muitos problemas de TC transientes o número Bi é 
maior que 0,1, e o sistema não é mais uniforme. 
• Nesses casos a temperatura dentro do corpo varia 
apreciavelmente de um ponto a outro e com o tempo.apreciavelmente de um ponto a outro e com o tempo.
• É construtivo considerar primeiro a variação da 
temperatura com o tempo e posição em problemas 1D em 
configurações básicas como
a parede plana comprida,
um cilindro longo, e uma
esfera.
A parede plana comprida
• Parede plana de espessura 2L.
• A temperatura inicial uniforme Ti.
• No tempo t=0, a parede está imersa num
fluido a temperatura T
∞
.
h• Coeficiente de TC uniforme h.
• A altura e largura da parede são grandes em relação à sua 
espessura � aproximação 1D é válida.
• Propriedades termofísicas constantes.
• Sem geração de calor.
• Existe simetria térmica no plano que passa em x=0.
Equação de condução do calor
• Problema de condução de calor 1D transiente (0≤ x ≤ L):
(4–10a)
2
2
1T T
x tα
∂ ∂
=
∂ ∂
Equação diferencial:
x tα∂ ∂
(4–10b)
( )
( ) ( )
0,
0
,
,
T t
x
T L t
k h T L t T
x
∞
∂
= ∂
 ∂  − = −  ∂
Condições de contorno:
(4–10c)( ),0 iT x T=Condição inicial:
Equação adimensional
• Variável espacial adimensional 
X=x/L
• Variável da temperatura adimensional
θθθθ(x, t)=[T(x,t)-T
∞
]/[Ti-T∞]
• O tempo adimensional e a razão h/k serão obtidas através da 
análise que segueanálise que segue
• Introduzindo a variável adimensional na Eq. 4-10a
• Substituindo nas Eqs. 4–10a e 4–10b e rearranjando
( )
2 2 2
2 2
1
 ; ; 
/ i i i
L T L T T
X x L T T x X T T x t T T t
θ θ θ θ
∞ ∞ ∞
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= = = =
∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
1, 0,
 ; 1, ; 0
t tL T hL
t
X x t X k X
θ θθ θ θ
α
∂ ∂∂ ∂ ∂
= = =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(4–11)
• Dessa forma, o tempo adimensional é τ=αt/L2, que se 
denomina número de Fourier (Fo).
• hL/k é o número de Biot (Bi).
• O problema de condução de calor transiente 1D numa 
parede plana se pode expressar na forma adimensional
como
(4–12a)
2θ θ∂ ∂
=Equação diferencial: (4–12a)2X τ=∂ ∂Equação diferencial:
(4–12b)
( )
( ) ( )
0,
0
1,
1,
X
Bi
X
θ τ
θ τ θ τ
∂
= ∂
∂
= − ∂
Condições de contorno:
(4–12c)( ),0 1Xθ =Condição inicial:
Solução exata
• Diversas técnicas analíticas e numéricas podem ser 
usadas para resolver a Eq. 4-12.
• Se mostra o método de separação das variáveis.
• A função da temperatura adimensional θ(X,τ) se 
expressa como o produto de uma função apenas de X e 
uma função apenas de τ comouma função apenas de τ como
• Substituindo a Eq. 4–14 na Eq. 4–12a e dividindo pelo 
produto FG resulta
( ) ( ) ( ),X F X Gθ τ τ= (4–14)
2
2
1 1d F dG
F dX G dτ
= (4–15)
• Já que X e τ podem variar independentemente, a igualdade 
da Eq. 4–15 se pode cumprir para quaisquer valores de X e 
τ apenas se a Eq. 4–15 é igual a uma constante.
• Deve ser uma constante negativa indicada por -λ2 já que 
uma constante positiva causará que a função G(τ) aumente 
indefinidamente com o tempo.
• Fazendo a Eq. 4–15 igual a -λ2 resulta• Fazendo a Eq. 4–15 igual a -λ resulta
• cujas soluções gerais são
2
2 2
2 0 ; 0
d F dGF F
dX d
λ λ
τ
+ = + = (4–16)
( ) ( )
2
1 2
3
cos sin
G=C
F C X C X
e λ τ
λ λ
−
 = +


