FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA

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FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA 
1a aula 
 
 
 
 
 
O conjunto R dotado da operação * tal que x ⋆ y=x+y2 é um grupo ? 
 
 
Sim, pois existe elemento simétrico 
 
Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento simétrico. 
 Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição suficiente para Z com a operação dada ser 
um grupo. 
 
Sim, pois existe elemento neutro e = 1 
 Não, pois a propriedade associativa não foi verificada. 
Respondido em 08/11/2020 23:21:34 
 
 
 
2 
 Questão 
 
 
 
 
 
Existe elemento neutro e = 1 
 
Existe elemento neutro e = 2 
 
Não existe elemento neutro 
 Existe elemento neutro e = -1 
 Existe elemento neutro e = 0 
Respondido em 08/11/2020 23:21:38 
 
 
 
3 
 Questão 
 
 
O conjunto R dotado da operação * tal que x * y = x + y - 3 é um grupo. Determine o elemento 
neutro. 
 
 e = 6 
 
e = 1 
 
e = 4 
 
e = -2 
 e = 3 
Respondido em 08/11/2020 23:21:41 
 
 
Gabarito 
Comentado 
 
 
 
 
 
4 
 Questão 
 
https://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio_preview.asp?cod_prova=4288608797&cod_hist_prova=212795998&pag_voltar=otacka
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3 
 
12 
 4 
 
5 
 1 
Respondido em 08/11/2020 23:21:47 
 
 
Gabarito 
Comentado 
 
 
 
 
 
5 
 Questão 
 
 
O conjunto dos números reais e a operação multiplicação, possuem estrutura de grupo. Nestas condições, a propriedade 
que garante que seja um grupo abeliano é: 
 
 
Elemento inverso. 
 Comutativa. 
 Elemento neutro. 
 
Associativa. 
 
Distributiva. 
Respondido em 08/11/2020 23:21:56 
 
 
 
6 
 Questão 
 
 
Considere as seguintes afirmações: 
(I ) A operação x⋆y=x+y2, G = R sobre G é um grupo. 
(II) A operação * em Z, definida por x*y = x + y + xy não possui elemento neutro e 
portanto não é um grupo. 
(III) A operação * em Z, definida por x*y = x + y - 4 possui elemento neutro e = 4 
Podemos concluir que 
 
 
 
A afirmação III é falsa 
 
 
As afirmações I e III são falsas 
https://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio_preview.asp?cod_prova=4288608797&cod_hist_prova=212795998&pag_voltar=otacka
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A afirmação II é verdadeira 
 
A afirmação I é verdadeira 
 
 
A afirmação III é verdadeira 
Respondido em 08/11/2020 23:24:38 
 
 
 
7 
 Questão 
 
 
O conjunto Z dotado da operação * tal que x * y = x + y - 3 é um grupo ? 
 
 
Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição suficiente para Z com a operação dada ser 
um grupo. 
 
Não, pois a propriedade associativa não foi verificada. 
 
Não, pois não existe elemento neutro. 
 Não, pois não existe elemento simétrico. 
 Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento simétrico. 
Respondido em 08/11/2020 23:24:51 
 
 
 
8 
 Questão 
 
 
Considere a operação binária * sobre R, definida por x*y = mx + ny + kxy, onde m, n e k são números reais dados. 
Estabeleça as condições sobre m, n e k de modo que essa operação seja comutativa. 
 
 
m = k 
 m = n 
 
m < n 
 
m > n 
 
n = k 
 
FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA 
2a aula 
Lupa 
 
 
 
 
 
1 
 Questão 
 
 
Calcule o produto (27).(45) considerando Z10. 
 
 5 
 
3 
 10 
 
35 
 
7 
Respondido em 08/11/2020 23:24:53 
 
javascript:diminui();
javascript:aumenta();
 
 
2 
 Questão 
 
 
Seja G = {1, 2, 3, 4, 5} um conjunto com uma operação * apresentada na tábua de 
operação abaixo. 
 
 
 
De acordo com a análise da tábua marque a alternativa que apresenta todos os elementos 
regulares. 
 
 1, 2 ,3, 4 e 5 
 
2, 3, 4 e 5 
 
1, 3 e 4 
 1, 2 e 5 
 
2, 3 e 5 
Respondido em 08/11/2020 23:25:00 
 
 
 
3 
 Questão 
 
 
Calcule o produto 259 . 371 considerando o conjunto Z11. 
 
 
5 
 4 
 
6 
 8 
 
48 
Respondido em 08/11/2020 23:25:12 
 
 
 
4 
 Questão 
 
 
Marque a alternativa que indica a solução da equação 3x + 2 = 6x + 7 em Z8. 
 
 
3 
 4 
 
2 
 
- 5/3 
 1 
Respondido em 08/11/2020 23:25:21 
 
 
 
5 
 Questão 
 
 
Seja G = {1, 2, 3, 4, 5} um conjunto com uma operação * apresentada na tábua de 
operação abaixo. 
 
 
 
De acordo com a análise da tábua marque a alternativa que apresenta todos os elementos 
regulares. 
 
 
1, 2 ,3, 4 e 5 
 
1, 3 e 4 
 
2, 3 e 5 
 1, 2 e 5 
 
2, 3, 4 e 5 
Respondido em 08/11/2020 23:25:38 
 
 
 
6 
 Questão 
 
 
Determine o elemento neutro da operação x * y = x + y - ¯22¯ em Z3. 
 
 
e = ¯22¯ 
 
e = ¯¯̄ ¯̄ −1-1¯ 
 
e = ¯11¯ 
 
e = ¯¯̄ ¯̄ −2-2¯ 
 
e = ¯33¯ 
Respondido em 08/11/2020 23:25:46 
 
 
 
7 
 Questão 
 
Marque a alternativa que apresenta a construção correta da tábua de uma operação * sobre o 
conjunto G = {1,2,3,4} de acordo com as condições (I), (II), (III), (IV) e (V) dadas. 
(I) 1 é o elemento neutro 
(II) seja comutativa 
(III) todos os elementos de G são simetrizáveis 
(IV) todos os elementos de G são regulares 
(V) 2*3 = 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respondido em 08/11/2020 23:28:34 
 
 
 
8 
 Questão 
 
 
Marque a alternativa que indica a solução do sistema de equações abaixo, em Z11. 
 
