Lista de exercícios edo- linear de primeira ordem, bernouli, separável....

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1 
 
 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DA PARAÍBA. 
DIRETORIA DE ENSINO PERÍODO: 
DISCIPLINA: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (E.D.O.) 
CURSO: ENGENHARIA ELÉTRICA PROFESSORA: KALINA AIRES 
ALUNO(A): MATRÍCULA: 
 
 
1ª Lista de Exercícios: 
 
 
1) Determine a ordem de cada equação diferencial e verifique que cada função dada é uma solução da 
equação diferencial dada. 
 
a) 
0 yy
; 
te)t(y 1
, 
)tcosh()t(y 2
 
 
 b) 
2tyyt 
 ; 
23 tty 
 
c) 
032 2  yytyt
; 
0t
, 21
1 t)t(y 
 , 
1
2
 t)t(y
 
 
d) 
tsecyy 
 ; 
2
0

 t
 , 
sentttcosln)t(cosy 
 
 
e) 
ty3y4y )4( 
 ; 
3
t
)t(y1 
, 
3/te)t(y t2 

 
 
f) 
0t,0y4yt5yt2 
; 
2
1 t)t(y

 , 
tlnt)t(y 22

 
 
2) Achar a solução geral das seguintes equações, onde a, b e n são constantes. 
 
a) 
0 xyy
 g) 
)y)(cosx(cosy 222
 
 
b) 
0x,
xlnx
y
y 
 h) 
y
x
ey
ex
dx
dy



 
c) 
)a(,bayy 00 
 i) 2
1
21 )y(yx 
 
 
d) 
12  yyx
 j) 
y
x
y
23
13 2



 
e)
02  xtghyy
 k) 
)x1(y
x
y
3
2


 
 
f) 
02  xsenyy
 l) 
2
2
y1
x
dx
dy


 
 
3) Resolva os seguintes problemas de valor inicial . 
 
2 
 
a) 
61021 2 /)(y,y)x(y 
 g) 
43  )(y,dxydy)xlnx(
 
b) 
100   )(y,dyeydxx x
 h) 
222  )/(r;dcosrsendr
 
c) 
20
2
2


 )(y,
)yxy(
x
y
 i) 
101 2
1
23 

)(y,)x(yxy
 
d) 
02
21
2


 )(y,
)y(
x
y
 j) 
2
1
0
4
1
3
2


 )(y,
y
)x(x
y
 
e) 
10
52
3 2



 )(y,
)y(
ex
y
x k) 
10
43





)(y,
y
ee
y
xx 
f) 
101 2
1
22  )(y,dxarcsenxdy)x.(y
 l) 
3/)2/(y,0dy)y3cos(dx)x2(sen 
 
 
 
4) Em cada caso, achar a solução geral; onde for necessário, faça as transformações indicadas. 
 
a) 
yxyx 
 f) 
)vxy(;
xy
xy
y 



1
 
 
b) 
222 yxyxyx 
 g) 
;
x
yxyx
dx
dy
2
22 

 
 
c) 
)x/ysec(xyyx 2
 h) 
;
xy
yx
dx
dy
2
3 22 

 
 
d) 
)vxy(;)xy(y  2
 i) 
;
yx
xy
dx
dy



2
34
 
 
e) 
)vxy(;yeyx xy  
 j) 
;
yx
yx
dx
dy



2
34
 
 
5) Resolver os seguintes problemas de valor inicial: 
 
a) 
11 


 )(y,
xy
xy
y
 b) 
5113 ,)(y,)xy(yyx 
 
 
6) Determine se cada uma das equações são exatas. Para as exatas, encontre a solução. 
 
a) 
02232  y)y()x(
 d) 
cybx
byax
dx
dy



 
b) 
02242  y)yx()yx(
 e) 
cybx
byax
dx
dy



 
 
c) 
036223 222  dy)xy(dx)xyx(
 f) 
022  dy)xcosycose(dx)senxysenye( xx
 
 
g) 
0322222  dy)xcosex(dx)xxsenexcosey( xyxyxy
 
3 
 
h) 
000  y,x;dy)xyxlny(dx)xyylnx(
 
 
i) 
02 21   dyxydxylnx
 l) 
dyysenxlndxycosx 2221 
 
 
j) 
03 2  dxydyx
 m) 
0y)x2yx2()y2xy2( 22 
 
 
k) 
dxycosxsenhdysenyxcosh 
 n) 
0dy)senyex3(dx)y3senye( xx 
 
 
7) Resolver os problemas de valor inicial. 
 