(4–17)
( ) ( )
( ) ( )
2
2
3 1 2C cos sin
 cos sin
FG e C X C X
e A X B X
λ τ
λ τ
θ λ λ
λ λ
−
−
 = = + 
 = + 
(4–18)
• onde A=C1C3 e B=C2C3 são constantes arbitrárias. 
• Note que se necessita determinar apenas A e B para obter 
a solução do problema.
• Aplicando as condições de contornona Eq. 4–12b resulta• Aplicando as condições de contorno na Eq. 4–12b resulta
( ) ( )
( )
2
2
0,
0 sin 0 cos0 0
 0 cos
e A B
X
B Ae X
λ τ
λ τ
θ τ λ λ
θ λ
−
−
∂
= → − + =
∂
→ = → =
( ) ( ) 2 21, 1, sin cos
 tan
 
Bi Ae BiAe
X
Bi
λ τ λ τθ τ θ τ λ λ λ
λ λ
− −
∂
= − → − = −
∂
→ =
• Mas a tangente é uma função periódica com período pi, e a equação 
λtan(λ)=Bi possui a raiz λ1 entre 0 e pi, a raiz λ2 entre pi e 2pi, a raiz λn
entre (n-1)pi e npi, etc.
• Para reconhecer que a equação transcendental λtan(λ)=Bi possui um 
número infinito de raízes, se expressa como
• Eq. 4–19 se denomina de equação característica ou autofunção, e 
suas raízes se denominam de valores característicos ou autovalores.
tann n Biλ λ = (4–19)
( )• Há um número de soluções da forma , e a solução 
deste problema linear de condução de calor é a combinação linear 
dessas soluções,
• As constantes An são determinadas da condição inicial, Eq. 4–12c,
( )2
1
cosnn n
n
A e Xλ τθ λ
∞
−
=
=∑ (4–20)
( )2 cosAe Xλ τθ λ−=
( ) ( )
1
,0 1 1 cosn n
n
X A Xθ λ
∞
=
= → =∑ (4–21)
• Multiplicando ambos os lados da Eq. 4–21 por cos(λmX), 
e integrando de X=0 até X=1
• O lado direito envolve um número infinito de integrais 
na forma de
( ) ( ) ( )
1 1
10 0
cos cos cos
X X
m m n n
nX X
X X A Xλ λ λ
= = ∞
== =
= ∑∫ ∫
( ) ( )
1
cos cos
X
m nX X dXλ λ
=
∫
• Se pode mostrar que todas essas integrais se anulam 
exceto quando n=m, e o coeficiente An se torna
0
m n
X =
∫
( ) ( )
( )
1 1
2
0 0
cos cos
4sin
 
