Lista de exercicios - ideais finitamente gerados, corpo de frações de um domínio

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica– IE
A´lgebra 1 - Turma C
Semana 13 – Lista de exerc´ıcios
Temas abordados: Ideais finitamente gerados e corpo de frac¸o˜es de um domı´nio.
1) Verifique se sa˜o ideais:
(a) {0¯, 2¯, 4¯} no anel Z/6Z;
(b) mZ no anel Z;
(c) mZ× nZ no anel Z× Z;
(d) Z no anel (Q,⊕,�), onde a ⊕ b = a + b − 1 e a � b = a + b − ab para todo
a, b ∈ Q;
(e) 2Z no anel (Z,+, ·), onde a adic¸a˜o e´ a usual e a · b = 0, ∀a, b ∈ Z.
2) Descrever os seguintes ideais principais:
(a) 〈2¯〉 em Z/6Z;
(b) 〈−5〉 em Z;
(c) 〈27〉 em Q;
(d) 〈√2〉 em R;
(e) 〈3¯〉 em Z/8Z;
(f) 〈2〉 em 2Z;
(g) 〈−35〉 em R.
3) Mostre que todos os ideais de um anel Z/mZ sa˜o principais.
4) (a) Seja I um ideal do anel comutativo A. Mostrar que
J = {x ∈ A|x · i = 0, ∀i ∈ I}
e´ um ideal de A.
(b) Determinar J no caso A = Z/16Z e I = 〈2¯〉.
5) Sejam I = 〈a〉 e J = 〈b〉 ideais num anel A, comutativo com unidade 1A. Mostre
que I · J = {xy | x ∈ I, y ∈ J} e´ um ideal em A e que I · J = 〈ab〉.
6) Sejam I e J dois ideais do anel A. Mostrar que se I ∩ J = {0}, enta˜o xy = 0
para todo x ∈ I e y ∈ J .
7) Sejam I = 〈x〉 e J = 〈y〉 dois ideais de Z. Mostrar que I +J = 〈mdc(x, y)〉 e que
I ∩ J = 〈mmc(x, y)〉; em seguida determinar 〈12〉+ 〈21〉 e 〈12〉 ∩ 〈21〉.
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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica – IE
A´lgebra 1 - Turma C
Semana 13 – Soluc¸a˜o dos exerc´ıcios
Temas abordados: Ideais finitamente gerados e corpo de frac¸o˜es de um domı´nio.
1) Os conjuntos definidos em (a), (b), (c), e (e) sa˜o ideais, so´ em (d) que na˜o. As
contas sa˜o deixadas ao leitor.
2) Deixamos as contas para o leitor, lembrando que em um anel A comutativo um
ideal principal (gerado por a ∈ A) e´ da forma 〈a〉 = {ax | x ∈ A}. Assim, temos
que
(a) 〈2¯〉 = {0¯, 2¯, 4¯};
(b) 〈−5〉 = 5Z;
(c) 〈27〉 = Q;
(d) 〈√2〉 = R;
(e) 〈3¯〉 = Z/8Z;
(f) 〈2〉 = 4Z;
(g) 〈−35〉 = R.
3) Considere o anel comutativo com unidade (Z/mZ,+, ·), com m ≥ 2. Seja agora
I um ideal de A. Por ser A comutativo, I e´ um ideal bilateral. Notamos que (I,+)
e´ um subgrupo abeliano de (Z/mZ,+), e sabemos que H ≤ Z/mZ se e somente
se H = 〈d¯〉, com d | m. Assim, como grupo aditivo, I e´ gerado por d¯, e portanto
I = {d¯n|n ∈ Z}. Mas, como I e´ um ideal de A, temos que x¯d¯ ∈ I, ∀x¯ ∈ A e
notamos que em Z/mZ d¯n = d¯n¯. Em particular, temos que I = 〈d¯〉 e´ um ideal
principal gerado por d¯.
4) O item (a) e´ deixado ao leitor. No item (b), como A = Z/16Z = {0¯, 1¯, · · · , 1¯5} e
I = 〈2〉 = {0¯, 2¯, 4¯, 6¯, 8¯, 1¯0, 1¯2, 1¯4}, temos que J = {0¯, 8¯}.