a) 
31022  )(y,dy)xy(dx)yx(
 
 
b) 
21043 3342  )(y,dyyxdxyx
 
 
c) 
320031 /)(y,dy)x(dx)y( 
 
 
d) 
 )(y,dy])yx(senye[dx])yx(ycose[ xx 022
 
 
8) Encontre o valor de k para o qual a equação dada é exata e, então, resolva-a usando este valor de k. 
 
a) 
0dyx)yx(dx)ykxxy( 222 
 b) 
0dyexkdx)xye( xy2xy2 
 
 
9) Encontre um fator integrante e resolva a equação dada. 
 
a) 
023 2232  dy)yx(dx)yxyyx(
 d) 
02  dy)ycscyycote(dxe xx
 
 
b) 
02   dyedx xy
 e) 
04334 223  dy]y)y/x([dx)]y/()y/x([
 
 
c) 
02 2   dy)exy(dxy y
 
 
 
10) Mostrar que a função dada é um fator integrante e resolver: 
 
a) 
xe)x(F,dy)y(sendx)ycos( 22 
 
 
b)
4
1
213
x
y
)y,x(F,dyxdx)y(


 
 
c) 
3
232 101
y.x
)y,x(F,y)y(xyx 
 
 
d) 
x
x
x e.y)y,x(F,dy
y
xcoseycos
dxsenxe
y
seny








 








 0
2
2
 
 
11) Achar as soluções gerais para as seguintes equações diferenciais. 
 
4 
 
a) 
tetyy 23 
 g) 
xyy  1
 
 
b) 
tetyy 222 
 h) 
0x,x2yyx 
 
 
c) 
1 tetyy
 i) 
2424 xxyy 
 
 
d) 
0231  t,tcosy)t/(y
 j) 
63 2  xeyy
 
 
e) 
teyy 32 
 k) 
xexx/yy 22 
 
 
f) 
02  t,tsenyyt
 l) 2
2 xeyyx 
 
 
 
12) Resolver os seguintes problemas de valor inicial. 
 
a) 
01  )(y,eyy x
 e) 
021112 2  t,/)(y,ttyyt
 
 
b) 
0x,1e)1(y,2xy)x31(y 1  
 f) 
002 2  t,)(y,t/)t(cosy)t/(y
 
 
c) 
102 2  )(y,etyy t
 g) 
0121  t,)(lny,ty)t(yt
 
 
d) 
012 2   )(y,etyy t
 
 
13) Use o método da variação dos parâmetros para resolver a equação diferencial dada: 
 
a) 
2 yy
 d) 
0231  t,tcosy)t/(y
 
 
b) 
xeyy 3
 e) 
02  t,tsenyyt
 
c) 
tetyy 222 
 f) 
232 tyy 
 
14) Resolva as seguintes equações de Bernoulli: 
a) 
2yyy 
 c) 
xyyxy  23
 
 
b) 
4213 y)x(yy 
 d) 
002 32  t,ytyyt
 
 
15) Resolva a equação diferencial. Se for dada uma condição inicial, encontre, também, a solução que a 
satisfaz. 
 
a) 
x
yx
dx
dy 23 

 t) .3)1(y,0x,)xln1(yxyyx 3  
 
 
5 
 
b) 
11
1
1
2
2



 )(y,
y
x
dx
dy
 u) 
1)1(y,0dy)x9y4(xydx6 2 
 
 
c) 
00
33
2
2



 )(y,
xy
yx
dx
dy
 v) 2
x1y
dy
dx
xlny 




 

 
 
 
d) 
0 dxdy)ex( y
 w)
 
0dy)xyx(ydx  
 
 
e) 
xyx
yxy
dx
dy
2
12
2
2



 x) .4ln)0(y,
ee
e1
y
dx
dy
xx
x2






 
 
 
f) 
011  )(y,yxy
dx
dy
x
 y) 
0dy)y2x(dx)1yx(y  
 
g) 
122  )(y,
x
senx
y
dx
dy
x
 z) 
ycosx
seny)2x(
y


 
 
h) 
xx yey
dx
dy
)e( 1
 (alfa)
1)1(ye0xcom,
x
xlny2y
y)
3


 
 
 
i) 
yx6xyy 
 (beta) 
 