 
 
 
{(-3,7)} 
 
{(2,3)} 
 
{(-14/13;119/39)} 
 {(1,4)} 
 {(0,6)} 
FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA 
3a aula 
Lupa 
 
 
 
 
 
 
1 
 Questão 
 
 
A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um 
grupo. A partir da tábua encontre a solução da equação axb-1 = d , onde x é um 
elemento de G. 
 
 
 x = f 
 
x = c 
 
x = a 
 x = b 
 
x = d 
Respondido em 08/11/2020 23:29:52 
 
 
 
2 
 Questão 
 
 
Considere o grupo (Z,+) e a = 4. Determine a2. 
 
 
4 
 16 
 
2 
 8 
 
1 
Respondido em 08/11/2020 23:30:02 
 
 
 
3 
 Questão 
 
 
Seja (Z6, +) um grupo. Verifique se H = {0,2,3,4} é um subgrupo de 
javascript:diminui();
javascript:aumenta();
(Z6, +). 
 
 H não é subgrupo de (Z6, +), pois o elemento neutro de Z6 não é 
elemento de H. 
 H não é subgrupo de (Z6, +), pois H não é um subconjunto de (Z6, 
+). 
 H não é subgrupo de (Z6, +). 
 H é subgrupo de (Z6, +). 
 H é um subconjunto de (Z6, +), pois foi verificada a soma 2 + 3 = 5 
em Z6. 
Respondido em 08/11/2020 23:30:12 
 
 
 
4 
 Questão 
 
 
A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um 
grupo. A partir da tábua encontre a solução da equação bxc = d-1, onde x é um 
elemento de G. 
 
 
 
x = f 
 
x = a 
 
x = b 
 x = d 
 x = c 
Respondido em 08/11/2020 23:30:24 
 
 
 
5 
 Questão 
 
 
Considere as seguintes afirmações: 
 
(I) 3Z é subgrupo de 6Z. 
(II) 2Z + 1 dos inteiros ímpares não é subgrupo do grupo (Z, +). 
(III) (Q, +) é um subgrupo de (R, +) 
(IV) (Z, +) não é um subgrupo de (Q, +) 
 
Podemos concluir que 
 
 
As afirmações I e II são verdadeiras 
 As afirmações II e III são verdadeiras 
 A afirmação I é verdadeira 
 
As afirmações I e III são falsas 
 
As afirmações III e IV são falsas 
Respondido em 08/11/2020 23:30:33 
 
 
 
6 
 Questão 
 
 
Seja (Z, *) um grupo onde a operação * é definida por a * b = a + b - 3. 
Considere o subconjunto 3Z = {3X / x ∈∈ Z}. Verifique se (3Z, *) é um subgrupo 
de (Z, *). 
 
 
 Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos: 
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∈∈ 3Z. 
Portanto, (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). 
 
 Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos: 
t*u = (3x)*(3y)= 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∈∈ 3Z. 
Seja t um elemento de 3Z, onde t = 3x.t-1 = 6 - t = 6 - 3x = 3(2 - x). Logo, 
t-1 ∈∈3Z. 
Portanto, (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). 
 Seja t um elemento de 3Z, onde t = 3x.t-1 = 6 - t = 6 - 3x = 3(2 - x). Logo, 
t-1 ∈∈3Z 
Portanto, (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). 
 Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos: 
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y = 3(x + y). Logo, t*u ∈∈ 3Z. 
Portanto, (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). 
 Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos: 
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∉∉ 3Z. 
Portanto, (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). 
Respondido em 08/11/2020 23:30:41 
 
 
 
7 
 Questão 
 
 
Considere o grupo (Z10,+). Determine o subgrupo gerado pelo elemento 3. 
 
 Z10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. 
 Z10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9}. 
 
Z10 = {0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9}. 
 
Z10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 
 
Z10 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. 
Respondido em 08/11/2020 23:30:49 
 
 
 
8 
 Questão 
 
 
Seja (G,*) um grupo. Se R e S são subgrupos de G então R ∩ S é um 
subgrupo de G. Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta 
dessa proposição. 
 
 Por hipótese G é um grupo e R e S são subgrupos de G. R e S 
contém o elemento e ∈∈G, assim e ∈∈R ∩ S . Considere 
dois elementos x, y ∈∈R ∩ S. Pela teoria dos conjuntos 
x,y ∈∈ R e x,y ∈∈S. Agora considerando um elemento 
x ∈∈R ∩ S , temos x ∈∈ R e x ∈∈S, pela hipótese x-
1 ∈∈R e x-1 ∈∈S , temos então x-1 ∈∈R ∩ S. Portanto, R ∩ 
S é um subgrupo de G. 
 Por hipótese G é um grupo e R subgrupo de G. R contém o 
elemento e ∈∈ G. Isso mostra que R ∩ S ≠ Ø. Considere 
dois elementos x, y ∈∈ R ∩ S .Pela hipótese xy ∈∈ R e 
xy ∈∈ S então xy ∈∈ R ∩ S . Agora considerando um 
elemento x∈∈ R ∩ S , temos x ∈∈ R e x ∈∈ S, pela 
hipótese x-1∈∈ R e x-1 ∈∈ S , temos então x-1 ∈∈ R ∩ 
S. Portanto, R ∩ S é um subgrupo de G. 
 Por hipótese G é um grupo e R e S são subgrupos de G. R e S 
contém o elemento e ∈∈ G, assim e ∈∈ R ∩ S . Isso mostra 
que R ∩ S ≠ Ø. Considere dois elementos x, y ∈∈ R ∩ 
S. Pela teoria dos conjuntos x,y ∈∈ R e x,y ∈∈ S. Pela 
hipótese xy ∈∈ R e xy ∈∈ S então xy ∈∈ R ∩ S . 
Portanto, R ∩ S é um subgrupo de G. 
 Por hipótese G é um grupo e R e S são subgrupos de G. R e S 
contém o elemento e ∈∈ G, assim e ∈∈ R ∩ S . Isso mostra 
que R ∩ S ≠ Ø. Considere um elemento x ∈∈ R ∩ S , temos 
x ∈∈ R e x ∈∈ S, pela hipótese x-1 ∈∈ R e x-1 ∈∈ S , 
temos então x-1 ∈∈ R ∩ S. Portanto, R ∩ S é um subgrupo 
de G. 
 Por hipótese G é um grupo e R e S são subgrupos de G. R e S 
contém o elemento e ∈∈G, assim e ∈∈R ∩ S . Isso mostra 
que R ∩ S ≠ Ø. Considere dois elementos x, y ∈∈R ∩ 
S. Pela teoria dos conjuntos x,y ∈∈ R e x,y ∈∈S. Pela 
hipótese xy ∈∈R e xy ∈∈S então xy ∈∈ R ∩ S . Agora 
considerando um elemento x∈∈ R ∩ S , temos x ∈∈ R e 
x ∈∈S, pela hipótese x-1 ∈∈R e x-1 ∈∈S , temos então x-
1 ∈∈R ∩ S. Portanto, R ∩ S é um subgrupo de G. 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA 
4a aula 
Lupa 
 
 
 
 
 
1 
 Questão 
 
 
Considere o Teorema de Lagrange: 
Seja H um subgrupo de um grupo finito G, então a O(G) = (G:H).O(H). Ou seja, 
o Teorema mostra que a ordem de H, O(H), é um divide a ordem de G, O(G), e 
O(G) = (G:H).O(H). 
Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta do Teorema. 
 