2 sin 2
X X
n n n
X X
n
n
n n
X dX A X dX
A
λ λ
λ
λ λ
= =
= =
=
→ =
+
∫ ∫
(4–22)
• Substituindo a Eq. 4-22 na Eq. 20a resulta
• onde λn é obtido da Eq. 4-19.
• Como demonstrado na Fig. 4–14, os
( ) ( )
2
1
4sin
cos
2 sin 2
nn
n
n n n
e Xλ τλθ λλ λ
∞
−
=
=
+
∑
• Como demonstrado na Fig. 4–14, os
termos na somatória declinam rápido
quando n e λn aumentam.
• As soluções para outras geometrias 
como um cilindro longo e uma esfera 
se podem determinar usando o
mesmo procedimento (Tabela 4-1). FIGURE 4-14
Resumo das soluções para a 
condução transiente 1D
Soluções analíticas e gráficas 
aproximadas
• As soluções em series da Eq. 4-20 e da Tabela 4–1 convergem 
rapidamente com o aumento do tempo, e para τ >0,2, a 
consideração do primeiro termo e desconsideração dos termos 
restantes da serie resulta num erro menor que 2 por cento.
• Assim para τ >0,2 a aproximação de um termo se pode usar• Assim para τ >0,2 a aproximação de um termo se pode usar
Parede plana: ( )211 1( , ) cos / , 0.2wall
i
T x t T A e x L
T T
λ τθ λ τ−∞
∞
−
= = >
−
(4–23)
Cilindro: ( )211 0 1 0( , ) / , 0.2cyl
i
T r t T A e J r r
T T
λ τθ λ τ−∞
∞
−
= = >
−
(4–24)
Esfera: ( )21 1 01
1 0
sin /( , )
, 0.2
/sph i
r rT r t T A e
T T r r
λ τ λθ τλ
−∞
∞
−
= = >
−
(4–25)
• As constantes A1 e λ1 são funções apenas do número de Bi, 
e seus valores se listam na Tabela 4–2 em relação ao 
número de Bi para as três geometrias.
• A função J0 é a função de ordem zero de Bessel de 
primeiro tipo, cujos valores de determinam da Tabela 4–3.
Centro da parede plana (x=0): 2100, 1wall
i
T T A e
T T
λ τθ −∞
∞
−
= =
−
(4–26)
A solução no centro da parede plana, do cilindro, e 
da esfera:
Centro do cilindro (r=0): 210
0, 1cyl
i
T T A e
T T
λ τθ −∞
∞
−
= =
−
(4–27)
Centro da esfera (r=0): 210 1sph
i
T T A e
T T
λ τθ −∞
∞
−
= =
−
(4–28)
Cartas ou gráficos de Heisler
• As soluções da temperatura transiente para uma parede 
plana comprida, um cilindro longo, e uma esfera 
também se apresentam na forma gráfica para τ>0,2, 
comumente denominada de carta de Heisler.
• Existem três cartas associadas com cada geometria: 
– a temperatura T0 no centro da geometria num tempo 
t dado.
– a temperatura em outras localidades no mesmo 
tempo em termos de T0.
– a quantidade total de calor transferido até o tempo 
t. 
Cartas de Heisler – Parede 
plana
Temperatura do centro
Cartas de Heisler – Parede plana
Distribuição da 
temperatura
TC
Transferência de calor
• A quantidade máxima de calor que um corpo pode 
ganhar (ou perder se Ti=T∞) ocorre quando a 
temperatura do corpo varia da temperatura inicial Ti até 
a temperatura ambiente
• A quantidade de calor transferido Q num tempo finito t
se pode expressar como
( ) ( )max (kJ)p i p iQ mc T T Vc T Tρ∞ ∞= − = − (4–30)
( ), -p i
V
Q c T x t T dVρ  =  ∫ (4–31)
• Assumindo propriedades constantes, a razão de Q/Qmax
se torna
• As seguintes relações para a fração de TC nas formas 
geométricas se torna:
( )
( ) ( )max
, -
1 1
-
p i
V
p i V
c T x t T dVQ V dVQ c T T V V
ρ
ρ
∞
  
= = −
∫
∫ (4–32)
  1
0,
max 1
sin1 wall
wall
Q
Q
λθ λ
 
= − 
 
(4–33)
( )1 1
0,
max 1
1 2 cyl
cyl
JQ
Q
λθ λ
 
= − 
 
(4–34)
Parede plana:
Cilindro:
Esfera: 1 1 1
0, 3
max 1
sin cos1 3 sph
sph
Q
Q
λ λ λθ λ
 