2ln)1(y;0dydx
x
y
e) xy2 






 
 
 
j) 
2)1(ye0xcom,0xydy2dx)yx( 22 
 (gama)
 
2)1(y,0x;x2yyxy) 2 
 
 
 k) 
0xcom,exyyx
2x3  (delta) 
.
4
3
)1(y,0x;xlney2yx) x 
 
 
l) 
2ln)0(ycom,ey.y).e1( xx 
 (épsilon)
 .0xcom,x
y
8x4x
xy
dx
dy
)
2
23


 
 
m) 
dyxy12dxy6dyy2xydx3 232 
 (eta) 
.dxe)1x(ydxdy)1x() 1x
y
2 
 
 
n) 
 )0(y,0dydx)yx(tg2
 (teta) 
yx2yx ee
dx
dy
y.e)  
 
 
o)
 0)1(y;0x,0dyx2dxyxy2
22 




 
 (lambda) 
x3ey)1x3(
dx
dy
x) 
 
 
p) 0dy)ycos(xydx)y(sen2 22  (mi) .0)1(ye0x,
xy
xyxy
y)
2
233



 
 
6 
 
q)
 xcose2ycos
senysenxye2
y
x
x





 (ksi)
 
.e)1(y,0x,xyy)x1(
dx
dy
x) 2 
 
 
r) 
.0xcom,dxxlnxy2dxydyx 
 (pi)
 y2xey
ex3
y)
y3
y2



 
 
s) 
43
2
y2x
yx3
y


 (rho) 
0)1(y,0dye.xdx)yex)( x
y
x
y

 
 
Respostas: 
 
 
2)a) 
cyx  22
 b) 
xlncy 
 c) 
a/becy ax  
 d) 
21 )c|x|ln(y 
 
 
e) 
xcosh/cy 2
 f) 
01  ysecxcosy
; 
 
g) 
cxsenxytg  2222
se 
02 ycos
; h) 
c)ee(xy xy  222
; 
0 yey
 
 
i) 
10  yexse,]cxln[seny
 j) 
233 32 /y,cxxyy 
 
 
k) 
0y,1x,C|x1|ln2y3 32 
 l) 
Cxyy3 33 
 
 
3) a) 
32
6
1
2


 x,x;
xx
y
 b) 
;]e)x([y /x 21112 
 
c) 
;])x(ln[y / 212 412 
 d) 
;xy 154
2
1
2
1 2 
 e) 
;/exy x 413
2
5 3 
 
 
f) 
312 123 /])arcsenx(/[y 
 g) 
;
ln
xln
y
3
4

 h) 
;senr  22
 
 
i) 2
1
2123




  xy
 j) 
2
12 

x
y
 k) 
xx eey  8865
4
1
4
3
 
l) 
)x(cos3)y3(sen 2
 
 
4) a) 
)c|x|(lnxy 
 b) 
|x|lnc
x
xy


 c) 
)cx(arcsenxy 
 d) 
x
x
ce
ce
xy
2
2
1
1



 
e) 
|cx|lnxy  1
 f) 
cy)xy(  22
 g) 
c|x|ln
x
y
arctg 





 h) 
0322  cxyx
 
i) 
5
3xycxy 
 j) 
cxy.xy 
2
4
 
5) a) 
2
2222

 ln
x
y
tgarc)yxln(
 b) 
2125 /)x(xxy 
 
 
6) a) 
cyyxx  23 22
 b)Não é exata c) 
cyyxyxx  322 323
 
7 
 
 
d) 
kcybxyax  22 2
 e) Não é exata f) 
cxcosysenyex  2
; também y = 0. 
 