 Suponhamos {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à 
esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G , já que a união de 
todas as classes laterais módulo H é igual a G. Temos então que r.o(H) = 
o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). 
 Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas 
as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G 
, já que a união de todas as classes laterais módulo H é igual a G. Logo 
(G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). 
 Suponhamos que (G:H) = r . Então a1H U a2H U ... U arH = G , já que a 
união de todas as classes laterais módulo H é igual a G. Como cada 
elemento de G figura em mais de uma vez nessas classes e como o número 
de elementos de cada classe é o(H), temos então que r.o(H) = o(G), mas r 
= (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). 
 Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas 
as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G 
, já que a união de todas as classes laterais módulo H é igual a G. Como 
cada elemento de G figura em uma única dessas classes e como o número 
de elementos de cada classe é o(H), temos então que r.o(H) = o(G), mas r 
= (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). 
 Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas 
as classes laterais à esquerda módulo H. Como cada elemento de G figura 
em uma única dessas classes e como o número de elementos de cada 
classe é o(H), temos então que o(H) = o(G). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou 
o(H)/o(G). 
Respondido em 08/11/2020 23:32:57 
 
 
 
2 
 Questão 
 
 
Se G é um grupo finito e H um subgrupo de G, então: 
 
 Grupos finitos não têm subgrupos. 
 
H é cíclico 
javascript:diminui();
javascript:aumenta();
 A ordem de H divide a ordem de G. 
 
A ordem de G divide a ordem de H. 
 
A ordem de H é um múltiplo da ordem de G. 
Respondido em 08/11/2020 23:33:03 
 
 
 
3 
 Questão 
 
 
Considere o grupo aditivo (Z6,+) e N = {0,3} um subgrupo de G. Determine as 
classes laterais de N em G. 
 
 G/N = {0 + N, 1 + N, 2 + N} 
 G/N = {0 + N, 2 + N, 3 + N} 
 G/N = {1 + N, 3 + N, 4 + N} 
 G/N = {1 + N, 2 + N, 3 + N} 
 G/N = {0 + N, 4 + N, 5 + N} 
Respondido em 08/11/2020 23:33:07 
 
 
 
4 
 Questão 
 
 
 
 
 O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 3 + H 
 O elemento neutro do grupo quociente G/H é o H + H 
 O elemento neutro do grupo quociente G/H é o H 
 O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 1 + H 
 O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 2 + H 
Respondido em 08/11/2020 23:33:14 
 
 
 
5 
 Questão 
 
Considere o grupo multiplicativo G = {1, i, -1, -i} e H = {1, -1} subgrupo 
de G. Marque a alternativa que indica as classes laterais G. 
 
 {1, -1} , {i, - i} 
 {i, - i} 
 {1, -1}, {i, - i}, {1, - i} 
 {1, -1}, {i, - i}, {i, -1}, {-1, -1} 
 {1, -1}, {i, - i}, {i, -1} 
Respondido em 08/11/2020 23:30:42 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA 
5a aula 
Lupa 
 
 
 
 
 
1 
 Questão 
 
 
 
 
 N(f) = {2} 
 
N(f) = {4} 
 
N(f) = {0} 
 N(f) = {1} 
 
N(f) = {3} 
Respondido em 08/11/2020 23:31:35 
 
 
 
2 
 Questão 
 
 
Considere dos conjuntos G e H. Marque a alternativa que explica corretamente como 
devemos mostrar que G é isomorfo a H. 
 
 Para provarmos que existe um isomorfismo entre G e H, devemos verificar as 
duas condições dadas na definição de isomorfismo, ou seja, encontrar uma 
função 
f: G → H que seja bijetora, e verificar a existência de um homomorfismo de 
grupos. 
 Para provarmos que existe um isomorfismo entre G e H, devemos verificar uma 
única condição dada na definição de isomorfismo, ou seja, encontrar uma 
função f: G → H que seja sobrejetora. 
javascript:diminui();
javascript:aumenta();
 Para provarmos que existe um isomorfismo entre G e H, devemos verificar as 
duas condições dadas na definição de isomorfismo, ou seja, encontrar uma 
função f: G → H que seja injetiva, e verificar a existência de um 
homomorfismo de grupos. 
 Para provarmos que existe um isomorfismo entre G e H, devemos verificar uma 
única condição dada na definição de isomorfismo, ou seja, encontrar uma 
função f: G → H que seja bijetora. 
 
 Para provarmos que existe um isomorfismo entre G e H, devemos verificar uma 
única condição dada na definição de isomorfismo, ou seja, verificar a existência 
de um homomorfismo de grupos. 
 
Respondido em 08/11/202023:31:42 
 
 
 
3 
 Questão 
 
 
 
Seja f: G1 →G2 um homomorfismo de grupos, onde os grupos considerados são 
(G1,*) e (G2,∆) , e o elemento neutro de G2 , e2. Definimos núcleo do homomorfismo 
f ao conjunto {x ∈∈ G1/ f(x) = e2}. Marque a alternativa que mostra corretamente que o 
núcleo de f, Ker(f), definido por Ker(f) = {x∈∈ G1/ f(x) = e2} é um subgrupo normal de 
G1. 
 