−
= − 
 
(4–35)
Lembre, as cartas de Heisler não são 
aplicáveis sempre
As cartas de Heisler se podem usar quando:
• o corpo está inicialmente à temperatura 
uniforme,
• a temperatura do meio que circunda o corpo• a temperatura do meio que circunda o corpo
é constante e uniforme.
• o coeficiente de transferência de calor por 
convecção é constante e uniforme, e não há 
geração de calor no corpo.
Número de Fourier
( )2
2 3
1/
/p
kL Lt T
L c L t T
α
τ
ρ
∆
= = =
∆ A taxa na qual calor se acumula no corpo de volume L3
A taxa na qual o calor é conduzido
através do L do corpo de volume L3
• O número de Fourier é a medida do calor conduzido
através do corpo em relação ao calor nele acumulado.
• Um valor elevado do número de Fourier indica uma 
propagação rápida do calor através do corpo.
Condução de calor transiente em 
sólidos semi-infinitos
• Um sólido semi-infinito é um corpo 
idealizado que possui uma superfície
plana simples e se estende para o 
infinito em todas as direções.
• Considerações:• Considerações:
– propriedades termofísicas constantes
– sem geração de calor interna
– Condições térmicas uniformes nas superfícies expostas
– inicialmente a temperatura uniforme Ti.
• A TC neste caso ocorre apenas na direção normal à 
supérfície (a direção x)
problema 1D.
• Se aplica a Eq. 4–10a para a condução 1D transiente 
em coordenadas Cartesianas
(4–10a)Equação diferencial:
(4–37b)( )
( )
0,
,
s
i
T t T
T x t T
 =