g) 
cyxxcosexy  32 2
 h)Não é exata i) 
cylnx 2
 j)Não é exata 
 
k) 
cycosxcosh 
 l) 
cycos|x|ln 2
 m) 
cxy2yx 22 
 n)Não é exata 
 
7) a) 
328
2
328 2
/|x|,
xx
y 



 

 b) 
1643 yx
 c) 
23  yxxy
 
 
d) 
122  )yx(ycosex
 8) a) 
Cyx2yx,3k 322 
 b) 
Cxe,1k 2xy2 
 
 
9)a) 
ce)yyx(;e)x(F xx  3323 3
 b) 
cee;e)x(F yxx  2
 
 
c) 
c|y|lnex;y/e)y(F yy  22
 d) 
cysenye;seny)y(F x  2
 
 
 e) 
cyxyx;y)y(F  442 3
 
 
10) a) 
c)ycos(.e x 2
 b) 
321 cx)y( 
 c) 
;cy|y|lnx  22 2
 também y = 0 
 
d) 
cxcosysenyex  2
 
 
11)a) 
tt e)/()/t(cey 23 913  
 b) 
3232 /etcey tt 
 c) 
21 2 /etcey tt  
 
 
d) 
223423 /)tsen(t/)tcos()t/c(y 
 e) 
tt ecey 32 
 f) 
2t/)senttcostc(y 
 
 
g) 
xcey x 
 h) 
xcxy  1
 i) 
24 xcey x 
 j) 
220 23   xx e,cey
 
 
k) 
xexcxy 22 
 l) 
2250  x)e,c(y x
 
 
12) a) 
xe)x(y 1
 b) 
xxey x  3
 c) 
tt e)t(ey 2123 
 d) 
21 22 /e)t(y t
 
 
e) 
2234 121643 t/)ttt(y 
 f) 
2t/)sent(y 
 g) 
021   t,t/)et(y t
 
 
13) a) 
2 xecy
 b) 
xe)cx(y  3
 c) 
3
23
2
t
t etecy 
 d) 
2
23
4
23 tsen
t
tcos
t
c
y 
 
 
e) 
2t/)senttcostc(y 
 f) 
24123 22   ttecy /t
 
14)a) 
1
1


xce
y
 b) 31
12
1
/
x xce
y 







 c) 
2
1
22
2



xce
y
x
 d) 
552
5
ct
t
y


 
8 
 
15)a) 
)/x()x/c(y 532 
 b) 
233 33  xxyy
 c) 
03 32  yyxyx
 
d) 
yy yecex 
 e) 
cxxyyx  22
 f) 
)e(xy x  11 1
 g) 
224 x/)xcoscos(y 
 
h) 
 21x
x
e
ce
 i) 24
2x
)6ce(y 
 j) 2
1
2 )xx5(y 
 k) 








 c
2
e
2
ex
x
1
y
2x2x2 
l)   2/122x 4ln)2(ln)e1ln(y  m) 
Cyxy6x
2
3 222 
 n) 
 2y2x2)y2x2(sen
 
o) 
0xln)x/y(arcsen2 
 p) 
C)y(senx 24 
 q) 
Csenyexcosy2 x 
 
r) 
x
)Cxxlnx(
y
2

 s) 
C
3
y2
y
x 33

 t) 
33 x4xlnx65
x3
y


 
u) 4yyx3 432  v) C
9
x
xln
3
x
|y|lny2
2
y 332
 
w)
 
  x4C|y|lny 2 
 
xxxx e.2ln)eeln(ey)x   Ceyyxe)y x2x  Cseny.e.x)z x2  
xln21
1
y)


 
.
4
5
ex) xy22   .x3
8x4
y)
2
3 
 .4
1
xln
2
1
x
e
x
e
x
1
y)
2
xx
2
 
 





 


2
2x
arctgC.x
1
y) 
Cex) x1
y
 
 Ce3
1
e)1y(e) x3xy  
 
x3x3 ee
x
C
y)  
 1xe
x
y)
x 

 
xlnx
x
y
xarctgy) 






 
 
Cy
4
y
xex) 2
4
y3 
 
1|x|lnlnxy) 
 
 
 
Bibliografia: 
 
 KREYSZIG, Erwin. 
 Matemática Superior,1: Equações Diferenciais Ordinárias / Erwin Kreysig; Tradução de Alfredo Alves de Farias - 2ª edição – 
Rio de Janeiro: LTC –, 1983. 
 
 BOYCE, William E. , 1930- 
 Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno / William E. Boyce, Richard C. Diprima; tradução de 
Valéria de Magalhães Iorio. – Rio de Janeiro: LTC, 2006. 
 
 MATOS, Marivaldo Pereira. 
 Séries e Equações Diferenciais / Marivaldo P. Matos – São Paulo: Prentice Hall, 2001.