 Vamos considerar x,y∈∈ ker(f). Precisamos mostrar que xy ∈∈ ker(f) e que x-
1 ∈∈ ker(f). Note que por f ser um homomorfismo de grupos podemos escrever 
f(xy) = f(x).f(y) = e2.e2 = e2 .Portanto, xy ∈∈ ker(f). Assim, concluímos que o 
núcleo de f é um subgrupo normal. 
 Note que para todo g em G1 e para todo x∈∈ ker(f) temos f(gxg
-1) = f((gx)g-1) = 
=f(gx).f(g-1) = f(g).f(x).(f(g))-1 = f(g).e2.(f(g))
-1 = f(g)(f(g))-1 = e2. Portanto, 
gxg-1 ∈∈ ker(f), para todo g em G1 e para todo x ∈∈ ker(f). Assim, concluímos 
que o núcleo de f é um subgrupo normal. 
 Vamos considerar x,y∈∈ ker(f). Precisamos mostrar que xy ∈∈ ker(f) e que x-
1 ∈∈ ker(f). Note que por f ser um homomorfismo de grupos podemos escrever 
f(xy) = f(x).f(y) = e2.e2 = e2 .Portanto, xy ∈∈ ker(f). Também podemos escrever 
que 
f(x-1)(f(x))-1 = (e2)
-1 = e2. Portanto, x
-1 ∈∈ ker(f). Note que para todo g em G1 e 
para todo x∈∈ ker(f) temos f(gxg-1) = f((gx)g-1) = f(gx).f(g-1) = f(g).f(x).(f(g))-1 = 
=f(g).e2.(f(g))
-1 = f(g)(f(g))-1 = e2. Portanto, gxg
-1 ∈∈ ker(f), 
para todo g em G1 e para todo x ∈∈ ker(f). Assim, 
concluímos que o núcleo de f é um subgrupo normal. 
 Vamos considerar x,y∈∈ ker(f). Precisamos mostrar que xy ∈∈ ker(f) e que x-
1 ∈∈ ker(f). Note que por f ser um homomorfismo de grupos podemos 
escrever f(xy) = f(x).f(y) = e2.e2 = e2 .Portanto, xy ∈∈ ker(f). Também podemos 
escrever que f(x-1)(f(x))-1 = (e2)
-1 = e2. Portanto, x
-
1 ∈∈ ker(f). Assim, concluímos que o núcleo de f é um subgrupo normal. 
 Vamos considerar x,y∈∈ ker(f). Precisamos mostrar que xy ∈∈ ker(f) e que x-
1 ∈∈ ker(f). Note que por f ser um homomorfismo de grupos podemos 
escrever f(xy) = f(x).f(y) = e2.e2 = e2 .Portanto, xy ∈∈ ker(f). Note que para todo 
g em G1 e para todo x∈∈ ker(f) temos f(gxg
-1) = f((gx)g-1) = f(gx).f(g-1) = 
f(g).f(x).(f(g))-1 = f(g).e2.(f(g))
-1 = f(g)(f(g))-1 = e2. Portanto, gxg
-1 ∈∈ ker(f), para 
todo g em G1 e para todo x ∈∈ ker(f). Assim, concluímos que o núcleo de f é 
um subgrupo normal. 
Respondido em 08/11/2020 23:31:48 
 
 
 
4 
 Questão 
 
 
 
 
 (12343241)(12343241) 
 (12343124)(12343124) 
 (12341432)(12341432) 
 (12344213)(12344213) 
 (12342314)(12342314) 
Respondido em 08/11/2020 23:32:45 
 
 
 
5 
 Questão 
 
 
 
Analise as proposições sobre isomorfismo de grupos e marque a alternativa 
correta. 
 
(I) Os grupos G = (Z3,+) e H = (Z6,+) são isomorfos. 
(II) Os grupos G = (S3,o) e H = (Z6,+) não são isomorfos. 
(III) Os grupos G = (R*,.) e H = (R,+) são isomorfos. 
 
 
 II , apenas 
 
I e II , apenas 
 III , apenas 
 
II e III , apenas 
 
I , apenas 
Respondido em 08/11/2020 23:35:45 
 
 
 
6 
 Questão 
 
 
Marque a alternativa correta. 
 
 Seja f: A → B tal que f(a) = a. f não é um homomorfismo de anel. 
 Seja f: Z x Z → Z tal que f(x,y) = x. f não é um homomorfismo de anel. 
 Seja f: A → B tal que f(a) = 0. f é um homomorfismo de anel. 
 Seja f: Z → Z tal que f(x) = 2x. f é um homomorfismo de anel. 
 Seja f: Z → Z tal que f(x) = -x. f é um homomorfismo de anel. 
Respondido em 08/11/2020 23:35:51 
 
 
 
7 
 Questão 
 
 
Considere o seguinte resultado sobre isomorfismos de grupos: 
Sejam m, n elementos de N* tais que m|n. Se n = md, d é um elemento de N, então 
pelo Teorema do Isomorfismo concluímos que 
 
 
De acordo com o resultado apresentado, marque a alternativa correta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respondido em 08/11/2020 23:36:02 
 
 
 
8 
 Questão 
 
 
 
 
 1234421312344213 
 1234231412342314 
 1234143212341432 
 1234324112343241 
 1234312412343124 
 
 
FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA 
6a aula 
Lupa 
 
 
 
 
 
1 
 Questão 
 
 
Marque a alternativa correta que apresenta o elemento neutro do anel (Q,*, ΔΔ) com as 
operações definidas por: 
 
a * b = a + b - 1 
 
a ΔΔb = a + b - ab 
 
 
 
e = 4 
 
e = 5 
 e = 3 
 e = 1 
 
e = 2 
Respondido em 14/11/2020 17:28:27 
 
 
 
2 
 Questão 
 
 
javascript:diminui();
javascript:aumenta();
 
 
 
e = 1 
 
e = -2 
 e = 2 
 e = 0 
 
e = -1 
Respondido em 14/11/2020 17:28:33 
 
 
 
3 
 Questão 
 
 
Julgue as proposições abaixo e marque a alternativa correta. 
 
(I) (A, +, .) é um anel de funções de Z em Z. 
(II) Vamos considerar dois anéis A e B. O produto cartesiano A x B não é um 
anel. 
(III) Seja K um conjunto não vazio e (A, +, .) um anel. Denotamos por AK o conjunto de todas as 
funções de K em A. 
 
 
 I e III , apenas 
 II , apenas 
 
III , apenas 
 
I , apenas 
 
I e II , apenas 
Respondido em 14/11/2020 17:28:39 
 
 
 
4 
 Questão 
 
 
 
 
 
∀x∈Z,∃(−2+ x)∈Z∀x∈ℤ,∃(-2+ x)∈ℤ 
 ∀x∈Z,∃(1−x)∈Z∀x∈ℤ,∃(1-x)∈ℤ 
 
∀x∈Z,∃(−1−x)∈Z∀x∈ℤ,∃(-1-x)∈ℤ 
 ∀x∈Z,∃(−2−x)∈Z∀x∈ℤ,∃(-2-x)∈ℤ 
 
∀x∈Z,∃(2+ x)∈Z∀x∈ℤ,∃(2+ x)∈ℤ 
Respondido em 14/11/2020 17:28:47 
 
 
 
5 
 Questão 
 
 
Com as operações de anel estudadas analise as proposições abaixo e sinalize as corretas. 
(I) (Z, +), (Q, +), (R, +) e (C, +) são grupos abelianos finitos. 
(II) (Zn , +), n∈N⋅n∈N⋅ é um grupo abeliano finito com n elementos. 
(III) Se A é um anel, então (Mn(A), +) é um grupo abeliano para cada n∈Nn∈N. 
 