→∞ =
Condição de contorno:
(4–10c)( ),0T x T=Condição inicial:
2
2
1T T
x tα
∂ ∂
=
∂ ∂
• A técnica da separação de variáveis não funciona 
neste caso já que o meio é infinito.
• A equação parcial diferencial se pode converter numa
equação diferencial ordinária combinando as duas 
variáveis independentes x e t apenas numa variável η, 
denominada de variável de similaridade.
(4–10c)( ),0 iT x T=Condição inicial:
Solução de similaridade
• Para a condução transiente num meio semi-infinito
• Assumindo T=T(η) (a ser verificado) e usando a regra 
da cadeia, todas as derivadas na equação de condução 
de calor se podem transformar numa nova variável
4
x
t
η
α
=Variável de similaridade:
de calor se podem transformar numa nova variável
2
2
1T T
x tα
∂ ∂
=
∂ ∂2
2 2
T Tη
η η
∂ ∂
= −
∂ ∂
(4–39a)
• Notando que η=0 em x=0 e η→∞ para x→∞ (e 
também em t=0) e substituindo nas Eqs. 4–37b (CC) 
se obtém, após simplificações
( ) ( )0 ; s iT T T Tη= →∞ = (4–39b)
2
2 2
T Tη
η η
∂ ∂
= −
∂ ∂ (4–39a)
• Note que a segunda CC e a condição inicial resultam 
na mesma condição de contorno.
• Ambas, a equação transformada e as CC dependem 
apenas de η e são independentes de x e t. Então, ta 
transformação teve sucesso, e η é a variável de 
similaridade.
• Para resolver a EDO de segunda ordem nas Eqs. 4–39, se define 
uma nova variável w sendo w=dT/dη. Isto reduz a Eq. 4–39a 
numa EDO de primeira ordem que pode ser resolvida pela 
separação de variáveis,
• onde C1=ln(C0). 
( ) 2 02 2 lndw dww d w Cd wη η η ηη = − → = − → = − +
2
1w C e
η−→ =
• onde C1=ln(C0). 
• Substituindo w=dT/dη e integrando novamente,
• onde u é uma variável fictícia de integração. A CC em η=0
fornece C2=Ts, e a oura para η→∞ fornece
2
1 2
0
uT C e du C
η
−
= +∫ (4–40)
( )2
1 2 1 1
0
2
2
i su
i s
T T
T C e du C C T Cpi
pi
∞
−
−
= + = + → =∫ (4–41)
• Substituindo as expressões para C1 e C2 na Eq. 4–40 e 
rearranjando,
• onde
( ) ( )2
0
2 1us
i s
T T
e du erf erfc
T T
η
η η
pi
−
−
= = = −
−
∫ (4–42)
( ) ( )2 22 2 ; 1u uerf e du erfc e du
η η
η η− −= = −∫ ∫ (4–43)
• são chamadas de função erro
e função erro complementária 
respectivamente, do argumento η.
( ) ( )2 2
0 0
2 2
 ; 1u uerf e du erfc e duη η
pi pi
− −
= = −∫ ∫ (4–43)
• Conhecendo a distribuição da temperatura, o fluxo de 
calor na superfície pode ser determinado da lei de 
Fourier como:
( )2
1
1
4
s i
s
k T TT Tq k k kC e
x x t t
ηη
η α piα
−
−∂ ∂ ∂
= − = − = − =
∂ ∂ ∂
& 1
0 00 4
s
x
q k k kC e
x x t tηηη α piα= ==
= − = − = − =
∂ ∂ ∂
&
(4–44)
Outras condições de contorno
• As soluções nas Eqs. 4–42 e 4–44 correspondem ao caso 
onde a temperatura da superfície exposta ao meio é 
aumentada (ou diminuída) de repente para Ts em t=0 e é 
mantida nesse valor durante todo o tempo.
• Soluções analíticas podem ser obtidas para outras 
CC na superfície e são dadas no textoCC na superfície e são dadas no texto
– Temp. da superfície especificada, Ts = constante.
– Fluxo de calor na superfície especificado e constante.
– Convecção na superfície,
– Pulso de energia na superfície.
Condução de calor transiente em 
sistemas multidimensionais
• Usando o procedimento da superposição 
denominado da solução do produto, as 
soluções 1D da condução de calor também se 
podem usar para construir soluções para alguns 
problemas de condução transiente problemas de condução transiente 
bidimensionais (e mesmo tridimensionais). 
• Isto se todas as superfícies do sólido estão 
sujeitas à convecção do mesmo fluído a uma 
mesma temperatura, com o mesmo coeficiente 
convectivo h, e não há geração de calor no 
corpo.
Exemplo ─ cilindro curto
• Altura a e raio ro.
• Temperatura inicial uniforme Ti.
• Sem geração de calor
• No tempo t=0:
– convecção T
∞
– coeficiente h
• A solução:
( ) ( ) ( )
Short plane infinite
Cylinder wall cylinder
, , , ,
 X 
i i i
T r x t T T x t T T r t T
T T T T T T
∞ ∞ ∞
∞ ∞ ∞
     − − −
=     
− − −     
(4–50)
• A solução pode ser generalizada como segue: a 
solução para uma geometria multidimensional é o 
produto das soluções para as geometrias 1D cujas 
interceptações é o corpo multidimensional.
• Por conveniência, as soluções 1D se denotam por
( ) ( ),, T x t Tx tθ ∞ −=  ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
wall
plane
wall
cyl
infinite
cylinder
semi-inf
semi-infinite
solid
,
,
,
,
,
,
i
i
i
T x t T
x t
T T
T r t T
r t
T T
T x t T
x t
T T
θ
θ
θ
∞
∞
∞
∞
∞
∞
 −
=  
− 
 −
=  
− 
 −
=  
− 
(4–51)
Transferência de calor total transiente
• A TC transiente para uma geometria 2D formada pela 
intercepção do duas geometrias 1D 1 e 2 é:
max max max max, 2 1 2 1
1-
total D
Q Q Q Q
Q Q Q Q
        
= +         
         
(4–53)
• A TC transiente para uma geometria 3D (intercepção de três 
corpos 1D 1, 2, e 3) é:
max max max max, 3 1 2 1
max max max3 1 2
1-
 1- 1-
total D
Q Q Q Q
Q Q Q Q
Q Q Q
Q Q Q
        
= +         
         
        
+         
           
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