5) Sabe-se que a ∈ 〈a〉 = I e b ∈ 〈b〉 = J , visto que I, J sa˜o ideais de um anel
comutativo com unidade. So´ vamos provar que IJ = 〈ab〉, onde I = 〈a〉 e J = 〈b〉.
Deixamos ao leitor provar que I · J = {xy | x ∈ I, y ∈ J} e´ um ideal de A (dica:
use um argumento similar ao usado em uma das questo˜es da lista 10). Sabemos que
〈ab〉 = {abα | α ∈ A}, que I = 〈a〉 = {aβ | β ∈ A} e J = 〈b〉 = {bγ | γ ∈ A}.
Dados quaisquer x ∈ I e y ∈ J , temos que x = aβ e y = bγ para alguns β, γ ∈ A
adequados. Portanto xy = aβbγ = (ab)(βγ) pois A e´ comutativo, ou seja, xy ∈ 〈ab〉
e IJ ⊆ 〈ab〉. Dado agora qualquer elemento w ∈ 〈ab〉, temos que w = abα para
algum α ∈ A. Como a ∈ I, segue que w = a(bα) ∈ IJ e que 〈ab〉 ⊆ IJ . Conclu´ımos
que a igualdade e´ va´lida.
6) Sejam I, J dois ideais bilaterais de um anel (A,+, ·). Dados quaisquer x ∈ I
e y ∈ J , temos que xy ∈ I, pois sendo I um ideal bilateral, I e´, em particular,
ideal a` direita, e temos tambe´m que xy ∈ J , visto que J tambe´m e´ ideal a` esquerda
(sendo ideal bilateral). Sendo assim, segue que xy ∈ I ∩ J = {0A}, completando a
demonstrac¸a˜o.
7) Lembremos que d e´ o mdc entre a e b se, e somente se, d ≥ 0, d|a, d|b, e se d′|a
e d′|b enta˜o d′|d. Provemos que 〈a〉+ 〈b〉 = 〈d〉. Para qualquer inteiro x temos:
1
2
x ∈ 〈a〉+ 〈b〉 ⇒ x = ra+ sb
d|a
d|b
⇒ d|x⇒ x ∈ 〈d〉,
portanto, 〈a〉+ 〈b〉 ⊆ 〈d〉.
Sendo 〈a〉 + 〈b〉 um ideal em Z, 〈a〉 + 〈b〉 e´ um ideal principal (lembramos que
foi provado em aula que Z e´ um anel a ideais principais). Seja d′ um gerador de
〈a〉+ 〈b〉. Temos
a = a+ 0⇒ a ∈ 〈a〉+ 〈b〉 ⇒ d′ | a
b = 0 + b⇒ b ∈ 〈a〉+ 〈b〉 ⇒ d′ | b
}
⇒ d′ | d⇒ 〈d〉 ⊆ 〈d′〉 ⇒ 〈d〉 ⊆ 〈a〉+ 〈b〉,
o que completa a prova de que 〈a〉+ 〈b〉 = 〈d〉.
Agora, para a segunda parte, lembremos que m e´ mmc entre a e b se, e somente se,
a | m, b | m, e se a | m′ e b | m′ enta˜o m | m′, m ≥ 0. Provemos que 〈a〉∩ 〈b〉 = 〈m〉.
Sendo x um elemento qualquer de Z, temos:
x ∈ 〈a〉 ∩ 〈b〉 ⇔
{
x ∈ 〈a〉 ⇔ a | x
x ∈ 〈b〉 ⇔ b | x
}
⇔ m | x⇔ x ∈ 〈m〉.
Portanto segue que 〈a〉 ∩ 〈b〉 ⊆ 〈m〉 e que 〈m〉 ⊆ 〈a〉 ∩ 〈b〉. Assim, temos 〈a〉 ∩ 〈b〉 =
〈m〉.
Desse modo segue que 〈12〉 ∩ 〈21〉 = 〈mmc(12, 21)〉 = 〈84〉 e que 〈12〉 + 〈21〉 =
〈mdc(12, 21)〉 = 〈3〉.