 
 
As afirmativas I, II e III estão corretas 
 As afirmativas II e III estão corretas 
 
Apenas a afirmativa II está correta 
 
As afirmativas I e III estão corretas 
 
As afirmativas I e II estão corretas 
Respondido em 14/11/2020 17:26:18 
 
 
 
6 
 Questão 
 
 
 
 O elemento neutro desse anel é 
 
 
 e = 1 
 
 e = 0 
 
 e = 2 
 
 e = -2 
 e = -1 
 
Respondido em 14/11/2020 17:26:27 
 
 
 
7 
 Questão 
 
 
Com as operações induzidas pelas operações de Z, identifique o anel que não possui elemento neutro para a 
operação de multiplicação usual: 
 
 
Zn 
 Q 
 nZ 
 
Z_ 
 
Z 
Respondido em 14/11/2020 17:29:14 
 
 
 
8 
 Questão 
 
 
Considere as operações x * y = x + y - 2 e x ΔΔ y = xy - 2x - 2y + a, com a∈Za∈ℤ. Para que valor de a, 
(Z, * , ΔΔ) é um anel? 
 
 
a = 1 
 
a = 2 
 
a = 3 
 a = 6 
 a = - 2 
 
 
FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA 
7a aula 
Lupa 
 
 
 
 
 
1 
 Questão 
 
 
javascript:diminui();
javascript:aumenta();
Seja M_2x2 (R) o anel das matrizes 2 por 2 de entradas nos reais. Logo, não podemos afirmar que: 
 
 M_2x2 (R) é um anel comutativo. 
 M_2x2 (R) tem divisores de zero 
 
M_2x2 (R) tem elemento neutro da soma. 
 
M_2x2 (R) tem unidade. 
 
Nenhuma das anteirores 
Respondido em 14/11/2020 17:30:50 
 
 
 
2 
 Questão 
 
 
Considere as seguintes afirmações: 
(I) Se (A,+, .) é um anel comutativo, então (AK, +, .) é comutativo. 
(II) Se A e B são anéis com unidade, então A x B não tem unidade. 
(III) Se (A,+, .) é um anel com unidade, então (Mnxn(A),+, .) tem unidade. 
(IV) (Zm , +, .) é um anel comutativo com unidade. 
 
Com relação as afirmações podemos concluir que: 
 
 
 Somente a III e IV estão corretas. 
 Somente a I, III e IV estão corretas. 
 Somente a I está correta. 
 Somente a II e IV estão corretas. 
 Somente a II e III estão corretas. 
Respondido em 14/11/2020 17:30:55 
 
 
 
3 
 Questão 
 
 
A professora Ana provou uma das propriedades dos anéis para os seus alunos do Curso de Matemática. 
Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta da proposição abaixo: 
 Se (A, + ,⋅ ) é um anel e x,y,z∈Ax,y,z∈Aentão (x - y)z = xz - yz. 
 
 
 Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A. 
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da 
distributividade). 
 Pela propriedade -(xy) = (-x)y = x(-y), temos xz + (-yz) = xz - yz. 
Portanto, (x - y)z = xz - yz. 
 Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A. 
Temos: xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade). 
 Pela propriedade -(xy) = (-x)y = x(-y), temos xz + (-yz) = xz - yz. 
Portanto, (x - y)z = xz - yz. 
 Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A. 
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da 
distributividade). 
 Temos xz + (-yz) = xz - yz. 
Portanto, (x - y)z = xz - yz. 
 Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A. 
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da 
distributividade). 
 Portanto, (x - y)z = xz - yz. 
 Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A. 
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z 
 Temos xz + (-yz) = xz - yz. 
Portanto, (x - y)z = xz - yz. 
Respondido em 14/11/2020 17:31:01 
 
 
 
4 
 Questão 
 
 
A Professora Ana definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte 
proposição sobre o assunto estudado: 
Seja A um anel, a,b∈Aa,b∈A e m∈Zm∈ℤ temos: m(a + b) = ma + mb 
Ela fez a demonstração dessa proposição por indução. 
 Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta. 
 
 Seja A um anel, a,b∈Aa,b∈A e m∈Zm∈ℤ. 
Por indução sobre m verificamos que para m = k ≥ 1 temos 
k(a + b) = ka + kb 
Vejamos que é válido para m = k + 1. 
(k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b. 
 Seja A um anel, a,b∈Aa,b∈A e m∈Zm∈ℤ. 
Por indução sobre m verificamos que: 
Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para m = k ≥ 1. 
k(a + b) = ka + kb 
 Seja A um anel, a,b∈Aa,b∈A e m∈Zm∈ℤ. 
Por indução sobre n verificamos que: 
Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para m = k ≥ 1. 
k(a + b) = ka + kb 
Vejamos que é válido para m = k + 1. 
(k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b. 
 Seja A um anel, a,b∈Aa,b∈A e m∈Zm∈ℤ. 
Por indução sobre m verificamos que: 
Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira. 
Agora note que é válido para m = k + 1. 
(k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b. 
 Seja A um anel, a,b∈Aa,b∈A e m∈Zm∈ℤ. 
Por indução sobre m verificamos que: 
Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para m = k ≥ 1. 
k(a + b) = ka + kb 
Vejamos que é válido para m = k + 1. 
(k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b. 
Respondido em 14/11/2020 17:28:28 
 
 
 
5 
 Questão 
 
 
Marque a única alternativa correta sobre os anéis com unidade. 
 
 (Q, +, .) não é um anel com unidade. 
 
 (C,+, .) não é um anel com unidade. 
 
 (R, + , .) não é um anel com unidade. 
 
 O anel (Zm,+, .) é um anel com unidade para m ≥ 2. 
 (Z, +, .) não é um anel com unidade. 
 
Respondido em 14/11/2020 17:28:36 
 
 
 
6 
 Questão 
 
 
A 
A Professora Ana definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte 
proposição sobre o assunto estudado: 
Seja A um anel, a∈Aa∈A e ∀∈Z∀∈ℤ temos: 
(m + n)a = ma + na. Ela fez a demonstração dessa proposição por 
indução. 
Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta. 
 
 Seja A um anel, e m,n∈Zm,n∈ℤ . 
Por indução sobre n verificamos que para n = k ≥ 1. 
(m + k)a = ma + ka 
Vejamos que é válido para n = k + 1. 
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. 
 Seja A um anel, e m,n∈Zm,n∈ℤ . 
Por indução sobre n verificamos que: 
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira. 
Vejamos que é válido para n = k + 1. 
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. 
 Seja A um anel, e m,n∈Zm,n∈ℤ . 
Por indução sobre n verificamos que: 
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1. 
(m + k)a = ma + ka 
 Seja A um anel, e m,n∈Zm,n∈ℤ . 
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a 
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 2. 
(m - k)a = ma - ka 
Vejamos que é válido para n = k + 1. 
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. 
 Seja A um anel, e m,n∈Zm,n∈ℤ . 
Por indução sobre n verificamos que: 
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1. 
(m + k)a = ma + ka 
Vejamos que é válido para n = k + 1. 
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. 
Respondido em 14/11/2020 17:28:43 
 
 
 
7 
 Questão 
 
 
A Professora Claudia definiu múltiplo de um anel e apresentou a 
seguinte proposição sobre o assunto estudado: 
 Seja A um anel, a um elemento de A e m,n elementos de Z, m(na) = (mn)a 
Ela fez a demonstração dessa proposição por indução. 
Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta. 
 
 
 Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z.. 
Por indução sobre n verificamos que: 
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 2. 
m(ka) = (mk)a 
 Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z.. 
Por indução sobre n verificamos que: 
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1. 
m(ka) = (mk)a 
 Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z.. 
Por indução sobre n verificamos que: 
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1. 
m(ka) = (mk)a 
Vejamos que é válido para n = k + 1. 
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a. 
 Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z.. 
Por indução sobre m verificamos que: 
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1. 
m(ka) = (mk)a 
Vejamos que é válido para n = k + 1. 
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a. 
 Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z.. 
Por indução sobre n temos n = k ≥ 1. 
m(ka) = (mk)a 
Vejamos que é válido para n = k + 1. 
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a. 
Respondido em 14/11/2020 17:31:27 
 
 
 
8 
 Questão 
 
 
Identifique o anel abaixo com a soma e produto usuais, que é um anel comutativo sem unidade. 
 
 2Z 
 
Z+ 
 
O conjunto M2(Z) das matrizes 2 × 2 
 Z 
 
Q 
 
 
FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA 
8a aula 
Lupa 
 
 
 
 
 
1 
 Questão 
 
 
 
 
 o anel possui unidade 
 não é um anel comutativo 
 o elemento neutro do anel é e = 1 
 não é um anel de integridade 
 o elemento simétrico do anel é x' = 1 - x 
Respondido em 14/11/2020 17:30:02 
 
 
 
2 
 Questão 
 
 
javascript:diminui();
javascript:aumenta();
 
 
 Somente a III está correta. 
 
 
Somente a II está correta. 
 
 
Somente a I está correta. 
 
 
Somente a II e III estão corretas. 
 
Somente a I e II estão corretas. 
 
Respondido em 14/11/2020 17:30:09 
 
 
 
3 
 Questão 
 
 
De acordo com a teoria de Subanel verificamos que o conjunto dos números ímpares 
não é um subanel de Z. Carlos, aluno do curso de matemática, desenvolveu uma 
justificativa para essa proposição. Marque a alternativa que apresenta corretamente a 
justificativa desenvolvida pelo Carlos. 
 
 Dado o conjunto S = {2n + 1/ n∈Zn∈ℤ} veja que: 
∀x,y∈S∀x,y∈S e ∀m,n∈S∀m,n∈S, temos x = 2n + 1 e y = 2m + 1 
Usando a proposição de subanel, temos: 
x - y = 2n - 1 + (2m - 2) = 2n - 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) que é um 
número par. 
Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos 
números ímpares não é um subanel de Z. 
 Dado o conjunto S = {2n + 1/ n∈Zn∈ℤ} veja que: 
 ∀x,y∈S∀x,y∈S e ∀m,n∈S∀m,n∈S, temos x = 2n +1 e y = 2m + 1 
Usando a proposição de subanel, temos: 
x - y = 2n + 1 - (2m + 1) = 2n + 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) que é um 
número par. 
Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos 
números ímpares não é um subanel de Z. 
 
 Dado o conjunto S = {2n / n∈Zn∈ℤ} veja que: 
∀x,y∈S∀x,y∈S e ∀m,n∈S∀m,n∈S, temos x = 2n e y = 2m 
Usando a proposição de subanel, temos: 
x - y = 2n - (2m ) = 2n + 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) que é um número par. 
Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos 
números ímpares não é um subanel de Z. 
 Dado o conjunto S = {2n + 1/ n∈Zn∈ℤ} veja que: 
∀x,y∈S∀x,y∈S e ∀m,n∈S∀m,n∈S, temos x = 2n + 1 e y = 2m + 1 
Usando a proposição de subanel, temos: 
x - y = 2n + 1 - (2m + 1) = 2n + 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) + 1 que é um 
número par. 
Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos 
números ímpares não é um subanel de Z. 
 Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos 
números ímpares não é um subanel de Z. 
Respondido em 14/11/2020 17:30:18 
 
 
 
4 
 Questão 
 
 
Qual dos anéis abaixo pode ser definido anel de integridade: 
 
 
Z x Z 
 M2 (iR) (conjunto das matrizes de ordem 2) 
 Q 
 
Z14 
 
Z3 
Respondido em 14/11/2020 17:30:31 
 
 
 
5 
 Questão 
 
 
Indique todos os divisores de zero do anel Z15. 
 
 
3,5,6,10 e 15 
 
2,3,6,8 e 10 
 
3,5,9,10 e 15 
 5,9,10, e 15 
 3,5,9,10 e 12 
Respondido em 14/11/2020 17:30:40 
 
 
 
6 
 Questão 
 
 
Verifique se o conjunto B = { 0, 3, 6} é um subanel do anel < Z12, +, . >. Teste a proposição : 
Se x e y pertence a B, então: 
(i) x - y pertence a B. 
(ii) x . y pertence a B. 
 
 
 
É um subanel pois verificou-se a parte (ii) da proposição e foi verdadeira pois todos os resultados 
pertencem a B. 
 Não é um subanel pois, ao provar a primeira parte da proposição (i), já verifica-se que o resultado 
não percente a B. 
 
É um subanel pois verificou-se a parte (i) e (ii) da proposição e não foi verdadeira pois todos os 
resultados não pertencem a B. 
 É um subanel pois verificou-se as duas partes (i) e (ii) da proposição e foram verdadeiras. 
 
É um subanel pois verificou-se a parte (i) da proposição e foi verdadeira pois todos os resultados 
pertencem a B. 
Respondido em 14/11/2020 17:30:46 
 
 
 
7 
 Questão 
 
 
Marque a única alternativa correta sobre os subanéis. 
 
 Q,+,.) não é um subanel de (R,+,.) e (C,+,.). 
 
 
O conjunto dos números ímpares é um subanel de Z. 
 
(Z,+,.) não é um subanel de (Q,+,.) (R,+,.) (C,+,.). 
 O conjunto 3Z6 não é um subanel de Z6. 
 
 O conjunto dos números pares é um subanel Z, pois dado o conjunto S = {2n/ n ∈∈Z} 
Respondido em 14/11/2020 17:33:32 
 
 
 
8 
 Questão 
 
 
De acordo com a teoria de Subanel verificamos que o conjunto dos números ímpares 
não é um subanel de Z. Carlos, aluno do curso de matemática, desenvolveu uma 
justificativa para essa proposição. Marque a alternativa que apresenta corretamente a 
justificativa desenvolvida pelo Carlos. 
 
 Dado o conjunto S = {2n + 1/ n∈Zn∈ℤ} veja que: 
 ∀x,y∈S∀x,y∈S e ∀m,n∈S∀m,n∈S, temos x = 2n + 1 e y = 2m + 1 
Usando a proposição de subanel, temos: 
x - y = 2n + 1 - (2m + 1) = 2n + 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) que é um 
número par. 
Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos 
números ímpares não é um subanel de Z. 
 
 Dado o conjunto S = {2n + 1/ n∈Zn∈ℤ} veja que: 
∀x,y∈S∀x,y∈S e ∀m,n∈S∀m,n∈S, temos x = 2n + 1 e y = 2m + 1 
Usando a proposição de subanel, temos: 
x - y = 2n - 1 + (2m - 2) = 2n - 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) que é um 
número par. 
Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos 
números ímpares não é um subanel de Z. 
 Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos 
números ímpares não é um subanel de Z. 
 Dado o conjunto S = {2n + 1/ n∈Zn∈ℤ} veja que: 
∀x,y∈S∀x,y∈S e ∀m,n∈S∀m,n∈S, temos x = 2n + 1 e y = 2m + 1 
Usando a proposição de subanel, temos: 
x - y = 2n + 1 - (2m + 1) = 2n + 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) + 1 que é um 
número par. 
Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos 
números ímpares não é um subanel de Z. 
 Dado o conjunto S = {2n / n∈Zn∈ℤ} veja que: 
∀x,y∈S∀x,y∈S e ∀m,n∈S∀m,n∈S, temos x = 2n e y = 2m 
Usando a proposição de subanel, temos: 
x - y = 2n - (2m ) = 2n + 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) que é um número par. 
Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos 
números ímpares não é um subanel de Z. 
 
 
 
FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA 
9a aula 
Lupa 
 
 
 
 
 
1 
 Questão 
 
 
Um anel comutativo com unidade K e denominado um corpo se todo elemento nao nulo de K possuir ....: 
 
 
elemento neutro da multiplicação 
 
inverso aditivo 
 inverso multiplicativo 
 elemento simétrico. 
 
elemento neutro da adição 
Respondido em 14/11/2020 17:34:28 
 
 
 
2 
 Questão 
 
 
Determine U(Z12) em Z12. 
 
 U(Z12) = {7,11} 
 U(Z12) = {5,7,11} 
 U(Z12) = {1,7,11} 
 U(Z12) = {1,5,11} 
 U(Z12) = {1,5,7,11} 
Respondido em 14/11/2020 17:34:33 
 
 
 
3 
 Questão 
 
 
Em Z4 = {0,1,2,3}, determine U(Z4) . 
 
 U(Z4) = {0,1,3} 
 U(Z4) = {1,2,3} 
 U(Z4) = {1,3} 
 
U(Z4) = {2,3} 
 
U(Z4) = {0,1,2} 
Respondido em 14/11/2020 17:32:00 
 
 
 
4 
 Questão 
 
 
Qual dos anéis abaixo não pode ser definido um corpo? 
 
javascript:diminui();
javascript:aumenta();
 
IR 
 
C 
 
Zp para p primo 
 Q 
 Z 
Respondido em 14/11/2020 17:34:43 
 
 
 
5 
 Questão 
 
 
Marque a única afirmação correta. 
 
 
Todo subanel é um corpo 
 Todo anel de integridade é um corpo 
 
o anel Zn é um corpo para todo n 
 
Todo anel comutativo é um corpo 
 Todo anel de integridade finito e um corpo 
Respondido em 14/11/2020 17:34:46 
 
 
 
6 
 Questão 
 
 
Considere a seguinte proposição: Se K é corpo, então K é anel de integridade. 
Indique a alternativa que apresenta a demonstração correta dessa proposição. 
 
 Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo 
que x = 0 e y = 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a 
hipótese. Portanto, x = 0 e y = 0. Logo, K não tem divisores próprios de zero, o 
que implica que ele é um anel de integridade. 
 Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo 
que x = 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y = 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a 
hipótese. Portanto, x = 0 ou y = 0. Logo, K não tem divisores próprios de 
zero, o que implica que ele é um anel de integridade. 
 Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo 
que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy = 0. Isso contradiz a 
hipótese. Portanto, x = 0 e y = 0. Logo, K não tem divisores próprios de zero, o 
que implica que ele é um anel de integridade. 
 Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo 
que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a 
hipótese. Portanto, x = 0 e y = 0. Logo, K não tem divisores próprios de zero, 
o que implica que ele é um anel de integridade. 
 Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy ≠ 0. Suponhamos por absurdo 
que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a 
hipótese. Portanto, x = 0 ou y = 0. Logo, K não tem divisores próprios de zero, 
o que implica que ele é um anel de integridade. 
Respondido em 14/11/2020 17:34:50 
 
 
 
7 
 Questão 
 
 
Marque a alternativa que indica a definição correta de corpo. 
 
 
Um Corpo é um anel comutativo com unidade que chamaremos de K. Este anel é denominado corpo 
se todo elemento não nulo de K não possuir inverso multiplicativo. 
 Um Corpo é um anel comutativocom unidade que chamaremos de K. Este anel é denominado corpo 
se todo elemento não nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou seja, se ∀∀ x ∈∈K, x ≠ 0, então 
existe x-1 ∈∈K tal que x.x-1 = 1. 
 
 
 
Um Corpo é um anel comutativo que chamaremos de K. Este anel é denominado corpo se todo 
elemento nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou seja, se ∀∀ x ∈∈K, x ≠ 0, então existe x-1 ∈∈K 
tal que x.x-1 = 1. 
 
 
 Um Corpo é um anel comutativo com unidade que chamaremos de K. Este anel é denominado corpo 
se todo elemento não nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou seja, se ∀∀ x ∈∈K, x ≠ 0, então 
existe x-1 ∈∈K tal que x.x-1 = 1. 
 
Um Corpo é um anel que tem apenas unidade que chamaremos de K. Este anel é denominado corpo 
se todo elemento nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou seja, se ∀∀ x ∈∈K, x = 0, então existe 
x-1 ∈∈K tal que x.x-1 = 1. 
 
 
Respondido em 14/11/2020 17:32:18 
 
 
 
8 
 Questão 
 
 
No anel Z6 determine Idemp (Z6 ). 
 
 Idemp (Z6 ) = {1,3,4} 
 Idemp (Z6 ) = {2,3,4} 
 
Idemp (Z6 ) = {1,2,3} 
 
Idemp (Z6 ) = {1} 
 
Idemp (Z6 ) = {1,2} 
 
FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA 
10a aula 
Lupa 
 
 
 
 
 
1 
 Questão 
 
 
Marque a alternativa que indica a definição correta de homomorfismo de anéis. 
 
 
Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis. Dizemos que f é um homomorfismo do anel se, e somente se, 
são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y). 
javascript:diminui();
javascript:aumenta();
 Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do 
anel A no anel B se, e somente se, são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = 
f(x)f(y). 
 
Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do 
anel A no anel B se, e somente se, é válida a seguinte condição: f(xy) = f(x)f(y). 
 Sejam (A, +, .) um anel. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A se, e somente se, são válidas 
as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y). 
 
Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do 
anel A no anel B se, e somente se, é válida a seguinte condição: 
f(x + y) = f(x) + f(y). 
Respondido em 14/11/2020 17:35:44 
 
 
 
2 
 Questão 
 
 
Marque a alternativa que indica corretamente a definição de isomorfismo de anéis. 
 
 Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel (B, +, .) é uma função f: A → B 
que é um homomorfismo e é injetiva. Assim, dizemos que quando existe um 
isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as 
mesmas propriedades. 
 Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel (B, +, .) é uma função f: A → B 
que é um homomorfismo e é sobrejetora. Assim, dizemos que quando existe 
um isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as 
mesmas propriedades. 
 Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel (B, +, .) é uma função f: A → B 
que é bijetora. Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo entre os 
anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as mesmas propriedades. 
 Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel (B, +, .) é uma função f: A → B 
que é um homomorfismo. Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo 
entre os anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as mesmas 
propriedades. 
 Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel (B, +, .) é uma função f: A → B 
que é um homomorfismo e é bijetora. Assim, dizemos que quando existe um 
isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as 
mesmas propriedades. 
Respondido em 14/11/2020 17:33:12 
 
 
 
3 
 Questão 
 
 
 
 
 
N(f) = {(0,3)} 
 N(f) = {(0,4)} 
 N(f) = {(0,0)} 
 
N(f) = {(0,1)} 
 
N(f) = {(0,2)} 
Respondido em 14/11/2020 17:35:54 
 
 
 
4 
 Questão 
 
 
Marque a alternativa correta. 
 
 Seja I é um ideal do anel A com unidade. Se I contém um elemento inversível 
de A, então I ≠ A. 
 O conjunto dos números pares não é um ideal principal de Z gerado pelo 
elemento 2. 
 Considere um anel (Q, +, .) e I = Z (conjunto dos números pares). Z é um ideal 
no anel Q. 
 2Z é um ideal no anel Z. 
 Seja I = {f: R → R/f(1) + f(2) = 0} e (RR, +, .). I é um ideal do anel (RR, +, .). 
Respondido em 14/11/2020 17:35:58 
 
 
Gabarito 
Comentado 
 
 
 
 
 
5 
 Questão 
 
 
Considere a seguinte proposição: 
Se I e J são ideais de um anel A, então I ∩ J é um ideal de A, 
I ∩ J = {x ∈∈A, x ∈∈ I e x ∈∈J}. A partir da proposição determine 2Z ∩ 3Z. 
 
 
3Z 
 
2Z 
 4Z 
 6Z 
 
5Z 
Respondido em 14/11/2020 17:36:03 
 
 
6 
 Questão 
 
 
Indique o ideal principal em Z6 gerados por [2]. 
 
 
 
{0} 
https://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio_preview.asp?cod_prova=4313883551&cod_hist_prova=213527739&pag_voltar=otacka
https://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio_preview.asp?cod_prova=4313883551&cod_hist_prova=213527739&pag_voltar=otacka
 
{2,4} 
 {0,2} 
 
{0, 4} 
 {0,2,4} 
Respondido em 14/11/2020 17:33:29 
 
 
 
7 
 Questão 
 
 
Marque a alternativa correta. 
 
 Considere um anel (Q, +, .) e I = Z (conjunto dos números pares). Z é um ideal no anel Q. 
 O conjunto dos números pares não é um ideal principal de Z gerado pelo elemento 2. 
 Seja I é um ideal do anel A com unidade. Se I contém um elemento inversível de A, então I ≠ A. 
 2Z é um ideal no anel Z. 
 Seja I = {f: R → R/f(1) + f(2) = 0} e (RR, +, .). I é um ideal do anel (RR, +, .). 
Respondido em 14/11/2020 17:36:12 
 
 
 
8 
 Questão 
 
 
Marque a alternativa correta. 
 
 Seja f: Z x Z → Z tal que f(x,y) = x. f não é um homomorfismo de anel. 
 Seja f: Z → Z tal que f(x) = -x. f é um homomorfismo de anel. 
 Seja f: A → B tal que f(a) = 0. f é um homomorfismo de anel. 
 Seja f: A → B tal que f(a) = a. f não é um homomorfismo de anel. 
 Seja f: Z → Z tal que f(x) = 2x. f é um homomorfismo de anel.